Траектория точки по двум уравнениям

Видео:Кинематика точки Задание К1Скачать

Траектория точки по двум уравнениям

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

3.1. На проволочной окружности радиусом r надето колечко М, через него проходит стержень ОА, который поворачивается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью.

Определить уравнения движения и уравнение траектории колечка М, если бы в начальный момент стержень ОА был вертикален.

Дано: , .

Найти: , , .

Решение: Из рисунка видно, что амплитуда по оси равна радиусу окружности. При повороте стержня на угол , кольцо М проходит по окружности угол , из чего можно сделать вывод, что угловая скорость кольца М по окружности в два раза больше угловой скорости стержня . Координата в начальный момент равна нулю, так как стержень находится в вертикальном положении, поэтому координата изменяется по синусу и его уравнение:

.

Относительно точки О координата может изменяться от нуля до , поэтому амплитуда по оси равна . В начальный момент координата занимает максимальное значение, поэтому координата изменяется по косинусу и так как ее значение не может быть отрицательно, то, очевидно по квадрату косинуса:

.

Уравнение траектории – круг с центром в точке (0; r ) будет:

.

Второй рисунок – начальное положение.

4. 1 . Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Решение: 1. Из первого уравнения и из второго .

Уравнение траектории получается суммированием полученных уравнений:

.

2. Модуль скорости точки определяется по формуле , где

и

.

При t =0: , и тогда ,

При t =1 c : и и тогда .

Модуль ускорения точки определяется по формуле , где

и

.

При t =0: , и тогда ,

При t =1 c : , и тогда .

3. Траектория представляет собою эллипс с центром в начале координат (0;0) и полуосями 3и 4.

4. 2 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение Чтобы найти уравнение траектории точки выведем из уравнения время , подставляя во второе уравнение, получим уравнение траектории:

.

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 3 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения исключить время. Для этого уравнения движения разрешим относительно и и возведем полученные результаты в квадрат:

,

Тогда уравнение траектории — эллипс с полуосями 9 и 18, центр которого в точке (0;0).

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 4 . Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , ,

Решение: 1. Из уравнений и выражаем:

и

,

Складывая их получим уравнение траектории точки:

.

Траектория является эллипсом с полуосями 8 и 4см с центром в точке (5;0).

2. Скорости точки по осям:

и

.

Модуль скорости точки определяется по формуле:

.

Для момента времени t =0:

и

и

.

Для момента времени t =1 c :

,

и

.

Ускорения по осям:

и

.

Модуль ускорения точки определяется по формуле:

,

Для момента времени t =0:

, и

.

Для момента времени t =1:

, и

.

4. 5 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения исключить время. Для этого уравнения движения разрешим относительно и и возведем полученные результаты в квадрат:

,

Тогда уравнение траектории — эллипс с полуосями 4 и 8, центр которого в точке (3;2).

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 6 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки: .

4. 7 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим: , тогда . Из уравнения выражаем уравнение траектории : .

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 8 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим:

.

Распишем уравнение :

,

Подставив в уравнение , получим уравнение траектории:

.

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

4. 9 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4.1 0 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4.1 1 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4.1 2 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4. 13 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4. 14 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Возведем оба уравнения в квадрат и вычтем:

,

,

,

Это уравнение окружности радиусом 8см.

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 15 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 16 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

Общее ускорение точки:

и

.

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Содержание:

Координатный способ определения движения точки:

При координатном способе определения движения точки должны быть даны уравнения движения, т. е. заданы координаты точки как функции времени:

Видео:К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

Задание движения точки в прямоугольных координатах

Как известно из курса аналитической геометрии, положение точки M в пространстве может быть определено положением ее проекций P, Q и R на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 84), называемые осями координат.

Рис. 84

Положение точки P на оси Ox вполне определяют абсциссой х. Совершенно так же положение точек Q и R определяют ординатой у и аппликатой z.

Если точка M движется относительно осей xOyz, то проекции Р, Q и R перемещаются по осям и координаты точки M изменяются.

Для определения движения точки M нужно знать ее координаты для каждого мгновения, выразить их в функциях времени.

Эти функции непрерывны, так как точка не может из одного положения перейти в другое, минуя промежуточные. Они должны быть однозначны, так как точка занимает в пространстве в каждое мгновение только одно положение.

Соотношения (58) называют кинематическими уравнениями движения точки в прямоугольных координатах, а способ определения движения точки посредством соотношений (58) называют координатным способом определения движения точки. Это название неточно, потому что, кроме прямолинейных прямоугольных координат, существует множество других координатных систем.

Если траектория точки лежит в одной плоскости, то движение точки определяют двумя уравнениями в системе координат xОy: x=x(t), y=y(t).

Следовательно, при координатном способе задания движения точки в пространстве нужно задать ее три координаты, а на плоскости—две координаты как функции времени. Если точка движется прямолинейно, то, приняв прямую, по которой она движется, за ось абсцисс, мы определим движение точки одним уравнением

Если движение точки задано в координатной форме, то для определения ее траектории надо из уравнений движения исключить время

Уравнение траектории

Можно определить траекторию точки, если в уравнениях движения (58) давать аргументу t различные значения и, вычислив соответствующие значения функций, отмечать положения точки по ее координатам. Следовательно. кинематические уравнения движения точки (58) можно
рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме, а время — как независимый переменный параметр.

Однако более удобно получить уравнение траектории, исключив время из уравнений (58). В самом деле, траекторией называют геометрическое место всех положений движущейся точки, но в геометрии нет понятия времени, а поэтому для получения уравнения траектории нужно из кинематических уравнений движения (58) исключить время t. Если точка движется в плоскости, то, исключив время из уравнений (58′) и (58″), мы получим соотношение, связывающее х и у:

Это уравнение плоской кривой—траектории точки. Если же движение задано тремя уравнениями (58), то, исключив время, получим два уравнения между тремя координатами:
(59 / )

выражающие, как известно из аналитической геометрии, кривую (траекторию) в пространстве. Точнее говоря, уравнения (59) или (59′) выражают кривую, которая полностью или в некоторой своей части является геометрическим местом всех положений движущейся точки.

Иногда бывает нужно выразить в естественной форме движение точки, заданное в прямоугольных координатах уравнениями (58), и, кроме уравнения траектории, дать также уравнение (51) движения точки по траектории. Чтобы его получить, надо продифференцировать уравнения (58) и полученные дифференциалы координат точки подставить в известную из курса высшей математики формулу, выражающую абсолютную величину элемента дуги:

(60)

Проинтегрировав (60), мы получим уравнение (51), выражающее длину дуги s как функцию времени, или, что то же, закон движения точки по траектории.

Задача №1

По заданным уравнениям движения точки в координатной форме найти уравнение траектории и уравнение движения по траектории:

1) х = 5 cos 2t, y = 3+5sin 2t;
2) x=21,2 sin 2 t, у = 21,2 cos 2t.

В обоих примерах за единицу длины принят сантиметр, за единицу времени — секунда.

Решение. Чтобы определить уравнение траектории по уравнениям движения, перенесем во втором из заданных уравнений 3 влево, возведем оба уравнения в квадрат и, сложив, получим

Это уравнение окружности с центром в точке: x = 0, y = +3.

Чтобы получить закон движения, продифференцируем заданные уравнения: dx=—10 sin 2t dt, dy = 10 cos 2t dt.

Возводя в квадрат, складывая, извлекая квадратный корень и интегрируя, находим закон движения по траектории:
s=10t + C, где C = s₀.

2) Исключим время из уравнений движения во втором примере:

Это уравнение первого порядка относительно х и у, следовательно, траектория-прямая линия. Прямая отсекает на положительных направлениях осей координат отрезки по 21,2 см. Однако не вся прямая служит траекторией точки: из заданных уравнений видно, что х и у должны быть всегда положительны и не могут быть больше 21,2 см каждый, поэтому траекторией точки является лишь отрезок прямой x+y = 21,2, лежащей в первом квадранте (рис. 85).

Рис. 85

На этом примере мы видим, что траекторией точки иногда является лишь часть линии, выражаемой уравнением траектории.

Продифференцируем уравнения движения:

dx = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt,
dy = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt.

Теперь no формуле (60) нетрудно найти элемент дуги траектории:

ля получения уравнения (51) движения точки по траектории остается лишь проинтегрировать найденное выражение. Интегрируем и подставляем начальные условия (при t= 0, s₀ = 0):

Ответ. Уравнения траекторий x 2 +(y-3) 2 = 25 и x+y=21,2; уравнения движения по траектории s=10t+s₀ и s = 30 sin 2 t.

Задача №2

Движение точки задано уравнениями:
х = x’ cos φ (t)—y’ sin φ (t),
y = x’ sin φ (t) + y’ cos φ (t),

где х’ и у’ — некоторые постоянные величины, a φ(t)— любая функция времени. Определить траекторию точки.

Решение. Возведем каждое из уравнений в квадрат, а затем сложим их:

x 2 + y 2 = χ ‘2 + y ‘2 .

По условию, х’ и у’ — постоянные. Обозначая сумму их квадратов через r 2 , получим

Ответ. Окружность с центром в начале координат радиуса .

Задача №3

Поезд длиной l м сначала идет по горизонтальному пути (рис. 86, а), а потом поднимается в гору под углом 2α к горизонту. Считая поезд однородной лентой, найти траекторию его центра тяжести.

Рис. 86

Решение. Для решения задачи нужно определить координаты центра тяжести поезда, найти уравнения движения центра тяжести и исключить из них время.

Направим оси координат по внутренней и внешней равиоделяшнм угла 2α (рис. 86, б). Траектория центра тяжести поезда не зависит от скорости поезда. Для простоты подсчетов предположим, что он идет равномерно со скоростью υ м/сек и в начальное мгновение t=0 подошел к горе.

Тогда за время t сек на гору поднимется υt м состава поезда и останется на горизонтальном пути l — υt м. Будем считать, что единица длины поезда весит γ.

Применяя формулы (48), найдем координаты центра тяжести поезда:

Координаты центра тяжести представлены здесь как функции времени, следовательно, полученные соотношения являются уравнениями движения центра тяжести поезда. Определяя t (или υt) из первого уравнения и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Задача №4

Мостовой кран движется вдоль цеха согласно уравнению х = t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению у = 1,5t (х и у—в м, t — в сек). Цепь укорачивается со скоростью t>=0,5. Определить траекторию центра тяжести груза (в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости хОу, ось Oz направлена вертикально вверх).

Решение. В условии задачи даны лишь два уравнения движения и вертикальная скорость груза:

откуда dz = 0,5dt, и легко получаем третье уравнение:

z = 0,5t

Определив t из первого уравнения, подставим во второе и в третье:

y= 1,5x, z = 0,5x

Координаты груза должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям, т. е. траектория лежит одновременно в обеих плоскостях и является линией их пересечения.
Ответ. Прямая.

Алгебраическая величина скорости проекции точки на координатную ось равна первой производной от текущей координаты по времени:

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось

Пусть движение точки M определяется тремя уравнениями:
x =x(t), (58′)
y = y(t), (58″)
z = z(t). (58″‘)

По мере движения точки M в пространстве ее проекции P, Q и R движутся по своим прямолинейным траекториям, т. е. по осям координат, и их движения вполне соответствуют движению точки М.

Так, координата (абсцисса) точки P всегда равна абсциссе точки М, а координаты точек QnR всегда равны ординате и аппликате точки М. Следовательно, при движении точки M в пространстве согласно уравнениям (58) точка P движется по оси Ox согласно уравнению (58′), а точки Q и R— соответственно по осям Oy и Oz согласно уравнениям (58″) и (58″‘).

Таким образом, движение точки M в пространстве можно разложить на три прямолинейных движения ее проекций P, Q и R.

Определим скорость υ_p точки P при движении этой точки по ее прямолинейной траектории Ох, иными словами, определим скорость проекции точки M на ось Ох.

Алгебраическая величина скорости выражается по формуле (53), причем дифференциалом расстояния точки P является дифференциал абсциссы х, а поэтому

(61)

Следовательно, алгебраическая величина скорости проекции P точки M на координатную ось равна первой производной от текущей координаты х по времени t. Она положительна, если точка P движется в положительном направлении оси Ох, и отрицательна, если точка P движется в отрицательном направлении.
Аналогично получаем алгебраические скорости проекций Q и R на ось Oy и на ось Oz:

(61″)

(61″‘)

Чтобы получить векторы скоростей проекций, надо умножить величины (61) на единичные векторы:
(61)

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции скорости той же точки на туже ось:

Скорость проекции и проекция скорости

Пусть точка М за бесконечно малый отрезок времени dt передвинулась по своей траектории на элемент дуги ds, абсолютную величину которого выразим формулой (60):

где dx, dy и dz — проекции элемента дуги на оси координат, или, Что то же, элементарные приращения координат точки М.

На рис. 87 эти элементы условно изображены конечными отрезками. Как видно из чертежа, косинусы углов, составляемых элементарным перемещением (а следовательно, и скоростью точки), с осями х, у и z соответственно равны

(62)

Величина скорости точки M может быть определена по (53):

Чтобы определить проекцию скорости на какую-либо ось, надо умножить абсолютную величину скорости на косинус угла между направлением скорости и направлением этой оси. Таким образом, для проекций скорости точки M на оси координат имеем:

(63′)

(63″)

(63″‘)

Рис. 87

Равенства (63) словами нужно читать так: проекция скорости точки на ось равна алгебраической скорости проекции точки на ту же ось.

Задача №5

Доказать, что проекция скорости точки M (х, у, z) иа плоскость хОу равняется скорости , с которой движется по плоскости проекция M₁ (х, у, О) точки M на ту же плоскость.

Решение. Скорость точки M составляет с осью Oz угол γ_υ, следовательно, угол, составляемый ею с плоскостью хОу, равен 90° — yυ п косинус этого угла равен sinγ_υ. Поэтому модуль проекции скорости точки M на плоскость хОу

Подводя под радикал и выражая cosγ_υ, по формуле (62), мы убедимся, что проекция скорости на плоскость равна по величине скорости проекции:

Направления векторов и тоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы. Теорема доказана.

Модуль скорости точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций скорости на оси координат:

Модуль скорости. Возведем в квадрат каждое из равенств:
(63)

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице и

(64)

Перед радикалом взят положительный знак, так как величина скорости (ее модуль) всегда положительна. В этом ее существенное отличие от алгебраической величины скорости (53), характеризующей скорость точки при движении по заданной траектории и имеющей знак « + » или «—» в зависимости от направления движения. Величину (64) иногда называют полной скоростью.

Направление скорости можно определить по направляющим косинусам скорости:

Направляющие косинусы скорости

Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (58). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемых направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63):

(62′)

где , и — производные от х, у и z по t.

Если точка движется в плоскости хОу, то γ_υ = 90 o , cosγ_υ = 0 и cos α_υ = sin β_υ.

Задача №6

Уравнения движения суть

Определить траекторию и скорость.

Решение. Из уравнений движения следует, что х и у всегда больше нуля.
Для определения уравнения траектории возведем каждое из уравнений движения в квадрат и составим разность

x 2 — у 2 = a 2

Для определения скорости найдем сначала ее проекции:

а затем уже и полную скорость.

Ответ. Траектория — ветвь гиперболы x 2 — у 2 = a 2 — расположена в области положительных значений х; скорость .

Задача №7

Движение точки задано уравнениями

причем ось Ox горизонтальна, ось Oy направлена по вертикали вверх, υ₀, g и —величины постоянные. Найти траекторию точки, координаты наивысшего ее положения, проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох.

Решение. Уравнения описывают движение тела, брошенного со скоростью υ₀ под углом α₀ к горизонту (к оси Ох).
Чтобы найти уравнение траектории, определим время из первого уравнения и подставим найденное значение во второе; получим

уравнение параболы, проходящей через начало координат (рис. 88).

Рис. 88

Чтобы определить координаты наивысшего положения, мы можем применить известные из дифференциального исчисления правила нахождения максимума функции, т. е. взять производную , приравняв ее нулю, определить значение х и, подставив его в уравнение траектории, определить соответствующее значение у, убедившись при этом, что вторая производная . Однако мы найдем координаты наивысшего положения точки другим методом, для чего, продифференцировав по времени уравнения движения точки, найдем проекции ее скорости:

Первое из этих уравнений показывает, что проекция скорости на горизонтальную ось постоянна и равна проекции начальной скорости.

Исследование второго уравнения убеждает, что проекция скорости на вертикальную ось в начальное мгновение положительна и равна υ₀ sin α₀; затем, по мере увеличения t, проекция υ_y уменьшается, оставаясь положительной до мгновения , когда υ_y обращается в нуль, после чего υ_y становится отрицательной, возрастая по абсолютной величине с течением времени t.

Таким образом, точка движется вправо, сначала поднимаясь, затем опускаясь. Мгновение , при котором точка кончила подниматься, но еще не начала опускаться, соответствует максимальному подъему точки. В это мгновение скорость горизонтальна и . Подставляя найденное значение t в уравнения движения, найдем координаты наивысшей точки траектории:

Определим проекции скорости в мгновение, когда точка находится на оси Ох. В это мгновение ордината точки равна нулю. Приравняем пулю второе из уравнений движения:

Точка находится на оси Ox два раза: при t=0 при

Первое значение t соответствует началу движения, второе —падению точки на ось Ох. Второе значение равно времени всего полета, и оно вдвое больше полученного нами ранее времени наивысшего подъема: время падения равно времени подъема.

Подставляя значение t=0 в уравнения, определяющие проекции скорости, найдем проекции скорости в начальное мгновение:

Подставляя второе из найденных значений t, найдем скорости в момент падения:

Ответ: 1) Парабола

2)

3) υ_x = υ₀ cos α₀, υ_y = υ₀ sin α₀.

причем верхний знак соответствует началу движения, а нижний—концу.

Задача №8

По осям координат (рис. 89) скользят две муфты A и B, соединенные стержнем AB длиной l. Скорость В равна υ_B.

При каком положении муфт скорость муфты А вдвое больше υ_B?

Решение. Координата точки А связана с координатой точки В соотношением

Считая х и у функциями времени и продифференцировав это равенство по времени, найдем зависимость между скоростями обеих точек:

Но и по условию надо, чтобы величина была равна 2υ_B, т. е.

откуда после алгебраических преобразований получаем ответ.

Ответ: (см. задачи № 57 и 89, где даны другие решения).

Проекция ускорения точки на координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости на ту же ось или второй производной от текущей координаты по времени:

Ускорение проекции и проекция ускорения

Ускорение характеризует изменение скорости точки в данное мгновение. Оно выражается пределом отношения изменения вектора скорости к соответствующему промежутку времени при стремлении этого промежутка времени к нулю.

Для того чтобы определить ускорение точки M при ее движении в пространстве, рассмотрим сначала движение по оси Ox точки Р, являющейся проекцией точки M на эту ось.

Пусть в некоторое мгновение t алгебраическая величина скорости точки P была υ_х, а в мгновение t_l = t + Δt стала υ_x+∆υ_x. Тогда ускорение точки P по величине и по знаку выразится пределом

Если знаки υ_x и a_p одинаковы, то движение точки P ускоренное, а если различны, то замедленное.

Аналогично выразятся ускорения проекций Q и R точки M на другие координатные оси:

Проекции υ_x, υ_y и υ_z сами являются производными по времени от координат точки, поэтому ускорения проекций можно выразить вторыми производными по времени от координат точки. Эти равенства характеризуют не только величины, но и знаки ускорений проекций. Иными словами, они выражают изменение алгебраических скоростей проекций P, Q и R в мгновение t.

Только что доказанная теорема о равенстве алгебраической скорости проекции точки на ось и проекции скорости той же точки на ту же ось справедлива для любого момента времени. Следовательно, эта теорема относится не только к скорости, но и к ее изменению в любое мгновение, т. е. к ускорению. Это значит, что написанные выше равенства выражают также проекции a_x, а_у и а_z ускорения а точки M на оси координат O_x, O_y и O_z:

(65)

где cosα_a, cosβ_a и cosγ_a—направляющие косинусы ускорения.

Можно рассматривать эти величины (65) как векторы, направленные по осям координат:

(65′)

Модуль ускорения точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций ускорения на оси координат:

Величина ускорения при координатном способе задания движения точки

Возведем в квадрат каждое из равенств:

и затем сложим их:

(66)

Перед радикалом взят знак плюс, так как модуль вектора—величина положительная. Ускорение точки в отличие от проекций ускорения на оси координат или на другие направления обычно называют полным ускорением. Поэтому равенство (66) можно прочитать так: величина полного ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Направление ускорения можно определить по направляющим косинусам ускорения:
,

Направляющие косинусы ускорения

Направление ускорения определяют по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с вектором ускорения. Формулы направляющих косинусов получаем из уравнений (65):
(67′)

(67»)

(67»’)

Для определения направления ускорения в каждом конкретном случае надо сначала найти ускорение проекций по (65), для чего необходимо дважды продифференцировать уравнения движения (58), затем найти величину ускорения по (66), а потом определить направляющие косинусы ускорения по (67).

Направление ускорения обычно не совпадает с направлением скорости, и направляющие косинусы (67) ускорения только при прямолинейном ускоренном движении точки постоянно равны направляющим косинусам (62) скорости.

Если точка движется в плоскости хОу, то γ_a = 90 o , cosγ_a = 0, cosα₀ = sin βa.

Задача №9

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям х= r cos πt, y=r sinπt, где х и у—в см, a t — в сек. Найти уравнение траектории точки М, ее скорость, направляющие косинусы скорости, ускорение, направляющие косинусы ускорения. Для значений времени t=0; 0,25; 0,5; 0,75, . 2 сек дать чертежи положений точки M, вектора скорости и вектора ускорения.

Решение. Из уравнения движения видно, что координаты точки M являются проекциями на соответствующие оси радиуса-вектора r, составляющего с осью абсцисс угол πt:

Для определения траектории точки исключаем время из уравнений движения. Получаем уравнение окружности

x 2 + y 2 = r 2

Найдем теперь проекции скорости на оси координат, для чего продифференцируем по времени уравнения движения:

откуда по (64) получаем модуль скорости

Величина скорости точки M постоянна.

Направляющие косинусы скорости определим по формуле (62′):

Эти соотношения показывают, что направление скорости непрерывно меняется и что скорость перпендикулярна радиусу-вектору, проведенному из центра О в точку М.

Ускорение точки M найдем по его проекциям, для чего продифференцируем выражения, полученные для проекций скорости:

откуда по (66) получаем величину ускорения

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости не только по величине, но и по направлению, поэтому, несмотря на постоянство модуля скорости точки М, ускорение этой точки не равно нулю. Как видно из полученного

Рис. 90

равенства, величина полного ускорения постоянна. Направление ускорения определим по направляющим косинусам согласно (67):

Направление ускорения точки M противоположно направлению радиуса-вектора.
Положения точки M в различные мгновения показаны на рис. 90, а, векторы скорости — на рис. 90,6 и векторы ускорения — на рис. 90, в.

Ответ. Точка M движется по окружности радиуса r против часовой стрелки с постоянной по величине скоростью υ = rπ и с постоянным по величине ускорением a = rπ 2 .

Задача №10

Снаряд выбрасывается из орудия с начальной скоростью υ=1600 м/сек под утлом α₀ = 55 o к горизонту. Определить теоретическую дальность и высоту обстрела, учитывая, что ускорение свободно падающих тел g = 9,81 м/сек 2 .

Решение. Сначала составим уравнения движения снаряда в координатной форме, направив оси, как показано на чертеже (см. рис. 88), для этого определим проекции ускорения:

Разделив переменные, интегрируем:
υ_х= С₁, υ_y = — gt + С2

Подставляя вместо переменных величин их начальные значения, увидим, что C₁ и C₂ равны проекциям начальной скорости:

1600 cos 55 o = C_1, 1600 sin 55 o = — gt + C_2.

Подставим их в уравнения, полученные для проекций скорости:

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

При t = 0 координаты снаряда были: х =0, у = 0. Подставляя эти данные, найдем, что C₃ = O и C₄ = O. Значения cos 55° и sin 55° найдем в тригонометрических таблицах. Уравнения движения снаряда примут вид:

Далее поступим, как при решении задачи № 42: приравняв вертикальную скорость нулю, найдем время подъема снаряда (t= 133,7 сек); подставляя это значение t в уравнение движения по оси Оу, найдем теоретическую высоту обстрела (h = 87 636 м); удваивая время /, найдем время полета снаряда (t = 267,4 сек); подставляя это значение- в уравнение движения по оси Ох, найдем теоретическую дальность обстрела (l = 245 393 м).
Ответ. l = 245 км; h = 87,5κм.

• Касательное и нормальное ускорения точки
• Основные законы динамики
• Колебания материальной точки
• Количество движения
• Пара сил в теоретической механике
• Приведение системы сил к данной точке
• Система сил на плоскости
• Естественный и векторный способы определения движения точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Траектория движения

Видео:Способы описания движения. Траектория. Путь. ПеремещениеСкачать

Определение и основные понятия траектории движения

Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.

Линию, которую описывает частица при своем движении, называется траекторией движения.

В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:

• прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
• и криволинейное перемещение (траектория — кривая линия).

Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.

При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Уравнение траектории движения

Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.

Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:

Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:

Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ меньше нуля.

Вершина этой параболы находится в точке с координатами:

Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($frac$) от нее по $x$.

Видео:Уравнение прямой по двум точкамСкачать

Обратимость движения

Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.

Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t $ на $-t$ для всех уравнений. Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории. Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.

Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.

Видео:11.1. Уравнения движения точкиСкачать

Параметры траектории движения

Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:

• Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=rho ,x_2=varphi ,x_3= z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки — это значит указать эти функции: [x_1=x_1left(tright);; x_2=x_2left(tright);; x_3=x_3left(tright)left(6right).]
• При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($overline$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $overline$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение: [overline=overlineleft(tright)left(7right).]
• Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.

Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.

Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:

Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:

где $s$ — путь точки по траектории; $t$ — время движения; $A$ — коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.

Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.

Видео:кинематика точкиСкачать

Примеры задач с решением

Задание: Точка движется в плоскости XOY из начала координат со скоростью $overline=Aoverline+Bxoverline , $где $overline$, $overline$ — орты осей X и Y; $A$,B — постоянные величины. Запишите уравнение траектории движения точки ($y(x)$). Изобразите траекторию. textit

Решение: Рассмотрим уравнение изменения скорости частицы:

Из этого уравнения следует, что:

Для получения уравнения траектории следует решить дифференциальное уравнение (1.3):

Мы получили уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Эта парабола проходит через начало координат. Минимум этой функции находится в точке с координатами:

Задание: Движение материальной точки в плоскости описывает система уравнений: $left< begin x=At. \ y=At(1+Bt) end right.$, где $A$ и $B$ — положительные постоянные. Запишите уравнение траектории точки.

Решение: Рассмотрим систему уравнений, которая задана в условии задачи:

Исключим время из уравнений системы. Для этого из первого уравнения системы выразим время, получим:

Подставим вместо $t$ правую (2.2) часть во второе уравнение системы (2.1), имеем:

🎦 Видео

ФИЗИКА 10 класс : Механическое движение | Материальная точка, траектория, перемещение.Скачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

Лекция 5.3 | Уравнение траектории | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Теоретическая механика. Задание К1 (часть 1) из сборника ЯблонскогоСкачать

Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.Скачать

7.1. Траектория и положение точки в прямоугольной системе координатСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Кинематика точкиСкачать

Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать

Кинематика точки в плоскости. ТермехСкачать

14. Определение скорости и ускорения точки при векторном и координатном способах заданияСкачать