Угловой коэффициент регрессии и коэффициент корреляции r связаны следующим уравнением

Линейное уравнение регрессии имеет вид y=bx+a+ε
Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε_i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид:

10a + 356b = 49
356a + 2135b = 9485

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 68.16, a = 11.17

Уравнение регрессии:
y = 68.16 x — 11.17

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 Y фактором X весьма высокая и прямая.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 68.16 x -11.17
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент уравнения регрессии показывает, на сколько ед. изменится результат при изменении фактора на 1 ед.
Коэффициент b = 68.16 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у ) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 68.16.
Коэффициент a = -11.17 формально показывает прогнозируемый уровень у , но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений x , то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения x , можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и x определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе — обратная). В нашем примере связь прямая.

1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета — коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:

Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами — Х существенно влияет на Y.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего Y на 0.9796 среднеквадратичного отклонения этого показателя.

1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

1.6. Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.98 2 = 0.9596, т.е. в 95.96 % случаев изменения x приводят к изменению у . Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая. Остальные 4.04 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=7 находим t_крит:
t_крит = (7;0.05) = 1.895
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим
В парной линейной регрессии t 2 _r = t 2 _b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S 2 _y = 94.6484 — необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
S_y = 9.7287 — стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S _a — стандартное отклонение случайной величины a.

S_b — стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя. (a + bx_p ± ε) где
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X _p = 1 (-11.17 + 68.16*1 ± 6.4554)
(50.53;63.44)
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bx _i ± ε)
где

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости α=0.05.
t_крит = (7;0.05) = 1.895

Поскольку 12.8866 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 2.0914 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b — t_крит S_b; b + t_крит S_b)
(68.1618 — 1.895 • 5.2894; 68.1618 + 1.895 • 5.2894)
(58.1385;78.1852)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
(a — t_a)
(-11.1744 — 1.895 • 5.3429; -11.1744 + 1.895 • 5.3429)
(-21.2992;-1.0496)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с lang=EN-US>n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=7, Fkp = 5.59
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Проверка на наличие автокорреляции остатков.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

Обнаружение автокорреляции

1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения e_i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения e_i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости e_i от e_i-1.

Видео:Как вычислить линейный коэффициент корреляции в MS Excel и построить уравнение регрессии?Скачать

Основы линейной регрессии

Видео:Математика #1 | Корреляция и регрессияСкачать

Что такое регрессия?

Разместим точки на двумерном графике рассеяния и скажем, что мы имеем линейное соотношение, если данные аппроксимируются прямой линией.

Если мы полагаем, что y зависит от x, причём изменения в y вызываются именно изменениями в x, мы можем определить линию регрессии (регрессия y на x), которая лучше всего описывает прямолинейное соотношение между этими двумя переменными.

Статистическое использование слова «регрессия» исходит из явления, известного как регрессия к среднему, приписываемого сэру Френсису Гальтону (1889).

Он показал, что, хотя высокие отцы имеют тенденцию иметь высоких сыновей, средний рост сыновей меньше, чем у их высоких отцов. Средний рост сыновей «регрессировал» и «двигался вспять» к среднему росту всех отцов в популяции. Таким образом, в среднем высокие отцы имеют более низких (но всё-таки высоких) сыновей, а низкие отцы имеют сыновей более высоких (но всё-таки довольно низких).

Видео:Корреляция: коэффициенты Пирсона и Спирмена, линейная регрессияСкачать

Линия регрессии

Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

x называется независимой переменной или предиктором.

Y – зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x, т.е. это «предсказанное значение y»

• a – свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y, когда x=0 (Рис.1).
• b – угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
• a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b.

Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия.

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Видео:Эконометрика. Оценка значимости уравнения регрессии. Критерий ФишераСкачать

Метод наименьших квадратов

Мы выполняем регрессионный анализ, используя выборку наблюдений, где a и b – выборочные оценки истинных (генеральных) параметров, α и β , которые определяют линию линейной регрессии в популяции (генеральной совокупности).

Наиболее простым методом определения коэффициентов a и b является метод наименьших квадратов (МНК).

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y – предсказанный y, Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

Видео:08 06 Корреляция и регрессияСкачать

Предположения линейной регрессии

Итак, для каждой наблюдаемой величины остаток равен разнице и соответствующего предсказанного Каждый остаток может быть положительным или отрицательным.

Можно использовать остатки для проверки следующих предположений, лежащих в основе линейной регрессии:

• Между и существует линейное соотношение: для любых пар данные должны аппроксимировать прямую линию. Если нанести на двумерный график остатки, то мы должны наблюдать случайное рассеяние точек, а не какую-либо систематическую картину.

• Остатки нормально распределены с нулевым средним значением;

• Остатки имеют одну и ту же вариабельность (постоянную дисперсию) для всех предсказанных величин Если нанести остатки против предсказанных величин от мы должны наблюдать случайное рассеяние точек. Если график рассеяния остатков увеличивается или уменьшается с увеличением то это допущение не выполняется;

Если допущения линейности, нормальности и/или постоянной дисперсии сомнительны, мы можем преобразовать или и рассчитать новую линию регрессии, для которой эти допущения удовлетворяются (например, использовать логарифмическое преобразование или др.).

Видео:Эконометрика. Оценка значимости параметров уравнения регрессии. Критерий Стьюдента.Скачать

Аномальные значения (выбросы) и точки влияния

«Влиятельное» наблюдение, если оно опущено, изменяет одну или больше оценок параметров модели (т.е. угловой коэффициент или свободный член).

Выброс (наблюдение, которое противоречит большинству значений в наборе данных) может быть «влиятельным» наблюдением и может хорошо обнаруживаться визуально, при осмотре двумерной диаграммы рассеяния или графика остатков.

И для выбросов, и для «влиятельных» наблюдений (точек) используют модели, как с их включением, так и без них, обращают внимание на изменение оценки (коэффициентов регрессии).

При проведении анализа не стоит отбрасывать выбросы или точки влияния автоматически, поскольку простое игнорирование может повлиять на полученные результаты. Всегда изучайте причины появления этих выбросов и анализируйте их.

Видео:Коэффициент корреляции Пирсона в ExcelСкачать

Гипотеза линейной регрессии

При построении линейной регрессии проверяется нулевая гипотеза о том, что генеральный угловой коэффициент линии регрессии β равен нулю.

Если угловой коэффициент линии равен нулю, между и нет линейного соотношения: изменение не влияет на

Для тестирования нулевой гипотезы о том, что истинный угловой коэффициент равен нулю можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Вычислить статистику критерия, равную отношению , которая подчиняется распределению с степенями свободы, где стандартная ошибка коэффициента

,

— оценка дисперсии остатков.

Обычно если достигнутый уровень значимости нулевая гипотеза отклоняется.

Можно рассчитать 95% доверительный интервал для генерального углового коэффициента :

где процентная точка распределения со степенями свободы что дает вероятность двустороннего критерия

Это тот интервал, который содержит генеральный угловой коэффициент с вероятностью 95%.

Для больших выборок, скажем, мы можем аппроксимировать значением 1,96 (то есть статистика критерия будет стремиться к нормальному распределению)

Видео:Эконометрика Линейная регрессия и корреляцияСкачать

Оценка качества линейной регрессии: коэффициент детерминации R 2

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется , и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.

Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.

Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации, обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.

Разность представляет собой процент дисперсии который нельзя объяснить регрессией.

Нет формального теста для оценки мы вынуждены положиться на субъективное суждение, чтобы определить качество подгонки линии регрессии.

Видео:КОРРЕЛЯЦИЯ Спирмена Пирсона Кенделла | АНАЛИЗ ДАННЫХ #12Скачать

Применение линии регрессии для прогноза

Можно применять регрессионную линию для прогнозирования значения по значению в пределе наблюдаемого диапазона (никогда не экстраполируйте вне этих пределов).

Мы предсказываем среднюю величину для наблюдаемых, которые имеют определенное значение путем подстановки этого значения в уравнение линии регрессии.

Итак, если прогнозируем как Используем эту предсказанную величину и ее стандартную ошибку, чтобы оценить доверительный интервал для истинной средней величины в популяции.

Повторение этой процедуры для различных величин позволяет построить доверительные границы для этой линии. Это полоса или область, которая содержит истинную линию, например, с 95% доверительной вероятностью.

Подобным образом можно рассчитать более широкую область, внутри которой, как мы ожидаем, лежит наибольшее число (обычно 95%) наблюдений.

Видео:Коэффициент корреляции. Статистическая значимостьСкачать

Простые регрессионные планы

Простые регрессионные планы содержат один непрерывный предиктор. Если существует 3 наблюдения со значениями предиктора P , например, 7, 4 и 9, а план включает эффект первого порядка P , то матрица плана X будет иметь вид

а регрессионное уравнение с использованием P для X1 выглядит как

Если простой регрессионный план содержит эффект высшего порядка для P , например квадратичный эффект, то значения в столбце X1 в матрице плана будут возведены во вторую степень:

а уравнение примет вид

Y = b 0 + b 1 P 2

Сигма -ограниченные и сверхпараметризованные методы кодирования не применяются по отношению к простым регрессионным планам и другим планам, содержащим только непрерывные предикторы (поскольку, просто не существует категориальных предикторов). Независимо от выбранного метода кодирования, значения непрерывных переменных увеличиваются в соответствующей степени и используются как значения для переменных X . При этом перекодировка не выполняется. Кроме того, при описании регрессионных планов можно опустить рассмотрение матрицы плана X , а работать только с регрессионным уравнением.

Видео:Как вычислить линейный коэффициент корреляции по таблице? Корреляционное поле и прямая регрессииСкачать

Пример: простой регрессионный анализ

Этот пример использует данные, представленные в таблице:

Рис. 3. Таблица исходных данных.

Данные составлены на основе сравнения переписей 1960 и 1970 в произвольно выбранных 30 округах. Названия округов представлены в виде имен наблюдений. Информация относительно каждой переменной представлена ниже:

Рис. 4. Таблица спецификаций переменных.

Задача исследования

Для этого примера будут анализироваться корреляция уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, которые находятся за чертой бедности. Следовательно мы будем трактовать переменную 3 ( Pt_Poor ) как зависимую переменную.

Можно выдвинуть гипотезу: изменение численности населения и процент семей, которые находятся за чертой бедности, связаны между собой. Кажется разумным ожидать, что бедность ведет к оттоку населения, следовательно, здесь будет отрицательная корреляция между процентом людей за чертой бедности и изменением численности населения. Следовательно мы будем трактовать переменную 1 ( Pop_Chng ) как переменную-предиктор.

Просмотр результатов

Коэффициенты регрессии

Рис. 5. Коэффициенты регрессии Pt_Poor на Pop_Chng.

На пересечении строки Pop_Chng и столбца Парам. не стандартизованный коэффициент для регрессии Pt_Poor на Pop_Chng равен -0.40374 . Это означает, что для каждого уменьшения численности населения на единицу, имеется увеличение уровня бедности на .40374. Верхний и нижний (по умолчанию) 95% доверительные пределы для этого не стандартизованного коэффициента не включают ноль, так что коэффициент регрессии значим на уровне p . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на .65.

Распределение переменных

Коэффициенты корреляции могут стать существенно завышены или занижены, если в данных присутствуют большие выбросы. Изучим распределение зависимой переменной Pt_Poor по округам. Для этого построим гистограмму переменной Pt_Poor .

Рис. 6. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Как вы можете заметить, распределение этой переменной заметно отличается от нормального распределения. Тем не менее, хотя даже два округа (два правых столбца) имеют высокий процент семей, которые находятся за чертой бедности, чем ожидалось в случае нормального распределения, кажется, что они находятся «внутри диапазона.»

Рис. 7. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Это суждение в некоторой степени субъективно. Эмпирическое правило гласит, что выбросы необходимо учитывать, если наблюдение (или наблюдения) не попадают в интервал (среднее ± 3 умноженное на стандартное отклонение). В этом случае стоит повторить анализ с выбросами и без, чтобы убедиться, что они не оказывают серьезного эффекта на корреляцию между членами совокупности.

Диаграмма рассеяния

Если одна из гипотез априори о взаимосвязи между заданными переменными, то ее полезно проверить на графике соответствующей диаграммы рассеяния.

Рис. 8. Диаграмма рассеяния.

Диаграмма рассеяния показывает явную отрицательную корреляцию ( -.65 ) между двумя переменными. На ней также показан 95% доверительный интервал для линии регрессии, т.е., с 95% вероятностью линия регрессии проходит между двумя пунктирными кривыми.

Критерии значимости

Рис. 9. Таблица, содержащая критерии значимости.

Критерий для коэффициента регрессии Pop_Chng подтверждает, что Pop_Chng сильно связано с Pt_Poor , p .

На этом примере было показано, как проанализировать простой регрессионный план. Была также представлена интерпретация не стандартизованных и стандартизованных коэффициентов регрессии. Обсуждена важность изучения распределения откликов зависимой переменной, продемонстрирована техника определения направления и силы взаимосвязи между предиктором и зависимой переменной.

Видео:РегрессияСкачать

Python, корреляция и регрессия: часть 2

Предыдущий пост см. здесь.

Видео:Эконометрика. Множественная регрессия и корреляция.Скачать

Регрессия

Хотя, возможно, и полезно знать, что две переменные коррелируют, мы не можем использовать лишь одну эту информацию для предсказания веса олимпийских пловцов при наличии данных об их росте или наоборот. При установлении корреляции мы измерили силу и знак связи, но не наклон, т.е. угловой коэффициент. Для генерирования предсказания необходимо знать ожидаемый темп изменения одной переменной при заданном единичном изменении в другой.

Мы хотели бы вывести уравнение, связывающее конкретную величину одной переменной, так называемой независимой переменной, с ожидаемым значением другой, зависимой переменной. Например, если наше линейное уравнение предсказывает вес при заданном росте, то рост является нашей независимой переменной, а вес — зависимой.

Описываемые этими уравнениями линии называются линиями регрессии . Этот Термин был введен британским эрудитом 19-ого века сэром Фрэнсисом Гэлтоном. Он и его студент Карл Пирсон, который вывел коэффициент корреляции, в 19-ом веке разработали большое количество методов, применяемых для изучения линейных связей, которые коллективно стали известны как методы регрессионного анализа.

Вспомним, что из корреляции не следует причинная обусловленность, причем термины «зависимый» и «независимый» не означают никакой неявной причинной обусловленности. Они представляют собой всего лишь имена для входных и выходных математических значений. Классическим примером является крайне положительная корреляция между числом отправленных на тушение пожара пожарных машин и нанесенным пожаром ущербом. Безусловно, отправка пожарных машин на тушение пожара сама по себе не наносит ущерб. Никто не будет советовать сократить число машин, отправляемых на тушение пожара, как способ уменьшения ущерба. В подобных ситуациях мы должны искать дополнительную переменную, которая была бы связана с другими переменными причинной связью и объясняла корреляцию между ними. В данном примере это может быть размер пожара. Такие скрытые причины называются спутывающими переменными, потому что они искажают нашу возможность определять связь между зависимыми переменными.

Видео:Множественный и частные коэффициенты корреляцииСкачать

Линейные уравнения

Две переменные, которые мы можем обозначить как x и y, могут быть связаны друг с другом строго или нестрого. Самая простая связь между независимой переменной x и зависимой переменной y является прямолинейной, которая выражается следующей формулой:

Здесь значения параметров a и b определяют соответственно точную высоту и крутизну прямой. Параметр a называется пересечением с вертикальной осью или константой, а b — градиентом, наклоном линии или угловым коэффициентом. Например, в соотнесенности между температурными шкалами по Цельсию и по Фаренгейту a = 32 и b = 1.8. Подставив в наше уравнение значения a и b, получим:

Для вычисления 10°С по Фаренгейту мы вместо x подставляем 10:

Таким образом, наше уравнение сообщает, что 10°С равно 50°F, и это действительно так. Используя Python и возможности визуализации pandas, мы можем легко написать функцию, которая переводит градусы из Цельсия в градусы Фаренгейта и выводит результат на график:

Этот пример сгенерирует следующий ниже линейный график:

Обратите внимание, как синяя линия пересекает 0 на шкале Цельсия при величине 32 на шкале Фаренгейта. Пересечение a — это значение y, при котором значение x равно 0.

Наклон линии с неким угловым коэффициентом определяется параметром b; в этом уравнении его значение близко к 2. Как видно, диапазон шкалы Фаренгейта почти вдвое шире диапазона шкалы Цельсия. Другими словами, прямая устремляется вверх по вертикали почти вдвое быстрее, чем по горизонтали.

Видео:Парная регрессия: линейная зависимостьСкачать

Остатки

К сожалению, немногие связи столь же чистые, как перевод между градусами Цельсия и Фаренгейта. Прямолинейное уравнение редко позволяет нам определять y строго в терминах x. Как правило, будет иметься ошибка, и, таким образом, уравнение примет следующий вид:

Здесь, ε — это ошибка или остаточный член, обозначающий расхождение между значением, вычисленным параметрами a и b для данного значения x и фактическим значением y. Если предсказанное значение y — это ŷ, то ошибка — это разность между обоими:

Такая ошибка называется остатком. Остаток может возникать из-за случайных факторов, таких как погрешность измерения, либо неслучайных факторов, которые неизвестны. Например, если мы пытаемся предсказать вес как функцию роста, то неизвестные факторы могут состоять из диеты, уровня физической подготовки и типа телосложения (либо просто эффекта округления до самого близкого килограмма).

Если для a и b мы выберем неидеальные параметры, то остаток для каждого x будет больше, чем нужно. Из этого следует, что параметры, которые мы бы хотели найти, должны минимизировать остатки во всех значениях x и y.

Обычные наименьшие квадраты

Для того, чтобы оптимизировать параметры линейной модели, мы бы хотели создать функцию стоимости, так называемую функцией потери, которая количественно выражает то, насколько близко наши предсказания укладывается в данные. Мы не можем просто взять и просуммировать положительные и отрицательные остатки, потому что даже самые большие остатки обнулят друг друга, если их знаки противоположны.

Прежде, чем вычислить сумму, мы можем возвести значения в квадрат, чтобы положительные и отрицательные остатки учитывались в стоимости. Возведение в квадрат также создает эффект наложения большего штрафа на большие ошибки, чем на меньшие ошибки, но не настолько много, чтобы самый большой остаток всегда доминировал.

Выражаясь в терминах задачи оптимизации, мы стремимся выявить коэффициенты, которые минимизируют сумму квадратов остатков. Этот метод называется обычными наименьшими квадратами, от англ. Ordinary Least Squares (OLS), и формула для вычисления наклона линии регрессии по указанному методу выглядит так:

Хотя она выглядит сложнее предыдущих уравнений, на самом деле, эта формула представляет собой всего лишь сумму квадратов остатков, деленную на сумму квадратов отклонений от среднего значения. В данном уравнении используется несколько членов из других уравнений, которые уже рассматривались, и мы можем его упростить, приведя к следующему виду:

Пересечение (a) — это член, позволяющий прямой с заданным наклоном проходить через среднее значение X и Y:

Значения a и b — это коэффициенты, получаемые в результате оценки методом обычных наименьших квадратов.

Видео:Коэффициент корреляции ПирсонаСкачать

Наклон и пересечение

Мы уже рассматривали функции covariance , variance и mean , которые нужны для вычисления наклона прямой и точки пересечения для данных роста и веса пловцов. Поэтому вычисление наклона и пересечения имеют тривиальный вид:

В результате будет получен наклон приблизительно 0.0143 и пересечение приблизительно 1.6910.

Видео:Коэффициент корреляции, уравнение прямой регрессии, элементы математической статистикиСкачать

Интерпретация

Величина пересечения — это значение зависимой переменной (логарифмический вес), когда независимая переменная (рост) равна нулю. Для получения этого значения в килограммах мы можем воспользоваться функцией np.exp , обратной для функции np.log . Наша модель дает основания предполагать, что вероятнее всего вес олимпийского пловца с нулевым ростом будет 5.42 кг. Разумеется, такое предположение лишено всякого смысла, к тому же экстраполяция за пределы границ тренировочных данных является не самым разумным решением.

Величина наклона показывает, насколько y изменяется для каждой единицы изменения в x. Модель исходит из того, что каждый дополнительный сантиметр роста прибавляет в среднем 1.014 кг. веса олимпийских пловцов. Поскольку наша модель основывается на данных о всех олимпийских пловцах, она представляет собой усредненный эффект от увеличения в росте на единицу без учета любого другого фактора, такого как возраст, пол или тип телосложения.

Видео:Коэффициент корреляции ПирсонаСкачать

Визуализация

Результат линейного уравнения можно визуализировать при помощи имплементированной ранее функции regression_line и простой функции от x, которая вычисляет ŷ на основе коэффициентов a и b.

Функция regression_line возвращает функцию от x, которая вычисляет a + bx.

Указанная функция может также использоваться для вычисления каждого остатка, показывая степень, с которой наша оценка ŷ отклоняется от каждого измеренного значения y.

График остатков — это график, который показывает остатки на оси Y и независимую переменную на оси X. Если точки на графике остатков разбросаны произвольно по обе стороны от горизонтальной оси, то линейная модель хорошо подогнана к нашим данным:

За исключением нескольких выбросов на левой стороне графика, график остатков, по-видимому, показывает, что линейная модель хорошо подогнана к данным. Построение графика остатков имеет важное значение для получения подтверждения, что линейная модель применима. В линейной модели используются некоторые допущения относительно данных, которые при их нарушении делают не валидными модели, которые вы строите.

Видео:Простые показатели качества модели регрессии (R2, критерии Акаике и Шварца)Скачать

Допущения

Первостепенное допущение линейной регрессии состоит в том, что, безусловно, существует линейная зависимость между зависимой и независимой переменной. Кроме того, остатки не должны коррелировать друг с другом либо с независимой переменной. Другими словами, мы ожидаем, что ошибки будут иметь нулевое среднее и постоянную дисперсию по отношению к зависимой и независимой переменной. График остатков позволяет быстро устанавливать, является ли это действительно так.

Левая сторона нашего графика имеет более крупные значения остатков, чем правая сторона. Это соответствует большей дисперсии веса среди более низкорослых спортсменов. Когда дисперсия одной переменной изменяется относительно другой, говорят, что переменные гетероскедастичны, т.е. их дисперсия неоднородна. Этот факт представляет в регрессионном анализе проблему, потому что делает не валидным допущение в том, что модельные ошибки не коррелируют и нормально распределены, и что их дисперсии не варьируются вместе с моделируемыми эффектами.

Гетероскедастичность остатков здесь довольно мала и особо не должна повлиять на качество нашей модели. Если дисперсия на левой стороне графика была бы более выраженной, то она привела бы к неправильной оценке дисперсии методом наименьших квадратов, что в свою очередь повлияло бы на выводы, которые мы делаем, основываясь на стандартной ошибке.

Видео:Парная нелинейная регрессияСкачать

Качество подгонки и R-квадрат

Хотя из графика остатков видно, что линейная модель хорошо вписывается в данные, т.е. хорошо к ним подогнана, было бы желательно количественно измерить качество этой подгонки. Коэффициент детерминации R 2 , или R-квадрат, варьируется в интервале между 0 и 1 и обозначает объяснительную мощность линейной регрессионной модели. Он вычисляет объясненную долю изменчивости в зависимой переменной.

Обычно, чем ближе R 2 к 1, тем лучше линия регрессии подогнана к точкам данных и больше изменчивости в Y объясняется независимой переменной X. R 2 можно вычислить с помощью следующей ниже формулы:

Здесь var(ε) — это дисперсия остатков и var(Y) — дисперсия в Y. В целях понимания смысла этой формулы допустим, что вы пытаетесь угадать чей-то вес. Если вам больше ничего неизвестно об испытуемых, то наилучшей стратегией будет угадывать среднее значение весовых данных внутри популяции в целом. Таким путем средневзвешенная квадратичная ошибка вашей догадки в сравнении с истинным весом будет var(Y), т.е. дисперсией данных веса в популяции.

Но если бы я сообщил вам их рост, то в соответствии с регрессионной моделью вы бы предположили, что a + bx. В этом случае вашей средневзвешенной квадратичной ошибкой было бы или дисперсия остатков модели.

Компонент формулы var(ε)/var(Y) — это соотношение средневзвешенной квадратичной ошибки с объяснительной переменной и без нее, т. е. доля изменчивости, оставленная моделью без объяснения. Дополнение R 2 до единицы — это доля изменчивости, объясненная моделью.

Как и в случае с r , низкий R 2 не означает, что две переменные не коррелированы. Просто может оказаться, что их связь не является линейной.

Значение R 2 описывает качество подгонки линии регрессии к данным. Оптимально подогнанная линия — это линия, которая минимизирует значение R 2 . По мере удаления либо приближения от своих оптимальных значений R 2 всегда будет расти.

Левый график показывает дисперсию модели, которая всегда угадывает среднее значение для , правый же показывает меньшие по размеру квадраты, связанные с остатками, которые остались необъясненными моделью f. С чисто геометрической точки зрения можно увидеть, как модель объяснила большинство дисперсии в y. Приведенный ниже пример вычисляет R 2 путем деления дисперсии остатков на дисперсию значений y:

В результате получим значение 0.753. Другими словами, более 75% дисперсии веса пловцов, выступавших на Олимпийских играх 2012 г., можно объяснить ростом.

В случае простой регрессионной модели (с одной независимой переменной), связь между коэффициентом детерминации R 2 и коэффициентом корреляции r является прямолинейной:

Коэффициент корреляции r может означать, что половина изменчивости в переменной Y объясняется переменной X, но фактически R 2 составит 0.5 2 , т.е. 0.25.

Множественная линейная регрессия

Пока что в этой серии постов мы видели, как строится линия регрессии с одной независимой переменной. Однако, нередко желательно построить модель с несколькими независимыми переменными. Такая модель называется множественной линейной регрессией.

Каждой независимой переменной потребуется свой собственный коэффициент. Вместо того, чтобы для каждой из них пытаться подобрать букву в алфавите, зададим новую переменную β (бета), которая будет содержать все наши коэффициенты:

Такая модель эквивалентна двухфакторной линейно-регрессионной модели, где β₁ = a и β₂ = b при условии, что x₁ всегда гарантированно равен 1, вследствие чего β₁ — это всегда константная составляющая, которая представляет наше пересечение, при этом x₁ называется (постоянным) смещением уравнения регрессии, или членом смещения.

Обобщив линейное уравнение в терминах β, его легко расширить на столько коэффициентов, насколько нам нужно:

Каждое значение от x₁ до x_n соответствует независимой переменной, которая могла бы объяснить значение y. Каждое значение от β₁ до β_n соответствует коэффициенту, который устанавливает относительный вклад независимой переменной.

Простая линейная регрессия преследовала цель объяснить вес исключительно с точки зрения роста, однако объяснить вес людей помогает много других факторов: их возраст, пол, питание, тип телосложения. Мы располагаем сведениями о возрасте олимпийских пловцов, поэтому мы смогли бы построить модель, которая учитывает и эти дополнительные данные.

До настоящего момента мы предоставляли независимую переменную в виде одной последовательности значений, однако при наличии двух и более параметров нам нужно предоставлять несколько значений для каждого x. Мы можем воспользоваться функциональностью библиотеки pandas, чтобы выбрать два и более столбцов и управлять каждым как списком, но есть способ получше: матрицы.

Примеры исходного кода для этого поста находятся в моем репо на Github. Все исходные данные взяты в репозитории автора книги.

Темой следующего поста, поста №3, будут матричные операции, нормальное уравнение и коллинеарность.