Тригонометрические уравнения метод вспомогательного аргумента

Рассмотрим метод введения дополнительного угла на примере решения следующей задачи.

ЗАДАЧА . Найти наибольшее и наименьшее значения функции

РЕШЕНИЕ . Заметив, что

преобразуем правую часть формулы (1):

Отсюда вытекает, что выражение (1) можно переписать в виде:

ОТВЕТ . Наибольшее значение функции (1) равно , наименьшее значение функции (1) равно

ЗАМЕЧАНИЕ . В рассмотренной задаче угол и является дополнительным углом.

Теперь докажем формулу дополнительного угла (вспомогательного аргумента) в общем виде. Для этого рассмотрим выражение

где a и b – произвольные, отличные от нуля числа, и преобразуем его:

Введем дополнительный угол (вспомогательный аргумент) φ , у которого:

(4)

В случае, когда a и b являются положительными числами, в качестве дополнительного угла можно взять, например, угол

Тогда выражение (3) принимает вид:

Таким образом, мы получили формулу

которую и называют формулой дополнительного угла (вспомогательного аргумента).

Если же дополнительный угол, в отличие от формул (4), ввести по формулам

то выражение (3) примет вид

и мы получаем другой вид формулы дополнительного угла:

Видео:ГРОБ в №13 на ЕГЭ 2021 по математике. Метод вспомогательного угла. Тригонометрия и ФСУСкачать

Метод введения вспомогательного угла

Видео:Однородные уравнения и метод вспомогательного аргумента. Тригонометрические уравнения Часть 4 из 6.Скачать

Преобразование выражения a sin х + b cos х путем введения вспомогательного угла

Лемма . Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рассматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла.

Другими словами, если а 2 + b 2 = 1, то существует угол φ, такой, что

Прежде чем доказывать эту лемму, поясним ее на следующем примере:

Поэтому существует угол φ, такой, что ( frac ) = cos φ; 1 /₂ = sin φ.

В качестве φ в данном случае можно выбрать любой из углов 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 • 360° и т. д.

Рассмотрим вектор (vec) с координатами (а, b). Поскольку а 2 + b 2 = 1, длина этого вектора равна 1. Но в таком случае его координаты должны быть равны cos φ и sin φ, где φ — угол, который образует данный вектор с осью абсцисс.

Итак, а = cos φ; b =sin φ, что и требовалось доказать.

Доказанная лемма позволяет преобразовать выражение a sin х + b cos х к более удобному для изучения виду.

Прежде всего вынесем за скобки выражение (sqrt)

Но в таком случае

a sin х + b cos х = (sqrt)(cos φ sin х + sin φ cos х) = (sqrt) sin ( x + φ )

a sin х + b cos х = (sqrt) sin (x + φ) , где угол φ определяется из условий

1) ( sin x + cos x = sqrt2 (frac sin x + fraccos x) = sqrt2 (cosfracsin x + sinfraccos x ) =\= sqrt2(sinx + frac) )

Полученную формулу sin x + cos x = (sqrt2(sinx + frac))полезно запомнить.

2) Если одно из чисел а и b положительно, а другое отрицательно, то выражение
a sin х + b cos х удобнее преобразовывать не к синусу суммы, а к синусу разности двух углов. Так,

$$ 3sinx — 4cosx = sqrt(frac<sqrt>sinx — frac<sqrt>cosx) =\= 5(sinxcdotfrac — cosxcdotfrac) = 5sin(x — phi), $$

где под φ можно подразумевать любой угол, удовлетворяющий условиям:

В частности, можно положить φ = arctg 4 /₃. Тогда получим:

3 sin х — 4 cos x = 5 sin (x — arctg 4 /₃).

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

Тема 19. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Введение вспомогательного аргумента. Методы замены неизвестного. Способ преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) по теме

Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным экзаменам по математике в вузы, проводимым как в форме письменных контрольных работ, так и в форме тестирований.

Имея многолетний положительный опыт подготовки школьников и абитуриентов к экзаменам по математике, проводимым в разных формах, считаю целесообразным поделиться своими разработками со всеми заинтересованными в них лицами.

Тема 19. «Тригонометрические уравнения. Введение вспомогательного аргумента. Методы замены неизвестного. Способ преобразования произведения тригонометрических функций в сумму» содержит теоретические сведения, систематизированный набор ключевых методов решения типовых задач, сопровождающихся подробным разбором решений. По каждому методу приводятся упражнения с ответами для закрепления изучаемого материала.

Материал будет полезен для использования учителями общеобразовательных учреждений на элективных курсах и факультативных занятиях по математике для подготовки учащихся к ЕГЭ, абитуриентов при подготовке к вступительным экзаменам в вузы.

Видео:Решение тригонометрических уравнений методом вспомогательного углаСкачать

Скачать:

Видео:Метод вспомогательного аргумента решения тригонометрических уравнений Подготовка к ГВЭ11+ЕГЭ #89Скачать

Предварительный просмотр:

Тема 19. Тригонометрические уравнения.

Введение вспомогательного аргумента. Методы замены неизвестного.

Способ преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

VII. Введение вспомогательного аргумента.

Этим методом решаются уравнения вида

Уравнение решается по следующему плану:

1) записываем уравнение в виде

Соответствующее значение существует, т.к. выполнено характеристическое свойство

3) уравнение принимает вид то есть — это простейшее уравнение.

Примеры. Решить уравнение.

Решение: тогда Перепишем исходное уравнение в виде . Далее необходимо учесть, что тогда рассматриваемое уравнение можно записать в виде а затем с помощью формулы синуса суммы перейти к уравнению

Тогда уравнение перепишем в виде

Полагая , приходим к уравнению

Так как (или ), то ( ).

1. Найти число корней уравнения на интервале

Подсчитаем число корней, принадлежащих интервалу При

При и корни не принадлежат интервалу следовательно, число корней равно 4.

VIII. Методы замены неизвестного (подстановка).

Применение некоторых замен неизвестного приводит к упрощению соответствующих уравнений.

Примеры. Решить уравнение.

Решение. Сделаем замену, обозначив . Выразим из этой замены , получим . Итак, подставив в уравнение выражения и , получим квадратное уравнение . Следовательно, . Первое уравнение совокупности не имеет решений, так как Решим второе уравнение совокупности.

Замечание . Если тригонометрическое уравнение содержит разность синуса и косинуса и их произведение, то используют замену ,

Решение. Воспользуемся формулой и перепишем данное уравнение иначе

Обозначим . Получаем . Тогда . Второе уравнение совокупности решений не имеет. Решим

1. Ответ:
2. Ответ:
3. Ответ:

IX. Способ преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Сущность способа поясним на примерах.

Пример. Решить уравнение

Решение. Применим к обеим частям уравнения формулу получим Воспользуемся формулой Получим

1. Ответ:
2. Ответ:
3. Число корней уравнения на интервале равно.

🎦 Видео

Метод введения вспомогательного аргумента. Видеоурок 34. Алгебра 10 классСкачать

Метод вспомогательного аргумента. Тригонометрия. ЕГЭ 13 ЗаданиеСкачать

Подготовка к ЕГЭ #89. Метод вспомогательного аргумента решения тригонометрических уравненийСкачать

Метод вспомогательного аргумента. Н.А. ЛебедеваСкачать

Формула дополнительного угла. Тригонометрия-17Скачать

Тригонометрические уравнения в ЕГЭ. Метод вспомогательного углаСкачать

✓ Вспомогательный угол 2.0 | Трушин опять налажал | В интернете кто-то неправ #002 | Борис ТрушинСкачать

Изи ЕГЭ. Математика. Задание 13: метод вспомогательного углаСкачать

Сложная тригонометрия на вспомогательный угол и оценку (Ткачук)Скачать

НШ | Профильная математика. Задание 13. Метод вспомогательного аргумента.Скачать

Как решать тригонометрические уравнения с помощью введения вспомогательного угла. Видеоурок #49Скачать

МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА.Скачать

ДВИ #3. Метод вспомогательного аргумента. Системы тригонометрических уравненийСкачать

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать