Содержание

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики
Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса
Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)
Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма
Уравнение 4: Закон Ампера
Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме
Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)
Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)
Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма
Уравнение 4: Закон Ампера
Уравнения Максвелла Вихревое электрическое поле
🎬 Видео

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды:

Видео:3 14 Уравнения МаксвеллаСкачать

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.

Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):

Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.

Видео:Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"Скачать

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

Магнитных монополей не существует.
Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.

Уравнение 4: Закон Ампера

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Видео:Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.

Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)

Это же уравнение в интегральной форме:

Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

И это же уравнение в интегральной форме:

Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.

Уравнение 4: Закон Ампера

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.

Видео:Уравнения Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещенияСкачать

Уравнения Максвелла Вихревое электрическое поле

Вихревое электрическое поле

Из закона Фарадея следует: любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток.

Следовательно, возникновение ЭДС электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Но ЭДС в любой цепи возникает только когда в ней на носители тока действуют сторонние силы – силы неэлектростатического происхождения.

Из опытов следует, что сторонние силы не связаны с тепловыми и химическими процессами в контуре. Их возникновение также нельзя объяснить силами Лоренца, так как они не действуют на неподвижные заряды.

Максвелл выдвинул гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре.

По Максвеллу, контур, в котором появляется ЭДС, играет второстепенную роль, являясь своего рода «прибором» для обнаружения этого поля.

Изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле, циркуляция которого:

— проекция вектора на направление .

– магнитный поток

Если поверхность и контур неподвижны, то

Из электростатики: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна 0:

Сравнивая последние формулы, получим принципиальное различие: циркуляция вектора по сравнению с циркуляцией не равна нулю. Следовательно, электрическое поле, возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.

Если любое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: любое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

Для установления количественных отношений между ними Максвелл ввел понятие тока смещения.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор.

Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор протекают токи смещения в тех местах, где отсутствуют проводники.

По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. То есть токи смещения и токам проводимости:

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора:

Поверхностная плотность заряда у на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе.

Для общего случая можно записать:

Сравнивая это выражение с выражением для силы тока:

— плотность тока смещения.

Направления вектора , вектора совпадают с направлением вектора .

Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно – способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых:

— плотность тока смещения

— плотность тока поляризации – тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах).

Возбуждение магнитного поля токами поляризации правомерно, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости.

Название «ток смещения» является условным (исторически сложившимся). По своей сути – это изменяющееся во времени электрическое поле. Поэтому ток смещения существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по которым течет переменный ток, однако он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Наличие тока смещения подтверждено экспериментально .

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения.

Плотность полного тока:

Полный ток в цепи переменного тока всегда замкнут, то есть на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника есть ток смещения, который замыкает ток проводимости.

Максвелл обобщил теорему о циркуляции, введя в ее правую часть полный ток:

— обобщенная теорема о циркуляции вектора Н.

В основе теории Максвелла лежат 4 уравнения:

— обобщенная теорема о циркуляции вектора

Магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями

– электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым. Источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. — теорема Гаусса для поля .

Источниками электрического поля являются электрические заряды. Линии напряженности направлены от положительного заряда к отрицательному.

— теорема Гаусса для поля .

природе не существуют магнитные заряды. Линии магнитной индукции замкнуты.

Третье уравнение – следствие первого, четвертое уравнение – следствие второго.

Переменный во времени электрический ток в соответствии с уравнением 1 создает переменное во времени вихревое магнитное поле. В соответствии с уравнением 2, возникающее переменное магнитное поле создает переменное вихревое электрическое поле. Возникшее переменное поле уже независимо от наличия тока создает переменное магнитное поле. И так далее до бесконечности.

Величины, входящие в уравнения Максвелла не являются независимыми. Существующую между ними связь отражают материальные уравнения.

, ,

G – удельная проводимость вещества.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрических и магнитных полей, так как в природе существуют электрические заряды, а магнитных зарядов нет.

Дифференциальная форма уравнений Максвелла:

Если заряды распределены в пространстве непрерывно, то интегральная и дифференциальная формы уравнений эквивалентны. Если есть поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма является более общей. Чтобы достигнуть математической эквивалентности, уравнения дополняются граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред.

, , ,