Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

КИНЕМАТИКА

Точка В движется в плоскости ху(рис. К1.0 – К1.9, табл.К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f2 (t),y = f2 (t), где хи увыражены в сантиметрах, t в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1 =1сопределить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x = f1 (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y = f2 (t) дана в табл.К1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4).

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовыхкоординатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорение точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 = 1c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы:

cos2a = 1 – 2sin 2 a =2cos 2 α –1,

sin2a = 2sina× cos a

Рис. К1.0-9

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Пример К1.Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t;

(х,у – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения время t.

Таблица К1

№ условияУ = f2 (t)
Рис. 0 – 2Рис. 3 — 6Рис. 7 — 9
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t2t 3 Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

следовательно, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tТочка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Откуда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис.К1):

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t2. Скорость точки найдем по ее

проекциям на координатные оси: Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tТочка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Рис. К1

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(3) Рис. К1.10

3. Аналогично найдем ускорение точки:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tТочка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tПолучаем

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив сюда эти числа, найдем сразу, что при t1 =1c, a1t =0,66см/c 2 .

5. Нормальное ускорение точки Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tПодставляя сюда найденные числовые значения a1 и a1t , получим, что при t1 = 1с , a1n = 0,58 см/c 2 .

6. Радиус кривизны траектории r =u 2 /an . Подставляя сюда числовые значения u1 и a1n , найдем, что при t1 = 1c r1 = 3,05см.

Плоский механизм состоит из: колёс 1, 2 и 3, планки 4 и груза 5. Диски и груз соединены между собой нерастяжимыми нитями. Диски, касающиеся планки, при движении механизма не проскальзывают.

Схемы механизмов показаны на рис. К2.0-9, необходимые для расчёта данные помещены в таблице К2.

ДаноНайти
№ условияуравнение движения груза Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tскоростиускорения
смсмсмсмсмс
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t,
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

По заданному направлению поступательного движения груза 5 определить в заданной момент времени угловые скорости и ускорения тел и линейные скорости и ускорения точек, указанных в таблице К2.

Указания. Студенту при решении задач следует учесть следующее. 1. Что скорости точек контакта тел, находящихся в зацеплении, равны между собой. 2. Два вращающихся тела связаны нерастяжимой ременной передачей, и скорости точек ремня равны скоростям соприкасающихся с ним точек тел. 3. Тело 1 представляет собой ступенчатое колесо с радиусами : Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t— большой ступени, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t— малой ступени

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Рис. К2.0-9

Пример К2.Груз 5 подвешен на нерастяжимой нити, намотанной на большую ступень колеса 1. Движение груза задано уравнением: Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Колеса 1 и 3 связаны нерастяжимой ременной передачей, как показано на рис. К2.10. Между колесом 2 и малой ступенью колеса 1 зажатая рейка 4, которая движется в горизонтальных направляющих. Радиусы колёс: Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм..

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tРис. К2.10Определить скорости точек Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Е Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, ускорения точки Е и рейки 4 Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, а также угловую скорость колеса 1 Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи угловое ускорение колеса 2 Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tв момент времени Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= 2 с. Решение Обозначим точки контакта взаимодействующих тел через K, L, M, D, E. Груз 5 опускаясь приводит во вращательное движение колесо 1. Скорость точки K контакта колеса и нити равна скорости груза, т. е. Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Вектор скорости Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлен в сторону увеличения координаты Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t— по касательной к окружности радиуса Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Искомая угловая скорость колеса 1Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Чтобы определить скорость точки Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tколеса 3 , отметим, что Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, а Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Векторы Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлены по касательным к окружностям радиусов Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсоответственно.

Зубчатая рейка 4 связана с колесом 2 и 1, как показано на рисунке К2.10, и движется в направляющих поступательно. Линейные скорости точек Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tободов колес и точек планки равны между собой, т.е. Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Но Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, следовательно, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлен вдоль направляющих в сторону движения планки.

Ускорение планки Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Если Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tположительно, то направление вектора ускорения Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсовпадает с направлением вектора скорости Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, если отрицательна, то вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлен в сторону, обратную направлению Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Тогда, угловая скорость колеса 2 Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, а угловое ускорение колеса Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Скорость точки Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tравна скорости точки Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, т. е. Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлен по касательной к окружности радиуса Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Линейное ускорение Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tмодуль ускорения Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Таким образом Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлен по касательной к окружности радиуса Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t— по радиусу к центру окружности Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t— по диагонали параллелограмма, построенного на векторах Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Подставляя в найденные аналитические выражения заданное значения параметра Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tс, получим : Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t=5рад /с ; Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t=15см/с ; Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t=15см/с 2 ; Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t=3рад/с 2 ; Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t=15см/с ; Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t=47,1см/с 2 ; Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t=15см/с 2 ; Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t=45см/с 2 .

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползунов В и Е(рис.К3.0.–7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис К3.8-9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно : l1 =0,4м, l2 = 1,2 м, l3 =1,4м, l4 = 0,6м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл.К3.1 (для рис. К3.0 –4) или в табл.К3.2 (для рис.К3.5–9). Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. К2.8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. К2.9 – против часовой стрелки).

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Рис. К3.0-9

Таблица К3.1 (к рис. К3.0-К3.4)

Номер условияУглы, градусыДаноНайти
abgjqw1 рад/сw2 рад/сСкорости точекw звена
В,ЕDE
A,EAB
B,EAB
A,EDE
D,EAB
A,EAB
B,EDE
A,EDE
D,EAB
A,EDE

Таблица К3.2 (к рис. К3.5-К3.9)

Номер условияУглы, градусыДаноНайти
abgjqw1, рад/сuВ, м/сСкорости точекw звена
B,EAB
A,EDE
B,EAB
A,EAB
B,EDE
D,EDE
B,EDE
A,EAB
B,EDE
D,EAB

Указания. Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки, а заданную скорость Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t— от точки В к в (на рис. К3.5 –.9).

Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

Пример К3. Механизм (рис.К3.10) состоит из двух стержней 1,2,3,4 и ползуна В,соединенных друг с другом и неподвижными опорами О2 и О2шарнирами. Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Дано: a = 60 0 , b =150 0 , g = 90 0 , j = 30 0 , q = 30 0 , AD = DB, l1= 0,4 м, l2 = 1,2 м, l3 = 1,4 м, w2 = 2 рад/c (направление w1 – против хода часовой стрелки). Определить: VВ, VЕ, ω2.

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис.К2.11); на этом рисунке изображаем все векторы скоростей.

2. Определяем Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Точка В принадлежит стержню 3. Чтобы найти Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, надо знать скорость, какой – либо другой точки этого стержня и направление Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. По данным задачи, учитывая направление Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, можем определить Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t; численно

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(1)

Направление Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнайдем, учтя, что точка В принадлежит и ползуну B, движущемуся вдоль направляющих поступательно.

Рис. К2.10 Рис. К2.11

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Теперь, зная Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи направление Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(2)

3. Определяем Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Точка Е принадлежит стержню 2. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tстроим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня 3; это точка С3, лежащая на пересечении перпендикуляров к Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, восстановленных из точек А и ВТочка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tперпендикулярен стержень 1). По направлению вектора Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tопределяем направление поворота стержня 3 вокруг МЦС С3. Вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tперпендикулярен отрезку С3 D, соединяющему точки D и С3, и направлен в сторону поворота. Величину Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнайдем из пропорции

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. (3) 7

Чтобы вычислить C3 D и C3 B, заметим, что ∆ АС3 В – прямоугольный, так что острые углы в нем равны 30 0 и 60 0 , и что С3В = АB sin 30 0 = 0,5 AB =BD.

Тогда ∆ ВС3 D является равносторонним и С3 В = С3 D. В результате равенство (3) дает

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг О2, то Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, построим МЦС С2 стержня 2. По направлению вектора Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tопределяем направление поворота стержня 2 вокруг центра С2. Вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К2.11 видно, что Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tС2ED = Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tC2DE =30 0 , откуда С2Е = C2D.

Составив теперь пропорцию, найдем, что

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(5)

4. Определяем Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С2) и С2D = l2 / (2cos30 0 ) = 0, 69 м, то

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. (6)

Ответ: VB = 0,46 м /c; VЕ = 0,46 м / с; ω2 = 0,67 рад / c.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(1)

Направление Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнайдем, учтя, что точка В принадлежит и ползуну B, движущемуся вдоль направляющих поступательно.

Теперь, зная Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи направление Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(2)

3. Определяем Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Точка Е принадлежит стержню 2. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tстроим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня 3; это точка С3, лежащая на пересечении перпендикуляров к Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, восстановленных из точек А и ВТочка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tперпендикулярен стержень 1). По направлению вектора Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tопределяем направление поворота стержня 3 вокруг МЦС С3. Вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tперпендикулярен отрезку С3 D, соединяющему точки D и С3, и направлен в сторону поворота. Величину Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнайдем из пропорции

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. (3)

Чтобы вычислить C3 D и C3 B, заметим, что ∆ АС3 В – прямоугольный, так что острые углы в нем равны 30 0 и 60 0 , и что С3В = АB sin 30 0 = 0,5 AB =BD.

Тогда ∆ ВС3 D является равносторонним и С3 В = С3 D. В результате равенство (3) дает

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг О2, то Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, построим МЦС С2 стержня 2. По направлению вектора Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tопределяем направление поворота стержня 2 вокруг центра С2. Вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tС2ED = Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tC2DE =30 0 , откуда С2Е = C2D.

Составив теперь пропорцию, найдем, что

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(5)

4. Определяем Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С2) и С2D = l2 / (2cos30 0 ) = 0, 69 м, то

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. (6) Ответ: VB = 0,46 м /c; VЕ = 0,46 м / с; ω2 = 0,67 рад / c.

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения.

Задача К 1а.

Точка В движется в плоскости ху (рис. К 1.0 – К 1.9, табл. К 1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х=f1(t), у=f2(t), где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1=1 с, определить скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость х=f1(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у=f2(t) дана в табл. К 1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачах C 1-С 4, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра; а номер условия в табл. К 1-по последней.

Задача К 1б.

Точка движется по дуге окружности радиуса R=2м по закону s=f(t), заданному в табл. К 1 в столбце 5 (s – в метрах, t – в секундах), где s=AM – расстояние точки от некоторого начала А, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t1=1 с. Изобразить на рисунке векторы υ и a, считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета s-от А к М.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Пример К 1а.По заданным уравнениям движения точки М в координатной форме определить: траекторию её движения в заданный момент времени t=1c, найти скорость и ускорение.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(см),

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(см).

1. Определим траекторию движущейся точки М.

Для получения уравнения траектории движущейся точки исключим из заданных уравнений параметр времени t:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t,

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Полученные уравнения возведем в квадрат и суммируем:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Данное выражение представляет собой траекторию движущейся точки М – уравнение эллипса с центром в точке с координатами (9; -4). Построим траекторию в координатных осях ху (рис.9).

Укажем положение точки М на траектории в заданный момент времени, для этого подставим время t=1с, в уравнения:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм,

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм.

Тогда точка М с координаты (12; -1,4).

Для указания положительного отсчета по траектории определим положение точки М в начальный момент времени при t=0 с.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм,

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм.

Тогда точка М0 имеет координаты (15; — 4).

Точки М и М0 принадлежат траектории эллипса, следовательно, решение верно.

Направление положительного отсчета по траектории идёт от точки М0 в момент времени t =0 c, к точке М, когда t =1 с (против движения часовой стрелки).

2. Определим скорость точки М в заданный момент времени t.

Известно, что скорость можно разложить по проекциям на координатные оси:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Определим проекцию скорости точки М на ось Ох:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

В заданный момент времени t =1 с, проекция скорости составит:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм/с.

Так, как Vx= -10,9 0, то вектор скорости Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлен из точки М параллельно оси Оу в сторону положительных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Геометрическая сумма векторов Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(по правилу параллелограмма) представляет собой вектор скорости Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tточки М в заданный момент времени, этот вектор должен быть направлен по касательной τ к траектории движения (рис.10). Численное значение скорости Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tможно измерить, согласно указанному масштабу для векторов скоростей, либо определить по теореме Пифагора (так как вектора Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tвзаимно перпендикулярны):

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм/с.

3. Определим ускорение точки М в заданный момент времени t.

Известно, что ускорение можно разложить по проекциям на координатные оси:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Определим проекцию ускорения точки М на ось Ох:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

В заданный момент времени t =1с, проекция ускорения составит:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм/с 2 .

Так, как Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t2 .

Так, как Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Геометрическая сумма векторов Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(по правилу параллелограмма) представляет собой вектор ускорения Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tточки М в заданный момент времени:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм/с 2 .

Определим касательное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная проекции скорости и ускорения на оси координат:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм/с 2 .

Так, как Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, то вектор ускорения Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлен из точки М по касательной к траектории движения в сторону направления вектора скорости Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(движение точки будет ускоренным), данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений.

Определим нормальное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная полное и касательное ускорения:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм/с 2 .

Вектор ускорения Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлен из точки М по нормали п к траектории движения к центру кривизны траектории, данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений.

Так, как векторная сумма ускорений Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсправедлива, то решение верно.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Определим радиус кривизны траектории Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tв заданный момент времени c учетом нормального (центростремительного) ускорения в заданный момент времени:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм.

Пример К 1б.Точка движется по дуге окружности радиуса R=2 м по закону Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(s-в метрах, t-в секундах), где s-AM (рис. К 1б). Определить скорость и ускорение точки в момент времени t1=1 с.

Решение.

Определяем скорость точки:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tТочка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

При t1=1 с, получи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tм/с.

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Тогда ускорение точки при t1=1 с, будет:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Изобразим на рис. К 1б векторы Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tучитывая знаки υ1 и а1t и считая положительным направление от А к М.

Задача К2.

Механизм состоит из: ступенчатых колес 1–3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0-К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r1=2 см, R1=4см, у колеса 2 – r2=6 см, R2=8см, у колеса 3 – r3=12 см, R3=16 см. На ободьях колес расположены точки А, В и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где j1(t) – закон вращения колеса 1, s4(t) – закон движения рейки 4, w2(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2, υ5(t) –закон изменения скорости груза 5 и т. д. (везде j выражено в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для j и w против хода часовой стрелки, для s4, s5 и υ45 – вниз.

Определить в момент времени t1=2с, указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (υ– линейные, w – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (υ5 – скорость груза 5 и т. д.).

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Пример К2.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tРейка 1, ступенчатое колесо 2с радиусами R2=6 см и r2=4 сми колесо 3радиуса R3=8 см, скрепленное с валом радиуса r3=3 см, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s1=3t 3 см. Определить: w3, υ43, в момент времени t=t1=3 си ускорение aA точки А обода колеса 3.

Решение.

1.Определить угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(1).

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(2).

Тогда, для момента времени t1=3 с, получим w3=6,75 с -1 .

2. Определить ε3. Учитывая второе из равенств (2), Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Тогда при t1=3с:

аАt=36 см/с 2 , аАn=364,5 см/с 2 , Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм/с 2 .

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Задача К З.

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4иползуна В или Е (рис. К З.0-К 3.7) или из стержней 1,2,3и ползунов В и Е (рис. К 3.8, К 3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 О2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно: l1=0,4 м, l2=1,2 м, l3=1,4м, l4=0,6 м. Положение механизма определяется углами a, β, γ, j, θ. Значения этих углов и других заданных величин, указаны втабл. К 3а (для рис. 0-4) или в табл. К 3б (для рис. 5-9); при этом в табл. К За w1 и w4величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки, на рисунках, показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки(например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9-против хода часовой стрелки и т. д.).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К 3 (см. рис. К 3б). Заданные, угловую скорость и угловое ускорение, считать направленными против часовой стрелки, а заданные скорость υВ и ускорение аВ от точки В к b (на рис. 5-9).

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Пример КЗ.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tМеханизм (рис. К 3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1и О2 шарнирами.

Дано: a=60°, β=150°, γ=90°, j=30°, θ=30°, AD=DB, l1=0,4м, l2=1,2 м, l3=1,4 м, ώ1=2 с -1 , έ=7 с -2 (направления (ώ1 и έ1-против хода часовой стрелки).

Решение.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К 3б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем υB. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти υB, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление υB. По данным задачи, учитывая направление ώ1, можем определить υА, численно:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Направление υВ найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная υА инаправление υB, воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор υB (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки).Затем, вычисляя эти проекции, находим:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

3. Определяем υЕ. Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить υЕ,надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная υA и υB, строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка С3, лежащая на пересечении перпендикуляров к υА и υB, восставленных из точек А и В (к υА перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора υA определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С3. Вектор υD перпендикулярен отрезку C3D, соединяющему точки D и С3, и направлен в сторону поворота. Величину υD найдем из пропорции:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Чтобы вычислить С3D и С3В, заметим, что ∆AС3В-прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что С3В=АB×sin30°=0,5АВ=BD. Тогда ∆ВС3D является равносторонним и С3В=C3D. В результате равенство дает:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О2Е, вращающемуся вокруг О2, то υЕ ^ О2E. Тогда, расставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям υЕ иυD,построим МЦС С2стержня DE. По направлению вектора υD определяем направление поворота стержня DE вокруг центра С2. Вектор υE направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К 3б видно, что ÐC2ED=ÐC2DE=30°, откуда С2Е=C2D. Составив теперь пропорцию, найдем, что:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

4. Определяем ώ2. Так, как МЦС стержня 2известен (точка С2

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, то

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t5. Определяем аВ (рис. К 3в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти аВ, надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить aА=aА t +aА n , где численно:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Вектор аА n направлен вдоль АО1аА t -перпендикулярно АО1изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К 3в). Так, как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор аB параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор аB на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и υB.

Для определения аB воспользуемся равенством:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Изображаем на чертеже векторы а n ВА (вдоль ВА от B к A) и аВА t (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно а n B=ώ 2 3l. Найдя ώ3 с помощью построенного МЦС С3 стержня 3, получим:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения аВ и а t ВА,их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить аВ, спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось х),перпендикулярное неизвестному вектору а t ВА. Тогда получим:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что:

Так, как получилось aВ>0, то, следовательно, вектор аВ направлен, как показано на рис. К Зв.

6. Определяем έ3. Чтобы найти έ3, сначала определим а t ВА. Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что а t ВА=-3,58 м/с 2 . Знак указывает, что направление а t ВА противоположно показанному на рис. К 3в.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К 4.0-К 4.4) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К 4.5-К 4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j=f1(t) заданному в табл. К 4. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения ОО1лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис. 0-4) или по окружности радиуса R (рис. 5-9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость s=AM=f2(t)(s-в сантиметрах, t-в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0-4 и для рис. 5-9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s=AM>0 (при s 2 –0,5t 3 , s=πRcos(πt/3) (j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).

Решение.Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины переносным движением. Тогда абсолютная скорость Vабс и абсолютное ускорение аабс точки найдутся по формулам:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t,

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t,

где, в свою очередь, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Определим все, входящие в равенства, величины. Рассмотрим каждое движение в отдельности.

1. Относительное движение (мысленно остановить вращение пластины вокруг опоры О). Это движение происходит по закону Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Положение точки В на дуге окружности в момент времени t1=2 с:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t1=2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К4а в этом положении (точка B1).

Тогда Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t;

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t,

где ρ – радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента t1=2 с, учитывая, что R=0,5 м, получим:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t;

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Знаки показывают, что вектор а t отн направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор Vотн-в противоположную сторону; вектор а n отн направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. К4а.

2. Переносное движение (мысленно остановить движение точки по окружности). Это движение (вращение) происходит по закону j=t 2 – 0,5t 3 . Найдем угловую скорость w и угловое ускорение ε переносного вращения при t1=2 с:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Знаки указывают, что в момент t1=2 с направления w и ε противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К4а.

Для определения Vпер и апер находим сначала расстояние h1=ОВ1 точки B1 от оси вращения О. Из рисунка видно, что Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Тогда в момент времени t1=2 с получим:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t;

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Изображаем на рис. К4а векторы Vпер и a t перс учетом направлений w и εи вектор а n пер (направлен к оси вращения).

3. Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t,

где a – угол между вектором Vотн и осью вращения (вектором w). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор Vотн. Тогда в момент времени t1=2 с, учитывая, что в этот момент |Vотн|=1,42 м/с и |w|=2 с -1 , получим

Направление акорнайдем по правилу Н. Е. Жуковского: так как вектор υотнлежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90 0 в направлении ώ, т. е. по ходу часовой стрелки. Изображаем акор на рис. К4а. [Иначе направление акор можно найти, учтя, что акор=2(ώ*υотн)].

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения υабс и аабс остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

4. Определение υа6с. Проведем координатные оси B1xy (см. рис. К4а) и спроектируем почленно обе части равенства

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

После этого находим

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Учитывая, что в данном случае угол между υотн и υперравен 45°, значение υабсможно еще определить по формуле

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

5. Определение аабс.По теореме о сложении ускорений

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Для определения аабс спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси B1xy. Получим

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t1=2 с, найдем, что в этот момент

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Пример К4б.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tТреугольная пластина ADE вращается вокруг оси z по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К4б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка Впо закону s = АВ = f2(t); положительное направление отсчета s – от А к D.

Дано: j = 0,1× t 3 –2,2× t, s = АВ = 2 + 15× t – 3×t 2 ; (j – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: Vабс и аабс в момент времени t1 = 2 с.

Рис. К4б

Решение. Рассмотрим движение точки В, как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи абсолютное ускорение Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнайдутся по формулам:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t,

где, в свою очередь, Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Определим все входящие в равенство величины.

1. Относительное движение — это движение прямолинейное и происходит по закону

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tТочка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

В момент времени t1 = 2 с имеем

Знаки показывают, что вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнаправлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t– в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К4б.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону

Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения:

w = Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= 0,3t 2 — 2,2; e = Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= 0,6t и при t1 = 2 с,

w = — 1 c -1 , e = 1,2 c -2 .

Знаки указывают, что в момент t1 = 2 с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла j, а направление w ему противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h1 точки В1 от оси вращения z:

h1 = AB1× sin 30° = 10 см. Тогда в момент t1 = 2 с, учитывая равенства (68), получаем:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= |e|×h1 = 12 см/с 2 , Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= w 2 ×h1 = 10 см/с 2 .

Изобразим на рис. К4б векторы Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(с учетом знаков w и e)и Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t; направлены векторы Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tперпендикулярно плоскости ADE, а вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t– по линии В1С к оси вращения.

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи осью вращения (вектором Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t) равен 30°, то численно в момент времени t1 =

Направление Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tнайдем по правилу Н. Е. Жуковского. Для этого вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tспроецируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону w, т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t(см. рис. К3б).

4. Определение Vабс. Так как Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, а векторы Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tвзаимно перпендикулярны, то Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t; в момент времени t1 = 2 с Vабс = 10,44 см/с.

5. Определение аабс. По теореме о сложении ускорений

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t= Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t.

Для определения аабс проведем координатные оси В1хуz1 и вычислим проекции Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tна эти оси. Учтем при этом, что векторы Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tлежат на оси х1, а векторы Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tрасположены в плоскости В1хуz1, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проецируя обе части равенства (71) на оси В1хуz1 и учтя одновременно равенства (67), (69), (70), получаем для момента времени t1 = 2 с:

аабс х = | Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t| – акор = 9 см/с 2 ,

аабс у = Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t+ |аотн|×sin 30 ° = 13 см/с 2 ,

Отсюда находим значение аабс:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tсм/с 2 .

Задача Д1.

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость V0.движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 —Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления cреды R. зависящая от скорости V груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения

(коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l или

время t движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х = x(t). где х = ВD.

Указания.

Задача Д1 — на составление и интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить векторное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, спроектировать это уравнение на координатную ось, направленную вдоль АВ, и проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, учитывая начальные условия (вторая задача динамики точки). Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС.

Посте этого нужно составить векторное уравнение движения точки на участке ВС и спроектировать это уравнение на 2 координатные оси, направленные вдоль ВС и перпендикулярно ВС. Затем проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти в уравнении от переменных Vx , t к переменным Vх, x, учитывая, что

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость υ0, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0-Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости υ груза (направлена против движения) ; трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l или время t1 движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х=f(t), где х=BD.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t
Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Пример Д1.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tНа вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние от точки А, где υ=υ0, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F=F(t), заданная в ньютонах.

Определить: х=f(t)-закон движения груза на участке ВС.

Решение.1.Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р=mg и R. Проводим ось Аz и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Далее находим Рz=Р=mg, Rz=-R=-mυ 2 , подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят.Учтя еще, что υz=υ, получим

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Введем для сокращения записей обозначения

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

где при подсчете принято g=10 м/с 2 . Тогда уравнение (2) можно представить в виде

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

В результате находим

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Полагая в равенстве (6) z=l= 2,5 м и заменяя k и п их значениями (3), определим скорость υB груза в точке В (υо=5 м/с, число е=2,7):

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная скорость υВ будет для движения на этом участке начальной скоростью (υ0=υВ). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р=mg,N,Fтр и F. Проведем из точки В оси Вх и By и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

где Fтp=f×N. Для определения N составим уравнение в проекции на ось By. Так как ау=0, получим 0=N-mg×cosa, откуда N=mg×cosa. Следовательно, Fтр=fmg×cosa; кроме того, Fx=16sin(4t) и уравнение (8) примет вид

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tТочка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Разделив обе части равенства на т, вычислим g(sina-f×cosa)=g(sin30°-0,2cos30°)=3,2; Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи подставим эти значения в (9). Тогда получим

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t=0. Тогда при t=0 υ=υ0B, где υB даётся равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим

При найденном значении С2 уравнение (11) дает

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

Так как при t=0 х=0, то С3=0 и окончательно искомый закон движения груза будет

где х-в метрах, t-в секундах.

Задача Д2.

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3с радиусами ступеней R3=0,3 м, r3=0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ3=0,2 м, блока 4радиуса R4=0,2 м и катка (илиподвижного блока) 5 (рис. Д6.0-Д6.9, табл. Д6); тело 5считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1.Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3(или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s1=0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы, где обозначено: υ1, υ2, υC5скорости грузов 1, 2 ицентра масс тела 5 соответственно, ώ3 и ώ4-угловые скорости тел 3и 4.

Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5на рис. 2), катятся по плоскостям без скольжения.

На всех рисунках не изображать груз 2, если т2=0; остальные тела должны изо

Видео:ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. ПроизводнаяСкачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. Производная

Определение уравнения траектории точки

Страницы работы

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Содержание работы

Задание для контрольной работы по теоретической механике (кинематика К1)

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Точка В движется в плоскости xy(траектория точки показана на рисунке условно). Закон движения точки задан уравнениями x = f1(t) (приведен на рисунке) и y=12sin(pt/6), где x и y выражены в сантиметрах, t – в секундах. Найти уравнение траектории точки, для момента времени t = 1с определить скорость и ускорение точки, а также касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Отсюда Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 tи траекторией является эллипс с полуосями 6 и 12 с центром в точке (-3,0). В момент времени t=1c точка имеет координаты x=2.196, y=6, то есть находится в положении С и движется по траектории против часовой стрелки.

Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t;

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t;

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

и при t=1c vx=-1.57 см/с, vy=5.44 см/с, v=5.662 см/с (вектор скорости направлен по касательной к траектории).

Аналогично найдем ускорение точки:

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t;

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t;

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

и при t=1c ax=-1.423 см/с 2 , ay=-1.643 см/с 2 , a=2.174 см/с 2 .

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство v 2 =vx 2 +vy 2 . Получим

Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t, откуда Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t

Подставляя сюда численные значения всех величин, найденные нами, найдем, что при t=1c at= -1.197 см/с 2 (поскольку касательное ускорение отрицательное, направляем его противоположно вектору скорости).

Нормальное ускорение точки Точка в движется в плоскости ху закон движения точки задан уравнениями x f1 t. Подставляя сюда числовые значения a и at найдем, что при t=1с an=1.815 см/с 2 .

Радиус кривизны траектории r=v 2 /an. Подставляя сюда числовые значения v и an получим, что при t=1с r=17.66 см.

📽️ Видео

Кинематика точки Задание К1Скачать

Кинематика точки  Задание К1

Кинематика. Закон движения. Урок 3Скачать

Кинематика. Закон движения. Урок 3

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Движение точки тела. Способы описания движения | Физика 10 класс #2 | ИнфоурокСкачать

Движение точки тела. Способы описания движения | Физика 10 класс #2 | Инфоурок

Кинематика точки в плоскости. ТермехСкачать

Кинематика точки в плоскости. Термех

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Определение реакций опор простой рамыСкачать

Определение  реакций опор простой рамы

Естественный способ задания движенияСкачать

Естественный способ задания движения

Материальная точка движется вдоль оси OX по законуСкачать

Материальная точка движется вдоль оси OX по закону

кинематика точкиСкачать

кинематика точки

РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ физика 9 ПерышкинСкачать

РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ физика 9 Перышкин

Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.Скачать

Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.

Задача на движение материальной точки - bezbotvyСкачать

Задача на движение материальной точки - bezbotvy

Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать

Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорение

Математика без Ху!ни. Непрерывность функции, точки разрыва.Скачать

Математика без Ху!ни. Непрерывность функции, точки разрыва.

ФИЗИКА 10 класс : Механическое движение | Материальная точка, траектория, перемещение.Скачать

ФИЗИКА 10 класс : Механическое движение | Материальная точка, траектория, перемещение.

Урок 18 (осн). Координаты тела. График движения. График скоростиСкачать

Урок 18 (осн). Координаты тела. График движения. График скорости
Поделиться или сохранить к себе: