Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более низкого порядка. В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.

Видео:14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y

Это дифференциальное уравнение вида Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Произведём замену переменной: введём новую функцию Уравнение 2 го порядка с понижением степении тогда Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Следовательно, Уравнение 2 го порядка с понижением степении исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

с искомой функцией Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Решая его, находим Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Так как Уравнение 2 го порядка с понижением степени, то Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени,

где Уравнение 2 го порядка с понижением степении Уравнение 2 го порядка с понижением степени— произвольные константы интегрирования.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Решение. Произведём замену переменной, как было описано выше: введём функцию Уравнение 2 го порядка с понижением степении, таким образом, понизив порядок уравнения, получим уравнение первого порядка Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Интегрируя его, находим Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Заменяя Уравнение 2 го порядка с понижением степенина Уравнение 2 го порядка с понижением степении интегрируя ещё раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y‘ в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Тогда Уравнение 2 го порядка с понижением степении получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Заменяя z произведением функций u и v , получим

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Тогда получим выражения с функцией v :

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Выражения с функцией u :

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Дважды интегрируем и получаем:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Интегрируем по частям и получаем:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Итак, общее решение данного дифференциального уравения:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Видео:ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

Понижение порядка уравнения, не содержащего y

Это дифференциальное уравнение вида Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём Уравнение 2 го порядка с понижением степени, тогда Уравнение 2 го порядка с понижением степени, и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Решая его, найдём Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Так как Уравнение 2 го порядка с понижением степени, то Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени,

где Уравнение 2 го порядка с понижением степении Уравнение 2 го порядка с понижением степени— произвольные константы интегрирования.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Решение. Уже знакомым способом произведём замену переменной: введём функцию Уравнение 2 го порядка с понижением степении понизим порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Решая его, находим Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Тогда Уравнение 2 го порядка с понижением степении получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Интегрируем полученную функцию:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Мы пришли к цели — общему решению данного дифференциального уравения:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Тогда Уравнение 2 го порядка с понижением степени, Уравнение 2 го порядка с понижением степени:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Видео:Дифференциальные уравнения, 7 урок, Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 7 урок, Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Понижение порядка уравнения, не содержащего x

Это уравнение вида Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Вводим новую функцию Уравнение 2 го порядка с понижением степени, полагая Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Тогда

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Подставляя в уравнение выражения для Уравнение 2 го порядка с понижением степении Уравнение 2 го порядка с понижением степени, понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Решая его, найдём Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Так как Уравнение 2 го порядка с понижением степени, то Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени,

где Уравнение 2 го порядка с понижением степении Уравнение 2 го порядка с понижением степени— произвольные константы интегрирования.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Решение. Полагая Уравнение 2 го порядка с понижением степении учитывая, что Уравнение 2 го порядка с понижением степени, получаем Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду Уравнение 2 го порядка с понижением степении интегрируя, получаем Уравнение 2 го порядка с понижением степени, откуда Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Учитывая, что Уравнение 2 го порядка с понижением степени, находим Уравнение 2 го порядка с понижением степени, откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

При сокращении на z было потеряно решение уравнения Уравнение 2 го порядка с понижением степени, т.е. Уравнение 2 го порядка с понижением степени. В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при Уравнение 2 го порядка с понижением степени(за исключением решения y = 0).

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Используя вновь подстановку

Уравнение 2 го порядка с понижением степени,

получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Решим и его:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравения:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

Уравнение 2 го порядка с понижением степени,

удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1 , y‘(0) = −1 .

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Поэтому применяем подстановку:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Таким образом, понизили порядок уравнения и получили уравнение первого порядка

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Чтобы определить C 1 , используем данные условия y(0) = 1 , y‘(0) = −1 или p(0) = −1 . В полученное выражение подставим y = 1 , p = −1 :

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Из начального условия y(0) = 1 следует

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения

Уравнение 2 го порядка с понижением степени,

удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1 , y‘(1) = −1 .

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Таким образом, получили уравнение первого порядка

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на p , получим

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Интегрируем обе части уравнения

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Используем начальные условия и определим C 1 . Если x = 1 , то y = 1 и p = y‘ = −1 , поэтому

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Из начального условия y(1) = 1 следует

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения

Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Метод понижения порядка. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод понижения порядка. 10 класс.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Материал данной статьи дает представление о дифференциальных уравнениях порядка выше второго с возможностью понизить порядок, используя замену. Подобные уравнения часто представлены F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , не содержащими искомой функции и производных до k – 1 порядка, а также дифференциальными уравнениями записи F ( y , y ‘ , y » , . . . , y ( n ) ) = 0 , не содержащими независимой переменной.

Видео:10 класс, 27 урок, Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степениСкачать

10 класс, 27 урок, Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени

Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих искомой функции и производных до
k – 1 порядка вида F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0

Мы имеем возможность понижения порядка дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 до n – k , используя замену переменных y ( k ) = p ( x ) . Осуществив подобную замену, имеем: y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p » ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) . Затем подставим полученный результат в исходное уравнение и увидим дифференциальное уравнение порядка n – k с неизвестной функцией p ( x ) .

После нахождения p ( x ) функцию y ( x ) найдем из равенства y ( k ) = p ( x ) интегрированием k раз подряд.

Для наглядности разберём решение такой задачи.

Задано дифференциальное уравнение 4 y ( 4 ) — 8 y ( 3 ) + 3 y » = 0 . Необходимо найти его общее решение.

Решение

Произведя замену y » = p ( x ) , получим возможность понизить порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго. Итак, y ( 3 ) = p ‘ , y ( 4 ) = p » , и, таким образом, исходное уравнение четвертого порядка мы преобразуем в линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее постоянные коэффициенты 4 p » — 8 p ‘ + 3 p = 0 .

Характеристическое уравнение будет записано так: 4 k 2 — 8 k + 3 = 0 , а корни его — k 1 = 1 2 и k 2 = 3 2 , тогда общим решением дифференциального уравнения 4 p » — 8 p ‘ + 3 p = 0 будет p ( x ) = C 1 · e 1 2 x + C 2 · e 3 2 x .

Проинтегрируем два раза полученный результат и можем записать необходимое нам общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка:

y » = p ( x ) ⇒ y ‘ = ∫ p ( x ) d x = ∫ C 1 · e 1 2 x + C 2 · e 3 2 x d x = = 2 C 1 · e 1 2 x + 2 3 C 2 · e 3 2 x + C 3 ⇒ y = ∫ y ‘ d x = ∫ 2 C 1 · e 1 2 x + 2 3 C 2 · e 3 2 x + C 3 d x = = 4 C 1 · e 1 2 x + 4 9 C 2 · e 3 2 x + C 3 · x + C 4

Ответ: y = 4 C 1 · e 1 2 x + 4 9 C 2 · e 3 2 x + C 3 · x + C 4 ( С 1 , С 2 , С 3 и С 4 являются произвольными постоянными).

Задано общее дифференциальное уравнение третьего порядка y ‘ ‘ ‘ · x · ln ( x ) = y » . Необходимо найти его общее решение.

Решение

Осуществим замену y » = p ( x ) , следовательно, y ‘ ‘ ‘ = p ‘ , а заданное дифференциальное уравнение третьего порядка преобразуется в дифференциальное уравнение, имеющее разделяющиеся переменные записи p ‘ · x · ln ( x ) = p .

Осуществим разделение переменных и интегрирование:

d p p = d x x ln ( x ) , p ≠ 0 ∫ d p p = ∫ d x x ln ( x ) ∫ d p p = ∫ d ( ln ( x ) ) ln ( x ) ln p + C 1 = ln ln ( x ) + C 2

Последующее потенцирование с учетом того, что p ( x ) = 0 тоже является решением, даст нам возможность получить общее решение дифференциального уравнения p ‘ · x · ln ( x ) = p в записи p ( x ) = C · ln ( x ) , в которой C будет произвольной постоянной.

Поскольку в самом начале была использована замена y » = p ( x ) , то y ‘ = ∫ p ( x ) d x тогда: y ‘ = C · ∫ ln ( x ) d x . Задействуем метод интегрирования по частям:

y ‘ = C · ∫ ln ( x ) d x = u = ln ( x ) , d v = d x d u = d x x , v = x = = C · x · ln ( x ) — ∫ x d x x = C · ( x · ln ( x ) — x ) + C 3

Произведем интегрирование повторно для получения общего решения заданного дифференциального уравнения третьего порядка:
y = ∫ y ‘ d x = ∫ C · x · ln ( x ) — x + C 3 d x = = C · ∫ x · ln ( x ) d x — C · ∫ x d x + C 3 · ∫ d x = = C · ∫ x · ln ( x ) d x — C · x 2 2 + C 3 · x = = u = ln x , d v = x d x d u = d x x , v = x 2 2 = = C · x 2 2 · ln x — ∫ x d x 2 — C · x 2 2 + C 3 · x + C 4 = = C · x 2 ln ( x ) 2 — 3 x 2 4 + C 3 · x + C 4

Ответ: y = C · x 2 ln ( x ) 2 — 3 x 2 4 + C 3 · x + C 4 ( С , С 3 и С 4 являются произвольными постоянными).

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих независимую переменную, записи F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0

Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения F ( y , y ‘ , y » , . . . , y ( n ) ) = 0 , не имеющие в своей записи независимую переменную.

В данном случае снижение порядка на единицу возможно с использованием замены d y d x = p ( y ) . Опираясь на правило дифференцирования сложных функций, получим:

d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y ) . . .

Подставив результат в заданное уравнение, получаем дифференциальное уравнение с порядком ниже на единицу.

Рассмотрим данный алгоритм в решении конкретной задачи.

Задано дифференциальное уравнение 4 y 3 y » = y 4 — 1 и начальные условия: y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 2 2 . Необходимо найти частное решение заданного уравнения.

Решение

Заданное уравнение не имеет в своем составе независимую переменную x , следовательно, мы можем снизить порядок уравнения на единицу, используя замену d y d x = p ( y ) .

Тогда d 2 y d x 2 = d p d y · p ( y ) . Произведем подстановку и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 4 y 3 · d p d y · p ( y ) = y 4 — 1 .

4 y 3 · d p d y · p ( y ) = y 4 — 1 ⇔ p ( y ) d p = y 4 — 1 4 y 3 d y , y ≠ 0 ∫ p ( y ) d p = ∫ y 4 — 1 4 y 3 d y p 2 ( y ) 2 + C 1 = y 2 8 + 1 8 y 2 + C 2 p 2 ( y ) = 1 4 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 , C = C 2 — C 1 P ( y ) = ± 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2

Поскольку d y d x = p ( y ) , тогда y ‘ = ± 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 .

Этап решения позволяет найти константу C , задействовав начальные условия y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 2 2 :

y ‘ ( 0 ) = ± 1 2 y 4 ( 0 ) + 8 C y 2 ( 0 ) + 1 y 2 ( 0 ) 1 2 2 = ± 1 2 2 4 + 8 C 2 2 + 1 2 1 2 2 = ± 1 2 5 + 16 C 2 1 = ± 5 + 16 C

Крайнее равенство дает возможность сформулировать вывод:

C = — 1 4 ,а y ‘ = — 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 не удовлетворяет условиям задачи.

y ‘ = 1 2 y 4 + 8 C y 2 + 1 y 2 = 1 2 y 4 + 8 · — 1 4 y 2 + 1 y 2 = = 1 2 y 4 + 2 y 2 + 1 y 2 = 1 2 ( y 2 — 1 2 ) y 2 = 1 2 y 2 — 1 y

При y 2 — 1 y ≥ 0 ⇔ y ∈ — 1 ; 0 ∪ [ 1 ; + ∞ ) получаем y ‘ = 1 2 · y 2 — 1 y , откуда

2 y d y y 2 — 1 = d x ∫ 2 y d y y 2 — 1 = ∫ d x ∫ d ( y 2 — 1 ) y 2 — 1 = ∫ d x ln ( y 2 — 1 ) + C 3 = x + C 4 y 2 — 1 = e x + C 3 = x + C 4 y 2 — 1 = x + C 1 , C 5 + C 4 — C 2 y = ± e x + C 5 + 1

Область значений функции y = — e x + C 5 + 1 — это ( — ∞ , — 1 ] , и такой интервал не будет удовлетворять условию y 2 — 1 y ≥ 0 ⇔ y ∈ — 1 ; 0 ∪ [ 1 ; + ∞ ) , а значит y = — e x + C 5 + 1 не рассматриваем.

Обратимся к начальному условию y ( 0 ) = 2 :

y ( 0 ) = e 0 + C 5 + 1 2 = e 0 + C 5 + 1 2 = e C 5 + 1 С 5 = 0

Таким образом, y = e x + C 5 + 1 = e x + 0 + 1 = e x + 1 — необходимое нам частное решение.

При у 2 — 1 y 0 ⇔ y ∈ — ∞ ; — 1 ∪ 0 ; 1 получим y ‘ = — 1 2 · y 2 — 1 y , откуда y = ± e x + C 5 + 1 . Область значений функции y = e — x + C 5 + 1 — интервал [ 1 , + ∞ ) , и такой интервал не будет удовлетворять условию y 2 — 1 y 0 ⇔ y ∈ — ∞ ; — 1 ∪ 0 ; 1 , тогда y = e — x + C 5 + 1 не рассматриваем.

Для функции y = e — x + C 5 + 1 начальное условие y ( 0 ) = 2 не будет удовлетворяться ни для каких С 6 , поскольку

Видео:Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть дано уравнение

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Порядок можно понизить, введя новую функцию Уравнение 2 го порядка с понижением степени, положив Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Тогда Уравнение 2 го порядка с понижением степении получаем ДУ первого порядка: Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Решив его, т. е. найдя функцию Уравнение 2 го порядка с понижением степени, решим уравнение Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Получим общее решение заданного уравнения (49.6).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.

Так как Уравнение 2 го порядка с понижением степениуравнение (49.6) можно записать в виде Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Тогда, интегрируя уравнение Уравнение 2 го порядка с понижением степени, получаем: Уравнение 2 го порядка с понижением степени, или Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Далее, интегрируя полученное уравнение по Уравнение 2 го порядка с понижением степени, находим: Уравнение 2 го порядка с понижением степени, т. е. Уравнение 2 го порядка с понижением степени— общее решение данного уравнения.

Если дано уравнение

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

то, проинтегрировав его последовательно Уравнение 2 го порядка с понижением степенираз, найдем общее решение уравнения: Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Пример №49.1.

Решить уравнение Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

II. Пусть дано уравнение

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

не содержащее явно искомой функции Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Обозначим Уравнение 2 го порядка с понижением степени, где Уравнение 2 го порядка с понижением степени— новая неизвестная функция. Тогда Уравнение 2 го порядка с понижением степении уравнение (49.7) принимает вид Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Пусть Уравнение 2 го порядка с понижением степени— общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию Уравнение 2 го порядка с понижением степенина Уравнение 2 го порядка с понижением степени, получаем ДУ: Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Оно имеет вид (49.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (49.7) будет иметь вид Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Частным случаем уравнения (49.7) является уравнение

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

не содержащее также и независимую переменную Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Оно интегрируется гем же способом: Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Получаем уравнение Уравнение 2 го порядка с понижением степенис разделяющимися переменными.

Если задано уравнение вида

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на Уравнение 2 го порядка с понижением степениединиц, положив Уравнение 2 го порядка с понижением степени. Тогда Уравнение 2 го порядка с понижением степени; Уравнение 2 го порядка с понижением степении уравнение (49.9) примет вид Уравнение 2 го порядка с понижением степени.

Частным случаем уравнения (49.9) является уравнение

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

С помощью замены Уравнение 2 го порядка с понижением степениэто уравнение сводится к ДУ первого порядка.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени Уравнение 2 го порядка с понижением степени

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📸 Видео

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Теорема БезуСкачать

Теорема Безу

ДУ, допускающие понижение порядка, когда нет Y| poporyadku.schoolСкачать

ДУ, допускающие понижение порядка, когда нет Y| poporyadku.school

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентам

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"

ДУ допускающие понижение порядка, однородные относительно Y и его производных | poporyadku.schoolСкачать

ДУ допускающие понижение порядка, однородные относительно Y и его производных | poporyadku.school

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.
Поделиться или сохранить к себе: