Упорядоченная пара чисел х у являющаяся решением каждого из уравнений входящих в систему

Решением системы уравнений с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел (x0; y0), являющуюся решением каждого из уравнений, входящих в систему.

Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что данная система не имеет решений. Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Системы, все уравнения которых однородные, называются однородными системами уравнений.

Методы решения систем уравнения. Два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки. 2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму: 1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную. 2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение. 3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно: 1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты. 2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной. 3. Решаем полученное линейное уравнение. Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение) x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения. x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x. 2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной. 2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки ) 6+20y+5y=1 25y=1-6 25y=-5 |: (25) y=-5:25 y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y. x=3+10y x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y. Ответ: (1; -0,2)

Видео:9 класс, 2 урок, Множества и операции над нимиСкачать

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

А. В качестве примера рассмотрим систему трех уравнений с двумя неизвестными х, у

Решением системы уравнений называется упорядоченная пара чисел (г; у), которая обращает каждое уравнение системы в числовое равенство (тождество). Проверка показывает, что упорядоченная пара (4; 3), т.е. х = 4, у = 3, является решением данной системы.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

Решить систему — это значит найти все ее решения или показать, что система не имеет решений (в этом случае ее называют несовместной).

Для решения систем линейных уравнений существуют разные приемы. Рассмотрим метод Гаусса, преобразующий данную систему в более простую. На первом шаге, сохранив неизменным первое (опорное) уравнение, используем его для преобразования второго и третьего уравнений таким образом, чтобы в них исчезло неизвестное х. С этой целью из второго уравнения вычитаем почленно первое уравнение, умноженное на 2, а из третьего — первое уравнение, умноженное на 4. Получаем:

(справа схематично указаны выполненные преобразования).

На втором шаге, используя в качестве опорного новое второе уравнение, преобразуем новое третье уравнение так, чтобы в нем исчезло у. Получаем:

Удалив последнее уравнение как тривиальное (0 = 0), получаем треугольную систему:

Из второго уравнения находим: у = 3. Подставив это значение в первое уравнение, получаем:

откуда х = 10-6 = 4.

Полученная упорядоченная пара (4; 3) уже была испытана в качестве решения. Теперь мы убедились в том, что это решение единственное.

Приведем еще несколько примеров.

Применяя метод Гаусса, преобразуем второе уравнение, вычитая из него первое уравнение, умноженное на 3:

Получили систему треугольного вида. Из последнего уравнения заключаем, что у = —1. Подставляя это значение в первое уравнение, находим хг.

Таким образом, найдено единственное решение системы:

Применяя метод Гаусса к системе:

После удаления второго (тривиального) уравнения остается одно уравнение с двумя неизвестными. В этом примере исходная система имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти общее решение системы, надо одно из неизвестных, главное, выразить через другое — свободное.

Пусть х — главное неизвестное, а у — свободное неизвестное. В этом случае общее решение системы записывается следующим образом:

Чтобы найти какое-нибудь частное решение следует свободному неизвестному придать определенное числовое значение. Например, полагая у = 1, находим х = 8. Таким образом, (8; 1) — частное решение системы.

Применив метод Гаусса к системе: получаем:

Полученное числовое «равенство» не удовлетворяется ни при каких значениях х и у. Поэтому решений у исходной системы нет и она является несовместной.

Рассмотренные три примера исчерпывают все принципиально различные случаи решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Применяя метод Гаусса к системе общего вида:

можно убедиться, что имеет место один из трех возможных исходов.

= — у то система имеет бесконечное мно-

2. Если — = — ф —, то система несовместна.

3. Если то система имеет единственное реше-

Б. Метод Гаусса позволяет решать системы и с большим числом уравнений и неизвестных. Приведем примеры систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решением системы уравнений с гремя неизвестными называется упорядоченная тройка чисел (х; у z), которая обращает каждое из уравнений системы в числовое равенство (тождество).

Полученная система имеет треугольный вид. Из последнего уравнения находим 2=1, затем из предпоследнего определяем

у = — 4 + 3 = — 1 и, наконец, из первого находим: * = 2-1 + 1= 2. Получили единственное решение: (2; -1; 1).

Поскольку третье соотношение в последней системе фактически является неравенством, то решений нет и исходная система уравнений несовместна.

После преобразований получаем трапецеидальный вид системы линейных уравнений. В этом случае система имеет бесконечное множество решений. Пусть z — свободное неизвестное, а х, у — главные неизвестные. Последовательно выражая главные неизвестные через свободные, найдем общее решение. Из второго уравнения получаем: у = 3z — 4; подставляя это выражение в первое уравнение, находим: x=2-y-z = 2-3z + 4- z = 6-4z. Таким образом, общее решение имеет вид:

Найдем одно их частных решений. Например, полагая 2=1, из общего решения находим: х = 2, у = -1. Таким образом, частное решение: (2; — 1; 1).

Рассмотренные три примера исчерпывают все принципиально возможные случаи решения систем трех линейных уравнений стремя неизвестными.

В. Вернемся к системе двух уравнений общего вида с двумя неизвестными:

и предположим, что коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:

В этом случае метод Гаусса гарантирует, что система уравнений имеет единственное решение. Получим формулы, определяющие это решение через коэффициенты и свободные члены данных уравнений.

Полагая, что а_л Ф 0, преобразуем второе уравнение:

Поскольку в силу предположения о непропорциональности коэффициентов имеем: аф₂ — Ь_<а₂ * 0 , то из второго уравнения у определяется однозначно:

Исходную систему уравнений можно преобразовать по- другому — так, что из преобразованного второго уравнения, не содержащего у, однозначно определяется х:

Для запоминания полученных формул используем важное в алгебре и ее приложениях понятие определителя.

Видео:Множества и операции над нимиСкачать

Презентация по математике «Решение систем уравнений с двумя и более переменными».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение систем уравнений с двумя и более переменными

Приготовились смотреть и слушать. Все возникшие в ходе просмотра презентации вопросы помечаем в тетради и готовимся их задать.

Понятие системы и совокупности уравнений Уравнения могут содержать несколько переменных. Например, х + у = 5 – уравнение с двумя переменными, х + у = z – уравнение с тремя переменными и т. д. Решением уравнения с двумя и более переменными называют упорядоченную пару или более значений переменных, обращающих это уравнение в истинное числовое равенство.

Пусть дано несколько уравнений. Говорят, что множество уравнений образуют систему, если ставится задача найти пересечение множеств решений заданных уравнений. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки.

Примеры систем уравнений: а)х + 3у = 9,б) х2 + у2 = 25, 2х – у = 4; х + 7у = 25; в)х + у + z = -2, х – у + 2z = -7, 2х + 3у – z = 1.

Определение Решением системы уравнений с двумя ( и более ) переменными называют упорядоченную пару ( множество пар ) чисел, являющуюся решением каждого из уравнений, входящих в систему.

Например, решением системы а) является упорядоченная пара ( 3; 2 ); решением системы б) — упорядоченная пара ( 4; 3 ); решением системы в) – упорядоченная тройка чисел ( -3; 2; -1 ). Решить систему уравнений – значит найти множество всех её решений. Оно также может быть пустым. Итак, решить систему уравнений – значит найти пересечение множеств решений уравнений, входящих в эту систему.

Для решения некоторых систем можно использовать графики уравнений. Рассмотрим систему двух линейных уравнений a1x + b1x = c1, a2x + b2x = c2. Графиками этих уравнений являются прямые (если хотя бы один из коэффициентов при переменных в каждом из них не равен нулю): если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение; если прямые параллельны, то система не имеет решений; если прямые совпадают, то множество решений бесконечно.

Для нахождения решений системы с помощью графиков уравнений поступают следующим образом: 1) строят графики каждого уравнения системы; 2) находят координаты точек пересечения построенных графиков ( если они пересекаются ); 3) записывают ответ.

Множество уравнений с двумя переменными образует совокупность, если нужно найти объединение множеств их решений. Для обозначения совокупности уравнений используется квадратная скобка у = 2х – 3, [ . Например, запись 3у + 2х = 1 совокупность двух уравнений. При записи совокупности в строчку используют логическую связку “или”. Например, у = 2х – 3 или 3у + 2х = 1.

Упорядоченная пара чисел, которая хотя бы одно из уравнений совокупности обращает в истинное числовое равенство, называется решением этой совокупности. Множество решений совокупности есть объединение множеств решений, входящих в неё уравнений.

Способы решений систем уравнений

Способ равносильных переходов и способ проверки. Метод подстановки 1. Способ равносильных переходов. В основе этого способа лежит понятие равносильности систем уравнений. Две системы уравнений на множестве Х называют равносильными, если множества их решений совпадают. Замену одной системы другой, равносильной первой, на множестве Х, называют равносильным переходом на множестве Х.

Утверждения о равносильных переходах от одной системы к другой: 1) Если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получится система, равносильная исходной. Например, системы уравнений у – х = 8, и у = х + 8, х2 + у = 14 х2 + у = 14 равносильны, т. к. уравнение у – х = 8 равносильно уравнению у = х + 8.

2) Если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получится система, равносильная исходной. Суммой двух уравнений f(x) = g(x) и h(x) = l(x) называется уравнение вида f(х) + h(х) = g(х) + l(х). Например, системы уравнений 2х + 3у = -8,и3х = 33, х – 3у = 41 х – 3у = 41 равносильны по данному утверждению.

3) Если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например х, через другие переменные, то, заменив в каждом другом уравнении системы переменную х на её выражение через другие переменные, получится система, равносильная исходной. Например, системы уравнений х = у – 1, и х = у – 1, у2 – х = 39 у2 – у + 1 = 39 Равносильны по данному утверждению.

2. Способ проверки. В основе способа лежит понятие следствия. Пусть даны две системы уравнений f1(x, y) = 0,(1) f2(x, y) = 0 g1(x, y) = 0,(2) g2(x, y) = 0. Систему (2) называют следствием системы (1), если каждое решение системы (1) является и решением системы (2).

Переход к системе-следствию записывается с помощью знака =>: f1(x, y) = 0, => g1(x, y) = 0, f2(x, y) = 0 g2(x, y) = 0 В этом случаи множество решений системы (2) может быть шире множества решений системы (1). Как правило, при решении систем переход от данной системе к её следствию происходит за счёт того, что одно из уравнений исходной системы заменяется его следствием. Посторонние решения, которые могут при этом появляться, исключают, выполняя проверку.

Важным способом решения систем уравнений является метод подстановки, основанный на равносильном переходе: y = f(x), y = f(x), g(x; y) = 0g(x; f(x)) = 0

Пример. Решим систему уравнений х – у = 1, х2 – у2 = ху – 1. Решение. Из первого уравнения находим х = у + 1. Подставив выражение у + 1 во второе уравнение системы, получим уравнение (у + 1)2 – у2 = (у + 1)у – 1, далее имеем: у2 + 2у + 1 – у2 = у2 + у — 1, у2 – у – 2 = 0, откуда у = 2 или у = -1. Соответствующие значения х найдём из уравнения х = у + 1. Если у = 2, то х = 3; если у = -1, то х = 0. Ответ: .

Для решения системы уравнений с двумя переменными методом подстановки поступают следующим образом: 1) выражают из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую; 2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение; 3) решают получившееся уравнение с одной переменной; 4) находят соответствующие значения второй переменной; 5) записывают ответ.

Метод алгебраического сложения Ещё одним важным методом решения систем уравнений является метод сложения, основанный на следующем утверждении: если одно из уравнений системы оставить без изменения, а другое заменить суммой уравнений системы, то получится система, равносильная данной.

Пример. Решим систему уравнений 2х – у — ху = 14, х + 2у + ху = -7. Решение. Сложив почленно левые и правые части уравнений и оставив первое уравнение системы, получим более простую систему, равносильную данной: 2х – у — ху = 14, 3х + у = 7. Решив эту систему методом подстановки, найдём решение исходной системы . Ответ: .

Для решения системы уравнений с двумя переменными методом алгебраического сложения поступают следующим образом: 1) обе части первого уравнения на некоторый множитель, обе части второго уравнения умножают на другой множитель (если это требуется). Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами; 2) уравнения почленно складывают и решают полученное уравнение с одной переменной; 3) вторую переменную находят подстановкой найденного значения первой переменной в одно из уравнений системы; 4) записывают множество решений системы.

Метод введения новых переменных Сущность этого метода решения систем уравнений раскрывается на конкретном примере. Пример. Решим систему уравнений (х + у)² — 2(х + у) – 15 = 0, ху = 6. Решение. Пусть х + у = а, тогда первое уравнение системы примет вид а² — 2а – 15 = 0, откуда находим: а = -3 или а = 5.

Значит, первое уравнение системы равносильно совокупности двух уравнений: х + у = -3 или х + у = 5. Соответственно исходная система равносильна совокупности систем: х + у = -3, или х + у = 5, ху = 6 ху = 6. Каждую из систем можно решить, например, методом подстановки. Заметим, что первая система не имеет решений. Ответ: .

Метод Гаусса Линейным уравнением с тремя переменными х, у, z называется уравнение вида ах + bу + сz = d,(1) где а, b, с, d – некоторые числа. Напомним, что решением уравнения (1) является упорядоченная тройка чисел (х0,у0,z0), обращающая это уравнение в верное числовое равенство.

Например, решением уравнения 2х + у + z = 13 является упорядоченная тройка чисел х = 1, у = 2, z = 3, а также можно записать как (1; 2; 3). При нахождении решений систем линейных уравнений с тремя переменными удобно пользоваться методом последовательного исключения переменных, который также называют методом Гаусса. Раскроем его сущность на конкретном примере.

Пример. Решим систему линейных уравнений х + 2у – z = 7, 2х – у + z = 2, -3х +5у — 2z = 7. Решение. Умножим первое уравнение системы на -2 и сложим его почленно со вторым уравнением. Затем первое уравнение системы умножим на 3 и сложим его почленно с третьим уравнением.

Получим равносильную исходной систему, в которой переменная х будет исключена из второго и третьего уравнений х + 2у + z = 7, -5у + 3z = -12, 11у — 5z = 28. Разделим почленно второе уравнение на -5 и получим у – 0,6z = 2,4 – уравнение с коэффициентом 1 при переменной у.

Прибавив почленно это уравнение, умноженное на -11, к третьему уравнению системы (2) и решив полученное уравнение, имеем z = 1. В результате преобразований получили систему х + 2у – z = 7, у – 0,6z = 2,4, z = 1. Такая система легко решается: z = 1, у = 2,4 + 0,6z = 3, х = 7 + z – 2у = 2. Ответ: .

Итак, система линейных уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечно много решений.

Какие возникли вопросы?

Краткое описание документа:

Решение систем уравнений различными способами. Презентация позволит учащимся расширить свои знания по методам решения систем уравнений, даст возможность обратиться к этим методам в любое время, открыв презентацию на своём ПК, ноутбуке или планшете. Рассмотренные примеры решения систем с тремя и более неизвестными расширяют базовый уровень знаний учащихся. Возможно применение предлагаемой разработки на факультативных занятиях и занятиях математического кружка.

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 710 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 859 человек из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

• Сейчас обучается 48 человек из 21 региона

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

• Для всех учеников 1-11 классов
  и дошкольников
• Интересные задания
  по 16 предметам

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 848 801 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е.

21. Другие способы решения систем уравнений с двумя переменными

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

• 05.10.2019
• 361
• 0

• 01.10.2019
• 3618
• 0

• 01.10.2019
• 201
• 3

• 01.10.2019
• 1717
• 59

• 29.09.2019
• 355
• 1

• 28.09.2019
• 183
• 1

• 28.09.2019
• 3976
• 2

• 26.09.2019
• 371
• 6

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 08.10.2019 640
• PPTX 6.6 мбайт
• 8 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Синявский Виктор Иванович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года
• Подписчики: 65
• Всего просмотров: 4815
• Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Решение неравенства методом интерваловСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В каждом округе Москвы появятся школьные службы примирения

Время чтения: 3 минуты

В Госдуму внесли законопроект о возможности повторной сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

В России выросло число детей с ОВЗ, поступающих в колледжи

Время чтения: 1 минута

25% школ выбрали компьютерный формат проведения ВПР

Время чтения: 1 минута

Роспотребнадзор сообщил об опасности размещения вышек сотовой связи на территории школ

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения предлагает изменить форму для проведения ВОШ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

💡 Видео

Множество. Элементы множества. 5 класс.Скачать

ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

ОВР и Метод Электронного Баланса — Быстрая Подготовка к ЕГЭ по ХимииСкачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.Скачать

Матлогика 4. Алгебра множеств. Пара.Скачать

Графический способ решения систем уравнений | Алгебра 9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Техническая механика/ Определение равнодействующей. Плоская система сходящихся сил.Скачать

Пересечение и объединение множеств. Алгебра, 8 классСкачать

Как решать системы уравнений. Метод подстановки. Метод сложения Графический метод Алгебра 7 класс #5Скачать

A.2.7 МножестваСкачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Упорядоченные множества, перестановкиСкачать

Алгебра, 9 класс | Системы: однородные и симметрическиеСкачать

Математическое моделирование - 9 класс алгебра. Решение задач с помощью уравненийСкачать

14. Операционное исчисление. Система ДУСкачать

Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать