Тригонометрические уравнения с вынесением общего множителя (3 видео)

Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 2 вариант

17 февраля 2014

Сегодня мы разберем еще одну комбинированную задачу из части С ЕГЭ по математике, где требуется решить уравнение, содержащее в себе и показательную, и тригонометрическую функцию.

Задача C1. Решите уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:

Содержание

Шаг 1: решение тригонометрического уравнения
Синус двойного угла
Решение показательного уравнения
Решение тригонометрического уравнения
Вынесение за скобку общего множителя
Решение простейших тригонометрических уравнений
Отбор корней на отрезке
Хитрость: отмечаем корни на тригонометрическом круге
Замечание по поводу разложения на множители
Тригонометрические уравнения с вынесением общего множителя
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод.
2. Разложение на множители.
3. Приведение к однородному уравнению.
4. Переход к половинному углу.
5. Введение вспомогательного угла.
6. Преобразование произведения в сумму.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
📹 Видео

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Шаг 1: решение тригонометрического уравнения

Итак, нужно решить уравнение:

36 sin 2 x = 6 2sin x

Очевидно, перед нами комбинированная конструкция, содержащая в себе и показательное, и тригонометрическое уравнение.

Синус двойного угла

Как решать такое уравнение? Давайте для начала выпишем все тригонометрические функции, которые присутствуют в этом уравнении, а именно:

Что мы можем сказать о полученных выражениях? В первом (sin 2 x ) аргумент синуса — это 2х; а во втором (2sin x ) аргумент — просто x . Итак, аргументы наших тригонометрических функций не совпадают. Это первое, на что нужно обратить внимание при решении любого тригонометрического уравнения. Следовательно, каким-то образом нужно сделать так, чтобы аргументы стали одинаковыми. В данном случае все очень просто, ведь мы знаем формулу двойного угла:

sin 2 x = 2sin x · cos x;
36 2sin x cos x = 6 2sin x .

Решение показательного уравнения

Теперь у нас другая проблема: перед нами [показательное уравнение], в котором присутствуют функции с разными основаниями. Слева основание показательной степени 36, а справа — 6. И это еще один принципиальный момент: нам нужно сделать так, чтобы и слева, и справа основание показательной функции было одним и тем же. Для этого заметим, что 36 можно записать так:

Следовательно, мы можем переписать наше уравнение в следующем виде:

(6 2 ) 2sin x cos x = 6 2sin x

Теперь воспользуемся правилом возведения степени в степень: при возведении степень в степень, показатели этих степеней перемножаются. В нашем случае получаем:

( a 2 ) f ( x ) = a 2 f ( x ) ;
6 4sin x cos x = 6 2sin x .

Итак, мы получили классическое показательное уравнение, в котором основания степеней являются константами и равны друг другу. Следовательно, мы можем просто убрать их и записать:

4sin x cos x = 2sin x

Решение тригонометрического уравнения

Тригонометрическое уравнение, которое мы получили, содержит несколько элементов с тригонометрической функцией. Для решения такого уравнения предлагаю перенести все слагаемые в левую часть, в результате чего получим:

4sin x cos x − 2sin x = 0

В полученном уравнении присутствуют два алгебраических слагаемых, причем и в первом, и во втором имеется множитель 2sin x . Выносим 2sin x за скобку:

2sin x (2cos x − 1) = 0

Вынесение за скобку общего множителя

Обратите внимание: на этом шаге многие ученики допускают ошибку! Давайте я еще раз напомню, как выносить общий множитель за скобку. Для этого выпишем наше выражение еще раз:

4sin x cos x − 2sin x

Перепишем эту конструкцию следующим образом:

2 · 2sin x cos x − 2sin x

Отсюда нам нужно вынеси [общий множитель]. Как вообще определяется, что можно вынести множитель за скобку? Простым перебором: мы берем самое первое слагаемое в нашем выражении и рассматриваем самый первый множитель, входящий в это слагаемое. Таким множителем является число 2.

А теперь — вопрос: встречается ли множитель 2 во втором нашем слагаемом? Конечно, встречается! Значит, ее мы выносим и идем далее. Следующий множитель тоже 2, но второй двойки во втором слагаемом не имеется, поэтому еще одну двойку вынести за скобку мы не можем.

Идем дальше: множитель sin x . Присутствует ли sin x во втором слагаемом? Да, безусловно. И последний множитель из первого слагаемого — cos x . Есть ли он во втором слагаемом? Нет, такого множителя во втором слагаемом нет. Поэтому вынести за скобку множитель cos x мы не можем. Вот и все. Получается, что из нашей конструкции можно вынести за скобку лишь множители 2 и sin x .

2 · 2sin x cos x − 2sin x = 2sin x (2cos x − 1)

Но на этом проблемы не заканчиваются. Когда ученики записывают элементы в скобках, здесь часто допускаются совершенно нелепые ошибки. Поэтому всем своим ученикам я рассказываю одно и то же правило, которое [гарантировано] избавит вас от всех подобных проблем. Правило звучит следующим образом:

При вынесении за скобку общего множителя обязательно ставьте единицу на месте каждого вынесенного элемента!

Такая запись является гарантом того, что вы не допустите ошибку при вынесении множителя за скобку. Давайте посмотрим, как это правило сработает для нашего выражения. Записываем готовое разложение — и мы получили именно то выражение, которое у нас получилось в самом начале:

2 · 2sin x cos x − 2sin x = 2sin x (1 · 2 · 1cos x − 1 · 1) = 2sin x (2cos x − 1)

Решение простейших тригонометрических уравнений

С вынесением общего множителя за скобку разобрались, возвращаемся к нашему уравнению. Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем несколько вариантов:

2 = 0; sin x = 0 (х = π n , n ∈ Z ); 2cos x − 1 = 0.

Очевидно, что уравнение 2 = 0 корней не имеет (Что за бред вообще?). Второе уравнение мы разобрали сразу, т.к. это был частный случай. Рассмотрим теперь последнее уравнение:

Уравнение решено. Мы разобрали каждый вариант, поэтому других корней не будет.

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Отбор корней на отрезке

Переходим ко второй части задачи C1 — отбору корней в отрезке:

И снова предлагаю вашему вниманию небольшое усовершенствование.

Хитрость: отмечаем корни на тригонометрическом круге

Этот прием я разработал совсем недавно вместе со своими учениками. Суть приема проста: чертим тригонометрический круг (в простонародье — радар) и отмечаем на нем наши корни. Сначала — первую группу:

Это одна точка в самом начале круга и еще одна точка, которая диаметрально противоположна исходной.

Теперь отмечаем вторую группу корней:

Поскольку период 2π k — это полный оборот окружности, никаких других точек на тригонометрическом круге точно не появится. Итого получим следующую картинку:

Все, корни мы отметили. Теперь разбираемся с концами отрезка. Давайте перепишем их в таком виде:

По существу, мы просто выделили целую часть — по аналогии с неправильными дробями в арифметике. Отметим эти точки на том же тригонометрическом круге:

Отлично, концы искомого отрезка отмечены. Осталось грамотно отметить сам отрезок. Для этого нужно понять, как он расположен на нашем тригонометрическом круге. И вот тут многие ученики опять допускают ошибку: они путаются, в какую сторону «наматывать» этот отрезок. Ведь существует два варианта — против часовой стрелки (это правильный вариант) и по часовой (соответственно, неправильный):

На самом деле, чтобы никогда больше не путаться, нужно вспомнить основное правило: мы всегда накручиваем углы в сторону, противоположную движению часовой стрелки. Например, если бы мы хотели попасть из точки 0 в точку 2π, мы бы двигались именно против часовой стрелки:

Это правило все прекрасно помнят, когда считают значение тригонометрических функций. Но почему-то забывают, что это правило работает для любых отрезков, а не только в пределах от 0 до 2π. Поэтому еще раз смотрим на наш исходный отрезок, берем его левый конец, т. е. самое маленькое число −7π/2, и идем от него в наш второй конец против часовой стрелки:

Прекрасно, отрезок отмечен. Для того, чтобы выявить интересующие нас корни, давайте продолжим лучи, проходящие через все корни, отмеченные красным, за пределы тригонометрического круга (по сути — до бесконечности). Таких лучей будет 4 штуки.

А теперь берем ручку, ставим ее в самый левый конец отрезка (точку −7π/2) и начинаем двигаться ко второму концу отрезка. Разумеется, мы тут же наткнемся на пересечение нашего отрезка и одного из лучей, отвечающих за корни. Так вот: любое такое пересечение означает, что мы нашли конкретный корень, который лежит на нашем рассматриваемом отрезке.

Возникает вопрос: как найти числовое значение этого корня? Но и тут все очень просто. Давайте подумаем: на какое расстояние нужно шагнуть из точки −7π/2, т. е. из начала нашего отрезка, чтобы попасть на горизонтальный диаметр? Очевидно, что это расстояние равно π/2. Прибавляем к концу нашего отрезка этот самый шаг:

В данном случае получилось, что этот корень уже изначально был отмечен, когда мы отмечали концы нашего отрезка: −7π/2 и −5π/2.

Если мы пойдем дальше, двигаясь из точки -3π к правому концу нашего отрезка, никаких других корней уже не встретим. Получается, что во время обхода мы столкнулись лишь с одним корнем — −3π. В принципе, это и неудивительно: в данной задаче нам попался довольно короткий отрезок, который на тригонометрическом круге занимает лишь половину полного оборота. И так уж получилось, что большинство корней, которые мы получили при решении уравнения, сосредоточены на второй половине нашего круга — в той самой, которую мы вообще не рассматривали.

В общем, не стоить удивляться, когда в процессе отбора корней у нас получился всего лишь один ответ. Это правильный ответ, и приведенный выше рисунок является полноценным тому обоснованием. Следовательно, задача решена полностью:

Мы решили само уравнение, последовательно разобравшись с показательным и тригонометрическим уравнением;
Затем отобрали те корни, которые лежат на требуемом отрезке, и обосновали этот выбор графически.

Видео:7 класс, 28 урок, Вынесение общего множителя за скобкиСкачать

Замечание по поводу разложения на множители

Еще один тонкий момент в решении данной задачи состоит в том, что многие ученики неправильно выносят за скобку общие множители. Но это — тема отдельного урока, который вообще не относится к ЕГЭ по математике, поэтому сегодня я коснулся данного вопроса лишь вкратце. Ровно настолько, насколько это необходимо для решения конкретной задачи.

Однако если в сегодняшнем уроке вам все равно что-то непонятно, если вы хотите решать тригонометрию еще лучше, не нужно расстраиваться, просто заходите на мой сайт berdov . com . Там вас ждет еще больше уроков, а также тесты для самостоятельного решения.

Но и это еще не все: на любой странице моего сайта справа вверху есть форма для записи на занятие. Смело заполняйте ее, указывайте свое имя, телефон и хоть немного расскажите о своей математической проблеме. И как только вы нажмете на кнопку «Записаться», буквально через несколько секунд я получу ваше сообщение, и в течение нескольких минут (максимум — нескольких часов) я вам позвоню, и мы обсудим все интересующие проблемы и составим индивидуальную программу обучения, рассчитанную именно на вас.

И вот тогда вы точно убедитесь, что математика — это, на самом деле, легко, что никаких сложных формул и теорем в ней нет. Тем более, в школьном курсе. Пишите, звоните, приходите — и будем заниматься. А у меня на сегодня все. С Вами был Павел Бердов. До новых встреч!

Видео:Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать

Тригонометрические уравнения с вынесением общего множителя

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Методы решения тригонометрических уравнений.

Видео:07. Решение уравнения, вынесением за скобки общего множителяСкачать

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

Видео:Вынесение общего множителя за скобки | Алгебра 7 классСкачать

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Видео:Вынесение общего множителя за скобки. Алгебра, 7 классСкачать

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

Видео:7 класс // Алгебра // Вынесение за скобки общего множителяСкачать

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

Видео:Подготовка к ЕГЭ #69. Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобкиСкачать

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Представьте в виде произведения:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

Ответ: .

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Решить уравнение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Решить уравнение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Решите уравнение

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

Вернемся к исходной переменной:

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.