§25. Ток смещения и система уравнений Максвелла

Мы установили, что изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле, которое в свою очередь порождает изменяющееся магнитное поле и т. д. В результате образуются сцепленные между собой электрическое и магнитное поля, составляющие электромагнитную волну. Она “отрывается” от зарядов и токов, которые ее породили. Способ существования электромагнитной волны делает невозможным ее неподвижность в пространстве и постоянство напряженности во времени.

Постоянный ток не протекает в цепи с конденсатором, а в случае переменного напряжения в цепи ток протекает через конденсатор. Для постоянного тока конденсатор – разрыв в цепи, а для переменного этого разрыва нет. Поэтому необходимо заключить, что между обкладками конденсатора происходит некоторый процесс, который как бы замыкает ток проводимости. Этот процесс между обкладками конденсатора был назван током смещения. Напряженность поля между обкладками конденсатора . Из граничного условия для вектора следует, что диэлектрическое смещение между обкладками , а сила тока в цепи равна . Тогда

, (25.1)

А значит процессом, замыкающим ток проводимости в цепи, является изменение электрического смещения во времени. Плотность тока

. (25.2)

Существование тока смещения было постулировано Максвеллом в 1864 г. и затем экспериментально подтверждено другими учеными.

Почему скорость изменения вектора смещения называется плотностью тока? Само по себе математическое равенство величины , характеризующей процесс между обкладками конденсатора, т. е. равенство двух величин, относящихся к разным областям пространства и имеющим различную физическую природу, не содержит в себе, вообще говоря, какого-то физического закона. Поэтому называть ”током” можно только формально. Для того чтобы придать этому названию физический смысл, необходимо доказать, что обладает наиболее характерными свойствами тока, хотя и не представляет движения электрических зарядов, подобного току проводимости. Главным свойством тока проводимости является его способность порождать магнитное поле. Поэтому решающим является вопрос о том, порождает ли ток смещения магнитное поле так же, как его порождают ток проводимости, или, более точно, порождает ли величина (25.2) такое же магнитное поле, как равная ей объемная плотность тока проводимости? Максвелл дал утвердительный ответ на этот вопрос. Однако наиболее ярким подтверждением порождения магнитного поля током смещения является существование электромагнитных волн. Если бы ток смещения не создавал магнитного поля, то не могли бы существовать электромагнитные волны.

Уравнение Максвелла с током смещения.

Порождение магнитного поля токами проводимости описывается уравнением

(25.3)

Учитывая порождение поля током смещения, необходимо обобщить это уравнение в виде

(25.4)

Тогда, принимая во внимание (25.2), окончательно получаем уравнение

, (25.5)

Являющееся одним из уравнений Максвелла.

Видео:Урок 383. Вихревое электрическое поле. Ток смещенияСкачать

Система уравнений Максвелла.

Полученная в результате обобщения экспериментальных данных, эта система имеет вид:

, (25.6)

Эти уравнения называются полевыми и справедливы при описании всех макроскопических электромагнитных явлений. Учет свойств среды достигается уравнениями

, (25.7)

Называемыми обычно Материальными уравнениями среды. Среды линейны, если и нелинейны если . Материальные уравнения, как правило, имеют вид функционалов.

Рассмотрим физический смысл уравнений.

Уравнение I выражает закон, по которому магнитное поле порождается токами проводимости и смещения, являющимися двумя возможными источниками магнитного поля. Уравнение II выражает закон электромагнитной индукции и указывает на изменяющееся магнитное поле как на один из возможных источников, порождающих электрическое поле. Вторым источником электрического поля являются электрические заряды (уравнение IV). Уравнение III говорит о том, что в природе нет магнитных зарядов.

Полнота и совместность системы. Единственность решения.

В случае линейной среды можно исключить из полевых уравнений (25.6) величины в результате чего они становятся уравнениями относительно векторов и , т. е. относительно шести неизвестных (у каждого вектора по 3 проекции). С другой стороны число скалярных уравнений в (25.6) равно восьми. Получается, что система состоит из 8 уравнений для 6 неизвестных. Однако в действительности система не переполнена. Это обусловлено тем, что уравнения I и IV, а также II и III имеют одинаковые дифференциальные следствия и поэтому связаны между собой.

Чтобы в этом убедиться возьмем от уравнения II и производную по времени от уравнения III. Получим:

Т. е. получили одинаковые дифференциальные следствия. Аналогично возьмем от уравнения I:

С из уравнения непрерывности следует, что . Тогда

или . Из IV следует, что

Наличие двух дифференциальных связей и делает систему уравнений Максвелла совместной. Более подробный анализ показывает, что система является полной, а ее решение однозначно при заданных начальных и граничных условиях.

Доказательство единственности решения в общих чертах сводится к следующему. Если имеется два различных решения, то их разность вследствие линейности системы тоже является решением, но при нулевых зарядах и токах и нулевых начальных и граничных условиях. Отсюда, пользуясь выражением для энергии электромагнитного поля и законом сохранения энергии заключаем, что разность решений тождественно равна нулю, т. е. решения одинаковы. Тем самым единственность решения уравнений Максвелла доказана.

Лекции по теоретическим основам электротехники Основы теории цепей (стр. 3 )

Токи проводимости и токи смещения уравнение непрерывности электрического тока

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9

. (7)

Как ясно из (7), ток i есть интегральная характеристика движения заряда, а плотность тока – дифференциальная характеристика этого движения.

В случае, когда плотность тока во всех точках поверхности одинакова по значению и составляет с нормалью к поверхности S всюду один и тот же угол, соотношение (7) примет вид:

. (8)

Если, кроме того, направление тока нормально к поверхности (), то ток равен:

. (9)

Видео:Что такое "ток смещения"?Скачать

Выражение (9) имеет место при постоянном во времени токе для линейных проводников (поперечные размеры линейных проводников малы по сравнению с их длиной).

Плотность тока зависит от напряженности электрического поля (зависит от силы, приводящей в движение заряды). Для разных сред, отличающихся, прежде всего, количеством свободного заряда, связь плотности тока с напряженностью поля разная. Для описания движения зарядов в разных средах используют три типа токов: ток проводимости, ток смещения и ток переноса.

Ток проводимости характерен для сред, имеющих много свободных зарядов (проводники). Плотность тока проводимости связана с напряженностью электрического поля соотношением:

. (10)

Величину g называют удельной электрической проводимостью вещества. Величину , обратную удельной проводимости, называют удельным электрическим сопротивлением вещества.

Единицей измерения удельного сопротивления является Ом-метр (Ом×м). Соответственно, единицей измерения удельной проводимости является Сименс на метр ().

Электрический ток проводимости, соответственно, равен:

. (11)

Ток переноса описывает явление переноса электрических зарядов движущимися заряженными частицами или телами в свободном пространстве, т. е. в вакууме, полупроводниках, плазме и т. п. Это среды, где может наблюдаться свободное движение или дрейф заряженных частиц.

Плотность тока переноса равна:

, (12)

где — объемная плотность заряда; — средняя скорость дрейфующих заряженных частиц (средняя скорость направленного, упорядоченного движения зарядов). В частности, если концентрация зарядов равна n, величина одного заряда равна e (имеем n электронов в единице объема), то

, (13)

. (14)

Ток переноса равен:

. (15)

Ток электрического смещения характерен для диэлектриков при переменном электрическом поле.

Плотность тока смещения связана с изменяющимся во времени электрическим полем и определяется как скорость изменения электрического поля:

, (16)

где — вектор электрического смещения.

Ток смещения равен:

. (17)

Сходство токов проводимости, переноса и смещения обнаруживается по их связи с магнитным полем. Магнитное поле, создаваемое токами проводимости и переноса, ничем не отличается от магнитного поля, созданного током смещения. Все три типа токов одинаково связаны с магнитным полем. На этом их сходство заканчивается: токи проводимости и переноса – это движущиеся заряды, а ток смещения – это изменяющееся электрическое поле.

Видео:Билеты №12-14 "Электрический ток"Скачать

Все типы токов, в принципе, могут существовать в любой среде. Но если имеем проводник, то основной ток – это ток проводимости, остальными можно пренебречь. Если имеем диэлектрик, то основной ток – это ток смещения, так как в диэлектрике очень мало (нет) свободных зарядов. Для описания электрических и магнитных явлений в полупроводниках, плазме, вакууме используют ток переноса. В общем случае говорят о полном электрическом токе. Плотность полного тока, описывающая ток в любых средах, равна:

. (18)

Соответственно, полный электрический ток можно записать следующим образом:

. (19)

3. Принцип непрерывности электрического тока

В курсе физики рассматривается и доказывается, так называемый, принцип непрерывности электрического тока.

Принцип непрерывности электрического тока гласит [7]:

Полный ток сквозь взятую в какой угодно среде замкнутую поверхность равен нулю:

, (20)

где — плотность полного тока (18).

Если выражение (18) подставить в (20), то его можно преобразовать к следующему виду:

(21)

Согласно (21), сумма токов всех типов – проводимости, переноса и смещения – сквозь любую замкнутую поверхность равна нулю.

4. Электрическое напряжение

Если частица с зарядом Q переносится в электрическом поле вдоль некоторого пути, то действующие силы совершают работу или, говорят, электрическое поле затрачивает некоторую энергию на перемещение заряда Q (энергия измеряется работой).

Видео:Урок 132. Основные понятия гидродинамики. Уравнение непрерывностиСкачать

При перемещении частицы по пути dl (рис. 2) силы поля совершают работу:

. (22)

Через обозначен вектор, равный по величине элементу пути dl и направленный по касательной Т к пути в сторону перемещения заряженной частицы. Угол a есть угол между векторами и (вектор направлен по касательной к силовым линиям, изображающим некоторое электрическое поле).

Работа, совершаемая силами поля при перемещении заряда Q вдоль всего пути от точки a к точке b (рис. 2) равна:

. (23)

Работа, совершаемая силами поля при перемещении точечного заряженного тела с положительным зарядом, равным единице (энергия, затраченная полем на перемещение), из одной заданной точки (а) в другую (b) называется электрическим напряжением между этими точками.

Как следует из (23), электрическое напряжение связано с напряженностью электрического поля следующим соотношением:

. (24)

Из (24) очевидно, что электрическое напряжение представляет собой физическую величину, характеризующую электрическое поле вдоль рассматриваемого пути и равную линейному интегралу напряженности электрического поля вдоль этого пути.

Следует обратить внимание, что в лабораторных исследованиях вольтметр (прибор, измеряющий электрическое напряжение) будет измерять величины линейных интегралов типа (24). Очевидно, что если взять замкнутый контур в электрическом поле (замкнутую траекторию движения заряда в поле), то согласно соотношению (24) и в соответствии с рис. 3 получим:

, (25)

где n – число участков (отрезков), на которые разбит замкнутый контур L (замкнутый путь L). Следовательно, линейный интеграл по замкнутому контуру L от напряженности поля равен сумме электрических напряжений выделенных участков контура.

5. Электрический потенциал. Разность электрических

Наиболее общее определение электрического потенциала:

Электрический потенциал является энергетической характеристикой электрического поля.

Понятие электрического потенциала непосредственно связано с понятием электрического напряжения. Электрический потенциал можно определить как электрическое напряжение между данной точкой («а») и некоторой фиксированной точкой («d«). Иными словами, электрический потенциал есть работа, затраченная электрическим полем на перемещение единичного, положительного заряда из данной точки пространства в некоторую фиксированную (рис. 3).

. (26)

. (27)

Потенциал фиксированной точки принимают равным нулю. В реальных практических задачах фиксированную точку () помещают на поверхность земли или в любую точку, от которой проводят измерение потенциалов. В задачах электродинамики выбор точки нулевого потенциала определяется простотой получаемых расчетных формул (т. е. так, чтобы в формуле было как можно меньше дополнительных постоянных слагаемых). Так, при исследовании электростатического поля неподвижного положительного точечного заряда обычно принимают равным нулю потенциал точек, бесконечно удаленных от заряженного тела. Если исследуют поле двух точечных зарядов разных знаков, то точки, потенциал которых равен нулю, располагают в плоскости, находящейся на равном расстоянии от зарядов, и т. д.

Свободные и связанные электрические заряды, токи проводимости и смещения

Видео:Что Такое Плотность Электрического Тока. Простыми Словами. Формула Плотности Электрического ТокаСкачать

Частицы, из которых состоят любые вещества, обладают электрическими зарядами. Электрон имеет отрицательный заряд е = 0,16 • 10 -18 к, а протон — такой же положительный заряд. Суммарный заряд атома, молекулы или тела, состоящего из множества молекул, может быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от соотношения между общими положительными и отрицательными зарядами составляющих их элементарных частиц.

В зависимости от способности перемещаться в электрическом поле заряды могут быть разделены на две большие группы. Заряды первой группы характеризуются возможностью неограниченного перемещения в электрическом поле и поэтому называются свободными зарядами. Вторая группа зарядов не имеет этой возможности, их перемещение ограничивается структурой атома, молекулы, кристалла или неоднородностью строения вещества. Эти заряды называются связанными.

Разделение на свободные и связанные заряды не всегда зависит только от физической природы рассматриваемых частиц. Заряды, являющиеся свободными в однородной среде, могут оказаться связанными при образовании композиций, состоящих из различных материалов.

Свободные электроны и ионы вещества под действием электрического поля перемещаются от одного электрода к другому, образуя ток проводимости.

Связанные электрические заряды под действием электрического поля имеют возможность перемешаться только в некоторых, часто очень ограниченных, пределах. Этот процесс перемещения, называемый поляризацией, характеризуется вектором поляризации, и существенно зависит от физических связей между зарядами. При поляризации смещаются заряды под действием электрического поля и появляется ток смещения.

Диэлектрик содержит равное количество положительных и отрицательных связанных между собой зарядов, и влияние внешнего электрического поля сказывается на взаимном смещении центров положительных и отрицательных зарядов и в появлении электрических моментов пар разноименных зарядов — дипольных моментов. В однородном поле вектор поляризации представляет собой среднее значение суммарного дипольного момента единицы объема. Поляризации диэлектрика зависит от напряженности электрического поля.

Материалы, в которых имеют значение только токи проводимости, а токами смещения можно пренебречь, называются проводниками. Материалы, в которых токи проводимости ничтожны и ими можно пренебречь, называются изоляторами. Материалы, в которых большое значение имеет поляризация, называются диэлектриками (смотрите — Металлы и диэлектрики — в чем отличие). Те материалы, в которых необходимо учитывать как токи проводимости, так и токи смещения, относят к категории полупроводников.

Явление поляризации диэлектриков и появления тока смещения в промышленности используется при высокочастотном нагреве диэлектриков (например, сушка древесины, картона, нагрев в пищевой промышленности) и полупроводников.

Нагреваемый материал помещается между пластинами конденсатора, к которым подведено напряжение высокой частоты. Токи проводимости и смещения, возникающие в материале, помещенном в электрическом поле высокой частоты, вызывают выделение тепла в материале и его нагрев. Этот вид нагрева называется диэлектрическим нагревом.

Процесс сушки влажных материалов, т. е. удаление из них влаги, может происходить за счет двух явлений: непосредственного испарения влаги внутри материала и выхода ее в виде пара и перемещения влаги в жидкой фазе из внутренних областей к поверхности. Наличие электрического поля в материале оказывает существенное влияние на испарение и перемещение влаги, позволяя значительно интенсифицировать процесс сушки.

Видео:Ток смещенияСкачать