Тригонометрические уравнения половинного угла решение (8 видео)

Формулы половинного угла в тригонометрии

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла , так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла α 2 при помощи тригонометрических функций угла α . В статье раскрыты формулы половинного угла и добавлены их доказательства с примерами решений.

Содержание

Список формул половинного угла
Доказательство формул половинного угла
Примеры использования
Формулы половинного угла тригонометрических функций
Список всех формул половинного угла
Вывод формул половинного угла
Примеры использования при решении задач
Тригонометрические формулы половинного угла
Определение и формулы половинного угла
Формулы половинного угла: примеры
Доказательство тригонометрических функций половинного угла
📺 Видео

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

Список формул половинного угла

Стандартные формулы половинного угла:

sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 — cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 — cos α

Формулы для sin и cos половинного угла справедливы при любом значении заданного угла α . Формулу для t g любого угла α определяет t g α 2 , значение угла α ≠ π + 2 π · z при z равном любому целому числу ( выражение 1 + cos α с таким же значением α не должно принимать значение 0 ). Формула c t g угла считается справедливой для любого угла α , где половинный угол имеет место быть, α ≠ 2 π · z .

Самые значимые формулы половинного угла для квадратов тригонометрических функций выводятся через положительное или отрицательное значение арифметического квадратного корня. Имеем формулы половинного угла:

sin α 2 = ± 1 — cos α 2 , cos α 2 = ± 1 + cos α 2 , t g α 2 = ± 1 — cos α 1 + cos α , c t g α 2 = ± 1 + cos α 1 — cos α

Знак «-» указывает, что тригонометрическая функция принадлежит определенной четверти угла α 2 .

Применим формулы на практике.

Видео:Формулы половинного угла. 9 класс.Скачать

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного угла основывается на формулах cos двойного угла cos α = 1 — 2 · sin 2 α 2 и cos α = 2 · cos 2 α 2 — 1 . Упростив первое выражение по sin 2 α 2 , получим саму формулу половинного угла sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 , второе выражение по cos 2 α 2 получим cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 .

Чтобы доказать формулы половинного угла для t g и c t g угла α 2 , необходимо применить основные тригонометрические тождества t g α 2 = sin α 2 cos α 2 и c t g α 2 = cos α 2 sin α 2 , к ним необходимо добавить формулы половинного угла cos и sin , которые доказали выше. При подстановке получим выражения, имеющие вид:

t g 2 α 2 = sin 2 α 2 cos 2 α 2 = 1 — cos α 2 1 + cos α 2 = 1 — cos α 1 + cos α ; c t g 2 α 2 = cos 2 α 2 sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 1 + cos α 2 = 1 + cos α 1 — cos α ;

Все формулы половинного угла были доказаны.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Примеры использования

Покажем применение формул половинного угла при решении примера.

Известно, что cos 30 ° = 3 2 . Необходимо вычислить значение cos 15 градусов, используя формулы половинного угла.

Данный пример рассматривает применение формулы половинного угла для косинуса, имеющей вид cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 .

Следуя из условия, подставляем числовые значения и получаем: cos 2 15 ° = 1 + cos 30 ° 2 = 1 + 3 2 2 = 2 + 3 4 . После получения значения косинуса 15 градусов, необходимо найти само значение косинуса. Для этого вспомним, что угол в 15 градусов принадлежит первой четверти. Там косинус угла имеет положительное значение ( чтобы вспомнить знаки тригонометрических функций, необходимо повторить теорию знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Следуя из вышесказанного, имеем cos 2 15 ° = 2 + 3 4 , тогда cos 15 ° = 2 + 3 4 = 2 + 3 2 . Ответ: cos 15 ° = 2 + 3 2 .

Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида α 2 и α , а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду. Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.

Если формула позволит записывать данное равенство таким образом sin 2 7 α = 1 — cos 14 α 2 или sin 2 5 α 17 = 1 — cos 10 α 17 2 , то формула будет применима.

Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.

Все формулы половинного угла в тригонометрии:

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Формулы половинного угла тригонометрических функций

Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул. Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `frac2` через эти ж функции аргумента `alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла. Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.

Видео:12 часов Тригонометрии с 0.Скачать

Список всех формул половинного угла

Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:

Знак «+» или «-» перед корнями зависит от того, в какую из координатных четвертей попадает угол `frac2`.

Во втором варианте имеем дело с квадратами тригонометрических функций половинного угла:

Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `alpha`.

Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `alpha`, при которых определен `tg frac alpha 2`, то есть при ` alphanepi+2pi n, n in Z`.

Формула котангенса выполняется для тех `alpha`, при которых определен `ctg frac alpha 2`, то есть при ` alphane 2pi n, n in Z`.

С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `alpha` через тангенс половинного угла.

`sin alpha= frac<2tgfrac><1 + tg^frac>,` ` alphane pi +2pi n, n in Z`
`cos alpha= frac<1 — tg^frac><1 + tg^frac>,` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z`
`tg alpha= frac<2tgfrac><1 — tg^frac>,` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z,` ` alpha ne frac+ pi n, n in Z`
`ctg alpha = frac<1 — tg^frac><2tgfrac>,` ` alpha ne pi n, n in Z,` `alpha ne pi + 2pi n, n in Z`

Видео:СИНУС КОСИНУС ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО УГЛА тригонометрияСкачать

Вывод формул половинного угла

Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos 2alpha=1-2 sin^2 alpha` и `cos 2alpha=2 cos^2 alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos alpha=1-2 sin^2 frac alpha 2` и `cos alpha=2 cos^2 frac alpha 2-1`. Выразив из первого равенства ` sin frac alpha 2` получим `sin frac alpha 2=pm sqrt<frac 2>`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos frac alpha 2` в результате будем иметь `cos frac alpha 2=pm sqrt<frac 2>`.

Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg frac alpha 2=frac` и `ctg frac alpha 2=frac`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Примеры использования при решении задач

Пример 1. Найти `cos 15^circ`, если известно, что `cos 30^circ=frac2`.

Решение. Формула половинного угла для тригонометрической функции косинус имеет вид `cos^2 frac alpha 2=frac 2`. Подставив известные значения, имеем `cos^2 15^circ=frac 2=` `frac<1+frac2>2=frac4`. Имея значение `cos^2 15^circ`, найдем `cos 15^circ`. Поскольку угол 15 градусов лежит в первой координатной четверти, а косинус в этой четверти имеет знак «+», то `cos 15^circ=sqrt<frac4>=` `frac<sqrt>2`.

Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos frac 2+2cos alpha+5`, если `cos alpha=frac 8`.

Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos frac alpha 2=pm sqrt<frac 2>`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4sqrt<frac 2>+2cos alpha+5=4sqrt<frac <1+frac 8>2>+2 cdot frac 8+5=` `4sqrt<frac 16>+frac4+5=8frac4`.

Ответ. `4cos frac 2+2cos alpha+5=8frac4`.

Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:

В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.

Видео:Формулы половинного угла. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Тригонометрические формулы половинного угла

Время чтения: 6 минут

Видео:Синус и косинус двойного и половинного угла. Тригонометрия-9Скачать

Определение и формулы половинного угла

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла [frac] при помощи тригонометрических функций угла [a].

Дальше в статье, мы рассмотрим доказательства этих формул, а также примеры их решений.

У этих формул есть ещё одно название, их также называют «формулами понижения степени». Причины такого название кроется в том, что в части слева находится вторая степень синуса и косинуса, а в части справа первая, что означает степень понизилась, но не забывайте, что степени снижается, а аргумент удваивается.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

Формулы половинного угла: примеры

Давайте рассмотрим основные тригонометрические формулы половинного угла в тригонометрии.

Формулы, применяемые как для синуса, так и косинуса половинного угла не зависит от заданного значения угла α. Для тангенса в независимости от угла α определяется следующим видом [tan frac], где значение угла a≠π+2π•z, а значение z равняется любому целому числу. Значение выражения 1+cosα не должно быть равно нулю. Формула котангенса угла будет считаться верной, если любой угол α, где имеет место быть половинный угол α в тригонометрии, принимает следующий вид α ≠2π•z.

Самыми важными тригонометрическими формулами половинного угла являются тригонометрических функций с квадратами, которые могут быть выведены и через положительные, и отрицательное значение арифметического квадратного корня. Получаются следующие формулы половинного угла:

Знак «-» свидетельствуют о том, что тригонометрическая функция определяется четвертью угла [frac]

Видео:Формулы двойного угла. 9 класс.Скачать

Доказательство тригонометрических функций половинного угла

Доказательство тригонометрических формул половинного угла строится на основании формулы косинуса двойного угла [cos alpha=1-2 times frac] и [cos alpha=2 times frac-1]. Упростим первое выражение по [frac], придем к формуле половинного угла в тригонометрии [frac=frac], упростим по тому принципу второе выражение [frac], получаем выражение [frac=frac].

Для доказательства формул половинного угла для тангенса и котангенса угла [frac] применим основное тригонометрическое тождество:

В основное тригонометрическое тождество нужно подставить тригонометрические формулы половинного угла косинуса и синуса, доказанные выше. При подстановке получаем выражение следующего вида:

Посмотрим применение форму тригонометрического половинного угла на решение примеров.

Рассмотрим первое задание.

Найдите cos15°, если известно, что [cos 30^=frac<sqrt>].

Решение данного задания.

Воспользуемся формулой половинного угла для функции косинус в тригонометрии имеет следующий вид [frac <cos ^alpha>=frac].

Подставим значения, которая известная, в указанную тригонометрическую формулу:

Так как у нас имеется значение 15°, найдем cos15°.

Так как угол 15° находится в первой координатной четверти, а косинус там имеет положительное значение, то [cos 15^=frac<sqrt<2+sqrt>><sqrt>=frac<sqrt<2+sqrt>>]