Упрощение уравнений с дробями и корнями (6 видео)

Упрощение уравнений с дробями и корнями

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Сервис (своего рода программа для классов 5 и 7, 8, 9, 10, 11) позволяет упрощать математические выражения: алгебра (алгебраические выражения), тригонометрических выражений, выражения с корнями и другими степенями, сокращение дробей, также упрощает сложные буквенные выражения,
для упрощение комплексных выражений вам сюда(!)

Важно В выражениях переменные обозначаются ОДНОЙ буквой! Например, a, b, . z

Содержание

Где учитесь?
Упрощение выражений, содержащих корни и степени
Решение уравнений с дробями
Понятие дроби
Основные свойства дробей
Понятие уравнения
Понятие дробного уравнения
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
2. Метод избавления от дробей
Что еще важно учитывать при решении
Универсальный алгоритм решения
Примеры решения дробных уравнений
🎥 Видео

Видео:Преобразование выражений, содержащих кв. корни. Сокращение дробей. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Упрощение выражений, содержащих корни и степени

При упрощении выражений, содержащих корни и степени, прежде чем воспользоваться свойствами степени, полезно совершить такие предварительные действия:

1. Записать корни в виде степени. Для этого нужно воспользоваться следующим свойством:

2. Десятичную дробь записать в виде обыкновенной.

Например:

3. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Например:

4. Разложить основания степеней на простые множители. Или, по крайней мере, разложить на множители так, чтобы количество различных оснований было минимальным.

Решим несколько задач из Задания В11 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике , воспользовавшись этим правилом.

1 . Задание В10 ( 26745) Найдите значение выражения .

Запишем корни в виде степени и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:

Ответ: 1.

2 . Задание В10 ( 26748) Найдите значение выражения

Разложим число 10 в знаменателе дроби на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 5.

3 . Задание В10( 26749) Найдите значение выражения .

Представим число 0,8 в виде обыкновенной дроби, разложим число 20 на множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 20.

4 . Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения .

Разложим число 42 на множители и воспользуемся свойствами степеней.

Ответ: 42.

5 . Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения при 0″ title=»m>0″/>.

1. Запишем корни в виде степени:

2. Воспользуемся свойствами степени, получим:

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

обыкновенный вид — ½ или a/b,
десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.Скачать

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравненияСкачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Линейное уравнение выглядит так

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Квадратное уравнение выглядит так:

ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Алгебра 8. Урок 7 - Квадратный корень. Упрощение выраженийСкачать

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Решаем примеры на вычисление с квадратными корнями.Скачать

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

Область допустимых значений: х ≠ −2.
Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.