Тригонометрическое уравнение sinx a cosx a tgx a ctgx a (8 видео)

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

Корни уравненияcosx=a.

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Содержание

Урок по математике на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctg=a» (I курс)
Тригонометрические уравнения (3 урока) план-конспект урока (алгебра, 10 класс) по теме
Скачать:
Предварительный просмотр:
🔍 Видео

Видео:КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

Урок по математике на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctg=a» (I курс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Алгебра. Группа 3, 4 (I курс)

Дата: 3 гр.________________

Образовательная: Повторить учебный материал, необходимый для успешного решения тригонометрических уравнений, рассмотреть методы решения простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a , cosx = a , tgx = a , ctg = a .

Развивающая: формировать умения анализировать и делать выводы, развивать грамотную устную речь; развивать логику, формировать вычислительные, расчётные навыки, развивать мышление учащихся.

Воспитательная : о рганизация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса, стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности; Воспитание чувства самопознания, самоопределения и самореализации;

Дидактическое и методическое оснащение урока: интерактивная доска.

Тип урока: изучение нового материала.

А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала математического анализа» 10-11.

1. Организационный момент: приветствие, проверка отсутствующих; сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.

2. Изучение нового материала: решения простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a , cosx = a , tgx = a , ctg = a – приложение 1.

3. Закрепление изученного материала: первичное закрепление изученного материала.

4. Итог урока: систематизация и обобщение знаний, полученных на уроке.

5. Домашнее задание: инструктаж по домашнему заданию.

Страница 277. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ 2012.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его

простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0, преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x ,

cos 4 x · ( cos 2 x – cos 4 x ) = 0 ,

cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0 ,

1). cos 4 x = 0 , 2). sin 3 x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а ) перенести все его члены в левую часть;

б ) вынести все общие множители за скобки;

в ) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4 y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ =  1, y ₂ =  3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4 x – cos 8 x = cos 4 x ,

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .

Таким образом, решение даёт только первый случай.

Видео:Решение уравнений вида tg x = a и ctg x = aСкачать

Тригонометрические уравнения (3 урока)
план-конспект урока (алгебра, 10 класс) по теме

В разработке представлены три урока по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
plany.doc	234.5 КБ

Видео:Тригонометрическое уравнение (tgx)^((cosx)^2)=(ctgx)^(sinx)Скачать

Предварительный просмотр:

№1 Простейшие тригонометрические уравнения

Цель: 1. Вывести формулы решений простейших тригонометрических уравнений вида sinx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a;

2. Научиться решать простейшие тригонометрические уравнения с помощью формул.

Оборудование: 1) Таблицы с графиками тригонометрических функций у=sinx, у=cosx, у=tgx, у=ctgx; 2) Таблица значений обратных тригонометрических функций; 3) Сводная таблица формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

1 .Вывод формул корней уравнения

2 . Устная фронтальная работа по закреплению полученных формул.

3 . Письменная работа по закреплению изученного материала

В алгебре, геометрии, физике и других предметах мы сталкиваемся с разнообразными задачами, решение которых связано с решением уравнений. Мы изучили свойства тригонометрических функций, поэтому естественно обратиться к уравнениям, в которых неизвестное содержится под знаком функций

Определение: Уравнения вида sinx = a , cosx= a , tgx= a , ctgx= а называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Очень важно научиться решать простейшие тригонометрические уравнения, так как все способы и приемы решения любых тригонометрических уравнений заключается в сведении их к простейшим.

Начнем с того, что выведем формулы, которые «активно» работают при решении тригонометрических уравнений.

1.Уравнения вида sinx = a.

Решим уравнение sinx = a графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций у=sinx и у= а.

1) Если а > 1 и а а не имеет решений, так как прямая и синусоида не имеют общих точек.

2) Если -1 а а пересечет синусоиду бесконечно много раз. Это означает, что уравнение sinx= a имеет бесконечно много решений.

Так как период синуса равен 2 , то для решения уравнения sinx= a достаточно найти все решения на любом отрезке длины 2 .

Решением уравнения на [- /2; /2] по определению арксинуса х=arcsin a , а на [ /2; 3 /2] х= -arcsin a . Учитывая периодичность функции у=sinx получим следующие выражения

х= -arcsin a +2 n, n Z.

Обе серии решений можно объединить

х= ( -1) n arcsin a + n, n Z.

В следующих трех случаях предпочитают пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:

Если а =-1, то sin x =-1, х=- /2+2 n

Если а =1, то sin x =1, x = /2+2 n

Если а= 0, то sin x =0. x = n,

Пример: Решить уравнение sinx =1/2.

Составим формулы решений x=arcsin 1/2+ 2 n

Вычислим значение arcsin1/2. Подставим найденное значение в формулы решений

или по общей формуле

х= ( -1) n arcsin 1/2+ n,

2. Уравнения вида cosx= a .

Решим уравнение cosx= a также графически, построив графики функций у= cosx и у= а .

1) Если а 1, то уравнение cosx= a не имеет решений, так как графики не имеют общих точек.

2) Если -1 a a имеет бесконечное множество решений.

Найдем все решения cosx= a на промежутке длины 2 так как период косинуса равен 2 .

На [0; ] решением уравнения по определению арккосинуса будет х=arcos a. Учитывая четность функции косинус решением уравнения на [- ;0] будет х=-arcos a .

Таким образом решения уравнения cosx= a х= + arcos a+ 2 n,

В трех случаях будем пользоваться не общей формулой, а более простыми сотношениями:

Если а =-1, то cosx =-1, x =- /2+2 n

Если а =1, то cosx =1, x = 2 n,

Если а=0, то cosx =0. x = /2+ n

Пример: Решить уравнение cos x =1/2,

Составим формулы решений x=arccos 1/2+ 2 n

Вычислим значение arccos1/2.

Подставим найденное значение в формулы решений

Так как период тангенса равен , то для того чтобы найти все решения уравнения tgx= a , достаточно найти все решения на любом промежутке длины . По определению арктангенса решение уравнения на (- /2; /2) есть arctg a. Учитывая период функции все решения уравнения можно записать в виде

х= arctg a + n, n Z.

Пример: Решите уравнение tg x = 3/3

Составим формулу для решения х= arctg 3/3 + n, n Z.

Вычислим значение арктангенса arctg 3/3= /6, тогда

х= /6+ n, n Z.

Вывод формулы для решения уравнения сtgx=a можно предоставить учащимся.

Решить уравнение ctg х = 1.

х = arcсtg 1 + n, n Z,

В результате изученного материала учащиеся могут заполнить таблицу:

«Решение тригонометрических уравнений».

х= ( -1) n arcsin a + n, n Z.

х= + arcos a+ 2 n, n Z.

х= arctg a + n, n Z.

х= arcсtg a + n, n Z.

Упражнения для закрепления изученного материала.

(Устно ) Какие из записанных уравнений можно решить по формулам:

а) х= ( -1) n arcsin a + n, n Z;

б) х= + arcos a+ 2 n?

cos x = 2/2, tg x= 1 , sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x= 2/3, sin x = 3 , cos x = 2 .

Какие из перечисленных уравнений не имеют решений?

а) sin x = 0; д) sin x = 2/2; з) sin x = 2;

б) cos x = 2/2; е) cos x = -1/2; и) cos x = 1;

г) tg x = 3; ж) ctg x = -1; к) tg x = 1/ 3.

3. Решите уравнения:

а) sin 3x = 0; д) 2cos x = 1;

б) cos x/2 =1/2; е) 3 tg 3x =1;

г) sin x/4 = 1; ж) 2cos(2x+ /5) = 3.

При решении данных уравнений полезно записать правила для решения уравнений вида sin в x = a , и с sin в x = a, |a| 1.

в х= ( -1) n arcsin a + n, n Z,

х= ( -1) n 1/ в arcsin a + n/ в , n Z.

в x= + arcos a+ 2 n, n Z,

х= + 1/ в arcos a+ 2 n/ в , n Z,

с sin в x = a, |a| 1.

в х= ( -1) n arcsin a/ с + n, n Z,

х= ( -1) n 1/ в arcsin a/ с + n/ в , n Z.

с cos в x = a, |a| 1.

X= + 1/ в arcos a/с+ 2 n/ в.

Подведение итогов занятия:

Сегодня на занятии мы вывели формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
Разобрали примеры решения простейших тригонометрических уравнений.
Заполнили таблицу, которую будем использовать для решения уравнений.

№2 Решение тригонометрических уравнений

Цель: Изучить методы решения тригонометрических уравнений:1) приводимых к квадратным;2) приводимых к однородным тригонометрическим уравнениям.

Развивать у учащихся наблюдательность при применении различных способов решения тригонометрических уравнений.

Фронтальная работа с учащимися .

Назовите формулы корней тригонометрических уравнений cos x= a , sin x= a, tgx = a , ctg x = a.
Решите уравнения (устно):

cos x=-1, sin x=0, tgx =0, ctg x=1, cos x=1,5, sin x=0.

Найдите ошибки и подумайте о причинах ошибок.

cos x=1/2, х= + /6+2 k, k Z.

sin x= 3/2, х= /3+ k, k Z.

tgx = /4, x=1+ k, k Z.

2. Изучение нового материала.

На данном занятии будут рассмотрены некоторые наиболее часто встречающиеся методы решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

К этому классу могут быть отнесены уравнения, в которые входят одна функция (синус или косинус) или две функции одного аргумента, но одна их них с помощью основных тригонометрических тождеств сводится ко второй.

Например, если cоsх входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1- sin 2 x, если sin 2 x, то его заменяем на 1-cos 2 x.

Решить уравнение: 8sin 2 x — 6sin x -5 =0.

Решение: Обозначим sin x=t, тогда 8t 2 — 6t – 5=0,

t 1 = -1/2, t 2 = -5/4.

Выполним обратную замену и решим следующие уравнения.

Так как -5/4>1, то уравнение не имеет корней.

Ответ: х=(-1) к+1 /6+ k, k Z.

Решение упражнений на закрепление.

1) 2sin 2 x+ 3cos x = 0;

2) 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0;

3) 2sin 2 x+ 3cos 2 x = -2sin x;

4) 3tg 2 x +2 tgx-1=0.

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: 1) Уравнение вида a sinx +b cosx=0, (а=0, в=0) называется однородным уравнением первой степени относительно sin x и cos x.

Решается данное уравнение с помощью деления обеих его частей на cos x 0. В результате получается уравнение a tgx+b=0.

2) Уравнение вида a sin 2 x +b sinx cosx +c cos 2 x =0 называется однородным уравнением второй степени, где a, b, c какие-либо числа.

Если а=0, то уравнение решаем делением обеих частей на cos 2 x 0. В результате получаем уравнение a tg 2 x+ b tgx+с =0.

Замечание: Уравнение вида a sin mx +b cos mx=0 или

a sin 2 mx +b sin mx cos mx +c cos 2 mx =0 также являются однородными. Для их решения обе части уравнения делят на cos mx=0 или cos 2 mx =0

3) К однородным уравнениям могут быть сведены различные уравнения, которые первоначально не являются такими. Например, sin 2 mx +b sin mx cos mx +c cos 2 mx =d, и a sinx +b cosx=d. Для решения этих уравнений необходимо умножить правую часть на « тригонометрическую единицу» т.е. на sin 2 x + cos 2 x и выполнить математические преобразования.

Упражнения на закрепление изученного материала:

1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 sin 2 x – sin2x =3;

2) sin 2x+ cos2x = 0; 6) 3 sin 2 x + sinx cosx =2 cos 2 x ;

3) sin x+ 3cos x = 0; 7) 3 sin 2 x- sinx cosx =2;

4) sin 2 x -3 sinx cosx +2 cos 2 x =0

3.Подведение итогов урока . Домашнее задание.

На данном занятии в зависимости от подготовленности группы можно рассмотреть решение уравнений вида a sin mx +b cos mx=с, где а, b,с не равны нулю одновременно.

Упражнения на закрепление:

1. 3sin x + cos x=2;

2. 3sin 2x + cos 2x= 2;

3. sin x/3 + cos x/3=1;

4. 12sin x +5 cos x+13=0.

№ 3 Решение тригонометрических уравнений

Цель: 1) Изучить метод решения тригонометрических уравнений разложением на множители; научиться решать тригонометрические уравнения с использованием различных тригонометрических формул;

2) Проконтролировать: знание учащимися формул для решения простейших тригонометрических уравнений; умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

Проверка домашнего задания.
Математический диктант.
Изучение нового материала.
Закрепление изученного материала через решение уравнений различной сложности.
Самостоятельная работа.
Подведение итогов занятия. Домашнее задание.

Проверка домашнего задания (решение тригонометрических уравнений кратко записаны на доске).

1. Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

2. Как называется уравнение вида a sinx + b cosx=0? Укажите способ его решения.

3.Запишите формулу корней уравнения tgx = a (ctg x= a ).

4. Запишите формулы корней уравнений вида cosx= a, где а =1, а =0, а =-1.

5. Запишите общую формулу корней уравнения sin x= a, |a|

6. Как решаются уравнения вида a cosx= b, |b |

1. Запишите формулы корней уравнений cosx= a,|a|

2. Запишите общую формулу корней уравнения

3. Как называются уравнения вида sin x= a, tgx = a, sin x= a?

4.Запишите формулы корней уравнения sin x= a, если а =1, а =0, а =-1.

5.Как решаются уравнения вида sin a x= b, |b |

6. Какие уравнения называются однородными уравнениями второй степени? Как они решаются?

Изучение нового материала.

Метод разложения на множители.

Одним из наиболее употребительных методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители.

Если уравнение f(x) =0 можно представить в виде f 1 (x) f 2 (x) =0 , то задача сводится к решению двух уравнений f 1 (x)=0, f 2 (x) =0.

( С учащимися полезно вспомнить правило « Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл »)