С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
- Предупреждение
- Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения
- 1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.
- 2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.
- 3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.
- 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
- Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых
- Точка пересечения двух прямых на плоскости
- Точка пересечения двух прямых в пространстве
- Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически
- 📸 Видео
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Видео:Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать
Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения
- Содержание
- 1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
- 2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
- 3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
- 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:
 , | (1) |
 , | (2) |
Найти точку пересечения прямых L1 и L2 (Рис.1).
 |
Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:
 , | (3) |
 | (4) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):
| p1(x−x1)=m1(y−y1) |
| l1(y−y1)=p1(z−z1) |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
| p1x−m1y=p1x1−m1y1, | (5) |
| l1y−p1z=l1y1−p1z1. | (6) |
Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):
Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:
 , | (7) |
 | (8) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):
| p2(x−x2)=m2(y−y2) |
| l2(y−y2)=p2(z−z2) |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
| p2x−m2y=p2x2−m2y2, | (9) |
| l2y−p2z=l2y2−p2z2. | (10) |
Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:
 | (11) |
Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L1 и L2 не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L1 и L2 совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L1 и L2 .
2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:
 | (12) |
 | (13) |
Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 можно решить разными методами.
Метод 1. Приведем уравнения прямых L1 и L2 к каноническому виду.
Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:
 | (14) |
Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:
 | (15) |
Аналогичным образом приведем уравнение прямой L2 к каноническому виду:
 | (16) |
Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.
Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:
 | (17) |
 | (18) |
 | (19) |
Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).
3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.
Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.
4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
 | (20) |
 | (21) |
Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:
 | (22) |
 | (23) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
 | (26) |
 | (27) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
 | (30) |
Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
 |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:
 |
Сделаем перестановку строк 3 и 4.
 |
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:
 |
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
 |
 |
Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:
Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
 | (31) |
 | (32) |
Приведем параметрическое уравнение прямой L1 к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:
 |
Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:
 | (33) |
Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:
 | (34) |
 | (35) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
 | (36) |
 . | (37) |
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
 | (38) |
 | (39) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
 | (42) |
Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
 |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:
 |
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa33. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:
 |
Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:
 | (43) |
Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L1 и L2 не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.
Прямая L1 имеет направляющий вектор q1=, а прямая L2 имеет направляющий вектор q2=. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 скрещиваются .
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых
Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.
Видео:Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать
Точка пересечения двух прямых на плоскости
Если система уравнений:
- имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
- имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
- не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
y = 2 x — 1 y = -3 x + 1
Вычтем из первого уравнения второе
y — y = 2 x — 1 — (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x — 2 y = -3 x + 1
Из первого уравнения найдем значение x
5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1
Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y
x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2
Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
y = 2 x — 1 x = 2 t + 1 y = t
В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.
t = 2·(2 t + 1) — 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>
-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = — 1 3 x = 2 t + 1 y = t
Подставим значение t во второе и третье уравнение
t = — 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = — 2 3 + 1 = 1 3 y = — 1 3
Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 1 3 , — 1 3 )
Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:
2 x + 3 y = 0 x — 2 3 = y 4
Из второго уравнения выразим y через x
2 x + 3 y = 0 y = 4· x — 2 3
Подставим y в первое уравнение
2 x + 3·4· x — 2 3 = 0 y = 4· x — 2 3 => 2 x + 4·( x — 2) = 0 y = 4· x — 2 3 =>
2 x + 4 x — 8 = 0 y = 4· x — 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x — 2 3 =>
x = 8 6 = 4 3 y = 4· x — 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4· 4/3 — 2 3 = 4· -2/3 3 = — 8 9
Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 4 3 , — 8 9 )
Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k 1 = k 2 = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.
Решим также эту задачу используя систему уравнений:
y = 2 x — 1 y = 2 x + 1
Вычтем из первого уравнения второе
y — y = 2 x — 1 — (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1
В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).
Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).
Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.
Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.
Видео:16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространствеСкачать
Точка пересечения двух прямых в пространстве
Если система уравнений:
- имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
- имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
- не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)
Решение: Составим систему уравнений
x — 1 = a y — 1 = a z — 1 = a x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b =>
Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения
x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 — 3 -2 = b 2 — ( a + 1) = b a + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 = b
К шестому уравнению добавим пятое уравнение
x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 + (1 — a ) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b b = 1
Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения
x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = 1 1 — a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 = -2 a = 0 b = 1 =>
x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1
Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).
Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a
x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 x = a + 1 y = 3 a — 2 z = 3
Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения
x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t — 3 = a + 1 t = 3 a — 2 — t + 2 = 3 => x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a — 2 t = -1 =>
Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения
x = 2·(-1) — 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3 a — 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1
Ответ. Так как -6 ≠ 1 3 , то прямые не пересекаются.
Видео:23. Точка пересечения прямой и плоскости / Проекция точки на плоскость / Проекция точки на прямуюСкачать
Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически
Если существует общая точка плоскости Ax + By + Cz + D=0 (1)
и прямой, заданной параметрическими уравнениями (2) 
, то пересечение плоскости с прямой находится по формулам (2), если туда подставить значение t, определяемое из уравнения:
Это уравнение получается, если выражения (2) подставить в (1).
Пример
Найти точку пересечения плоскости x-2y+5z-3=0 с прямой
Параметрические уравнения прямой будут (3):
Подставив в уравнение x-2y+5z-3=0 , получим:
Подставляя это значение в уравнение (3), получаем:
📸 Видео
Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать
Точка пересечения прямой с плоскостью, заданной своими следамиСкачать
Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать
Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
Параметрические уравнения прямойСкачать
Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать
Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать
Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать
Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать
Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.Скачать
