Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Министерство просвещения Приднестровской Молдавской Республики
МУ «УНО г.Бендеры»
МОУ «Бендерский теоретический лицей»
Тема :Использование тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач.
Яценко Таисия Петровна, 10-В
Сукманская Татьяна Александровна, 10-В
МОУ «Бендерский теоретический лицей»
Кожухарова Т.А., учитель математики первой
Шведюк И.Н., учитель математики,
мл.научный сотрудник НИЛ «Дидактика математики»
- Оглавление
- ВВЕДЕНИЕ
- Глава 1. Развитие тригонометрии.
- Исторические сведения о развитии тригонометрии.
- Дипломная работа: Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач
- Выпускная квалификационная работа
- Е. М. Ковязина
- Литература. 65
- Алгебраическое решение
- Алгебраическое решение
- Возведем обе части уравнения в квадрат
- Итак, исходное уравнение имеет единственный корень
- Алгебраическое решение
- Алгебраическое решение
- Так как выражение от правой части равенства четное и и , выясним вопрос о наличии корней на промежутке . Проверкой устанавливаем, что – корень. Рассмотрим функции от правой и левой частей уравнения, то есть функции и . Так как
- Алгебраическое решение
- .
- Заключение
- Основные методы решения тригонометрических уравнений
- п.1. Разложение на множители
- п.2. Приведение к квадратному уравнению
- п.3. Приведению к однородному уравнению
- п.4. Введение вспомогательного угла
- п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
- п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
- п.7. Понижение степени
- п.8. Замена переменных
- п.9. Использование ограничений области значений функций
- п.10. Примеры
- 📺 Видео
Видео:Тригонометрические уравнения которые сводятся к алгебраическим. Метод: замены переменных.Скачать
Оглавление
Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
ВВЕДЕНИЕ
На уроках алгебры мы заметили, что для решения тригонометрической задачи часто используются подстановки, сводящие эту тригонометрическую задачу к алгебраической. И у нас возник вопрос: можно ли при помощи тригонометрической подстановки решать алгебраические уравнения и их системы. А главное – будет ли такой способ решения проще.
Мы выдвинули гипотезу : для некоторых алгебраических уравнений тригонометрическая подстановка значительно упрощает само решение.
Также мы поставили перед собой цель : рассмотреть решение алгебраических уравнений с помощью тригонометрических подстановок.
Объектом нашего исследования являются алгебраические уравнения и способ их решения при помощи подстановок.
Актуальность исследования состоит в том, что решение алгебраических уравнений данным способом можно использовать присдачи ЕГЭ и вступительных экзаменов в ведущие вузы России. И данное решение обладает особой красотой и изяществом.
В связи с этим мы выдвинули задачи:
Проанализировать научную и исследовательскую литературу по данной теме
Систематизировать и обобщить знания о тригонометрических формулах при решении алгебраических задач
Научиться решать уравнения, системы, задачи, а также исследовать функции с помощью тригонометрических формул
Выяснить практическую значимость выбранной темы.
Для проведения исследования мы выбрали следующие методы:
Теоретические: анализ литературы, рассмотрение условий, при которых применяется та или иная подстановка.
Математические: метод замены переменных, применение различных тригонометрических формул.
Главная идея работы заключается в том, чтобы научиться решать алгебраические задачи методом тригонометрических подстановок.
Практическое применение: Данная работа и ее результаты могут быть использованы на уроках, посвященных подготовке к ЕГЭ, а также на факультативах по алгебре и геометрии.
Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
Глава 1. Развитие тригонометрии.
Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать
Исторические сведения о развитии тригонометрии.
Название науки — тригонометрия появилось не так давно, но многие тригонометрические понятия были известны человечеству более двух тысяч лет назад. Появление тригонометрии было неразрывно связано с развитием ремёсел, земледелия и астрономии. Греческое слово тригонометрия означает не что иное, как измерение треугольников или решение треугольников (определение его сторон, углов). Но, как оказалось, именно на принципах решения треугольников основано решение многих практических задач.
Гиппарх и КлавдийПтолемей , жившие более двух веков назад до нашей эры, первые нашли зависимость между сторонами и углами треугольника. Так появились первые тригонометрические функции. 
Вместо современной функции синуса Гиппарх и другие древнегреческие математики обычно рассматривали зависимость длины хорды окружности от заданного центрального угла. В современной терминологии, длина хорды, стягивающей дугу единичной окружности, равна удвоенному синусу центрального угла. Это соответствие справедливо для любых углов: 0° sin 2 α+cos 2 α=1 соответствовала у греков теорема:
Ибн Юнис (X век) открыл преобразование произведения тригонометрических функций в сумму, например:
Формулы преобразования позволяли заменить трудоёмкое умножение на более простое сложение или вычитание. Впоследствии в Европе эти же формулы использовали для противоположной цели — замены сложения и вычитания на умножение, чтобы затем для вычисления результата применить логарифмические таблицы.
Томас Финке предложил оригинальное решение геодезической задачи: найти углы треугольника, если известна их суммаα+βи отношение противолежащих сторон α:β. Для решения Финке использовал формулу Региомонтана: 
Только в 18 веке знаменитый математик, член Петербургской Академии наук, Леонард Эйлер провел блестящий математический анализ и первым ввел известные всем определения тригонометрических функций. Так возникли тригонометрические формулы. С применение тригонометрических формул доказательства различных фактов стали гораздо лаконичнее и проще. Математика продвинулась на большой шаг вперёд.
Новые формулы значительно облегчили исследования в области механики, оптики, электричества, радиотехники, астрономии и т. п.
Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать
Дипломная работа: Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач
| Название: Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач Раздел: Рефераты по математике Тип: дипломная работа Добавлен 21:28:58 27 августа 2010 Похожие работы Просмотров: 416 Комментариев: 11 Оценило: 2 человек Средний балл: 4.5 Оценка: неизвестно Скачать | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
удалось преобразовать к виду 
, то нужно ввести новую переменную 
, решить уравнение 
, а затем рассмотреть совокупность уравнений
– корни уравнения 
из рассматриваемой области соответствует хотя бы одно значение 
, удовлетворяющее равенству 
, то удобны замены 
или 
. В первом случае достаточно рассмотреть 
, так как на этом промежутке непрерывная функция 
возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Непрерывная функция 
убывает на промежутке 
, поэтому также каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Вот почему в случае замены 
. Причем какую из двух подстановок выбрать, зависит от конкретной ситуации.
или 
, так как область значения функции 
и 
на соответствующих промежутках есть множество всех действительных чисел.
или 
, где 
, а выбор значений 
снова зависит от конкретной ситуации.
, целесообразно положить 
, где 
. Такая замена законна. Действительно, для любых 
, что 
. При 
имеем 
. А числа, сумма квадратов которых равна единице, по модулю не превосходят единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Геометрический смысл такой замены состоит в следующем: для каждой точки 
определяется расстояние 
до начала координат и угол 
[12].
, то 
. Уравнение примет вид
.
, где 
, тогда
.
.
.
.
.
, то 
. Значит, 
, поэтому можно раскрыть модуль
.
[14].
, что равносильно условию 
, тогда 
. Поэтому можно положить 
. Уравнение примет вид
.
, то 
. Раскроем внутренний модуль
.
, тогда
.
удовлетворяют два значения 
и 
.
.
.
.
.
.
, тогда 
. Уравнение перепишется в виде
.
– корень, тогда делением многочлена 
на двучлен 
получаем разложение правой части уравнения на множители
.
перейдем к переменной 
.
удовлетворяют два значения
.
– корень.
тоже корень.
[31].
, то 
. Заметим, что отрицательное значение неизвестного не может быть решением задачи. Действительно, преобразуем исходное уравнение к виду
.
, тогда 
, поэтому можно положить 
Исходное уравнение перепишется в виде
.
, то 
и 
. Уравнение примет вид
.
. Перейдем от уравнения к равносильной системе
.
и 
являются корнями квадратного уравнения
.
.
.
.
, тогда уравнение запишется в виде
.
.
, то 
.
, которое сводится введением замены к системе уравнений. В определенном смысле эту замену тоже можно считать нестандартной, а знакомство с ней позволяет обогатить арсенал приемов и методов решения тригонометрических уравнений.
[4].
. Тогда
,
,так как 
.
.
, поделим обе части уравнения на 
, получим
.
, тогда 
. Уравнение примет вид
.
.
.
.
.
не может быть значением синуса, так как 
для любых значений аргумента.
.
.
и правая часть исходного уравнения положительна, то 
.
.
.
.
.
, предложенную И. Ф. Шарыгиным [57].
, тогда
Преобразуем правую часть уравнения 
.
.
, тогда
.
, а 
.
.
, то решать стандартно возведением обеих частей уравнения в квадрат проблематично, так как в результате получается уравнение восьмой степени 
, найти корни которого чрезвычайно сложно. Решение с помощью тригонометрической подстановки выглядит громоздким. Могут возникнуть трудности с поиском корней уравнения 
, если не заметить, что оно является возвратным. Решение указанного уравнения происходит с применением аппарата алгебры, поэтому можно сказать, что предложенное решение является комбинированным. В нем сведения из алгебры и тригонометрии работают совместно на одну цель – получить решение. Также решение указанного уравнения требует аккуратного рассмотрения двух случаев. Решение заменой 
технически проще и красивее, чем с помощью тригонометрической подстановки. Желательно, чтобы учащиеся знали такой способ замены и применяли его для решения задач.
[51].
может принимать любые действительные значения, можно положить 
. Уравнение примет вид
.
, можно раскрыть модуль
.
.
.
Проверкой убеждаемся, что 
– корень.
[37].
. Действительно, если
.
. Тогда каждому корню 
исходного уравнения будет соответствовать ровно один корень 
, где 
. Наоборот, каждому корню 
уравнения соответствует ровно один корень исходного уравнения. Таким образом, задача может быть переформулирована так: сколько корней на промежутке 
имеет уравнение
.
и 
, то можно взять 
. Заметим, что если 
— корень данного уравнения, то и 
тоже корень. Вот почему достаточно рассмотреть 
, то есть отыскать только положительные решения. С учетом выше изложенного исходное уравнение перепишется в виде
.
, получим
.
. Проверкой устанавливаем, что 
– корень. Рассмотрим функции от правой и левой частей уравнения, то есть функции 
и 
. Так как
и 
, что 
. Поэтому на промежутке 
уравнение имеет три корня, а на всей числовой прямой – шесть корней.
.
.
, тогда 
. Получили, что при 
. Уравнение примет вид
.
удовлетворяют три значения
.
.
.
, тогда уравнение перепишется в виде
.
, получим
.
.
. Перейдем к переменной 
, а затем к переменной 
.
.
[3].
равен единице, то каждое из этих чисел по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Поэтому можно положить 
Второе уравнение системы примет вид
.
удовлетворяют четыре значения
.
.
.
.
.
; 
; 
; 
.
.
, тогда 
. Имеем
.
так, чтобы многочлен, стоящий в правой части равенства, стал полным квадратом. Для этого он должен иметь один двукратный корень, то есть
.
является корнем уравнения
.
, после чего оно примет вид
.
[18].
. Попытки доказать, что система не имеет других решений, положительных результатов не дают. Неоценимую помощь в решении такого класса задач оказывает метод тригонометрической подстановки.
.
по абсолютной величине не превосходят единицы. Пусть 
, то 
. Пришли к противоречию. Если число 
, то 
. Опять пришли к противоречию. Итак 
.
, 
, 
. Число решений исходной системы равно числу решений уравнения
.
.
.
[43].
неравенство верное.
найдется угол 
, что 
. Исходное неравенство примет вид
.
, то 
. Умножим обе части неравенства на 
, получим
.
.
. Доказать, что 
[9].
и 
равна единице, то каждое из чисел 
.
. Доказываемое неравенство запишется в виде
.
.
в области
[25].
. Следовательно, каждое из выражений 
и 
. Выразим 
.
, наименьшее значение равно 
.
и радиусом 
. Пусть в точке с координатами 
выражение 
.
.
.
.
.
, если 
[24].
.
и 
равна единице, поэтому каждое из этих выражений по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Вот почему можно положить 
. Выразим сумму квадратов 
.
, наибольшее значение 
.
, ответ можно получить, если найти множество всех ее значений. Хотя это и более общая задача, но ее решение оказывается более простым. Причем число 
имеет хотя бы один корень. Поэтому требуется найти все такие значения параметра 
,
.
система решений не имеет, поэтому уравнение можно разделить на 
.
.
.
система имеет решения. Пусть 
подставим во второе уравнение
.
только положительные числа, значит, полученное уравнение имеет решения. Соответственно, имеет решение и вся система. Промежуток 
, если 
[16].
. Геометрический смысл такой замены: для каждой точки 
кольца 
до начала координат и угол 
. Произведем замену в данном выражении
.
– это отрезок 
, то множество значений выражения 
– отрезок
.
, наибольшее значение 3.
[42].
принимает наибольшее значение.
и 
рана единице, то каждое из них по абсолютной величине не превосходит единицы, поэтому их можно рассматривать как синус и косинус некоторого аргумента. Вот почему будет законна подстановка 
. Аналогично обосновывается введение замены 
. Тогда неравенство системы перепишется в виде
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
, а значит, наибольшее значение выражения 
, то есть 
. Можно записать
.
в первое уравнение исходной системы и найдем 
.
.
.
.
.
.
и 
по модулю не превосходят единицы, можно проиллюстрировать графически. Уравнение 
задает окружность с центром в начале координат и радиуса 2 .
, тогда 
.
[45].
, то 
. Уравнение примет вид
.
, то данное уравнение корней не имеет.
. Так как 
, то 
имеем
.
.
, то данное уравнение корней не имеет.
, то есть 
. Отсюда 
. Тогда данное уравнение имеет один корень
.
, то исходное уравнение имеет два корня
.
,
.
или 
, то данное уравнение корней не имеет.
.
, то уравнение имеет два корня 
.
.
. Выясним, при каких значениях 
, то есть решим неравенство
.
.
.
, тогда
, где 
.
.
. Значит, при 
неравенство имеет решение.
, то неравенство примет вид
.
неравенство имеет решение.
, получим
.
, тогда
.
.
.
. Тогда наименьшее значение выражения 
, а значит наименьшее значение выражения 
.
и возведением в квадрат. Решение задачи завершается тем, что заслушивается решение каждым способом, после чего происходит обсуждение сильных и слабых сторон каждого метода решения.
.
.
.
.
.
в области 
.
.
.
.
в области 
.
.| Фамилия | 1 задание | 2 задание | 3 задание | |
| 1 | Бакулин | + |  | |
| 2 | Бизяев |  | | |
| 3 | Вахрушев | | | |
| 4 | Витвицкий | + |  | +д |
| 5 | Громазин | + | | к |
| 6 | Давидюк | + | | |
| 7 | Жичкина | + | + | * |
| 8 | Журавлев | + | | |
| 9 | Касьянов | + | | |
| 10 | Колупаева | | | * |
| 11 | Коновалов | | | |
| 12 | Коробейников | | + | +д |
| 13 | Макарова | + | | |
| 14 | Новоселов | + | | * |
| 15 | Овчинников | | | |
| 16 | Прокашев | + | | |
| 17 | Сероглазов | | * | * |
| 18 | Скачилова | + | | |
| 19 | Хохлов | | | |
| 20 | Черняк | + | | +д |
| 21 | Шильников | | | – |
| Процент учащихся, верно выполнивших задание | 57% | 100% | 67% | |
| Процент учащихся, выбравших тригонометрическую подстановку | 100% | 100% | 86% | |
| Процент учащихся, верно решивших с помощью тригонометрической подстановки[2] | 57% | 100% | 67% | |
| Процент учащихся, обосновавших введение тригонометрической подстановки | 100% | 14% | 22% | |
| Процент учащихся, верно решивших другим способом | – | – | 100% | |
Первое задание – решение иррационального уравнения – все учащиеся выполнили с помощью тригонометрической подстановки, причем во всех работах было представлено полное обоснование возможности введения этой подстановки. В восьми работах решение оказалось с ошибками. Все учащиеся, использовавшие подстановку 
, где 
, допустили ошибки. Это было связано с тем, что в результате преобразований исходного уравнения в правой части получалась формула синуса тройного аргумента с отрицательным знаком, который был утерян. Потерю знака удалось избежать тем учащимся, которые выбрали подстановку 
, где 
. Ошибки в решении при такой подстановке были связаны с неверным отбором корней.
Второе и третье задания были посвящены нахождению наибольшего и наименьшего значений функции.
Второе задание всеми учащимися было решено верно, при этом в качестве метода решения был выбран метод тригонометрической подстановки. Но в отличие от решения первого задания, во втором только двое учащихся дали аргументированное решение с полным обоснованием возможности введения тригонометрической подстановки. В одной работе эта возможность не получила достаточно полного обоснования. Остальные восемнадцать учащихся приступили к решению без доказательства возможности введения замены, причем из них только один верно указал, что 
.
К решению третьего задания приступили двадцать учащихся из двадцати одного. Из них трое решали алгебраическим способом и полностью справились с решением. Один ученик начал решение алгебраическим способом, получил промежуточный результат, который использовал при решении с помощью тригонометрической подстановки, но все решение не было доведено до конца. Шестнадцать учащихся применили метод тригонометрической подстановки для решения, но ни в одной из этих работ не было обоснования введения этой подстановки, и только четверо указали, что 
. Из шестнадцати работ шесть содержат ошибки. В трех решение было завершено после того, как было найдено наибольшее значение выражения, в то время как задание состояло в том, чтобы найти такие решения системы, при которых данное выражение принимает наибольшее значение. В остальных трех работах были допущены вычислительные ошибки.
Перейдем к разбору дополнительного задания. Оно содержало уравнение с параметром, для которого требовалось исследовать количество решений в зависимости от параметра. Из двадцати одного ученика к заданию на дополнительную оценку приступили двадцать человек, из них половина верно справилась с ним. Семеро из верно решивших учащихся опирались на графическую иллюстрацию, трое – использовали алгебраический подход. Из не решивших десяти человек семеро привели исходное уравнение с помощью тригонометрической подстановки к виду 
и продолжили решение для . Они не учли, что аргумент правой части равенства 
. Трое не рассмотрели все возможные случаи.
Этап 3. Проведение диагностирующей домашней контрольной работы.
Домашняя контрольная работа была проведена после завершающего четвертого занятия перед написанием итоговой контрольной работы.
1. Решите уравнение 
.
2. Решите уравнение 
.
3. Решите уравнение 
.
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 
в области 
.
| Фамилия | 1 задание | 2 задание | 3 задание | 4 задание | |
| 1 | Бакулин | +д | + | + | |
| 2 | Бизяев | +д | + | | |
| 3 | Витвицкий | + | +к | + | + |
| 4 | Громазин | + | + | + | – |
| 5 | Давидюк | + | + | + | * |
| 6 | Жичкина | –с | + | + | – |
| 7 | Журавлев | + | + | + | * |
| 8 | Коновалов | + | + | + | + |
| 9 | Коробейников | +с | + | + | |
| 10 | Макарова | + | + | + | |
| 11 | Новоселов | + | + | – | * |
| 12 | Овчинников | + | + | | + |
| 13 | Прокашев | + | + | + | + |
| 14 | Сероглазов | +д | + | + | * |
| 15 | Скачилова | + | + | + | |
| 16 | Хохлов | +д | + | + | + |
| 17 | Черняк | +с | + | + | |
| 18 | Шильников | + | + | + | * |
| Процент учащихся, верно выполнивших задание | 94% | 100% | 83% | 89% | |
| Процент учащихся, выбравших тригонометрическую подстановку | 72% | 100% | 100% | 100% | |
| Процент учащихся, верно решивших с помощью тригонометрической подстановки | 92% | 100% | 83% | 89% | |
| Процент учащихся, обосновавших введение тригонометрической подстановки | 100% | 100% | 100% | 56% | |
| Процент учащихся, верно решивших другим способом | 87,5% | – | – | – | |
| Процент учащихся, решавших двумя способами | 17% | 0% | 0% | 0% | |
Первые три задания были посвящены решению иррациональных уравнений. Причем решить первое уравнение было рекомендовано двумя способами: с помощью тригонометрической подстановки и без нее. Это было сделано с той целью, чтобы показать учащимся: не всегда введение тригонометрической подстановки упрощает решение. Иногда применение стандартного метода для решения задач оказывается более эффективным. Таким образом, уравнение было призвано обратить внимание учащихся не необходимость обдуманного введения тригонометрической подстановки. Пример не вызвал серьезных затруднений, из восемнадцати работ только в одной были ошибки. Как правило, для решения учащиеся выбирали и обосновывали подстановку
.
Одним учащимся был предложен другой вариант тригонометрической подстановки
,
но само решение оказалось более громоздким.
Со вторым заданием справились все учащиеся.
В третьем задании ошибки возникли у трех учащихся из восемнадцати и были связаны с неверным отбором корней.
Вновь наибольшие затруднения вызвало задание на нахождение наибольшего и наименьшего значений выражения. Даже среди тех, кто получил верный ответ, немногие обосновали введение тригонометрической подстановки.
Этап 4. Анализ полученных результатов опытной работы.
Результаты контрольной и домашней контрольной работ можно представить в виде диаграмм.
Процент учащихся, выбравших тригонометрическую подстановку
В основном в качестве метода решения предложенных алгебраических задач учащиеся выбирали метод тригонометрической подстановки. Другим способом решали, если задание состояло в том, чтобы найти наибольшее значение выражения при заданных в системе условиях (как в контрольной работе) или если было рекомендовано решать другим способом (как в домашней контрольной работе).
Процент учащихся, верно справившихся с заданиями
Из диаграмм видно, что наибольшие затруднения вызывали у учащихся задания двух типов. Во – первых, задания на нахождение наибольшего и наименьшего значений выражения. Во – вторых, иррациональные уравнения, область допустимых значений которых можно представить неравенством 
, где 
. А вот иррациональные уравнения, область допустимых значений которых определяется неравенством 
, традиционно решаются лучше.
Процент учащихся, обосновавших введение тригонометрической подстановки
Во всех заданиях, где учащимся было предложено решить иррациональное уравнение, тригонометрическая подстановка была обоснована. Хуже обстояло дело с обоснованием введения тригонометрической подстановки, если речь шла о двух переменных. В этом случае учащиеся, как правило, приступали к решению, доводили его до верного ответа, но не обосновывали законность произведенной замены.
Так как только в двух случаях (в одном задании из контрольной и в одном задании из домашней контрольной работы) учащиеся предложили другое решение без использования тригонометрической подстановки
Сравним процент учащихся, решивших верно с помощью тригонометрической подстановки и без нее
Решение более привычным и отработанным способом для учащихся оказалось эффективнее, чем с помощью введения тригонометрической подстановки. И это не удивительно. Тема «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» является довольно сложной, речь идет о ее рассмотрении на факультативных занятиях только в классах с углубленным изучением математики. Пять факультативных занятий для того чтобы учащиеся овладели этим методом, безусловно, мало, о чем свидетельствуют результаты. Но ввиду того, что применение тригонометрической подстановки может оказать существенную помощь в решении некоторых классов задач (например, иррациональных уравнений, задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции и других), желательно продолжить работу с учащимися над овладением этим методом и вернуться к нему в конце 11 класса. В пользу этого говорит еще и тот факт, что при решении предложенных задач учащиеся выбирали именно этот способ решения для получения ответа. Особенно удачно учащиеся использовали замену при решении иррациональных уравнений, видели возможность введения тригонометрической подстановки и обосновывали это введение. Сама замена стала интересной для учащихся не только тем, что позволила решить непростые конкурсные примеры, но и указала на связь между алгеброй и тригонометрией, показала, что введение тригонометрической подстановки не только не усложняет решение, а в некоторых случаях существенно упрощает его, тем самым повышая значимость самой тригонометрии в глазах учащихся.
Видео:Тригонометрическая замена в иррациональном уравнении. Задание 13 ЕГЭ по математике. (51)Скачать
Заключение
При проведении исследования были поставлены и решены следующие задачи:
1. Исследованы теоретические основы возможности введения тригонометрической подстановки.
2. Проведена работа по подбору и объединению в одном источнике решений с помощью тригонометрической подстановки разнообразных алгебраических заданий: уравнений, неравенств, их систем, задач с параметрами и задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. Работа включает в себя задания, решение которых с помощью тригонометрической подстановки и без нее равноценны, задания, которые не могут быть решены стандартными алгебраическими приемами без применения тригонометрической подстановки и задания, которые решаются без тригонометрической подстановки проще.
3. Проведен сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее. Метод тригонометрической подстановки рассмотрен во многих источниках по математике, в том числе [3]-[6], [9]-[14], [16], [18], [22]-[25], [29]-[32], [37]-[39], [42]-[45], [47], [49], [51], [57]. Но практически ни в одном из них не был проведен сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее и практически нет источников, в которых была бы представлена возможность применения тригонометрической подстановки для решения большого класса задач.
4. На основе проведенного сравнительного анализа была разработана методика изучения тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач на факультативных занятиях по математике в старших классах с углубленным изучением математики.
5. Проведено опытное испытание эффективности разработанной методики в 10 классе ФМЛ.
Опытная работа показала, что введение факультативного курса «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» в классы с углубленным изучением математики оправдано. В состав диагностирующей контрольной работы, которая была проведена на завершающем занятии факультативного курса, были включены задачи, которые допускали как алгебраический способ решения, так и решение с помощью тригонометрической подстановки. Школьникам была предоставлена свобода выбора метода решения каждого задания. Результаты работы показали, что учащиеся без особого труда выделяют задачи, в которых возможно ввести тригонометрическую подстановку; применяют ее для решения трудных и очень трудных конкурсных задач; осуществляют сравнение и выбор наиболее рационального способа решения. А значит, гипотеза, сделанная в начале дипломной работы, подтвердилась. Введение материала, связанного с тригонометрической подстановкой, на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики способствует развитию творческих способностей учащихся и подготавливает их к вступительным экзаменам в вузы с повышенными требованиями к математике. Единственное, над чем еще можно поработать – грамотное обоснование введенной замены.
1. Алгебра и математический анализ. 10 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2001. – С. 335.
2. Алгебра и математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2001. – С. 288.
3. Алексеев А. Тригонометрические подстановки / А. Алексеев, Л. Курляндчик // Квант. – №2. – 1995. – С. 40–42.
4. Балаян Э. Н. Репетитор по математике для поступающих в вузы / Э. Н. Балаян. – Ростов–на–Дону: Изд-во Феникс, 2003. – С. 736.
5. Болтянский В. Г. Лекции и задачи по элементарной математике / В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин. – М.: Изд-во Наука, 1972. – С. 592.
6. Вавилов В. В. Задачи по математике. Алгебра / В. В. Вавилов, И. И. Мельников, С. Н. Олехник, П. И. Пасиченко. – М.: Наука, 1988. – С. 439.
7. Василевский А. Б. Методы решения задач / А. Б. Василевский. – Минск: Вышэйшая школа, 1974. – С. 240.
8. Василевский А. Б. Обучение решению задач: Учебное пособие для педагогических институтов / А. Б. Василевский. – Минск: Вышэйшая школа, 1988. – С. 255.
9. Вороной А. Н. Пять способов доказательства одного неравенства / А. Н. Вороной // Математика в школе. – №4. – 2000. – С. 12.
10. Вороной А. Н. Циклические системы уравнений / А. Н. Вороной // Математика в школе. – №7. – 2003. – С. 71-77.
11. Всероссийские математические олимпиады школьников: Книга для учащихся / Г. Н. Яковлев, Л. П. Купцов, С. В. Резниченко, П. Б. Гусятников. – М.: Просвещение, 1992. – С. 383.
12. Горнштейн П. И. Экзамен по математике и его подводные рифы / П. И. Горнштейн, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М.: Илекса, 2004. – С. 236.
13. Горнштейн П. И. Задачи с параметрами / П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2002. – С. 336.
14. Горнштейн П. И. Тригонометрия помогает алгебре / П. И. Горнштейн. – М.: Бюро Квантум, 1995. – С. 100-103. – Приложение к ж. «Квант», №3/95.
15. Громов А. И. Математика для поступающих в вузы. Методы решения задач по элементарной математике и началам анализа / А. И. Громов, В. М. Савчин. – М.: Изд-во РУДН Народная Компания Евразийский регион, 1997. – С. 264.
16. Дорофеев Г. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. Избранные вопросы элементарной математики / Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов. – М.: Просвещение, 1976. – С. 640.
17. Епифанова Т. Н. Отыскание экстремальных значений функций различными способами / Т. Н. Епифанова // Математика в школе. – №4. – 2000. – С. 52-55.
18. Зарубежные математические олимпиады / С. В. Конягин, Г. А. Тоноян, И. Ф. Шарыгин. – М.: Наука, 1987. – С. 416.
19. Канин Е. С. Учебные математические задачи: Учебное пособие / Е. С. Канин. – Киров: Изд-во ВятскогоГГУ, 2003. – С. 191.
20. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике / Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1977. – С. 143.
21. Лапушкина Л. И. Системы алгебраических уравнений / Л. И. Лапушкина, М. И. Шабунин // Математика в школе. – №6. – 1998. – С. 22-26.
22. Махров В. Г. Новый репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов / В. Г. Махров, В. Н. Махрова. – Ростов–на–Дону: Изд-во Феникс, 2004. – С. 544.
23. Мельников И. И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах / И. И. Мельников, И. Н. Сергеев. – М.: Изд-во Московского университета, 1990. – С. 303.
24. Мерзляк А. Г. Тригонометрия: Задачник по школьному курсу. 8-11 класс / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович. – М.: АСТ – ПРЕСС: Магистр, 1998. – С. 655.
25. Мерзляк А. Г. Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – Киев: Агрофирма Александрия, 1993. – С. 59.
26. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 2105 «Физика» / Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – С. 336.
27. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. Спец. / Сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – С. 414.
28. Мордкович А. Г. Беседы с учителями математики / А. Г. Мордкович. – М.: Школа – Пресс, 1995. – С. 272.
29. Морозова Е. А. Международные математические олимпиады. Задачи, итоги, решения. Пособие для учащихся / Е. А. Морозова. – М.: Просвещение, 1976. – С. 288.
30. Московский государственный университет // Математика в школе. – №10. – 2002. – С. 28-43.
31. Нараленков М. И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие / М. И. Нараленков. – М.: Изд-во Экзамен, 2003. – С. 448.
32. Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – С. 143.
33. Петров В. В. Нестандартные задачи / В. В. Петров, Е. В. Елисеева // Математика в школе. – №8. – 2001. – С. 56-59.
34. Писаревский Б. М. Задачи об экстремумах / Б. М. Писаревский // Математика в школе. – №5. – 2004. – С. 47-51.
35. Письменный Д. Т. Математика для старшеклассников / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис, Рольф, 1996. – С. 281.
36. Пойа Д. Обучение через задачи / Д. Пойа // Математика в школе. – №3. – 1970. – С. 89-91.
37. Потапов М. К. Готовимся к экзаменам по математике: Учебное пособие для поступающих в вузы и старшеклассников / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. – М.: Научно – технический центр «Университетский»: АСТ – Пресс, 1997. – С. 352.
38. Потапов М. К. Конкурсные задачи по математике / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – С. 400.
39. Потапов М. К. Математика. Методы решения задач. Для поступающих в вузы: Учебное пособие / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. – М.: Дрофа, 1995. – С. 336.
40. Потапов, М. К. Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений / М. К. Потапов, А. В. Шевкин // Математика в школе. – №3. – 2005. – С. 24-29.
41. Программы для общеобразоват. Школ, гимназиев, лицеев: Математика. 5-11 класс / Сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002.– С. 320.
42. Саакян С. М. Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов / С. М. Саакян, Гольдман А. М., Денисов Д. В. – М.: Просвещение, 1990. – С. 256.
43. Смоляков А. Н. Тригонометрические подстановки в уравнения и неравенства / А. Н. Смоляков // Математика в школе. – №1. – 1996. – С.4.
44. Супрун В. П. Избранные задачи повышенной сложности по математике / В. П. Супрун. – Минск: Полымя, 1998. – С. 108.
45. Терешин Н. А. 2000 задач по алгебре и началам анализа. 10 класс / Н. А. Терешин, Т. Н. Терешина. – М.: Аквариум, 1998. – С. 256.
46. Ткачук В. В. Математика – абитуриенту: Все о вступительных экзаменах в вузы. Том 1 / В. В. Ткачук. – М.: ТЕИС, 1996. – С. 415.
47. Ткачук В. В. Математика – абитуриенту: Все о вступительных экзаменах в вузы. Том 2 / В. В. Ткачук. – М.: ТЕИС, 1996. – С. 414.
48. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11 класс / А. В. Фарков. – М.: Айрис-пресс, 2002. – С. 160.
49. Фирстова Н. И. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений / Н. И. Фирстова // Математика в школе. – №5. – 2002. – С. 68-71.
50. Фридман Л. И. Как научиться решать задачи / Л. И. Фридман, Е. Н. Турецкий. – М.: Московский психолого-социальный институт, 1999. – С. 240.
51. Черкасов О. Ю. Математика: Методические указания для поступающих в вузы / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. – М.: УНЦ ДО МГУ, 1996. – С. 368.
52. Черкасов О. Ю. Математика: Скорая помощь абитуриентам / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. – М.: Учебный центр Московский лицей, 1995. – С. 348.
53. Шабунин М. И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств / М. И. Шабунин. – М.: Аквариум, 1997. – С. 256.
54. Шабунин М. И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений / М. И. Шабунин. – М.: Аквариум, 1997. – С. 272.
55. Шарыгин И. Ф. Математика для поступающих в вузы: Учебное пособие / И. Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 2000. – С. 416.
56. Шарыгин И. Ф. Математика для школьников старших классов / И. Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 1995. – С. 486.
57. Шарыгин И. Ф. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса общеобразовательных учреждений / И. Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1994. – С. 350.
Тема: применение тригонометрической подстановки для решения иррациональных уравнений.
1. Вспомнить теоретические основы введения тригонометрической подстановки.
2. Рассмотреть применение тригонометрической подстановки для решения иррациональных уравнений в случае, когда множество значений переменной 
ограничено.
3. Провести сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее.
1. Решить уравнение 
.
2. Решите уравнение 
.
3. Решить уравнение 
.
4. Решить уравнение 
.
1. Решить уравнение 
.
2. Решить уравнение 
.
3. Решить уравнение 
.
Литература: [3], [4], [12], [14], [23] – [25], [31], [32], [37] – [39], [43], [44], [47] – [51], [57].
Тема: применение тригонометрической подстановки для решения систем уравнений.
1. Рассмотреть применение тригонометрической подстановки для решения сложных, олимпиадных систем.
2. Провести сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее, где это возможно.
3. Привести пример системы, решить которую без тригонометрической подстановки не возможно.
1. Решить систему уравнений 
.
2. Решить систему 
.
3. Выяснить, сколько решений имеет система уравнений 
.
4. При каких значениях параметра система имеет решение 
.
1. Решить систему 
.
2. Решить систему 
.
3. Сколько решений имеет система уравнений 
.
Литература: [3], [6] – [8], [10], [12], [14], [18], [24], [30], [43].
Тема: применение тригонометрической подстановки для решения задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции.
1. Вспомнить основные методы решения задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции.
2. Показать, как метод тригонометрической подстановки применяется для решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
3. Провести сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее.
1. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения
, если 
.
2. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения
, если 
.
3. Среди всех решений системы найдите такие, при которых выражение 
принимает наибольшее значение 
.
4. Выяснить, при каких значениях параметра неравенство имеет решения 
.
1. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения 
, если 
.
2. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения
, если 
.
3. Среди всех решений системы найти такие, при каждом из которых выражение 
принимает наименьшее значение
.
Литература: [4], [14], [22], [24], [31], [42].
[1] Пример 2 пункта 1.2 Рациональные уравнения
[2] Здесь и далее процент подсчитывается от количества учащихся, выбравших указанный способ решения
Видео:Решение тригонометрических уравненийСкачать
Основные методы решения тригонометрических уравнений
п.1. Разложение на множители
Алгоритм простого разложения на множители
Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения (f_1(x)cdot f_2(x)cdot . cdot f_n(x)=0) где (f_i(x)) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от (x).
Шаг 2. Решить совокупность уравнений: ( left[ begin f_1(x)=0\ f_2(x)=0\ . \ f_n(x)=0\ end right. )
Шаг 3. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение (2cosx cos2x=cosx) begin 2cosx cos2x-cosx=0\ cosx(2cos2x-1)=0\ left[ begin cosx=0\ 2cos2x-1=0 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ cos2x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ 2x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=pmfracpi6+pi k end right. end
 | Мы видим, что полученные семейства образуют множество из 6 базовых точек на числовой окружности через каждые (60^=fracpi3) Поэтому: begin left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=pmfracpi6+pi k end right. Leftrightarrow x=fracpi6+frac end |
Возможно, у вас не сразу получится объединять решения, которые частично пересекаются или дополняют друг друга.
Тогда записывайте ответ в виде полученных семейств.
В рассмотренном примере, это пара (fracpi2+pi k, pmfracpi6+pi k), равнозначная c (fracpi6+frac).
Вот только научиться работать с числовой окружностью нужно обязательно, т.к. чем сложнее пример или задача, тем больше вероятность, что этот навык пригодится.
Алгоритм разложения на множители со знаменателем
Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $$ frac=0 $$ где (f_i(x), g_i(x)) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от (x).
Шаг 2. Решить смешанную систему уравнений: ( begin left[ begin f_1(x)=0\ f_2(x)=0\ . \ f_n(x)=0\ end right.\ g_1(x)ne 0\ g_2(x)ne 0\ . \ g_m(x)ne 0\ end )
Шаг 3. Найти объединение полученных решений для числителя. Исключить все решения, полученные для знаменателя. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение (ctgx-tgx=frac)
Левая часть уравнения: $$ ctgx-tgx=frac-frac=frac=frac $$ Подставляем, переносим правую часть влево: $$ frac-frac=0 $$ Выносим общий множитель, умножаем на (1/2) слева и справа, получаем: $$ frac=0 $$ В этом уравнении учтено ОДЗ для (ctgx) и (tgx). Поэтому отдельно его не записываем.
Полученное уравнение равносильно системе: begin begin left[ begin cosx-sinx=0\ cosx+sinx=1 end right.\ sin2xne 0 end end Решаем первое уравнение как однородное 1-й степени (см. этот параграф ниже): begin cosx-sinx=0 |: cosx\ 1-tgx=0Rightarrow tgx=1Rightarrow x=fracpi4+pi k end Решаем второе уравнение введением вспомогательного угла (см. этот параграф ниже): begin cosx-sinx=1 | times frac<sqrt>\ frac<sqrt>cosx+frac<sqrt>sinx=frac<sqrt>\ cosleft(fracpi4right)cosx+sinleft(fracpi4right)sinx=frac<sqrt>\ cosleft(fracpi4-xright)=cosleft(x-fracpi4right)=cosleft(x-fracpi4right)=frac<sqrt> Rightarrow x-fracpi4=pmfracpi4+2pi kRightarrow left[ begin x=2pi k\ x=fracpi2+2pi k end right. end Решаем исключающее уравнение для знаменателя: $$ sin2xne 0Rightarrow 2xne pi kRightarrow xnefrac $$
 | Записываем полученную систему, отмечаем базовые решения на числовой окружности, исключаем нули знаменателя. Получаем: begin begin left[ begin x=fracpi4+pi k\ x=2pi k\ x=fracpi2+2pi kLeftrightarrow x=fracpi4+pi k end right.\ xnefrac end end |
За счет требования (xnefrac) исключаются семейства (x=fracpi2+2pi k) и (x=2pi k).
Остается только (x=fracpi4+pi k).
Ответ: (fracpi4+pi k)
п.2. Приведение к квадратному уравнению
Шаг 1. С помощью базовых тригонометрических отношений и других преобразований представить уравнение в виде $$ af^2(x)+bf(x)+c=0 $$ где (f(x)) — тригонометрическая функция.
Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=f(x)). Решить полученное квадратное уравнение: begin at^2+bt+c=0\ D=b^2-4ac, t_=frac<-bpmsqrt> end Шаг 3. Если (f(x)) — синус или косинус, проверить условие (-1leq t_leq 1). Отбросить лишние корни.
Шаг 4. Вернуться к исходной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin f(x)=t_1\ f(x)=t_2 end right. ) или одно оставшееся уравнение.
Шаг 5. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение (3sin^2x+10cosx-6=0)
Заменим (sin^2x=1-cos^2x). Получаем: begin 3(1-cos^2x)+10cosx-6=0\ -3cos^2x+10cosx-3=0\ 3cos^2x-10cosx+3=0\ text t=cosx, -1leq tleq 1\ 3t^2-10t+3=0\ D=(-10)^2-4cdot 3cdot 3=64\ t=frac= left[ begin frac13\ 3gt 1 — text end right. end Решаем (cosx=frac13Rightarrow x=pm arccosfrac13+2pi k)
Ответ: (pm arccosfrac13+2pi k)
п.3. Приведению к однородному уравнению
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 1-й степени
Например:
Решим уравнение (sinx+cosx=0)
Делим на (cosx). Получаем: (tgx+1=0Rightarrow tgx=-1Rightarrow x=-fracpi4+pi k)
Ответ: (-fracpi4+pi k)
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 2-й степени
Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на (cos^2x) begin frac=frac\ Atg^2x+Btgx+C=0 end Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=tgx). Решить полученное квадратное уравнение: begin at^2+bt+c=0\ D=b^2-4ac, t_=frac<-bpmsqrt> end Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin tgx=t_1\ tgx=t_2 end right. )
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение (6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3)
Приведем уравнение к однородному (чтобы избавиться от тройки справа, умножим её на тригонометрическую единицу): begin 6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3(sin^2x+cos^2x)\ 3sin^2x-sinxcosx-4cos^2x=0 |: cos^2x\ 3tg^2x-tgx-4=0\ text t=tgx\ 3t^2-t-4=0\ D=(-1)^2-4cdot 3cdot(-4)=49\ t=frac= left[ begin -1\ frac43 end right. end Решаем совокупность: ( left[ begin tgx=-1\ tgx=frac43 end right. Rightarrow left[ begin x=-fracpi4+pi k\ x=arctgfrac43+pi k end right. )
Ответ: (-fracpi4+pi k, arctgfrac43+pi k)
Обобщим понятие однородного тригонометрического уравнения на любую натуральную степень:
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения n-й степени
Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на (cos^n x)
Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=tgx). Решить полученное алгебраическое уравнение: begin a_0t^n+a_1t^+. +a_n=0 end Найти корни (t_1, t_2. t_k, kleq n)
Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin tgx=t_1\ tgx=t_2\ . \ tgx=t_k end right. )
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение (2sin^3x=cosx)
Умножим правую часть на тригонометрическую единицу и получим однородное уравнение 3-й степени: begin 2sin^3x=cosx(sin^2x+cos^2x)\ 2sin^3x-sin^2xcosx-cos^3x=0 |: cos^3x\ 2tg^x-tg^2x-1=0\ end Замена (t=tgx) дает кубическое уравнение: (2t^3-t^2-1=0)
Раскладываем на множители: begin 2t^3-t^2-1=t^3-t^2+t^3-1=t^2(t-1)+(t-1)(t^2+t+1)=\ =(t-1)(2t^2+t+1) end Вторая скобка на множители не раскладывается, т.к. (D=1-4cdot 2=-7 lt 0).
Получаем: (2t^3-t^2-1=0Leftrightarrow t-1=0)
Возвращаемся к исходной переменной:
(tgx=1Rightarrow x=fracpi4+pi k)
Ответ: (fracpi4+pi k)
п.4. Введение вспомогательного угла
Например:
Решим уравнение (sqrtsin3x-cos3x=1)
Делим уравнение на ( p=sqrt=2: ) begin sqrtsin3x-cos3x=1 |: 2\ frac<sqrt>sin3x-frac12cos3x=frac12\ sinleft(fracpi3right)sin3x-cosleft(fracpi3right)cos3x=frac12\ cosleft(fracpi3right)cos3x-sinleft(fracpi3right)sin3x=-frac12\ cosleft(3x+fracpi3right)=-frac12Rightarrow 3x+fracpi3=pmfrac+2pi kRightarrow 3x= left[ begin -pi+2pi k\ fracpi3+2pi k end right. Rightarrow x= left[ begin -fracpi3+frac\ fracpi9+frac end right. end
Ответ: (-fracpi3+frac, fracpi9+frac)
п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
При решении уравнений вида begin Asinax+Bsinbx+. +Ccoscx+Dcosdx+. =0 end используются формулы, выведенные в §17 данного справочника.
Затем проводится разложение на множители, и находится решение (см. начало этого параграфа).
Например:
Решим уравнение (cos3x+sin2x-sin4x=0)
Заметим, что: $$ sin2x-sin4x=2sinfraccosfrac=2sin(-x)cos3x=-2sinxcos3x $$ Подставляем: begin cos3x-2sinxcos3x=0\ cos3x(1-2sinx)=0\ left[ begin cos3x=0\ 1-2sinx=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ sinx=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=(-1)^kfracpi6+pi k= left[ begin x=fracpi6+2pi k\ frac+2pi k end right. end right. end Чтобы было понятней, распишем полученные множества в градусах: begin left[ begin x=fracpi6+frac=30^+60^k\ x=fracpi6+2pi k=30^+360^kLeftrightarrow x=30^+60^k=fracpi6+frac\ x=frac+2pi k=150^+360^k end right. end
 | Получаем, что семейства решений (fracpi6+2pi k) и (frac+2pi k) уже содержатся во множестве (fracpi6+frac). |
п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
При решении уравнений вида begin sinaxcdot cosbx=sincxcdot cosdx, sinaxcdot sinbx=sincxcdot cosdx text end используются формулы, выведенные в §18 данного справочника.
Например:
Решим уравнение (sin5xcos3x=sin6xcos2x)
Заметим, что: begin sin5xcos3x=frac=frac\ sin6xcos2x=frac=frac end Подставляем: begin frac=frac |times 2\ sin8x-sin2x=sin8x-sin4x\ sin4x-sin2x=0\ 2sin2xcos2x-sin2x=0\ sin2x(2cos2x-1)=0\ left[ begin sin2x=0\ 2cos2x-1=0 end right. Rightarrow left[ begin 2x=pi k\ cos2x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ 2x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ x=pmfracpi6+pi k end right. end
 | Семейства решений не пересекаются. |
Примечание: учитывая ответ предыдущего примера, это же множество решений можно записать в виде: ( left[ begin x=frac\ x=pmfracpi6+pi k end right. Leftrightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=pi k end right. )
п.7. Понижение степени
При решении уравнений вида begin sin^2ax+sin^2bx+. +cos^2cx+cos^2dx+. =A end используются формулы понижения степени: begin sin^2x=frac, cos^2x=frac end (см. формулы половинного аргумента, §15 данного справочника).
Например:
Решим уравнение (sin^2x+sin^22x=1)
Расписываем квадраты синусов через формулу понижения степени: begin frac+frac=1\ cos2x+cos4x=0\ 2cosfraccosfrac=0\ cos3xcosx=0\ left[ begin cos3x=0\ cosx=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ x=fracpi2+pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=fracpi2+pi k end right. end
 | (x=fracpi2+pi k) является подмножеством (x=fracpi6+frac) Поэтому begin left[ begin x=fracpi6+frac\ x=fracpi2+pi k end right. Leftrightarrow x=fracpi6+frac end |
п.8. Замена переменных
При решении уравнений вида (f(sinxpm cosx, sinxcosx)=0) используется замена begin t=cosxpm sinx end
Например:
Решим уравнение (sinx+cosx=1+sinxcosx)
Замена: (t=sinx+cosx)
Тогда (t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosxRightarrow sinxcosx=frac)
Подставляем: begin t=1+fracRightarrow 2(t-1)=t^2-1Rightarrow t^2-2t+1=0Rightarrow (t-1)^2=0Rightarrow t=1\ sinx+cosx=1 | times frac<sqrt>\ frac<sqrt>sinx+frac<sqrt>cosx=frac<sqrt>\ sinfracpi4 sinx+cosfracpi4 cosx=frac<sqrt>\ cosleft(x-fracpi4right)=frac<sqrt>Rightarrow x-fracpi4=pmfracpi4 + 2pi kRightarrow Rightarrow left[ begin x=2pi k\ x=fracpi2+2pi k end right. end Ответ: (2pi k, fracpi2+2pi k)
п.9. Использование ограничений области значений функций
Уравнения вида begin underbrace_<m text> end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно 1.
Поэтому решаем систему: ( begin sinax=1\ sinbx=1\ . \ cosdx=1\ . end )
Находим пересечение (!) полученных семейств решений и записываем ответ.
Аналогично, уравнение вида begin underbrace_<m text> end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно -1.
Например:
Решим уравнение (sinx+cos4x=2)
Для этого нужно решить систему: begin begin sinx=1\ cos4x=1 end Rightarrow begin x=fracpi2+2pi k\ 4x=2pi k end Rightarrow begin x=fracpi2+2pi k\ x=frac end end
 | Пересечением двух семейств решений будет только (fracpi2+2pi k). Поэтому begin begin x=fracpi2+2pi k\ x=frac end Leftrightarrow x=fracpi2+2pi k end |
п.10. Примеры
Пример 1. Используя различные методы, решите уравнения:
a) (4sinleft(fracpi2right)+5sin^2x=4)
Приводим уравнение к квадратному:
(5sin^x+4cosx-4=0)
(5(1-cos^2x)+4cosx-4=0)
(-5cos^2x+4cosx+1=0)
(5cos^2x-4cosx-1=0)
Замена: (t=cosx, -1leq tleq 1) begin 5t^2-4t-1=0Rightarrow (5t+1)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t_1=-frac15\ t_2=1 end right. end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin cosx=-frac15\ cosx=1 end right. Rightarrow left[ begin x=pm arccosleft(-frac15right)+2pi k\ x=2pi k end right. end Ответ: (pm arccosleft(-frac15right)+2pi k, 2pi k)
б) (6sinxcosx=5cos2x)
(6sinxcosx=3cdot 2sinxcosx=3sin2x)
Приводим уравнение к однородному 1-й степени:
(3sin2x=5cos2x | : cos2x)
(3tg2x=5Rightarrow tg2x=frac53Rightarrow 2x=arctgfrac53+pi kRightarrow x=frac12 arctgfrac53+frac)
Ответ: (frac12 arctgfrac53+frac)
в) (9cos^2x-5sin2x=-sin^2x)
(5sin2x=5cdot 2sinxcosx=10sinxcosx)
Приводим уравнение к однородному 2-й степени:
(sin^2x-10sinxcosx+9cos^2x=0 |: cos^2x)
(tg^2x-10tgx+9=0)
Замена: (t=tgx) begin t^2-10+9=0Rightarrow (t-1)(t-9)=0Rightarrow left[ begin t_1=1\ t_2=9 end right. end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin tgx=1\ tgx=9 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi4+pi k\ x=arctg9+pi k end right. end Ответ: (fracpi4+pi k, arctg9+pi k)
г) (cos3x-1=cos6x)
Косинус двойного угла: (cos6x=2cos^2 3x-1)
Подставляем и раскладываем на множители:
(cos3x-1=2cos^2 3x-1)
(cos3x-2cos^2 3x=0)
(cos3x(1-2cos3x)=0) begin left[ begin cos3x=0\ 1-2cos3x=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ cos3x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ 3x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=pmfracpi9+frac end right. end Чтобы проверить пересечения, распишем семейства решений через градусы: begin left[ begin x=fracpi6+frac=30^+60^k=<. -90^,-30^,30^,90^,150^. >\ x=pmfracpi9+frac= left[ begin -20^+120^k=<. -140^,-20^,100^. >\ 20^+120^k=<. -100^,20^,140^. > end right. end right. end Семейства не пересекаются.
Ответ: (fracpi6+frac, pmfracpi9+frac)
д) (sqrtsin2x-cos2x=-sqrt)
Разделим на (p=sqrt) и введем дополнительный угол:
(frac<sqrt>sin2x-frac12 cos2x=-frac<sqrt>)
(frac12cos2x-frac<sqrt>sin2x=frac<sqrt>)
(cosleft(2x-fracpi3right)=frac<sqrt>)
(2x-fracpi3=pmfracpi6+2pi k)
(2x=fracpi3pmfracpi6+2pi k= left[ begin -frac+2pi k\ fracpi2+2pi k end right. )
( left[ begin x=-frac+pi k\ x=fracpi4+pi k end right. ) Семейства решений не пересекаются.
Ответ: (-frac+pi k, fracpi4+pi k)
е) (cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x)
Формула понижения степени: (cos^2x=frac)
Подставляем: begin frac+frac=frac+frac\ cos2x+cos4x=cos6x+cos8x\ 2cosfraccosfrac=2cosfraccosfrac |: 2\ cos3xcosx=cos7xcosx=0\ cos3xcosx-cos7xcosx=0\ cosx(cos3x-cos7x)=0\ cosxleft(-2sinfracsinfracright)=0\ -2cosxsin5xsin(-2x)=0\ 2cosxsin5xsin2x=0\ cosxsin5xsin2x=0\ left[ begin cosx=0\ sin5x=0\ sin2x=0 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ 5x=pi k\ 2x=pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=frac\ x=frac end right. end Семейство решений (x=fracpi2+pi k) (базовые точки 90°, 270° на числовой окружности) является подмножеством для (x=frac) (базовые точки 0°, 90°, 180°, 270°). Поэтому: begin left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=frac\ x=frac end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ x=frac end right. end Ответ: (frac, frac)
Пример 2*. Решите уравнения:
a) begin frac-frac+frac=0 end ОДЗ: (tgxne pm 3)
1) Если (cosxne 0), то последнее слагаемое (frac=frac<frac><frac>=frac)
Получаем: begin frac-frac+frac=0\ frac=0\ frac=0\ end Замена: (t=tgx) begin fracRightarrow begin t^2+7t-30=0\ tnepm3 end Rightarrow begin (t+10)(t-3)=0\ tnepm3 end Rightarrow begin left[ begin t=-10\ t=3 end right.\ tnepm3 end Rightarrow\ t=-10 end Получаем: begin tgx=-10\ x=arctg(-10)+pi k=-arctg10+pi k end
2) Проверим, является ли (cosx=0) решением.
При (cosx=0, x=fracpi2+pi k, tgxrightarrowinfty). Первое слагаемое (fracrightarrowfracrightarrow 0)
Второе слагаемое (fracrightarrowfracrightarrow 0)
Третье слагаемое (fracrightarrowfrac=1ne 0)
Сумма слагаемых в пределе (tgxrightarrowinfty) равна (0+0+1=1ne 0)
(cosx=0) решением не является.
Ответ: (-arctg10+pi k)
б) (frac+1=7frac)
ОДЗ: (cosxne 0, xnefracpi2+pi k) begin |cosx|= begin cosx, -fracpi2+2pi kleq xlt fracpi2+2pi k\ -cosx, fracpi2+2pi kleq xlt frac+2pi k end end 1) Решаем для положительного косинуса (1-я и 4-я четверти) begin frac+1=7frac\ 3(1+tg^2x)+1-7tgx=0\ 3tg^2-7tgx+4=0\ (3tgx-4)(tgx-1)=0\ left[ begin tgx=frac43\ tgx=1 end right. Rightarrow left[ begin x=arctgfrac43+pi k\ x=fracpi4+pi k end right. end
 | Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: (fracpi4, arctgfrac43, frac) и (pi+arctgfrac43), которые находятся в 1-й и 3-й четвертях. Выбираем только точки в 1-й четверти: (fracpi4) и (arctgfrac43). Это означает, что в записи решения период будет не (pi k), а (2pi k). begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=fracpi4+2pi k end right. end |
2) Решаем для отрицательного косинуса (2-я и 3-я четверти) begin frac+1=-7frac\ 3(1+tg^2x)+1+7tgx=0\ 3tg^2x+7tgx+4=0\ (3tgx+4)(tgx+1)=0\ left[ begin tgx=-frac43\ tgx=-1 end right. Rightarrow left[ begin x=-arctgfrac43+pi k\ x=-fracpi4+pi k end right. end
 | Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: (-fracpi4, -arctgfrac43, frac) и (pi-arctgfrac43), которые находятся в 2-й и 4-й четвертях. Выбираем только точки вo 2-й четверти: (frac) и (pi-arctgfrac43). Это означает, что в записи решения будут выбранные точки с периодом (2pi k). begin left[ begin x=pi-arctgfrac43+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end |
3) Объединяем полученные решения: begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=fracpi4+2pi k\ x=pi-arctgfrac43+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end
 | По аналогии с записью арксинуса можно объединить симметричные относительно оси синусов точки: begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=pi-arctgfrac43+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^k arctgfrac43+pi k\ left[ begin x=fracpi4+2pi k\ x=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^k fracpi4+pi k\ end |
Окончательно получаем: ( left[ begin x=(-1)^k arctgfrac43+pi k\ x=(-1)^k fracpi4+pi k end right. ).
Ответ: ((-1)^k arctgfrac43+pi k, (-1)^k fracpi4+pi k)
г) (3sinx-4cosx=5)
Способ 1. Вводим дополнительный угол:
(p=sqrt=5)
(frac35sinx-frac45 cosx=1)
(sinalpha=frac35, cosalpha=frac45)
(sinalpha sinx-cosalpha cosx=1)
(cosalpha cosx-sinalpha sinx=-1)
(cos(x+alpha)=-1)
(x+alpha=pi+2pi k)
(x=-alpha+pi+2pi k=-arcsinfrac35+pi+2pi k)
Способ 2. Делаем универсальную подстановку: begin sinalpha=frac<2tgfrac>, cosalpha=frac\ 3cdot frac<2tgfrac><1+tg^2frac>-4cdotfrac<1-tg^2frac><1+tg^2frac>=5\ frac<6tgfrac-4left(1-tg^2fracright)-5left(1+tg^2fracright)><1+tg^2frac>=0 end (1=tg^2fracgeq 1), знаменатель никогда не превращается в 0, отбрасываем его и работаем с числителем: begin -tg^2frac+6tgfrac-9=0Rightarrow tg^2frac-6tgfrac+9=0Rightarrowleft(tgfrac-3right)^2=0Rightarrow tgfrac=3\ frac=arctg3+pi kRightarrow x= 2arctg3+2pi k end
Докажем, что полученные ответы: $$ x=-arcsinfrac35+pi+2pi k text x=2arctg3+2pi k $$ равнозначны, т.е. (-arcsinfrac35+pi=2arctg3), и равны углы: $$ arcsinfrac35=pi-2arctg3 (*) $$ Пусть в правой части равенства (*) (2arctg3=varphi). Тогда (arctg3=fracvarphi2) и (tgfracvarphi2=3).
А в левой части равенства (*) (arcsinfrac35=alpha) и (sinalpha=frac35)
Угол (0lt arcsinfrac35lt fracpi2) расположен в 1-й четверти.
Угол (varphi=2arctg3) расположен во 2-й четверти ((cosvarphilt 0, sinvarphigt 0)). $$ cosvarphi=frac=frac=-frac45, sinvarphi=frac=frac=frac35 $$ Получаем, что для угла (alpha: sinalpha=frac35, cosalpha=frac45)
Для угла (varphi: sinvarphi=frac35, cosvarphi=-frac45)
Откуда следует, что (alpha=pi-varphi). Что и требовалось доказать.
Ответ: (-arcsinfrac35+pi+2pi k) или (2arctg3+2pi k) (т.к. (-arcsinfrac35+pi=2arctg3))
📺 Видео
Тригонометрическое уравнение (замена переменной)Скачать
Формулы приведения с нуля за 15 минут!Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать
Тригонометрические уравнения с заменой переменных и сложным аргументом Алгебра 10 классСкачать
Метод замены в тригонометрических уравнениях | МатематикаСкачать
