Траектория снаряда вылетающего из орудия под углом с начальной скоростью 0 задается уравнениями (3 видео)

Видео:Урок 40. Задачи на движение тела, брошенного под углом к горизонту (ч.1)Скачать

Траектория снаряда вылетающего из орудия под углом с начальной скоростью 0 задается уравнениями

2017-10-05
Зенитное орудие может сообщить снаряду начальную скорость $v_$ в любом направлении. Требуется найти зону поражения, т. е. границу, отделяющую цели, до которых снаряд из данного орудия может долететь, от недостижимых целей. Сопротивлением воздуха пренебречь.

рис.1

рис.2
Попробуем сначала выяснить, что можно сказать об этой границе, не решая задачи. Сам факт существования такой границы сомнений не вызывает, так что поставленный в задаче вопрос имеет смысл (кстати, начиная решать задачу, никогда не вредно подумать об этом). Попытаемся представить себе искомую границу. Очевидно, что она представляет собой некоторую поверхность. Если цель находится точно над орудием, то стрелять нужно вертикально вверх. Снаряд при этом поднимается на высоту $h = v_^/2g$, после чего начинает падать вниз, так что граница достижимых целей пересекает вертикаль в точке, находящейся на высоте $h$.

Если ограничиться целями, находящимися на горизонтальной плоскости, то очевидно, что граница представляет собой окружность, радиус которой равен максимальной дальности полета снаряда по горизонтали $s = v_^/g$ (напомним, что максимальная дальность полета по горизонтали достигается при угле возвышения ствола орудия $alpha = pi /4$). Эта окружность есть пересечение искомой поверхности с горизонтальной плоскостью (рис.). Вообще из симметрии можно сделать вывод, что искомая поверхность представляет собой поверхность вращения некоторой кривой вокруг вертикали, проходящей через орудие, и задача сводится к нахождению этой кривой. Отметим, что кривая есть огибающая всех возможных траекторий (рис. 2).

Приступим к решению задачи. Выберем систему координат: орудие расположим в начале координат, ось х направим горизонтально, ось $y$ — вертикально. Тогда зависимость координат снаряда от времени имеет вид

$x(t) = v_ cos alpha t, y(t) = v_ sin alpha t — frac<gt^>$.

Исключив из этих уравнений $t$, получим уравнение траектории снаряда $y=f(x)$:

$y = x tg alpha — frac<gx^><2v_> (1 + tg^ alpha)$. (1)

Это уравнение параболы. Коэффициенты при $x$ и $x^$ зависят от угла $alpha$, т. е. при разных направлениях начальной скорости получаются различные траектории. Таким образом, данное уравнение описывает семейство траекторий при одних и тех же по модулю, но различных по направлению начальных скоростях $v_$.

Но этому же уравнению можно придать и другой смысл. Будем теперь рассматривать х и у как координаты определенной цели, в которую попадает снаряд, двигаясь по некоторой траектории. Тогда при заданных координатах цели х и у уравнение (1) определяет угол, под которым нужно выпустить снаряд с начальной скоростью $v_$ для того, чтобы он попал в эту цель. Решая это квадратное относительно $tg alpha$ уравнение, находим

Если уравнение имеет вещественное решение, т. е. дискриминант неотрицателен:

то в цель попасть можно. Если вещественных решений нет, т. е.

то в цель попасть нельзя. Это значит, что цель находится за пределами искомой границы. Координаты цели, расположенной на границе, должны удовлетворять соотношению $v_^ — g(gx^ + 2v_^ y) = 0$. Выражая отсюда у как функцию х, получаем уравнение границы в явном виде:

Это уравнение параболы с вершиной при $x = 0, y = v_^/2g$. Коэффициент при $x^$ отрицателен, т. е. ветви параболы направлены вниз и пересекают горизонтальную ось в точках $x = pm v_^/g$ (рис. 2), Итак, полученная граница действительно проходит через точки, которые вначале были нами установлены из элементарных соображений.

Мы нашли сечение граничной поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат. Вся поверхность может быть получена вращением этой параболы вокруг оси у.

В связи с приведенным решением сделаем еще несколько замечаний. Рассмотрим какую-либо точку, находящуюся ближе границы (например, точку А на рис. 2). Для такой точки подкоренное выражение в формуле (2) положительно, и, следовательно, через нее проходят две траектории (при заданном значении начальной скорости), соответствующие двум возможным значениям угла $alpha$.

В баллистике одна из этих траекторий называется настильной, а другая, касающаяся границы до попадания в цель,— навесной. Через каждую точку, принадлежащую границе, проходит лишь одна траектория. Отметим, что граница является огибающей для семейства траекторий при различных направлениях начальной скорости и фиксированном значении начальной скорости $v_$.

Приведем другой возможный путь решения этой задачи, связанный с еще одной трактовкой уравнения (1). Рассмотрим цели, находящиеся на одной вертикали, отстоящей от орудия на расстояние $x$, и найдем на ней самую высокую точку, в которую еще может попасть снаряд. Эта точка, очевидно, принадлежит границе. Таким образом, задача сводится к нахождению максимума у, т. е. правой части уравнения (1), рассматриваемой как функция угла $alpha$. Правая часть есть квадратный трехчлен относительно $tg alpha$ и имеет максимум при $tg alpha = v_^ / gx$. Соответствующее максимуму значение у получается подстановкой этого значения $tg alpha$ в уравнение (1):

что совпадает с полученным ранее уравнением границы (4).

Видео:Урок 37. Движение тела, брошенного под углом к горизонту (начало)Скачать

Траектория снаряда вылетающего из орудия под углом с начальной скоростью 0 задается уравнениями

змбчб IV

учедеойс йъ чоеыоек вбммйуфйлй

4.2. дЧЙЦЕОЙЕ УОБТСДБ РПД ДЕКУФЧЙЕН УЙМЩ ФСЦЕУФЙ

дЕКУФЧЙЕ УЙМ ФСЦЕУФЙ ОЕ ЪБЧЙУЙФ ПФ УЛПТПУФЙ РПМЈФБ УОБТСДБ. рПЬФПНХ РПОЙЦЕОЙЕ УОБТСДБ ЧП ЧТЕНС РПМЕФБ РПД МЙОЙЕК ВТПУБОЙС ФБЛЦЕ ВХДЕФ УПЧЕТЫБФШУС РП ЪБЛПОХ УЧПВПДОПЗП РБДЕОЙС ФЕМ Й УОБТСДПЧ, ЧЩРХЭЕООЩИ РПД ЛБЛЙН-ФП ХЗМПН Л ЗПТЙЪПОФХ ПТХЦЙС, ПРЙЫЕФ ЛТЙЧХА, РПЛБЪБООХА ОБ ТЙУ.24.

ч ЛПОГЕ РЕТЧПК УЕЛХОДЩ РПМЈФБ РПД ДЕКУФЧЙЕН УЙМЩ ФСЦЕУФЙ УОБТСД ВХДЕФ ОЕ Ч ФПЮЛЕ «Б ‘ « ЙМЙ «Б« , Б Ч ФПЮЛЕ б .

ьФП РТПЙУИПДЙФ Ч ТЕЪХМШФБФЕ РПУФХРБФЕМШОПЗП ДЧЙЦЕОЙС УОБТСДБ Ч РЕТЧПОБЮБМШОПН ОБРТБЧМЕОЙЙ Й ДЧЙЦЕОЙС ЕЗП РПД ДЕКУФЧЙЕН УЙМЩ ФСЦЕУФЙ.

тБУУНБФТЙЧБС БОБМПЗЙЮОПЕ РПМПЦЕОЙЕ УОБТСДБ Ч ЛПОГЕ 2, 3 Й Ф.Д. УЕЛХОД, НЩ РПМХЮЙН ФПЮЛЙ в , ч , Й Ф.Д. (ТЙУ. 24).

уПЛТБЭБС РПУМЕДПЧБФЕМШОП РТПНЕЦХФЛЙ ЧТЕНЕОЙ, ЮЕТЕЪ ЛПФПТЩЕ НЩ ПРТЕДЕМСМЙ РПМПЦЕОЙЕ УОБТСДБ, НПЦОП РПМХЮЙФШ ТСД ПЮЕОШ ВМЙЪЛП ПФУФПСЭЙИ ДТХЗ ПФ ДТХЗБ ФПЮЕЛ.

уПЕДЙОЙЧ ЬФЙ ФПЮЛЙ ЛТЙЧПК, НЩ РПМХЮЙН ЗТБЖЙЮЕУЛПЕ ЙЪПВТБЦЕОЙЕ ФТБЕЛФПТЙЙ РПМЈФБ УОБТСДБ ВЕЪ ХЮЈФБ УЙМЩ УПРТПФЙЧМЕОЙС ЧПЪДХИБ.

хТБЧОЕОЙЕ РБТБВПМЙЮЕУЛПК ФТБЕЛФПТЙЙ

нБФЕНБФЙЮЕУЛЙН ЧЩТБЦЕОЙЕН ЪБЛПОБ ДЧЙЦЕОЙС УОБТСДБ СЧМСЕФУС ХТБЧОЕОЙЕ ФТБЕЛФПТЙЙ, ЛПФПТПЕ ПФТБЦБЕФ ЪБЧЙУЙНПУФШ НЕЦДХ ЛППТДЙОБФБНЙ И Й Х Ч МАВПК ФПЮЛЕ РПМЈФБ УОБТСДБ.

чЩЧЕДЕН ХТБЧОЕОЙЕ ФТБЕЛФПТЙЙ УОБТСДБ, МЕФСЭЕЗП РПД ДЕКУФЧЙЕН ФПМШЛП ПДОПК УЙМЩ ФСЦЕУФЙ.

дПРХУФЙН, ЮФП Ч ВЕЪЧПЪДХЫОПН РТПУФТБОУФЧЕ НЩ РТПЙЪЧЕМЙ ЧЩУФТЕМ ЙЪ ПТХДЙС РПД ХЗМПН ВТПУБОЙС Θ₀ У ОБЮБМШОПК УЛПТПУФША ТБЧОПК V₀ (ТЙУ. 25).

чЩМЕФЕЧ ЙЪ УФЧПМБ, УОБТСД ПРЙЫЕФ ЛБЛХА-ФП ФТБЕЛФПТЙА Й ХРБДЈФ Ч ФПЮЛЕ д .

оЕПВИПДЙНП ОБКФЙ, ОБ ЛБЛПК ЧЩУПФЕ ОБД ЗПТЙЪПОФПН ПТХЦЙС МЕФЙФ УОБТСД ОБ ХДБМЕОЙЙ X ПФ ФПЮЛЙ ЧЩМЕФБ РТЙ ДБООЩИ ЪОБЮЕОЙСИ V₀ , Θ₀.

дМС ЧЩЧПДБ ХТБЧОЕОЙС РПНЕУФЙН ОБЮБМП УЙУФЕНЩ ЛППТДЙОБФ Ч ФПЮЛЕ ЧЩМЕФБ, ЛБЛ ЬФП РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 25.

йЪ ТЙУХОЛБ ЧЙДОП, ЮФП

пРТЕДЕМЙН ЪОБЮЕОЙС бч Й бу .

ъОБЮЕОЙЕ бч ОБИПДЙФУС ЙЪ ФТЕХЗПМШОЙЛБ пбч ;

бу ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ РПОЙЦЕОЙЕ УОБТСДБ РПД МЙОЙЕК ВТПУБОЙС ЪБ ЧТЕНС ЕЗП РПМЈБ ДП ФПЮЛЙ у .

рПОЙЦЕОЙЕ ЛБЛ РХФШ, РТПИПДЙНЩК УЧПВПДОП РБДБАЭЙН ФЕМПН, ПРТЕДЕМСЕФУС РП ЖПТНХМЕ:

чТЕНС РПМЈФБ УОБТСДБ ДП ФПЮЛЙ у ОБИПДЙФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

йЪ ФТЕХЗПМШОЙЛБ пбч ЧЙДОП, ЮФП

рПДУФБЧЙЧ ОБКДЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС бч Й бу Ч ЧЩТБЦЕОЙЕ

РПМХЮЙН ХТБЧОЕОЙЕ ФТБЕЛФПТЙЙ:

рПМХЮЕООПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ПРЙУЩЧБЕФ ФТБЕЛФПТЙА УОБТСДБ, ЛПФПТБС РТЕДУФБЧМСЕФ РБТБВПМХ Ч ВЕЪЧПЪДХЫОПН РТПУФТБОУФЧЕ РПД ДЕКУФЧЙЕН ФПМШЛП ПДОПК УЙМЩ ФСЦЕУФЙ.

фТБЕЛФПТЙС РПМЈФБ УОБТСДПЧ Ч ВЕЪЧПЪДХЫОПН РТПУФТБОУФЧЕ РТЕДУФБЧМСЕФ УПВПК ЛТЙЧХА, ОБЪЩЧБЕНХА РБТБВПМПК .

рПЬФПНХ ФТБЕЛФПТЙА РПМЈФБ УОБТСДПЧ Ч РХУФПФЕ ОБЪЩЧБАФ РБТБВПМЙЮЕУЛПК ФТБЕЛФПТЙЕК.

рБТБВПМЙЮЕУЛЙЕ ФТБЕЛФПТЙЙ ЙНЕАФ УМЕДХАЭЙЕ УЧПКУФЧБ:

ФТБЕЛФПТЙС РТЕДУФБЧМСЕФ УПВПК РМПУЛХА УЙННЕФТЙЮОХА ЛТЙЧХА ПФОПУЙФЕМШОП ЧЕТЫЙОЩ, Ф.Е. ЧЕТЫЙОБ ФТБЕЛФПТЙЙ ОБИПДЙФУС РПУТЕДЙОЕ РПМОПК ЗПТЙЪПОФБМШОПК ДБМШОПУФЙ;

ЧПУИПДСЭБС ЧЕФЧШ ФТБЕЛФПТЙЙ ТБЧОБ ОЙУИПДСЭЕК ЧЕФЧЙ;

ЧТЕНС РПМЈФБ УОБТСДБ ПФ ФПЮЛЙ ЧЩМЕФБ ДП ЧЕТЫЙОЩ ТБЧОП ЧТЕНЕОЙ РПМЈФБ ПФ ЧЕТЫЙОЩ ДП ФПЮЛЙ РБДЕОЙС;

ХЗПМ РБДЕОЙС РП УЧПЕК БВУПМАФОПК ЧЕМЙЮЙОЕ ТБЧЕО ХЗМХ ВТПУБОЙС;

ПЛПОЮБФЕМШОБС УЛПТПУФШ УОБТСДБ ТБЧОБ ОБЮБМШОПК УЛПТПУФЙ;

ХЗПМ ОБЙВПМШЫЕК ЗПТЙЪПОФБМШОПК ДБМШОПУФЙ ТБЧЕО 45°.

рТЙ УФТЕМШВЕ Ч ЧПЪДХИЕ УОБТСДБНЙ У ОЕВПМШЫЙНЙ ОБЮБМШОЩНЙ УЛПТПУФСНЙ ЙИ ФТБЕЛФПТЙЙ ВМЙЪЛЙ Л РБТБВПМЙЮЕУЛЙН.

рПЬФПНХ, ЛБЛ ХЛБЪЩЧБМПУШ Ч ПЮЕТЛЕ РП ЙУФПТЙЙ ВБММЙУФЙЛЙ, ДПМЗПЕ ЧТЕНС ЧУЕ ТБУЮЈФЩ ДМС УФТЕМШВЩ ЧЕМЙУШ РП ЧЩЧЕДЕООПНХ ХТБЧОЕОЙА РБТБВПМЙЮЕУЛПК ФТБЕЛФПТЙЙ.