У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень равный 1 верно ли

Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид ах 3 + bx 2 + bх + a = 0.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства возвратных уравнений:

— У любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е. (х + 1)(ах 2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому, х + 1 = 0 или ах 2 + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

— У возвратного уравнения корней, равных нулю, нет.

в) При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова возвратным многочленом и это доказывается по индукции.

Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени, если они имеют вид ах 4 + bx 3 + сх 2 + bх + a = 0.

Алгоритм решения подобных уравнений таков:

а) Разделить обе части исходного уравнения на х 2 . Это действие не приведет к потере корня, ведь х = 0 решением заданного уравнения не является.

б) С помощью группировки привести уравнение к виду: а(x 2 + 1/x 2 ) + b(x + 1/x) + c = 0.

в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).

Проделаем преобразования:t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Если теперь выразить x 2 + 1/x 2 , то t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2 .

г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение: аt 2 + bt + c – 2a = 0.

д) Сделать обратную подстановку.

Пример.

6х 4 – 5х 3 – 38x 2 – 5х + 6 = 0.

Решение.

6х 2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х 2 = 0.

6(х 2 + 1/х 2 ) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.

Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x 2 + 1/x 2 ) = t 2 – 2, имеем:

6t 2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 или t = 10/3.

Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:

х 2 – 10/3 х + 1 = 0;

Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

Видео:Симметрические уравненияСкачать

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) типы алгебраических уравнений;

2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;

3) методы решения алгебраических уравнений.

Глоссарий по теме

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Биквадратными называются уравнения вида ах 4 + bх 2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Уравнение вида a n x n ₊a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a n-1 =a k , при k=0, 1, …, n.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения. Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:

D(–2) : ,

Можно догадаться, что число х₁ = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.

х + 1 = 0 или х 2 –х–2 = 0;

х₁ = –1 х_2,3 = ;

х_2,3 = ;

x 3 + х 2 – х 2 – х – 2x – 2 = 0;

(x 3 + х 2 ) – (х 2 + х) – 2(x + 1) = 0;

х 2 (х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

(х –2) = 0;

1. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
   1. Биквадратные уравнения

На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений

Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах 4 + bх 2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х 2 .

Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay 2 +by+c=0.

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

Решая эти два уравнения (y₁=x₁ 2 и y₂=x₁ 2 ) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

1. Ввести новую переменную у=х 2
2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
4. После нахождения корней (y₁; y₂) подставить их в нашу переменную у=х 2 и найти исходные корни биквадратного уравнения

х 4 – 8х 2 – 9 = 0.

Решение: Пусть у = х 2 , где у 0; у 2 – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

Первое решение отбрасываем ( у 0),

а из второго находим х₁ = –3; х₂ = 3.

2 Симметрические уравнения

Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

1 0 . У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е.

(х + 1)(ах 2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах 2 + (b – а)x + а = 0,

первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

2 0 . У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

3 0 . При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.

Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.

Разлагая далее левую часть на множители, получим

(х + 1)(x 2 + х + 1) = 0.

x 2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

2 Возвратные уравнения

Уравнение вида a n x n ₊a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a n-1 =a k , при k=0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.

Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0:

• разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
• группировкой привести полученное уравнение к виду

• ввести новую переменную , тогда выполнено
  , то есть ;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at 2 +bt+c–2a=0;

• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Решение: Разделим на x 2 , получим:

Введем замену:
Пусть

Видео:Как решать возвратные уравнения?Скачать

Симметрические уравнения и системы уравнений в подготовке к ОГЭ по математике

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №3 им. П.А.Столыпина г. Ртищево Саратовской области»

«Симметрические уравнения и системы уравнений в подготовке к ОГЭ по математике»

Ракурс: математический объект

Быков Максим, ученик 9А класса

МОУ «Лицей № 3 им. П.А.Столыпина

г. Ртищево Саратовской области»

Мрыхина Маргарита Владимировна, учитель математики 1 категории

2.1 Симметрические многочлены

2.2 Применение симметрических многочленов в решении задач

2.3 Симметрические уравнения и способы их решения

2.4 Симметрические системы уравнений

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека, и употреблялось скульпторами ещё в V веке до н. э.

Слово «симметрия» греческое. Оно означает «соразмерность», «пропорциональность», одинаковость в расположении частей и еще под словом «симметрия» понимается неизменность при какой либо операции не только предметов, но и физических явлений, математических формул, уравнений. Математики издавна стремились к красоте математических формул и справедливо считали, что красивая формула отличается от некрасивой тем, что в красоте больше симметрии.

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке:«Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Понятие симметрии в школьном курсе математики изучается на уроках геометрии. Мне стало интересно: а есть ли симметрия в алгебре? Захотелось узнать и понять, как это математическая формула или уравнение является симметричными?

При подготовке к ОГЭ по математике при решении заданий второй части мы встречаемся с решением симметрических уравнений и систем уравнений и

чтобы поглубже разобраться в этом материале я и выбрал тему своей исследовательской работы «Симметрические уравнения и системы уравнений в подготовке к ОГЭ по математике»

Проблема: выяснить, как проявляется симметрия в алгебраических выражениях, уравнениях и системах уравнений

―Рассмотреть, какие выражения, уравнения и системы уравнений являются симметричными и каковы их способы решения.

―потренироваться в решении симметрических уравнений и систем уравнений

Актуальность моего исследования состоит в том, что те знания, которые я получил, я могу применять для решения более сложных задач в математике при подготовке к ОГЭ

―изучить необходимую литературу по выбранной теме

―ввести понятие симметрических многочленов, уравнений и систем уравнений

―рассмотреть решение практических заданий с симметрическими многочленами, рассмотреть решение симметрических уравнений и систем уравнений

― подготовить презентацию и поделиться ею с одноклассниками

2.1. Симметрические многочлены

Многочлен от x и y называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x. Многочлен х 2 у+ху 2 — симметрический. А многочлен x 3 + 3y 2 не является симметрическим: при замене x на y, а y на x он превращается в многочлен y 3 + 3x 2 , который не совпадает с первоначальным. Приведу важнейшие примеры симметрических многочленов. Как известно из арифметики, сумма двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, т. е. x + y = y + x для любых чисел x и y. Это равенство показывает, что многочлен x + y является симметрическим. Точно так же из переместительного закона умножения xy = yx следует, что произведение xy является симметрическим многочленом. Симметрические многочлены

x + y и xy являются самыми простыми. Их называют элементарными симметрическими многочленами от x и y.

Симметрическими являются следующие алгебраические выражения:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

(a+d) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

(a+b) 4 =a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 , такназываемыебиномы .

Треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметриейотносительно вертикальной оси, проходящей через его вершину

2.2. Применение симметрических многочленов в решении задач

Простейшие симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения встречаются в теореме Виета. Это позволяет использовать их при решении некоторых задач, относящихся к квадратным уравнениям. Рассмотрим ряд примеров.

Квадратное уравнение х 2 +рх+ q =0 имеет корни х₁ и х₂. Не решая этого уравнения, выразить через р и q сумму х₁ 2 +х₂ 2 .

Выражение х₁ 2 +х₂ 2 ― симметрическое относительно х₁ и х_2.

Дано квадратное уравнение x 2 + 6x − 10 = 0; составить новое квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней данного уравнения.

Для решения этой задачи обозначим корни данного уравнения через x₁ и x₂, корни искомого — через y₁ и y₂, а коэффициенты искомого уравнения — через p и q. По теореме Виета x₁ + x₂ =− 6, х₁х₂= −10 и, также,

По условию задачи, имеем y₁= x₁ 2 , y₂= x₂ 2 , и потому

Таким образом, искомое квадратное уравнение имеет вид:

у 2 − 56y + 100 = 0.

2.3 Симметрические уравнения и способы их решения

В алгебре есть множество различных симметрических уравнений, степень которых 3 и выше. Я остановлюсь на некоторых из них.

1) Уравнение вида (х+а)(х+b)(х+с)(х+d)=А, где а+d=с+b называется симметрическим, например (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40. Решение такого уравнения заключается в следующем: надо перемножить скобки, для которых выполняется условие а+ d = c + b , т.е. (х+1) умножим на (х+5), а (х+2) умножим на (х+4), тогда уравнение примет вид:

(х 2 +6х+5)(х 2 +6х+8)=40

Пусть у=х 2 +6х, тогда получим (у+5)(у+8)=40, у 2 +9у+40−40=0,

у(у+9)=0, откуда у=0 и у=−9

Произведя обратную замену, получим два уравнения

х 2 +6х=0 и х 2 +6х=−9, решая которые получим что х₁=0, х₂=−6, х₃=−3.

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа: −6; −3; 0.

2) Уравнения вида ах 3 +bх 2 +bх+а=0, где а≠0 также называется симметрическим .

Часто решение таких уравнений сводится к преобразованию левой части этого уравнения в произведение.

Рассмотрим решение уравнения х 3 +2х 2 +2х+1=0

(х 3 +1)+(2х 2 +2х)=0, (х+1)(х 2 −х+1)+2х(х+1)=0, (х+1)(х 2 −х+1+2х)=0

(х+1)(х 2 +х+1)=0, откуда получим, что корнем уравнения является число −1.

При решении симметрических уравнений полезно знать следующее:

У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень равный ―1.

У симметрических уравнений корней, равных нулю нет.

Если степень уравнения выше, чем 3, то способ решения другой .

Уравнение вида ах 4 + b х 3 +сх 2 + b х + а =0, где а≠0 − это симметрическое уравнение

2х 4 +7х 3 +9х 2 +7х+2=0.

Т.к. х=0 не является корнем уравнения, то разделим уравнение на х 2 , получим

2(х 2 + ) + 7 (х+ ) +9=0. Введем замену у= х+ , тогда х 2 + = у 2 −2, получим:

2у 2 +7у+5=0, это квадратное уравнение, его корни будут у₁=−1 и у₂=−2,5

Выполним обратную замену:

Решая эти уравнения, окончательно получим, что х=2 и х=0,5.

2.4. Симметрические системы уравнений

Система называется симметрической, если f(x, y) и g(x, y) — симметрические многочлены. Для решения симметрических систем пользуются заменой u = x + y, v = xy.

Решим систему уравнений:

Введем замену х+у= u , ху= v , получим

2 u =12, u =6, тогда v =5.

Выполним обратную замену:

Х=6―у, тогда ( 6―у )·у=5, решая это уравнение, получим у=5 и у=1, тогда соответственно х=1, у=5.

Рассмотрим решение системы :

Заменим х+у = u , ху = v , получим

Решая первое уравнение системы, получим v = ―4 и v =―3, тогда соответственно u =―1 и u =―2.

Выполняя обратную замену, получим совокупность систем

Рассмотрим следующую систему:

Введем замену х+у= u , ху= v

(х+у) 2 =х 2 +2ху+у 2 х 2 +у 2 = (х+у) 2 −2ху= u 2 −2 v , тогда получим

U 2+ u -72=0, откуда u =8 u = -9, тогда соответственно v=15, u=32.

Делая обратную замену, получим совокупность систем

Ответ: (3 ; 5 ), ( 5; 3 )

Выполняя данную работу, я узнал, что такое симметрические многочлены, уравнения, системы уравнений, остановился на решении некоторых симметрических уравнений и систем уравнений. Укрепил свои знания в решении симметрических уравнений и систем уравнений. Это позволит мне более качественно подготовится к выполнению заданий 2 части ОГЭ по математике.

Практическая значимость данной работы заключается в следующем:

я, изучив данный вопрос, получил дополнительные знания в области математики, укрепил свой интерес к этой науке.

Работа по данной теме оказалась интересной и полезной.

Болтянский В.Г. и др. Симметрия в алгебре. — М.: Наука, 1967.

Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. — М.: Наука, 1971.

Черкасов О.Ю. и др. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. — М.: АСТ-Пресс, 2001.

🎬 Видео

Как решить симметрическое уравнение | Сведение к квадратному | Замена переменнойСкачать

9 класс. Алгебра. Решение уравнений четвертой степени. Возвратные уравнения.Скачать

Можно ли решить уравнение 5-й степени? – математик Алексей Савватеев | НаучпопСкачать

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

11 класс, 3 урок, Уравнения высших степенейСкачать

Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Симметрические системы / Как решать по шаблону? x/y+y/x=13/6; x+y=5Скачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Уравнение четвертой степениСкачать

Симметричные системы #1Скачать

Симметрические уравнения третьей и четвертой степениСкачать

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения 4-ой степениСкачать

УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения ★ Вы такого не видели! ★ Уравнение четвертой степениСкачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать