Тригонометрические уравнения арксинус и решение уравнения sin t a

Арксинусом числа (a) ((a∈[-1;1])) называют число (x∈[-frac;frac]) синус которого равен (a) т.е.

Проще говоря, арксинус обратен синусу.

На круге это выглядит так:

Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Как вычислить арксинус?

Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от (-frac) до (frac) ) равен аргументу арксинуса?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) Синус какого числа равен (-frac)? Или в более точной формулировке можно спросить так: если (sin ⁡x=-frac), то чему равен (x)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между (-frac) и (frac). Ответ очевиден:

б) Синус какого числа равен (frac<sqrt>)? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ (frac).

в) Синус от чего равен (-1)?
Иначе говоря, (sin ⁡x=-1), (x=) ?

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:

Видео:10 класс - Алгебра - Арксинус. Решение уравнения sin t = aСкачать

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения (sin x=a)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: (sin ⁡x=frac).

Это не вызывает затруднений:

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: (sin ⁡x=frac).

Что тут будет ответом? Не (frac), не (frac), даже не (frac) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно (arcsin⁡frac), потому что известно, что синус равен (frac). Длина дуги от (0) до правой точки тогда тоже будет равна (arcsin⁡frac). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному (arcsin⁡frac) от (π), то её значение составляет (π- arcsin⁡frac).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: ( left[ beginx=arcsin frac+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac+2πl, l∈Zendright.) Без арксинусов решить уравнение (sin ⁡x=frac) не получилось бы. Как и уравнение (sin ⁡x=0,125), (sin ⁡x=-frac), (sin⁡ x=frac<sqrt>) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только (9) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac<sqrt>).
Решение:

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac<sqrt>).

Решение:
Кто поторопился написать ответ ( left[ beginx=arcsin frac<sqrt>+2πn, n∈Z\ x=π-arcsin frac<sqrt>+2πl, l∈Zendright.), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров (arcsin⁡ frac<sqrt>) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух (frac<sqrt> = frac<1 cdot sqrt> <sqrtcdot sqrt>= frac<sqrt>). Таким образом, получаем:

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать (frac).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: (sin ⁡x=frac).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать ( left[ beginx= arcsin frac+2πn, n∈Z\ x=π- arcsinfrac+2πl, l∈Zendright.) на ЕГЭ потеряет (2) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать (arcsin⁡frac)? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен (1) и больше или равен (-1). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Если (sin ⁡x) равен не табличному значению между (1) и (-1), то решения будут выглядеть как: ( left[ beginx= arcsin a +2πn, n∈Z\ x=π- arcsin a +2πl, l∈Zendright.)

Видео:Арксинус. Решение уравнения sin t = a | Алгебра 10 класс #27 | ИнфоурокСкачать

Арксинус отрицательного числа

Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:

Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:

Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись (arcsin⁡(-frac<sqrt>)) в принципе неверна, ведь (-frac<sqrt> Синус
Тригонометрические уравнения

Видео:Уравнение sinx=aСкачать

Арксинус и решение уравнения sin t =a

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение арксинуса и решение уравнений вида sin t = a. В начале урока решим уравнение с нетабличным значением и рассмотрим решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения sin t = a, рассмотрим различные формы записи ответа и рассмотрим некоторые важные частные случаи решения. В конце урока решим несколько более сложных уравнений.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Урок алгебры в 10 классе по теме: «Арксинус. Решение уравнения sin t=a»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

План -к конспект урока по алгебре и началам анализа 10 класс по теме: «Арксинус. Решение уравнения sin t= a».

Презентация к уроку.

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Скачать:

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

Предварительный просмотр:

МОБУ СОШ д. Константиновка муниципального района

Кармаскалинский район РБ

План – конспект урока

по алгебре и началам анализа

по теме: «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»

Подготовила и провела: учитель математики

Мухаметшина Лидия Расиховна

сформировать у учащихся понятие арксинуса; вывести общую формулу решения уравнения sin t = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;

Развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения; развивать умения классифицировать, сравнивать свои утверждения;

Обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе, воспитывать трудолюбие и целеустремленность.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, раздаточный материал, презентация «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. М: Мнемозина, 2010.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник. М: Мнемозина, 2010.

1. Организационный этап (1 минута)

Приветствие. Проверка присутствующих в классе.

1. Краткое повторение изученного материала, актуализация опорных знаний (5 минут)

Устный счет (задания проецируются на интерактивном экране ( слайд )

1. Вычислите: sin π/3; sin 2π/3 ; sin π/ 2 ; sin π/6 .

Точки единичной окружности, π/3; 2π/3 ;

принадлежат какой четверти?

Точки единичной окружности π/3; 2π/3 ; π/ 2 ; π/6 принадлежат 1 и 2 четверти

Синус какого угла есть величина положительная?

Вывод: Синус острого угла есть величина положительная.

— Если угол принадлежит 1 и 2 четверти

1. Повторение способов решения уравнения вида sin t = a, (де а – действительное число), с помощью числовой окружности.

• Решим уравнение: sin t = .

Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости (рисунок 1), получаем пару решений данного уравнения:

Введение проблемной ситуации: Любое ли тригонометрическое уравнение вида sin t = a можно решить с помощью числовой окружности? Как решать уравнение sin t = .

1. Оглашение темы урока и постановка целей (1 минута)

Сегодня мы с вами узнаем, как решать подобные уравнения, и как записывать решения подобных уравнений.

Тема сегодняшнего урока: «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»

Сегодня на уроке мы введем понятие арксинуса; выведем общую формулу решения уравнения sin t = a; выработаем алгоритм решения данного уравнения.

1. Изучение нового материала (16 минут)

Давайте попробуем решить уравнение sin t = .

С помощью числовой окружности (рисунок 2) получим:

t = t 1 + , t = t 2 + .

где t 1 – длина дуги АМ , а t 2 – длина дуги АР (так как АР=АС-РС, АС=π, а РС=АМ , получаем что t 2 = π- t 1 ).

Когда впервые возникла ситуация с решением уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arcsin а . Читается: арксинус а («arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t 1 и t 2 записываются следующим образом:

t 1 = arcsin , t 2 = π – arcsin .

Теперь с помощью этого символа корни уравнения sin t = а можно записать так:

Давайте попробуем ответить на вопрос: «Что же означает arcsin а ?»

Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.

№ 16.1 (в,г) (по задачнику)

С помощью числовой окружности (рисунок 3) и символа arcsin а получим:

Ответим на вопрос: «Что же означает arcsin ( — ) ?»

Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен ( — ) и которое принадлежит четвёртой четверти числовой окружности.

Сформулируем определение арксинуса в общем виде:

Если , то arcsin а – это такое число из отрезка , синус которого равен а.

Заметим два обстоятельства:

1. Дуги АМ и АL равны по длине и противоположны по направлению, значит (рисунок 4)

=АС-АL=π- arcsin ( — )

Обобщим полученные выше решения и запишем:

Если , то уравнение sin t =a имеет две серии решений:

Решение примеров: по задачнику: № 16.2 (в, г), 16.4 (в)

1. Обобщение изученного материала

Итак, давайте составим алгоритм решения уравнения вида sin t =a :

• составить общую формулу;
• вычислить значение arcsin a ;
• подставить найденное значение в общую формулу

Пример . Решите уравнение sin t = .

Составим общую формулу решения:

Вычислим значение арксинуса:

Подставим найденное значение в формулы решений:

1. Решение уравнения: по задачнику: № 16.5 (б, в), 16.6 (в, г)

§16, с. 92 – 97. (прочитать).

Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арксинуса; вывели общую формулу решения уравнения sin t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.

Спасибо за урок!

Метод «Сезоны года»

Цель: получить обратную связь от учеников, выяснить их содержательное и эмоциональное впечатления от прошедшего урока.

Материал: листочки разных цветов, отражающие времена года: белый – зима, красный — лето, зеленый – весна и желтый – осень.

красный -урок понравился, было интересно, научился многому

синий — урок понравился, было любопытно

желтый — урок оставил равнодушным, было скучновато, еще не до конца разобрался

белый — урок не понравился, было скучно, ничего не понял

Проведение: учитель предлагает ученикам оценить свое состояние после урока с помощью ассоциаций, связанных с сезонами года. Каждый обучающийся выбирает один или несколько листочков, отражающий его эмоциональное отношение к уроку и комментируют свой выбор. Заполненные карточки обучающиеся приклеивают на доске. Из получившейся картинки можно узнать об уроке.

💡 Видео

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Мордкович 10-11 16 параграф Арксинус. Решение уравнения sint=aСкачать

КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

10 класс. Решение уравнений sin x = aСкачать

Обратные тригонометрические функции, y=arcsinx и y=arccosx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=cosx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 2 часть. 10 класс.Скачать

Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 7 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать