Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Содержание
  1. Простейшие тригонометрические уравнения
  2. Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
  3. Методы решения тригонометрических уравнений
  4. Алгебраический метод.
  5. Разложение на множители.
  6. Приведение к однородному уравнению
  7. Переход к половинному углу
  8. Введение вспомогательного угла
  9. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
  10. Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1
  11. Уравнения и
  12. Линия тангенсов.
  13. Уравнение
  14. Тригонометрические уравнения и неравенства с примерами решения и образцами выполнения
  15. Тригонометрические формулы
  16. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов
  17. Уравнение cos х = а
  18. Уравнение sin х= а
  19. Уравнение tg x = а
  20. Решение тригонометрических уравнений
  21. Уравнения, сводящиеся к квадратам
  22. Уравнения вида a sin х + b cos х = с
  23. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
  24. Тригонометрические уравнения и неравенства — основные понятия и определения
  25. Уравнения, разрешенные относительно одной из тригонометрических функций
  26. Уравнение sin х = а
  27. Уравнение cos x = a
  28. Уравнение tg x = a
  29. Уравнение ctg х = а
  30. Некоторые дополнения
  31. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента
  32. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента
  33. Способ разложения на множители
  34. 🎦 Видео

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + pi n, n in Z`

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=pm arccos a + 2pi n, n in Z`

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + pi n, n in Z`

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + pi n, n in Z`

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиДля косинуса:Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиДля тангенса и котангенса:Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиФормулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor online

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
  • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+frac pi 6)-3sin(frac pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+frac pi 6)-3cos(x+frac pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+frac pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+frac pi 6)=1`, `x+frac pi 6=2pi n`, `x_1=-frac pi 6+2pi n`.

2. `cos(x+frac pi 6)=1/2`, `x+frac pi 6=pm arccos 1/2+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Ответ: `x_1=-frac pi 6+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

  1. `sin x/2 =0`, `x/2 =pi n`, `x_1=2pi n`.
  2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ pi n`, `x/2=pi/4+ pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Ответ: `x_1=2pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

  1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`
  2. `tg x=1`, `x=arctg 1+pi n`, `x_2=pi/4+pi n`, ` n in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`, `x_2=pi/4+pi n`, `n in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

  1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2pi n`, `n in Z`,
  2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2pi n, n in Z`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `frac a<sqrt >=cos varphi`, ` frac b<sqrt > =sin varphi`, `frac c<sqrt >=C`, тогда:

`cos varphi sin x + sin varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt `, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos varphi` , `4/5=sin varphi`. Так как `sin varphi>0`, `cos varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos varphi sin x+sin varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ pi n`, `n in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ pi n`, `n in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `frac =1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x ne 0`, `cos x ne -1`, ` x ne pi+2pi n, n in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

  1. `sin x=0`, `x=pi n`, `n in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=pi /2+2pi n, n in Z`.

Учитывая, что ` x ne pi+2pi n, n in Z`, решениями будут `x=2pi n, n in Z` и `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=2pi n`, `n in Z`, `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники часто допускают ошибки, что ведет к потере баллов на ЕГЭ. Именно поэтому так важна данная тема.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Следуя ему, надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрежки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы отказываемся от такого подхода раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по Математике

Уравнения и

Напомним, что — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу , а — её ордината.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения и имеют решения только при условии .

Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

. .
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что — это множество целых чисел.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой :

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

. .
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой :

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

И записываем ответ:

Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение. Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эти точки соответствуют углам Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из — прибавлением целого числа углов (полуоборотов):

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ). Начинаем с косинуса.

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой :

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Обе серии решений можно описать одной формулой:

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Углы, отвечающие правой точке:

Углы, отвечающие левой точке:

Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она дает обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных . Если , то

Мы получили первую серию решений . А если — нечетно, , то

Это вторая серия .

Обратим внимание, что в качестве множителя при обычно ставится правая точка, в данном случае .

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачи

Линия тангенсов.

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Из подобия треугольников и имеем:

Мы рассмотрели случай, когда находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла равен ординате точки , которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой , соединяющей точку с началом координат.

Вот рисунок в случае, когда находится во второй четверти. Тангенс угла отрицателен.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 класс

Уравнение

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение имеет решения при любом .

.
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами
Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

Имеем диаметральную пару:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
уравнение равносильно уравнению ;

при уравнение равносильно уравнению .

Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.

А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.

Видео:Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часа

Тригонометрические уравнения и неравенства с примерами решения и образцами выполнения

Корень уравнения есть число, ко­торое, будучи подставленным в
уравнение вместо обозначающей его буквы или вида, приводит к
исчезновению всех его членов.
И. Ньютон

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Видео:Тригонометрические уравнения. Задание 12 | Профильная математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать

Тригонометрические уравнения. Задание 12 | Профильная математика ЕГЭ 2023 | Умскул

Тригонометрические формулы

В курсе алгебры рассматривались синус, косинус и тангенс
произвольного угла, выраженного в градусах или радианах.
Там же были доказаны основные формулы, которые
исполь­зовались для преобразований тригонометрических выражений.
Напомним эти формулы:

1. Основное тригонометрическое тождество:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

2. Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Ньютон Исаак (1643— 1727) — английский математик, физик, механик, астроном; основоположник современной механики; одновременно с немецким математиком Г. Лейбницем ему принадлежит разработка дифференциального и интегрального исчислений.

3. Формулы сложения:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

4. Формулы синуса и косинуса двойного угла:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

5. Формулы приведения:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Формулы приведения запоминать необязательно. Для того
чтобы записать любую из них, можно руководствоваться
сле­дующими правилами:

1) В правой части формулы который Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

2) Если в левой части формулы угол равен Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиили Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

то синус заменяется на косинус, тангенс —
на котангенс и наоборот. Если угол равен Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамито замены
не происходит.

Например, покажем, как с помощью этих правил можно
получить формулу приведения для Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

По первому правилу в правой части формулы нужно поставить знак >,
так как если Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамито Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиa косинус во второй четверти отрицателен. По второму правилу косинус нужно заме­нить на синус, следовательно, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

6. Формулы синуса, косинуса, тангенс угла Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

7. Формулы синуса и косинуса угла Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

тангенса угла Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Приведем несколько примеров применения формул (1) — (9).

Пример:

Вычислить Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, если Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Сначала найдем Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Из формулы (1) Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТак как в третьей четверти Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамито Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиПо формулам (2) находим Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Используя формулы (1), (3) и (4), получаем:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Вычислить Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Используя формулы (8) и (9), получаем:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

По формулам приведения находим:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Используя формулу сложения и формулу синуса двойного
угла, получаем:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эту задачу можно решить проще, если использовать формулу
суммы синусов:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

С помощью этой формулы получаем:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Докажем теперь справедливость формулы (1).

Обозначим Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тогда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамии поэтому

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Наряду с формулой (1) используются формула разности
синусов
, а также формулы суммы и разности косинусов:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Формулы (3) и (4) доказываются так же, как и формула (1);
формула (2 ) получается из формулы ( 1 ) заменой Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамина Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами
(до­кажите самостоятельно).

Пример:

Вычислить Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Преобразовать в произведение

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Доказать, что наименьшее значение выражения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиравно Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиа наибольшее равно Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Преобразуем данное выражение в произведение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Так как наименьшее значение косинуса равно — 1, а наи­большее равно 1, то наименьшее значение данного выражения
равно Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиа наибольшее равно Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Уравнение cos х = а

Из курса алгебры известно, что значения косинуса заключены
в промежутке [— 1; 1], т. е. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Поэтому если |а |> 1 , то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = — 1,5 не имеет корней.

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Напомним, что cos х — абсцисса точки единичной окруж­ности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала коор­динат на угол х. Абсциссу, равную имеют две точки окруж­ности Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

и Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(рис. 18). Так как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, то точка Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиполучается из точки Р (1; 0) поворотом на угол Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, а также на
углы Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамигде Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. . . . Точка Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиполучается из точки Р (1; 0) поворотом на угол Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, f также на углы Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамигде Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. . . . Итак, все корни уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами— можно найти по формулам Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиВместо этих двух формул обычно пользуются одной:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Абсциссу, равную Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, имеют две точки окружности
Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(рис. 19). Так как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, то угол Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами
а потому угол Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Следовательно, все корни уравнения
Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиможно найти по формуле Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Таким образом, каждое из уравнений Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

и Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиимеет бесконечное множество корней. На отрезке Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамикаж­дое из этих уравнений имеет только один корень: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами— корень уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами
— корень уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Число Тригонометрические уравнения с минусами и плюсаминазывают арккосинусом числа Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии за­писывают: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

а число Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиарккосинусом числа Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии записывают: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Вообще уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, имеет на отрезке Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамитолько один корень. Если Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, то корень заключен в про­межутке Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами; если а Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Например, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамитак как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамитак как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

и Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Аналогично тому, как это сделано при решении за­дач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, выражаются формулой

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение cos x = — 0,75.
По формуле (2) находим

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Значение arccos ( — 0,75) можно приближенно найти на ри­сунке 21, измеряя угол РОМ транспортиром.

Приближенные значения арккосинуса можно также находить
с помощью специальных таблиц или микрокалькулятора.
На­
пример, значение arccos (—0,75) можно вычислить на
микрокаль­куляторе МК-54 по программе

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Итак, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

В данном случае переключатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г
был установлен в положение Р (радиан).
Если вычисления проводить в градусной мере, то переклю­чатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г следует установить в поло­жение Г (градус). Программа вычислений остается прежней:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Итак, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Пример:

Решить уравнение (4 cos х — 1) (2 cos 2x + 1)=0.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Можно доказать, что для любого Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамисправедлива
формула

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эта формула позволяет выражать значения арккосинусов
отрицательных чисел через значения арккосинусов
положитель­ных чисел. Например:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Из формулы (2) следует, что корни уравнения cos х = а при а = 0,
а = 1, а = — 1 можно находить по более простым формулам:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Задача 5. Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

По формуле (6) получаем Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиоткуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Уравнение sin х= а

Известно, что значения синуса заключены в промежутке
[— 1; 1], т. е. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиПоэтому если |а |> 1 , то
уравне­ние sin x = a не имеет корней. Например, уравнение
sin x = 2 не имеет корней.

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Напомним, что sin x — ордината точки единичной окруж­ности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала коор­динат на угол x. Ординату, равную Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, имеют две точки окруж­ности Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(рис. 22). Так как — Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, то точка Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиполу­чается из точки Р(1; 0) поворотом на угол Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, а также на
углы Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамигде Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами……. Точка Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиполучается из точки Р (1; 0) поворотом на угол Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, а также на углы Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамигде Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами……. Итак, все корни уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиможно найти по формулам

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эти формулы объединяются в одну:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

В самом деле, если n — четное число, т. е. n = 2k, то из форму­лы (1) получаем Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиа если n — нечетное число, т. е. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, то из формулы (1) получаем Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

О т в е т . Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Ординату, равную Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиимеют две точки единичной ок­ружности Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(рис. 23), где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Следо­вательно, все корни уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиможно найти по фор­мулам

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эти формулы объединяются в одну:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

В самом деле, если n = 2k, то по формуле (2) получаем Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами, а если n = 2k — 1, то по формуле (2) находим Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Итак, каждое из уравнений Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиимеет
бесконечное множество корней. На отрезке Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

каждое из этих уравнений имеет только один корень: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами— корень уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами— корень уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Число Тригонометрические уравнения с минусами и плюсаминазывают арксинусом числа Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии записывают: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами; число Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами— называют арксинусом числа Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии пишут: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Вообще уравнение sin x = a, где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, на отрезке Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиимеет только один корень. Если Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, то корень заключен в промежутке Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами; если а Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Например, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамитак как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамитак как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2 можно показать, что корни уравнения sin x = a, где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамивыражаются формулой

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

По формуле (4) находим Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Значение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиможно приближенно найти из рисунка 25,
измеряя угол РОМ транспортиром.
Значения арксинуса можно находить с помощью специальных
таблиц или с помощью микрокалькулятора.
Например, значение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиможно вычислить на микрокалькуляторе МК-54 по
программе

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Итак, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами
При этом переключатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г был установлен в положение Р (радиан).

Пример:

Решить уравнение (3 sin х — 1) (2 sin 2х + 1) = 0.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Можно доказать, что для любого Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамисправедлива
формула

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эта формула позволяет находить значения арксинусов отри­
цательных чисел через значения арксинусов положительных
чисел. Например:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Отметим, что из формулы (4) следует, что корни уравнения
sin x = a при а = 0 , а = 1 , а = — 1 можно находить по более
прос­тым формулам:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение sin 2х = 1.

По формуле (7) имеем Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиоткуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Уравнение tg x = а

Известно, что тангенс может принимать любое действительное
значение. Поэтому уравнение tg x = a имеет корни при любом
значении а.

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Построим углы, тангенсы которых равны Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиДля этого про­ведем через точку Р (рис. 26) прямую, перпендикулярную РО,
и отложим отрезок Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамичерез точки М и О проведем пря­
мую. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диа­
метрально противоположных точках Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Из прямоугольного треугольника РОМ находим Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, откуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Таким образом, точка Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиполучается из точки Р (1; 0) поворотом
вокруг начала координат на угол а также на углы Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, … .
Точка Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиполучается поворотом точки Р (1; 0) на угол Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

а также на углы Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами… .

Итак, корни уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиможно найти по формулам

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эти формулы объединяются в одну

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Углы, тангенсы которых равны Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиуказаны на рисун­ке 27, где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиИз прямоугольного треугольни­ка РОМ находим Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, т.е. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Таким образом, точка Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиполучается поворотом точки P(1; 0) вокруг начала
координат на угол Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, а также на углы Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамигде k = ± 1, ± 2,….. Точка Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиполучается поворотом точки Р (1; 0) на углы Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Поэтому корни уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиможно найти по формуле

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Итак, каждое из уравнений Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиимеет
бесконечное множество корней. На интервале — каж­дое из этих уравнений имеет только один корень: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами— корень уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами— корень уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Число Тригонометрические уравнения с минусами и плюсаминазывают арктангенсом числа Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии записывают: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами; число Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами— называют арктангенсом числа Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии пишут: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Вообще уравнение tg х = а для любого Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиимеет на интер­вале Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамитолько один корень. Если Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, то корень
заключен в промежутке Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами; если а Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Например, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, так как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами; и Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамитак как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения tg x = a, где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамивыражаются формулой

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение tg х = 2.

По формуле (2) находим Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Значение arctg 2 можно приближенно найти из рисунка 29,
измеряя угол РОМ транспортиром.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Приближенные значения арктангенса можно также найти по
таблицам или с помощью микрокалькулятора.

Например, значение arctg 2 можно вычислить на МК-54 по
программе

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Итак, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

При этих значениях х первая скобка левой части исходного
уравнения обращается в нуль, а вторая не теряет смысла, так
как из равенства tg x = — 4 следует, что Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Следо­вательно, найденные значения х являются корнями исходного уравнения.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эти значения x также являются корнями исходного урав­нения, так как при этом вторая скобка левой части уравнения
равна нулю, а первая скобка не теряет смысла.

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Можно доказать, что для любого Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамисправедлива формула

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эта формула позволяет выражать значения арктангенсов
от­рицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Например:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Видео:Тригонометрические уравнения | Борис ТрушинСкачать

Тригонометрические уравнения | Борис Трушин

Решение тригонометрических уравнений

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = a, tg х = а. К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требу­ется применение формул преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригоно­метрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратам

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Это уравнение является квадратным относительно sin х.
Обозначив sin x= y, получим уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиЕго корни Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin х = 1 и sin х = — 2.

Уравнение sin x = l имеет корни Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиуравне­ние
sin x = — 2 не имеет корней.
Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Заменяя Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамина Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиполучаем:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Обозначая sin х = у, получаем Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиоткуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

1) sin х = — 3 — уравнение не имеет корней, так как | — 3 | > 1.
2) Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Используя формулу Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиполучаем:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение tg x — 2 ctg x + 1 = 0 .

Так как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамито уравнение можно записать в виде Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами
Умножая обе части уравнения на tg x, получаем:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Отметим, что левая часть исходного уравнения имеет смысл,
если Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТак как для найденных корней Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамито исходное уравнение равносильно уравнению Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами
Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Обозначив sin 6 x = у, получим уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиот­куда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Уравнения вида a sin х + b cos х = с

Пример:

Решить уравнение 2 sin x —3 cos x = 0.
Поделив уравнение на cos x, получим 2tg x — 3 = 0, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

При решении этой задачи обе части уравнения 2 sin x — cos x = 0 были поделены на cos x. Напомним, что при делении
уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть
потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли
кор­ни уравнения cos x = 0 корнями данного уравнения. Если
cos x = 0, то из уравнения 2 sin x — cos x = 0 следует, что sin x = 0. Однако sin х и cos х не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиСледовательно, при
делении уравнения a sin х + b cos x = 0, где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиcos x
(или sin x) корни этого уравнения не теряются.

Пример:

Решить уравнение 2 sin x + cos x = 2.
Используя формулы Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами
и записывая правую часть уравнения в виде Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, получаем Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Поделив это уравнение на Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Обозначая Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиполучаем уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиоткуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение sin 2x — sin x — cos x — 1 = 0.
Выразим sin 2 x через sin x + cos x , используя тождество

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Обозначим sin x + cos x = t, тогда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии уравнение при­мет вид Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, откуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

2) Уравнение sin x + cos x = 2 не имеет корней, так как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами
Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии равенства sin x = 1, cos x = l одновременно не могут
выполняться.

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть кото­рых равна нулю, решаются разложением их левой части на
мно­жители.

Пример:

Решить уравнение sin 2х — sin х = 0.

Используя формулу для синуса двойного аргумента, за­пишем уравнение в виде 2 sin х cos х — sin х = 0.
Вынося общий множитель sin х за скобки, получаем
sin x (2 cos x — 1) = 0

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение cos Зх + sin 5x = 0.

Используя формулу приведения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, за­пишем уравнение в виде

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Используя формулу для суммы косинусов, получаем:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение sin 7 x + sin 3 х = 3 cos 2х.

Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравне­ние в виде

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Уравнение cos2x = 0 имеет корни Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиа уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамине имеет корней.
Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

уравнение примет вид: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Заметим, что числа вида содержатся среди чисел вида Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамитак как если n = 3k, то Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Следовательно, первая серия корней содержится во второй.

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Часто бывает трудно усмотреть, что две серии корней, полу­
ченных при решении тригонометрического уравнения, имеют об­
щую часть. В этих случаях ответ можно оставлять в виде двух
серий. Например, ответ к задаче 12 можно было записать и так:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эти значения х являются корнями исходного уравнения, так
как при этом первая скобка левой части уравнения равна нулю,
а вторая не теряет смысла.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

При этих значениях х вторая скобка левой части исходного
уравнения равна нулю, а первая скобка не имеет смысла. Поэтому
эти значения не являются корнями исходного уравнения.

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Выразим Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Так как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамито

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

от­куда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Поэтому исходное уравнение можно записать так:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

2) уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами— корней не имеет.

Ответ. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух частей: 1) преобразование тригонометрического выражения к простейшему виду; 2) решение простейшего тригонометрического уравнения. Первая часть сложна из-за множества применяемых формул как тригонометрических, так и алгебраических. Применяются такие приемы как разложение на множители, преобразование суммы или разности тригонометрических функций в произведение и, наоборот, произведения в сумму. Достаточно часто тригонометрические уравнения сводятся к линейным и квадратным уравнениям и уравнениям с корнями. Тригонометрические уравнения во всяком случае имеют ограничения, содержащиеся в тангенсе и котангенсе, т.к. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, то здесь Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами; Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

1) Решение уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Арксинусом числа Тригонометрические уравнения с минусами и плюсаминазывается число, обозначаемое Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, синус которого равен Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, при этом Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Поэтому решение уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамизаписывается: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиЭтому решению соответствуют две точки на окружности:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Напоминаем, что ось Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами— это ось синусов, и значение синуса

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

отмечается на оси Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

2) Решение уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Арккосинусом числа Тригонометрические уравнения с минусами и плюсаминазывается число, обозначаемое Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, косинус которого равен Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, при этом Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиПоэтому решение уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамизаписывается: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиЭтому решению соответствуют две точки на окружности:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эти решения отмечены на окружности.

Напоминаем, что ось Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами— ось косинусов, и значение косинуса отмечается на оси Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

3) Решение уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиАрктангенсом числа Тригонометрические уравнения с минусами и плюсаминазывается число, обозначаемое Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, тангенс которого равен Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, при этом Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Поэтому решение уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамизаписывается: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиЭтому решению соответствуют две точки на окружности:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Напоминаем, что значение тангенса отмечается на оси тангенсов, которая параллельна оси Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии касается единичной окружности в крайней правой точке.

Там, где возможно, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамизаменяются табличными значениями. Соответствующая таблица и тригонометрические формулы приведены в разделе преобразования тригонометрических выражений. Там же рассмотрены примеры таких преобразований.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Здесь использована специальная формула, отличная от стандартной для уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Существуют следующие специальные формулы:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Следует заметить также, что буква для обозначения целого числа может быть выбрана любая, но принято брать Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиЕсли уравнение имеет два и более решений, эти буквы принято брать различными.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Т.к. решения 1-го и 2-го уравнений должны совпадать, то, как видно на окружности, единственно возможная точка соответствует решению Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Эта система, как видно на окружности, решений не имеет

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения и неравенства — основные понятия и определения

В этой главе мы рассмотрим некоторые уравнения, а также простейшие системы уравнений, содержащие неизвестную иод знаком тригонометрических функций. Такие уравнения называются тригонометрическими уравнениями.

Приведем некоторые примеры тригонометрических уравнений и их систем:

1) Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами; 2) Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами; 3) Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами; 4) Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами5) Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами6) Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Решение различных типов тригонометрических уравнений большей частью основано на сведении их к некоторым простейшим уравнениям, которые мы рассмотрим ниже. При этом остаются в силе общие правила, относящиеся к решению уравнений. В частности, данное уравнение не всегда приводится к простейшей форме с помощью одних лишь равносильных преобразований. Поэтому следует проверить найденные решения, подставляя их в исходное уравнение.

Тригонометрические уравнения слишком разнообразны для того, чтобы пытаться дать их общую классификацию или общий метод решения. Мы можем указать лишь способы решения некоторых типов таких уравнений.

Уравнения, разрешенные относительно одной из тригонометрических функций

При решении различных тригонометрических уравнений мы будем часто приходить к некоторым простейшим уравнениям, решения которых следует запомнить. Приведем эти уравнения. Для того чтобы можно было дать геометрическую иллюстрацию к этим уравнениям, будем считать х углом в радианной мере.

Уравнение sin х = а

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

имеет решение при Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Для вывода общей формулы, которая заключает в себе все корни нашего уравнения, воспользуемся рис. 127. Допустим, что мы нашли какой-то корень Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиуравнения sin х = а:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тогда, в силу периодичности функции sin х, имеем

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

т.е. и числа вида Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где k = 0, ±1, ±2, …, удовлетворяют уравнению (139.1). Заметим еще, что и

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

т. е. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамитакже удовлетворяет уравнению (139.1). Следовавательно также удовлетворяют данному уравнению. Следовательно, зная одно какое-то значение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, удовлетворяющее уравнению sin х = а, мы можем получить две серии значений аргумента, удовлетворяющих этому же уравнению:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где k= 0, ±1, ±2, …

В качестве Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамибудем, как правило, брать arcsin а.

Объединив две серии (139.2) и (139.3) корней данного уравнения sin х = а одной формулой, мы будем записывать в дальнейшем его общее решение (совокупность всех корней) в виде

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2, … и Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Поясним формулу (139.4) и другим способом, с помощью рис. 139.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Известно, что sin x = а (на рис. 139 ОA = 1, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами).

Уравнению (139.1) удовлетворят углы:

а) положительные: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(k = 0, +1, +2, …);

б) отрицательные: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(k = 0, —1, —2, …).

Все эти углы можно задать одной формулой (139.4), и, обратно, любой угол, полученный по формуле (139.4), есть угол либо вида а), либо вида б). Проверим, например, обратное утверждение для положительных углов.

Если Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(четное число), то из (139.4) получаем

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

если же Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(нечетное число), то из (139.4) получаем

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Аналогично проводится проверка и для отрицательных углов.

Пример:

sin x = 1/2.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Так как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, то Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Так как Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, то Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Замечание. При выводе формулы (139.4) мы воспользовались рис. 127, на котором Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Очевидно, что при помощи этой формулы получаются все корни уравнения sin x = a. Формула (139.4) остается в силе и тогда, когда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, а также при а = 0, 1 или —1. Однако эти последние случаи удобней рассмотреть особо.

Допустим, что а = 1 или a = — 1. Корни уравнения sin х = 1 можно записать так:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2, …, а корни уравнения sin x = — 1 можно записать так:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2…. . Допустим теперь, что а = 0. Корни уравнения sin x = 0 можно записать так:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Уравнение cos x = a

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

имеет решение при Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Для вывода общей формулы корней уравнения (140.1) воспользуемся рис. 128. Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиуравнения (140.1): Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Тогда в силу периодичности Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, т. е. и числа вида Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где n = 0, ±1, ±2, …, удовлетворяют уравнению cos х = а. В силу четности косинуса Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами; применив еще свойство периодичности, мы получим, что числа вида Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамитакже удовлетворяют уравнению cos х = а. (На рис. 128 мы видим, что Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.) Следовательно, зная одно какое-либо значение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, удовлетворяющее уравнению cos x = a, мы можем получить две серии значений аргумента, удовлетворяющих этому же уравнению:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2, …

В качестве Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамибудем, как правило, брать arccos а.

Объединив две серии (140.2) и (140.3) корней уравнения cos x = a одной формулой, мы будем писать в дальнейшем его общее решение (совокупность всех корней) в виде

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2, … и Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Рекомендуем читателю пояснить формулу (140.4) с помощью рисунка, аналогичного рис. 139.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

cos x = — х/2.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

cos х = 0,995.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

(см. приложение II).

Замечание. При выводе формулы (140.4) мы воспользовались рис. 128, на котором Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Очевидно, что при помощи этой формулы получаются все корни уравнения cos x = a. Рекомендуем читателю доказать, что формулой (140.4) можно пользоваться и во всех остальных случаях (—1 Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Уравнение cos x = l имеет корни:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Уравнение cos x = 0 имеет корни:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Уравнение tg x = a

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

имеет решение при любом а (Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами). Воспользуемся рис. 129 для вывода общей формулы, которая заключает в себе все корни уравнения (141.1). Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиуравнения (141.1), т. е. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Тогда, в силу периодичности, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, т.е. и числа вида Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где n = 0, ±1. ±2, …, удовлетворяют уравнению tg x = a. Следовательно, зная одно какое-то значение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиудовлетворяющее уравнению tg x = а, мы можем получить общее решение (совокупность всех корней) в виде

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

В качестве Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамибудем, как правило, брать arctg a. Итак, общее решение уравнения tg х = а выражается формулой

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2, … и Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

tg x = —1,9648.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

(см. приложение II).

Уравнение ctg х = а

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

имеет решение при любом а (Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами). Для вывода общей формулы корней уравнения (142.1) воспользуемся рис. 130. Допустим, что мы нашли какое-нибудь решение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиуравнения (142.1), т. е. Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Тогда, в силу периодичности, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, т. е. и числа вида Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где n = 0, ±1, ±2, …. удовлетворяют уравнению ctg х = а. Следовательно, зная одно какое-то значение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, удовлетворяющее уравнению ctg х = а, мы можем получить общее решение в виде

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

В качестве Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамибудем, как правило, брать arcctg a. Итак, общее решение уравнения ctg х = а выражается формулой

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2, … и Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

ctg х = —28,64.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Воспользовавшись формулой Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, будем иметь

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

(см. приложение I). Следовательно,

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Некоторые дополнения

Если в уравнениях sin x = a, cos х = а, tg х = а и ctg x = a известно, что х — угол в градусной мере, то общие решения нужно записывать по-другому.

Для уравнения sin x = a, где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, нужно писать:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2, … и Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Для уравнения cos х = а, где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, нужно писать:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2, … и Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Для уравнения tg х = а, где а — любое число, нужно писать:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2, … и — 90° Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2. … и Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

б) Нельзя, однако, писать

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Разберем примеры уравнений, непосредственно сводящихся к уже рассмотренным.

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Решение:

sinх = 1 /]/2, откуда согласно (143.1) имеем х — 180°и + (—1)»45°, где я = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, откуда согласно (140.4) имеем Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где n = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение 3 sin х — 4 = 0.

Решение:

Из нашего уравнения получаем равносильное уравнение sin x = 4/3, которое решений не имеет, ибо не выполняется условие Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Следовательно, первоначальное уравнение также не имеет решений.

Пример:

Решить уравнение 3 tg х + 1 = 0.

Решение:

tg x = —1/3, откуда согласно (141.3) имеем Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где n = 0, ±1, ±2, …, или Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Замечание. Ответ можно записать так:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2, …

Пример:

Решить уравнение 3 ctg x + 2 = 0.

Решение:

ctg x = —2/3, откуда согласно (142.3) имеем Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где n = 0, ±1, ±2, …, или Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Пример:

Решить уравнение 2 sin 5x + l = 0.

Решение:

Записав уравнение в виде sin 5x = —1/2, найдем отсюда сначала промежуточный аргумент Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, откуда получим общее решение данного уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, где n = 0, ±1, ±2,…

Видео:Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.

Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента

Сущность способа: Мы получили решения уравнений вида sin x = a, cos х = а, tg x = a и cxg x = a. Во многих случаях решение тригонометрических уравнений сводится к решению основных элементарных уравнений после выполнения ряда алгебраических действий.

Так, пусть имеется уравнение, левая часть которого содержит х только под знаком одной тригонометрической функции, например:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Во всех этих случаях задача решения уравнения распадается на две:

1) Решение алгебраического уравнения относительно новой неизвестной t = sin x, t = tg x, t = cos x.

2) Решение уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решение:

1) Положив sin x = t, приходим к алгебраическому уравнению (в данном случае к квадратному уравнению) относительно новой неизвестной t:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решив уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, получим Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

2) Задача решения уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамисвелась к решению двух тригонометрических уравнении:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Уравнение sin x = — 3 решений не имеет. Общее решение уравнения sin x = 1/2 имеет вид

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Так как при переходе от тригонометрического уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамик двум тригонометрическим уравнениям Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамимы нигде не теряли и не получали посторонних корней, то решение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиявляется решением первоначального уравнения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

В большинстве случаев, однако, приходится исходное уравнение еще преобразовывать так, чтобы оно приобрело нужный вид:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

В п. 145 показаны приемы таких преобразований.

Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента

1) Рассмотрим уравнение типа

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где a, b и с — какие-то действительные числа. Изучим случай, когда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Разделиз обе части уравнения (145.1) на Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, придем к следующему уравнению, содержащему только t = tg х:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Заметим, что уравнения (145.1) и (145.2) будут равносильны, ибо мы предполагаем, что Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. (Те значения х, при которых cos x = 0, не являются корнями уравнения (145.1) при Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.) Далее следует найти значения t = tg x из уравнения (145.2) и, если они окажутся действительными, отыскать соответствующие серии решений х.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решение:

Разделим обе части уравнения на Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. (Те значения х, при которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения, ибо при этом Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, следовательно, потери корней не происходит). Получим уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, откуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

а) Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами;

б) Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиТригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где п = 0, ±1, ±2, …

Замечание:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, сводится к уравнению типа (145.1), если его записать сначала так:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Запишем данное уравнение так:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

После этого будем иметь

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Разделим обе части последнего уравнения на Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. (Те значения х, для которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения.) Получим уравнение

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

откуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Решив последние уравнения, получим решения первоначального уравнения:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

2) Рассмотрим уравнение типа

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где a, b и с — какие-то действительные числа. Пусть Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Заменив Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамичерез Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, мы придем к уравнению

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Из уравнения (145.6) находим возможные значения для t = соs x; естественно, что они будут иметь смысл лишь в случае Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Рассмотрим несколько примеров. Пример 3. Решить уравнение

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решение. Заменяя Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамичерез Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, придем к уравнению Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, откуда cos x = 1 и cos x = —1/2. Уравнение cos x = l имеет решение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, а уравнение cos x = —1/2 — решение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Совокупность значений Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиявляется решением данного уравнения.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решение:

Заменив Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамичерез Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, придем к уравнению

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

откуда cos x = 1/2 и cos x = —3/2. Последнее уравнение не имеет решений, ибо не выполнено условие Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. /Мы получаем одну серию решений данного уравнения: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

3) Рассмотрим уравнение тина

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где a, b и с—какие-то действительные числа. Oграничимся рассмотрением примеров.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решение:

Заменив Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамичерез Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, придем к уравнению

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

откуда sin x = 1/2 и sin x = —1/4. Оба последних уравнения имеют соответственно решения

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Совокупность значений Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиявляется множеством всех решений данного уравнения.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решение:

Заменив Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамичерез Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, придем к уравнению

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

откуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Последнее уравнение не имеет решения, ибо не выполнено условие Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Мы получаем одну серию решении первоначального уравнения:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

4) Рассмотрим уравнение типа

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Деля обе части уравнения на Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, получим

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

где n = 0, ±1, ±2, … Заметим, что, предположив Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, мы не потеряли корней, ибо если cos x = 0, то Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решение:

Разделим обе части уравнения на Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, получим Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, откуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

5) Если в уравнение входят тригонометрические функции от различных аргументов, то и в этом случае иногда представляется возможным выразить их все через одну тригонометрическую функцию одного и того же аргумента.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решение:

Заменив Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамичерез Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, придем к уравнению

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

откуда cos 2х = — l/3.

Следовательно, Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(n = 0, ±1, ±2, …).

Пример:

Решить уравнение Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Решение:

Заменив sin 2x через 2sin x cos x, придем к уравнению Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамиили Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Последнее уравнение распадается на два:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Первое уравнение имеет корни Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(n = 0, ±1, ±2, …).

Второе уравнение после деления на Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамидает ctg x = 2, откуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(n = 0, ±1, ±2, …).

Решениями первоначального уравнения и будут значения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамии Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Заметим, что в нашем случае деление обеих частей уравнения б) на sinx не привело к потере корней, ибо те значения х, при которых sin x обращается в нуль, не являются корнями первоначального уравнения.

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решение:

Умножим обе части уравнения на 2 и, заменив 2sin x cos x на sin 2х, получим sin 2x cos 2x = 1/4. С последним уравнением поступим опять так же, получим sin 4x = 1/2, откуда Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Окончательно имеем

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Пример:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Решение:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Подставив найденное значение для Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамив исходное уравнение, получим Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Далее имеем

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Последнее уравнение распадается на два:

Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами

Первое уравнение имеет корни Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(n = 0, ± 1, ± 2, …). Второе уравнение запишем в виде Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами. Приравняв нулю числитель (1 — 2cos x), получим корни второго уравнения: Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами.

Способ разложения на множители

1) Если в уравнении, приведенном к виду f(x) = 0, его левая часть f(x) разлагается на множители, то, как указано в п. 54, следует приравнять каждый из этих множителей к нулю. Получится несколько отдельных уравнений; корни каждого из них будут корнями основного уравнения, если только они входят в о. д. з. каждого из множителей левой части уравнения.

Все полученные решения объединяются в одну совокупность решений первоначального уравнения. Заметим, что этот способ мы уже фактически применяли при решении примеров 9 и 11 из п. 145.

Рассмотрим е;це несколько примеров.

Пример:

Решить уравнение sin x ctg 2x = 0.

Решение:

Согласно предыдущему будем искать отдельно решения двух уравнений: a) sin x = 0 и б) ctg 2x = 0. Первое уравнение имеет корни Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(n = 0, ±1, ±2, …). Второе уравнение имеет корни Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами(n = 0, ±1, ±2, …). Проверка показывает, что решениями первоначального уравнения будет лишь совокупность значений Тригонометрические уравнения с минусами и плюсами, а значения Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамине удовлетворяют данному уравнению, ибо при Тригонометрические уравнения с минусами и плюсамитеряет смысл второй множитель ctg 2х.

🎦 Видео

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.

Тригонометрические уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

Тригонометрические уравнения | Математика ЕГЭ 10 класс | Умскул

Тригонометрические уравнения еще более сложных аргументов. Алгебра 10 классСкачать

Тригонометрические уравнения еще более сложных аргументов. Алгебра 10 класс

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 2 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 2 часть. 10 класс.

✓ Тригонометрические формулы | Борис ТрушинСкачать

✓ Тригонометрические формулы | Борис Трушин

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.

Решение тригонометрических уравнение в ЕГЭ для новичков | ЕГЭ Математика | Аня Матеманя | ТопскулСкачать

Решение тригонометрических уравнение в ЕГЭ для новичков | ЕГЭ Математика | Аня Матеманя | Топскул
Поделиться или сохранить к себе: