Упрощенный метод ньютона для системы нелинейных уравнений

Видео:Алгоритмы С#. Метод Ньютона для решения систем уравненийСкачать

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона для решения уравнений с одной переменной

Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643-1727), под именем которого и обрёл свою известность.

Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи De analysi per aequationes numero terminorum infinitas ( лат .О б анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу , и в работе De metodis fluxionum et serierum infinitarum ( лат.Метод флюксий и бесконечные ряды) или Geometria analytica ( лат.Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения x_n , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x.

Впервые метод был опубликован в трактате Алгебра Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе Analysis aequationum universalis (лат. Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений x_n вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном.

Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.

В соответствии с данным методом задача поиска корня функции сводится к задаче поиска точки пересечения с осью абсцисс касательной, построенной к графику функции .

Рис.1 . График изменение функции

Проведенная в любой точке касательная линия к графику функции определяется производной данной функции в рассматриваемой точке, которая в свою очередь определяется тангенсом угла α ( ). Точка пересечения касательной с осью абсцисс определяется исходя из следующего соотношения в прямоугольном треугольнике: тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется отношением противолежащего катета к прилежащему катету треугольнику. Таким образом, на каждом шаге строится касательная к графику функции в точке очередного приближения . Точка пересечения касательной с осью Ox будет являться следующей точкой приближения . В соответствии с рассматриваемым методом расчет приближенного значения корня на i -итерации производится по формуле:

Наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом, однако следует обратить внимание на то, что алгоритм не учитывает кривизну графика и следовательно в процессе расчета остается неизвестно в какую сторону может отклониться график.

Условием окончания итерационного процесса является выполнение следующего условия:

где ˗ допустимая погрешность определения корня.

Метод обладает квадратичной сходимостью. Квадратичная скорость сходимость означает, что число верных знаков в приближённом значении удваивается с каждой итерацией.

Математическое обоснование

Пусть дана вещественная функция , которая определена и непрерывна на рассматриваемом участке. Необходимо найти вещественный корень рассматриваемой функции.

Вывод уравнения основано на методе простых итераций, в соответствии с которым уравнение приводят к эквивалентному уравнению при любой функции . Введем понятие сжимающего отображения, которое определяется соотношением .

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Данное требование означает, что корень функции должен соответствовать экстремуму функции .

Производная сжимающего отображения определяется в следующем виде:

Выразим из данного выражение переменную при условии принятого ранее утверждения о том, что при необходимо обеспечить условие . В результате получим выражение для определения переменной :

С учетом этого сжимающая функция прием следующий вид:

Таким образом, алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

1. Задать начальную точку приближенного значения корня функции , а также погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации ( ).

2. Выполнить расчет приближенного значения корня функции в соответствии с формулой:

3. Проверяем приближенное значение корня на предмет заданной точности, в случае:

— если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается.

— если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Пример решения уравнений

по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом Ньютона для уравнения с одной переменной . Корень необходимо найти с точностью в качестве первого приближения .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD представлен на рисунке 3.

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.2).

Рис.2 . Результаты расчета по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

Для обеспечения заданной точности при поиске приближенного значения корня уравнения в диапазоне необходимо выполнить 4 итерации. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Рис.3 . Листинг программы в MathCad

Модификации метода Ньютона для уравнения с одной переменной

Существует несколько модификаций метода Ньютона, которые направлены на упрощение вычислительного процесса.

Упрощенный метод Ньютона

В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что ведет к увеличению вычислительных затрат. Для уменьшения затрат, связанных с вычислением производной на каждом шаге расчета, можно произвести замену производной f’( x_n ) в точке x_n в формуле на производную f’(x₀) в точке x₀. В соответствии с данным методом расчета приближенное значение корня определяется по следующей формуле:

Таким образом, на каждом шаге расчета строятся прямые , которые параллельны касательной к кривой y=f(x) в точке B₀ (см. рис.4). Преимуществом данного метода является то, что производная функции вычисляется один раз.

Разностный метод Ньютона

В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что не всегда удобно, а иногда практически невозможно. Данный способ позволяет производную функции заменить разностным отношением (приближенным значением):

В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться выражением разностного метода Ньютона:

Двух шаговый метод Ньютона

В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что не всегда удобно, а иногда практически невозможно. Данный способ позволяет производную функции заменить разностным отношением (приближенным значением):

В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться следующим выражением:

Метод секущих является двух шаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями и . В методе необходимо задавать два начальных приближения и . Скорость сходимости метода будет линейной.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Нелинейные системы и уравнения

В более общем случае мы имеем не одно уравнение (1), а систему нелинейных уравнений $$ begin tag f_i(x_1, x_2, ldots, x_n) = 0, quad i = 1, 2, ldots n. end $$ Обозначим через ( mathbf = (x_1, x_2, ldots, x_n) ) вектор неизвестных и определим вектор-функцию ( mathbf(mathbf) = (f_1(mathbf), f_2(mathbf), ldots, f_n(mathbf)) ). Тогда система (2) записывается в виде $$ begin tag mathbf(mathbf) = 0. end $$ Частным случаем (3) является уравнение (1) (( n = 1 )). Второй пример (3) — система линейных алгебраических уравнений, когда ( mathbf (mathbf) = A mathbf — mathbf ).

Видео:МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать

Метод Ньютона

Видео:Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Численные методы. Лекция 14Скачать

Решение нелинейных уравнений

При итерационном решении уравнений (1), (3) задается некоторое начальное приближение, достаточно близкое к искомому решению ( x^* ). В одношаговых итерационных методах новое приближение ( x_ ) определяется по предыдущему приближению ( x_k ). Говорят, что итерационный метод сходится с линейной скоростью, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*) ) и итерационный метод имеет квадратичную сходимость, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*)^2 ).

В итерационном методе Ньютона (методе касательных) для нового приближения имеем $$ begin tag x_ = x_k + frac, quad k = 0, 1, ldots, end $$

Вычисления по (4) проводятся до тех пор, пока ( f(x_k) ) не станет близким к нулю. Более точно, до тех пор, пока ( |f_(x_k)| > varepsilon ), где ( varepsilon ) — малая величина.

Простейшая реализация метода Ньютона может выглядеть следующим образом:

Чтобы найти корень уравнения ( x^2 = 9 ) необходимо реализовать функции

Данная функция хорошо работает для приведенного примера. Однако, в общем случае могут возникать некоторые ошибки, которые нужно отлавливать. Например: пусть нужно решить уравнение ( tanh(x) = 0 ), точное решение которого ( x = 0 ). Если ( |x_0| leq 1.08 ), то метод сходится за шесть итераций.

Теперь зададим ( x_0 ) близким к ( 1.09 ). Возникнет переполнение

Возникнет деление на ноль, так как для ( x_7 = -126055892892.66042 ) значение ( tanh(x_7) ) при машинном округлении равно ( 1.0 ) и поэтому ( f^prime(x_7) = 1 — tanh(x_7)^2 ) становится равной нулю в знаменателе.

Проблема заключается в том, что при таком начальном приближении метод Ньютона расходится.

Еще один недостаток функции naive_Newton заключается в том, что функция f(x) вызывается в два раза больше, чем необходимо.

Учитывая выше сказанное реализуем функцию с учетом следующего:

1. обрабатывать деление на ноль
2. задавать максимальное число итераций в случае расходимости метода
3. убрать лишний вызов функции f(x)

Метод Ньютона сходится быстро, если начальное приближение близко к решению. Выбор начального приближение влияет не только на скорость сходимости, но и на сходимость вообще. Т.е. при неправильном выборе начального приближения метод Ньютона может расходиться. Неплохой стратегией в случае, когда начальное приближение далеко от точного решения, может быть использование нескольких итераций по методу бисекций, а затем использовать метод Ньютона.

При реализации метода Ньютона нужно знать аналитическое выражение для производной ( f^prime(x) ). Python содержит пакет SymPy, который можно использовать для создания функции dfdx . Для нашей задачи это можно реализовать следующим образом:

Видео:Методы численного анализа - Метод Ньютона, секущих для решения систем нелинейных уравненийСкачать

Решение нелинейных систем

Идея метода Ньютона для приближенного решения системы (2) заключается в следующем: имея некоторое приближение ( pmb^ ), мы находим следующее приближение ( pmb^ ), аппроксимируя ( pmb(pmb^) ) линейным оператором и решая систему линейных алгебраических уравнений. Аппроксимируем нелинейную задачу ( pmb(pmb^) = 0 ) линейной $$ begin tag pmb(pmb^) + pmb(pmb^)(pmb^ — pmb^) = 0, end $$ где ( pmb(pmb^) ) — матрица Якоби (якобиан): $$ pmb(pmb^) = begin frac<partial f_1(pmb^)> & frac<partial f_1(pmb^)> & ldots & frac<partial f_1(pmb^)> \ frac<partial f_2(pmb^)> & frac<partial f_2(pmb^)> & ldots & frac<partial f_2(pmb^)> \ vdots & vdots & ldots & vdots \ frac<partial f_n(pmb^)> & frac<partial f_n(pmb^)> & ldots & frac<partial f_n(pmb^)> \ end $$ Уравнение (5) является линейной системой с матрицей коэффициентов ( pmb ) и вектором правой части ( -pmb(pmb^) ). Систему можно переписать в виде $$ pmb(pmb^)pmb = — pmb(pmb^), $$ где ( pmb = pmb^ — pmb^ ).

Таким образом, ( k )-я итерация метода Ньютона состоит из двух стадий:

1. Решается система линейных уравнений (СЛАУ) ( pmb(pmb^)pmb = -pmb(pmb^) ) относительно ( pmb ).

2. Находится значение вектора на следующей итерации ( pmb^ = pmb^ + pmb ).

Для решения СЛАУ можно использовать приближенные методы. Можно также использовать метод Гаусса. Пакет numpy содержит модуль linalg , основанный на известной библиотеке LAPACK, в которой реализованы методы линейной алгебры. Инструкция x = numpy.linalg.solve(A, b) решает систему ( Ax = b ) методом Гаусса, реализованным в библиотеке LAPACK.

Когда система нелинейных уравнений возникает при решении задач для нелинейных уравнений в частных производных, матрица Якоби часто бывает разреженной. В этом случае целесообразно использовать специальные методы для разреженных матриц или итерационные методы.

Можно также воспользоваться методами, реализованными для систем линейных уравнений.

Видео:Метод касательных (метод Ньютона)Скачать

Упрощенный метод ньютона для системы нелинейных уравнений

нПДЙЖЙЛБГЙЙ НЕФПДБ оШАФПОБ.

нЕФПД УЕЛХЭЙИ ДМС ОЕМЙОЕКОПЗП ХТБЧОЕОЙС.

НЕФПДБ оШАФПОБ ФТЕВХЕФУС ЧЩЮЙУМСФШ РТПЙЪЧПДОХА ЖХОЛГЙЙ f(x), ЮФП ОЕ ЧУЕЗДБ ХДПВОП, Б ЙОПЗДБ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ОЕЧПЪНПЦОП. ч НЕФПДЕ УЕЛХЭЙИ РТПЙЪЧПДОБС f ‘(x (k) ) ЪБНЕОСЕФУС ОБ ДТПВШ (ФБЛ ОБЪЩЧБЕНХА ТБЪДЕМЕООХА ТБЪОПУФШ) (f(x (k) ) — f(x (k-1) )) / (x (k) — x (k-1) ).

ч ТЕЪХМШФБФЕ ЖПТНХМБ НЕФПДБ РТЙОЙНБЕФ ЧЙД:

ЗДЕ x (0) ,x (1) — ОЕЛПФПТЩЕ ОБЮБМШОЩЕ РТЙВМЙЦЕОЙС Л ЛПТОА.

зЕПНЕФТЙЮЕУЛЙК УНЩУМ НЕФПДБ УЕЛХЭЙИ ЪБЛМАЮБЕФУС Ч ЪБНЕОЕ ОБ ЙФЕТБГЙЙ У ОПНЕТПН k ЗТБЖЙЛБ ЖХОЛГЙЙ y=f(И) ОБ УЕЛХЭХА, РТПИПДСЭХА ЮЕТЕЪ ФПЮЛЙ (x (k) ,f(x (k) )) Й (x (k-1) ,f(x (k-1) )) Й, УМЕДПЧБФЕМШОП, ЪБДБЧБЕНХА ХТБЧОЕОЙЕН

дБМЕЕ ОБИПДЙН ФПЮЛХ ЕЕ РЕТЕУЕЮЕОЙС У ПУША OX, ЮФП УППФЧЕФУФЧХЕФ ТЕЫЕОЙА МЙОЕКОПЗП ХТБЧОЕОЙС:

1) ч ПВЭЕН УМХЮБЕ УИПДЙНПУФШ РП НЕФПДХ оШАФПОБ РТПЙУИПДЙФ ВЩУФТЕЕ, ЮЕН РП НЕФПДХ УЕЛХЭЙИ, Й ЛТПНЕ ФПЗП ОЕ ФТЕВХЕФУС ОБИПЦДЕОЙС УТБЪХ ДЧХИ ОБЮБМШОЩИ РТЙВМЙЦЕОЙК Л ЙУЛПНПНХ ЛПТОА. оП РТЙ ЙУРПМШЪПЧБОЙЙ НЕФПДБ УЕЛХЭЙИ ОЕ ФТЕВХЕФУС ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЙЪЧПДОПК.

2) хУМПЧЙЕ ПЛПОЮБОЙС ЙФЕТБГЙК Ч НЕФПДЕ УЕЛХЭЙИ ПУФБЕФУС ФЕН ЦЕ, ЮФП Й Ч ЛМБУУЙЮЕУЛПН НЕФПДЕ оШАФПОБ: | x (k+1) — x (k) | ≤ ε.

нЕФПД ИПТД ДМС ОЕМЙОЕКОПЗП ХТБЧОЕОЙС.

ч НЕФПДЕ ИПТД РТПЙЪЧПДОБС f ‘(x (k) ) НЕФПДБ оШАФПОБ ЪБНЕОСЕФУС ОБ ЕЭЕ ВПМЕЕ РТПУФХА (РП УТБЧОЕОЙА У НЕФПДПН УЕЛХЭЙИ) ТБЪДЕМЕООХА ТБЪОПУФШ (f(x (k) ) — f(x (0) )) / (x (k) — x (0) )

ч ТЕЪХМШФБФЕ ЖПТНХМБ НЕФПДБ ИПТД РТЙОЙНБЕФ ЧЙД:

РТЙЮЕН x (0) , x (1) — ОЕЛПФПТЩЕ ОБЮБМШОЩЕ РТЙВМЙЦЕОЙС Л ЛПТОА. зЕПНЕФТЙЮЕУЛЙ ТБУУНБФТЙЧБЕНЩК НЕФПД ПЪОБЮБЕФ ЪБНЕОХ ОБ ЛБЦДПК ЙФЕТБГЙЙ ЗТБЖЙЛБ ЖХОЛГЙЙ y=f(И) ОБ ИПТДХ, ФП ЕУФШ ЮЕТЕЪ ФПЮЛЙ (x (0) ,f(x (0) )) Й (x (k) ,f(x (k) )) РТПЧПДЙН ИПТДХ

Й ОБИПДЙН ФПЮЛХ ЕЕ РЕТЕУЕЮЕОЙС У ПУША OX, ЮФП УППФЧЕФУФЧХЕФ ТЕЫЕОЙА МЙОЕКОПЗП ХТБЧОЕОЙС:

чЩТБЦБС ПФУАДБ x, РПМХЮБЕН:

ъбнеюбойе 2.6 лТЙФЕТЙК ПЛПОЮБОЙС ЙФЕТБГЙК Ч НЕФПДЕ ИПТД ЙНЕЕФ ЧЙД:

хРТПЭЕООЩК НЕФПД оШАФПОБ.

ьФПФ НЕФПД ЙНЕЕФ ЧЙД

ЗДЕ x (0) — ОЕЛПФПТПЕ ОБЮБМШОПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ Л ЛПТОА.

лТЙФЕТЙК ПЛПОЮБОЙС ДБООПЗП ЙФЕТБГЙПООПЗП РТПГЕУУБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

л ДПУФПЙОУФЧБН ЬФПЗП НЕФПДБ УМЕДХЕФ ПФОЕУФЙ РТПУФПФХ ЕЗП ТЕБМЙЪБГЙЙ Й ЧПЪНПЦОПУФШ ПВПВЭЕОЙС ОБ УЙУФЕНЩ ХТБЧОЕОЙК (УН. УМЕДХАЭЙК РБТБЗТБЖ), Б Л ОЕДПУФБФЛБН — ВПМЕЕ НЕДМЕООХА РП УТБЧОЕОЙА У НЕФПДПН оШАФПОБ УИПДЙНПУФШ.

нПДЙЖЙЛБГЙС НЕФПДБ оШАФПОБ ДМС УЙУФЕНЩ ДЧХИ ХТБЧОЕОЙК.

дМС ТЕЫЕОЙС УЙУФЕНЩ ЙЪ ДЧХИ ХТБЧОЕОЙК

ЙУРПМШЪХЕФУС УМЕДХАЭБС НПДЙЖЙЛБГЙС НЕФПДБ оШАФПОБ:

	(2.22)

ъбнеюбойе 2.7 1) ч ДБООПН НЕФПДЕ Ч ПФМЙЮЙЕ ПФ ЛМБУУЙЮЕУЛПЗП НЕФПДБ оШАФПОБ ПВТБФОХА НБФТЙГХ ФТЕВХЕФУС РПДУЮЙФЩЧБФШ ФПМШЛП ПДЙО ТБЪ.

2) хУМПЧЙЕ ПЛПОЮБОЙС ЙФЕТБГЙПООПЗП РТПГЕУУБ ЙНЕЕФ ЧЙД: || x (k+1) — x (k) || ≤ ε

📽️ Видео

4.2 Решение систем нелинейных уравнений. МетодыСкачать

Вычислительная математика. Лекция 4. Решение нелинейных уравнений и систем уравненийСкачать

Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Метод Ньютона | Лучший момент из фильма Двадцать одно 21Скачать

10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать

Метод Ньютона для решения нелинйеных уравнений в MS ExcelСкачать

Численный метод Ньютона в ExcelСкачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

10 Метод Ньютона (Метод касательных) C++ Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Метод Ньютона, или Извлечение квадратного корняСкачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать