Точка наудачу из квадрата с вершинами вероятность уравнения (7 видео)

В квадрате с вершинами (0; 0), (0; 2), (2; 2) и (2; 0) наудачу берётся точка (x, y). Какова вероятность того, что xy

Готовое решение: Заказ №8391

Тип работы: Задача

Статус: Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)

Предмет: Теория вероятности

Дата выполнения: 16.09.2020

Цена: 226 руб.

Чтобы получить решение , напишите мне в WhatsApp , оплатите, и я Вам вышлю файлы.

Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным , не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу , я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!

Содержание

Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:
Геометрическая вероятность
Геометрическая вероятность
🎦 Видео

Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:

В квадрате с вершинами (0; 0), (0; 2), (2; 2) и (2; 0) наудачу берётся точка (x, y). Какова вероятность того, что xy 2 ).

Пусть событие A – произведение координат точки M меньше 1 ().

Событию A благоприятствуют все точки квадрата, которые отвечают неравенству:

Изучите математику на странице ➔ решение заданий и задач по математике.

Похожие готовые решения:

Наудачу взяты 2 положительных числа X и Y, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма X+Y не превышает единицы, а произведение XY не меньше 0,5.
Из отрезка [0; 10] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что сумма их квадратов меньше 41, а произведение больше 20?
Внутри квадрата с вершинами (0; 0), (1; 0), (1; 1), (0; 1) наудачу выбирается точка M(x; y). Найти вероятность того, что произведение координат xy не превосходит 0,5.
С какой вероятностью одно из двух чисел, выбранных наудачу из отрезка [0; 2] меньше квадрата другого числа?

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Геометрическая вероятность. С какой вероятностью можно составить треугольникСкачать

Геометрическая вероятность

Пример №1 . Из промежутка [0; 2] наудачу выбраны два числа x и y. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам x 2 ≤ 4y ≤ 4x.
Решение. Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0; 2] пары чисел x и y. Будем это интерпретировать как выбор наудачу точки M(x;y) из множества всех точек квадрата, сторона которого равна двум. Рассмотрим фигуру Ф, представляющую собой множество всех точек квадрата, координаты которых удовлетворяют системе неравенств x 2 ≤ 4y ≤ 4x. Интересующее событие происходит тогда и только тогда, когда выбранная точка M(x;y) принадлежит фигуре Ф.

По формуле (8) искомая вероятность равна отношению площади фигуры Ф к площади квадрата:

Пример №2 . Двое договорились о встрече в определенном месте. Каждый из них приходит в условленное место независимо друг от друга в случайный момент времени из [0;T] и ожидает не более чем время . Какова вероятность встречи на таких условиях?

Решение. Обозначим через x время прихода первого в условленное место, а через y — время прихода туда второго лица. Из условия вытекает, что x и y независимо друг от друга пробегают промежуток времени [0;T]. Испытание состоит в фиксации времени прихода указанных лиц к месту встречи. Тогда пространство элементарных исходов данного испытания интерпретируется как совокупность всех точек M(x;y) квадрата Ω=. Интересующее нас событие A — “встреча произошла” наступает в том и только том случае, когда выбранная точка M(x;y) окажется внутри фигуры Ф, представляющей собой множество всех точек квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству |x – y| ≤ t. По формуле (8) искомая вероятность
представляет собой отношение площади фигуры Ф к площади квадрата Ω:

Пример №3 . На отрезке l наугад выбраны две точки.
P(0 k-l

Пример №4 . В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что любое ее расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной a.
Решение. Вероятность того, что точка окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной а будет равна отношению площади квадрат к площади круга.
Площадь квадрата: Sкв = a 2 .
Площадь круга: S = πr 2
Тогда вероятность составит: p = Sкв / S = a 2 / πr 2

Пример №5 . С промежутке [0, 4] выбирают наугад два действительных числа. Найдите вероятность того, что их сумма будет больше 4, а произведение — меньше 4.
Решение.
Всего чисел 5: 0,1,2,3,4. Вероятность их появления p=1/5 = 0.2
а) вероятность того, что их сумма будет больше 4
Всего количество таких исходов равно 8:
1+4, 2+3, 2+4, 3+4 и 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
P = 0.2*0.2*8 = 0.32
б) произведение — меньше 4.
Всего количество таких исходов равно 13:
0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2,1*3 и 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3*1
P = 0.2*0.2*13 = 0.52

Задачи для самостоятельного решения
4.3. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 45-м и 50-м километром линии? (Вероятность обрыва провода в любом месте считать одинаковой).
Ответ: 1/6.

4.4. В круг радиуса r наугад брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в данный круг правильного треугольника.
Ответ:

4.5. Найдите вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1; 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.
Ответ: 0;25.

4.6. Во время боевой учебы н-ская эскадрилья бомбардировщиков получила задание атаковать нефтебазу “противника”. На территории нефтебазы, имеющей форму прямоугольника со сторонами 30 и 50 м, находятся четыре круглых нефтебака диаметром 10 м каждый. Найдите вероятность прямого поражения нефтебаков бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы в любую точку этой базы равновероятно.
Ответ: π/15.

4.7. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что сумма их квадратов меньше 100. Какова вероятность, что сумма квадратов этих чисел окажется больше 64?
Ответ: 0;36.

4.8. Двое друзей условились встретиться между 13 и 14 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Определите вероятность встречи друзей, если моменты их прихода в указанном промежутке времени равновозможны.
Ответ: 5/9.

4.9. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Определите вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода равно одному часу, а второго — двум часам.
Ответ: ≈ 0;121.

4.10. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найдите вероятность того, что произведение x · y будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.
Ответ: ≈ 0;38.

4.11. В области G, ограниченной эллипсоидом , наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты (x; y; z) этой точки будут удовлетворять неравенству x 2 +y 2 +z 2 ≤4?
Ответ: 1/3.

4.12. В прямоугольник с вершинами R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0) брошена точка. Найдите вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Ответ: 2/3.

4.13. Область G ограничена окружностью x 2 + y 2 = 25, а область g — этой окружностью и параболой 16x — 3y 2 > 0. Найдите вероятность попадания в область g.
Ответ: ≈ 0;346.

4.14. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найдите вероятность того, что сумма x + y не превышает единицы, а произведение x · y не меньше 0,09.
Ответ: ≈ 0;198.

Видео:Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать

Геометрическая вероятность

Пусть W — множество точек отрезка или ограниченной плоской фигуры, А – заданное подмножество множества W. Будем считать, что испытание состоит в случайном выборе точки этого множества , событие А – выбор точки из подмножества А, причем «попадание» точки в каждую элементарную часть DW одной и той же длины или площади равновозможно. Тогда вероятность случайного события А будет определена по формуле

или

где L(A) – длина отрезка А, L(W) – длина отрезка W,

S(A) – площадь плоской фигуры А, S(W) – площадь фигуры W.

Пример 1. Внутри квадрата с вершинами (0;0), (1;0), (1;1), (0;1) наудачу выбирается точка М (х, у). Найти вероятность события

Решение. Пусть М(х,у) — случайная точка, попавшая внутрь квадрата со стороной 1 и круга с центром в начале координат радиуса а (рис. 5.1). Так как , а то и

Пример 2. Найти вероятность того, что корни квадратного уравнения действительны, если все значения равновероятны и единственно возможны.

Решение. Областью всех возможных пар значений (p , q) является квадрат ABCD с центром в начале координат и стороной, равной 2 (рис. 5.2). Значит, Интересующему нас событию соответствуют те точки, координаты которых удовлетворяют условию существования корней квадратного уравнения: . Эти точки принадлежат криволинейной фигуре AKOLD,

ограниченной сверху кривой . Площадь фигуры равна Отсюда

Пример 3. Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что их произведение не меньше 2, а сумма не больше 3.

Решение. Так как числа х и у удовлетворяют условиям 0 ≤ х ≤ 2 и 0 ≤ у ≤ 2, то точки М(х, у), удовлетворяющие этим условиям, образуют квадрат со стороной 2 и площадью S _D = 4.

Найдем множество М(х, у) для которых ху ≥ 2 и х + у ≤ 3. Эти точки, удовлетворяющие указанной системе неравенств, образуют область d, ограниченной гиперболой ху = 2 и прямой х + у = 3 (рис. 5.3). Находим площадь S _d области d:

5.1. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из них придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода – один час, а второго – 2 часа.

5.2. Противник в течение часа делает один десятиминутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа нужно преодолеть этот опасный участок шоссе. Какова вероятность того, что можно избежать налета, если время преодоления опасного участка пять минут?

5.3. Два человека договорились о встрече в определенном месте в промежутке времени от 19. 00 до 20. 00. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?

5.4. Два студента условились встретиться между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится?

5.5. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника?

5.6. На площадку, покрытую кафельной плиткой со стороной а = 6см, случайно падает монета радиуса r = 2см. Какова вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата?

5.7. На отрезке [0,3] наудачу выбраны два числа х и у. Какова вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х 2 ≤ 3у ≤ 3х?

5.8. Наудачу выбирают два числа из промежутка [0, 1]. Какова вероятность того, что их сумма заключена между 1/4 и 1?

5.9. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает двух. Какова вероятность того, что произведение х · у будет не больше 1, а частное у/х не больше двух?

5.10. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает единицы. Какова вероятность того, что сумма х + у будет не превышает 1, а произведение х · у не меньше 0,09?

5.11. На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 3 и 5 см. Какова вероятность того, что точка брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями?

5.12. На перекрестке установлен светофор, в котором в течение 25 секунд горит зеленый свет, 19 секунд горит красный свет, а в промежутках между ними в течение 3 секунд – желтый свет. Какова вероятность того, что автомобиль, случайно подъехавший к перекрестку, проедет его без остановки?

5.13. Внутри эллипса расположен круг x 2 + y 2 = 9. Какова вероятность того, что точка попадет в кольцо, образованное эллипсом и кругом?

5.14. В квадрат с вершинами в точках О(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству ?

5.15. В эллипс вписан эллипс . Какова вероятность того, что точка, брошенная в больший эллипс, попадет внутрь малого эллипса?

5.16. На отрезке [0, 2] наудачу выбраны два числа х и у. Какова вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х 2 ≤ 4у ≤ 4х?

5.17. Круг разделен на 6 равных секторов, через один окрашенный в черный цвет. Какова вероятность того, что точка брошенная в круг попадет в белый сектор?

5.18. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет единицы, а произведение будет не больше 2/9?

5.19. В прямоугольник с вершинами К(-1, 0), L(-1, 5), М(2, 5), N(2, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам х 2 +1 ≤ у ≤ х + 3?

5.20. В квадрат с вершинами О(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству у > 2x?

5.21. На плоскости область G ограничена эллипсом , а область q – этим эллипсом и эллипсом . В область G брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в область q?

5.22. В прямоугольник с вершинами К(-2, 0), L(-2, 5), М(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам х 2 +1 ≤ у ≤ х — 3?

5.23. В прямоугольник с вершинами R(-2, 0), L(-2, 5), M(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 ≤ у ≤ 2х – х 2 + 8?

5.24. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного шестиугольника?

5.25. Внутрь равностороннего треугольника со стороной а брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в круг, вписанный в треугольник?

5.26. Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Какова вероятность того, что их произведение не меньше 2, а сумма не больше 3?

5.27. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется в области между кругом и вписанным в него квадратом?

5.28. В квадрат вписан круг. Какова вероятность того, что точка, брошенная в квадрат, попадет внутрь вписанного в него круга?

5.29. На отрезке АВ длины L числовой оси Ох наудачу нанесена точка М(х). Какова вероятность того, что отрезки АМ и МВ имеют длину, большую L/4?

5.30. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Какова вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на наименьший отрезок?

ОТВЕТЫ: 5.1. 0,121. 5.2. 0,77. 5.3. 7/16. 5.4. 0,3056. 5.5. 5.6. 1/9. 5.7. 1/6. 5.8. 15/32. 5.9. 0,38. 5.10. 0,2. 5.11. 0,64. 5.12. 0,5. 5.13. 0,55. 5.14. 0,75. 5.15. 0,714. 5.16. 1/3. 5.17. 0,5. 5.18. 0,467. 5.19. 0,3. 5.20. 0,25. 5.21. 5/6. 5.22. 0,3. 5.23. 2/3. 5.24. . 5.25. . 5.26. 0,0284. 5.27. 5.28. π/4. 5.29. 0,5. 5.30. 0,5.