Укажите все верные утверждения.
Квадратное уравнение может не иметь корней.
Если дискриминант квадратного уравнения неотрицателен, то уравнение имеет два корня.
Квадратное уравнение имеет два корня.
Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта.
Квадратное уравнение имеет не более двух действительных корней.
Вычислите дискриминанты квадратных уравнений и распределите уравнения по группам.
Два корня
Один корень
Нет корней
К каждому уравнению подберите подходящую подпись.
Укажите правильный ответ.
Найдите корни уравнения 
.
Установите соответствие между квадратными уравнениями и их решениями.
Впишите верный ответ.
Решите уравнение 
.
Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму корней.
Укажите верное утверждение.
Впишите верный ответ.
При каких значениях t равны значения многочленов 
и 
?
В ответе укажите наименьшее значение t.
Видео:ЕГЭ по математике // Задание 5, 7 // Неполное квадратное уравнениеСкачать
Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.
теория по математике 📈 уравнения
Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Дискриминант
Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).
Нахождение корней квадратного уравнения
Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:
D=b 2 –4ac
- Если D>0, то уравнение имеет два различных
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Пример №1. Решить уравнение х 2 –2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b 2 –4ac=(–2) 2 –41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:
Пример №2. Решить уравнение 5х 2 +2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b 2 –4ac=2 2 –4=4–20=–16, D 2 –6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.
D=b 2 –4ac=(–6) 2 –4=36–36=0, D=0, 1
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Теорема Виета
Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.
Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.
Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.
Пример №4. Решить уравнение х 2 –10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:
Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.
Пример №5. Решить уравнение: х 2 +5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:
Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:
Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный корень, что усложняет нам задачу для нахождения его корней, в том плане, что необходимо увидеть, какие же ограничения на переменную х здесь будут.
Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного корня): ограничение на х: 5 − х ≥ 0
Решаем полученное неравенство: − х ≥ − 5 , отсюда х ≤ 5 . Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.
Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):
х 2 − 2 х + √ 5 − х − √ 5 − х − 24 = 0
Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:
х 2 − 2 х − 24 = 0
Итак, корнями уравнения х 2 − 2 х − 24 = 0 будут числа -4 и 6.
Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 н е ≤ 5 , а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как − 4 ≤ 5 .
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение – уравнение вида , где
Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.
Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.
Дискриминант квадратного уравнения: .
Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .
Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .
В этом уравнении , , .
Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.
В этом уравнении .
Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.
Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.
Уравнение имеет единственный корень .
В этом уравнении .
Дискриминант уравнения равен .
Дискриминант уравнения равен > 0.
Уравнение имеет два корня.
Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.
Если и – корни уравнения , то , .
Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .
Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.
Неполные квадратные уравнения
Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.
1) Рассмотрим уравнение .
В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.
2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.
Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
3) Вот похожее уравнение:
.
Поскольку , уравнение можно записать в виде:
4) Пусть теперь не равно нулю и .
Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Разложение квадратного трехчлена на множители
Здесь и – корни квадратного уравнения .
Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.
Например, наше уравнение
.
Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.
1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».
Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.
Дискриминант этого уравнения равен
.
2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?
Вот, например, уравнение
.
Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:
Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.
3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.
Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:
🎥 Видео
Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Квадратное уравнение. Как решить? | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать
182-183 Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший.Скачать
Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать
МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?Скачать
Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать
ЕГЭ по математике // Задание 5, 7 // Квадратное уравнениеСкачать
Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
ЗАДАНИЕ 5| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Решите уравнение (6+5x)^1/2=-x. Если уравнение имеет более одного корня, в отСкачать
Теорема Виета. 8 класс.Скачать
Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать
Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать
Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать
Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать
