Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Задача 1. Кинематика материальной точки на плоскости

Точка движется в плоскости оху. Уравнение движения точки задано координатами: Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, где х и у в сантиметрах, t – в секундах. Требуется:

q записать уравнение траектории в явном виде Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами;

q построить траекторию;

q определить положение точки на траектории в нулевой момент времени, направление движения точки вдоль траектории, положение точки через t = 1 c;

q вычислить вектор скорости Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, и вектор ускорения Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамиточки для t = 0 и для t = 1 (c);

q задать движение точки естественным способом;

q вычислить нормальную и касательную составляющие ускорения точки для t = 0 и для t = 1 (c) геометрически и аналитически;

q вычислить радиус кривизны для t = 0 и для t = 1 (c);

Функциональные зависимости Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамизаданы в таблицах 1 и 2 соответственно.

№ варианта Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами№ варианта Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
№ варианта Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами: 1 – 10 Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами: 11 – 20 Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами: 21 – 30
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Для выполнения и защиты данной задачи необходимо усвоить пункты 1, 2 рабочей программы.

Видео:Урок 18 (осн). Координаты тела. График движения. График скоростиСкачать

Урок 18 (осн). Координаты тела. График движения. График скорости

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Содержание:

Координатный способ определения движения точки:

При координатном способе определения движения точки должны быть даны уравнения движения, т. е. заданы координаты точки как функции времени:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Видео:Кинематика точки Задание К1Скачать

Кинематика точки  Задание К1

Задание движения точки в прямоугольных координатах

Как известно из курса аналитической геометрии, положение точки M в пространстве может быть определено положением ее проекций P, Q и R на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 84), называемые осями координат.

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Рис. 84

Положение точки P на оси Ox вполне определяют абсциссой х. Совершенно так же положение точек Q и R определяют ординатой у и аппликатой z.

Если точка M движется относительно осей xOyz, то проекции Р, Q и R перемещаются по осям и координаты точки M изменяются.

Для определения движения точки M нужно знать ее координаты для каждого мгновения, выразить их в функциях времени.

Эти функции непрерывны, так как точка не может из одного положения перейти в другое, минуя промежуточные. Они должны быть однозначны, так как точка занимает в пространстве в каждое мгновение только одно положение.

Соотношения (58) называют кинематическими уравнениями движения точки в прямоугольных координатах, а способ определения движения точки посредством соотношений (58) называют координатным способом определения движения точки. Это название неточно, потому что, кроме прямолинейных прямоугольных координат, существует множество других координатных систем.

Если траектория точки лежит в одной плоскости, то движение точки определяют двумя уравнениями в системе координат xОy: x=x(t), y=y(t).

Следовательно, при координатном способе задания движения точки в пространстве нужно задать ее три координаты, а на плоскости—две координаты как функции времени. Если точка движется прямолинейно, то, приняв прямую, по которой она движется, за ось абсцисс, мы определим движение точки одним уравнением

Если движение точки задано в координатной форме, то для определения ее траектории надо из уравнений движения исключить время

Уравнение траектории

Можно определить траекторию точки, если в уравнениях движения (58) давать аргументу t различные значения и, вычислив соответствующие значения функций, отмечать положения точки по ее координатам. Следовательно. кинематические уравнения движения точки (58) можно
рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме, а время — как независимый переменный параметр.

Однако более удобно получить уравнение траектории, исключив время из уравнений (58). В самом деле, траекторией называют геометрическое место всех положений движущейся точки, но в геометрии нет понятия времени, а поэтому для получения уравнения траектории нужно из кинематических уравнений движения (58) исключить время t. Если точка движется в плоскости, то, исключив время из уравнений (58′) и (58″), мы получим соотношение, связывающее х и у:

Это уравнение плоской кривой—траектории точки. Если же движение задано тремя уравнениями (58), то, исключив время, получим два уравнения между тремя координатами:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(59 / )

выражающие, как известно из аналитической геометрии, кривую (траекторию) в пространстве. Точнее говоря, уравнения (59) или (59′) выражают кривую, которая полностью или в некоторой своей части является геометрическим местом всех положений движущейся точки.

Иногда бывает нужно выразить в естественной форме движение точки, заданное в прямоугольных координатах уравнениями (58), и, кроме уравнения траектории, дать также уравнение (51) движения точки по траектории. Чтобы его получить, надо продифференцировать уравнения (58) и полученные дифференциалы координат точки подставить в известную из курса высшей математики формулу, выражающую абсолютную величину элемента дуги:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(60)

Проинтегрировав (60), мы получим уравнение (51), выражающее длину дуги s как функцию времени, или, что то же, закон движения точки по траектории.

Задача №1

По заданным уравнениям движения точки в координатной форме найти уравнение траектории и уравнение движения по траектории:

1) х = 5 cos 2t, y = 3+5sin 2t;
2) x=21,2 sin 2 t, у = 21,2 cos 2t.

В обоих примерах за единицу длины принят сантиметр, за единицу времени — секунда.

Решение. Чтобы определить уравнение траектории по уравнениям движения, перенесем во втором из заданных уравнений 3 влево, возведем оба уравнения в квадрат и, сложив, получим

Это уравнение окружности с центром в точке: x = 0, y = +3.

Чтобы получить закон движения, продифференцируем заданные уравнения: dx=—10 sin 2t dt, dy = 10 cos 2t dt.

Возводя в квадрат, складывая, извлекая квадратный корень и интегрируя, находим закон движения по траектории:
s=10t + C, где C = s0.

2) Исключим время из уравнений движения во втором примере:

Это уравнение первого порядка относительно х и у, следовательно, траектория-прямая линия. Прямая отсекает на положительных направлениях осей координат отрезки по 21,2 см. Однако не вся прямая служит траекторией точки: из заданных уравнений видно, что х и у должны быть всегда положительны и не могут быть больше 21,2 см каждый, поэтому траекторией точки является лишь отрезок прямой x+y = 21,2, лежащей в первом квадранте (рис. 85).

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Рис. 85

На этом примере мы видим, что траекторией точки иногда является лишь часть линии, выражаемой уравнением траектории.

Продифференцируем уравнения движения:

dx = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt,
dy = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt.

Теперь no формуле (60) нетрудно найти элемент дуги траектории:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

ля получения уравнения (51) движения точки по траектории остается лишь проинтегрировать найденное выражение. Интегрируем и подставляем начальные условия (при t= 0, s0 = 0):

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Ответ. Уравнения траекторий x 2 +(y-3) 2 = 25 и x+y=21,2; уравнения движения по траектории s=10t+s0 и s = 30 sin 2 t.

Задача №2

Движение точки задано уравнениями:
х = x’ cos φ (t)—y’ sin φ (t),
y = x’ sin φ (t) + y’ cos φ (t),

где х’ и у’ — некоторые постоянные величины, a φ(t)— любая функция времени. Определить траекторию точки.

Решение. Возведем каждое из уравнений в квадрат, а затем сложим их:

x 2 + y 2 = χ ‘2 + y ‘2 .

По условию, х’ и у’ — постоянные. Обозначая сумму их квадратов через r 2 , получим

Ответ. Окружность с центром в начале координат радиуса Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами.

Задача №3

Поезд длиной l м сначала идет по горизонтальному пути (рис. 86, а), а потом поднимается в гору под углом 2α к горизонту. Считая поезд однородной лентой, найти траекторию его центра тяжести.

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Рис. 86

Решение. Для решения задачи нужно определить координаты центра тяжести поезда, найти уравнения движения центра тяжести и исключить из них время.

Направим оси координат по внутренней и внешней равиоделяшнм угла 2α (рис. 86, б). Траектория центра тяжести поезда не зависит от скорости поезда. Для простоты подсчетов предположим, что он идет равномерно со скоростью υ м/сек и в начальное мгновение t=0 подошел к горе.

Тогда за время t сек на гору поднимется υt м состава поезда и останется на горизонтальном пути l — υt м. Будем считать, что единица длины поезда весит γ.

Применяя формулы (48), найдем координаты центра тяжести поезда:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Координаты центра тяжести представлены здесь как функции времени, следовательно, полученные соотношения являются уравнениями движения центра тяжести поезда. Определяя t (или υt) из первого уравнения и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Задача №4

Мостовой кран движется вдоль цеха согласно уравнению х = t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению у = 1,5t (х и у—в м, t — в сек). Цепь укорачивается со скоростью t>=0,5. Определить траекторию центра тяжести груза (в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости хОу, ось Oz направлена вертикально вверх).

Решение. В условии задачи даны лишь два уравнения движения и вертикальная скорость груза:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

откуда dz = 0,5dt, и легко получаем третье уравнение:

z = 0,5t

Определив t из первого уравнения, подставим во второе и в третье:

y= 1,5x, z = 0,5x

Координаты груза должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям, т. е. траектория лежит одновременно в обеих плоскостях и является линией их пересечения.
Ответ. Прямая.

Алгебраическая величина скорости проекции точки на координатную ось равна первой производной от текущей координаты по времени:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось

Пусть движение точки M определяется тремя уравнениями:
x =x(t), (58′)
y = y(t), (58″)
z = z(t). (58″‘)

По мере движения точки M в пространстве ее проекции P, Q и R движутся по своим прямолинейным траекториям, т. е. по осям координат, и их движения вполне соответствуют движению точки М.

Так, координата (абсцисса) точки P всегда равна абсциссе точки М, а координаты точек QnR всегда равны ординате и аппликате точки М. Следовательно, при движении точки M в пространстве согласно уравнениям (58) точка P движется по оси Ox согласно уравнению (58′), а точки Q и R— соответственно по осям Oy и Oz согласно уравнениям (58″) и (58″‘).

Таким образом, движение точки M в пространстве можно разложить на три прямолинейных движения ее проекций P, Q и R.

Определим скорость υp точки P при движении этой точки по ее прямолинейной траектории Ох, иными словами, определим скорость проекции точки M на ось Ох.

Алгебраическая величина скорости выражается по формуле (53), причем дифференциалом расстояния точки P является дифференциал абсциссы х, а поэтому

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(61)

Следовательно, алгебраическая величина скорости проекции P точки M на координатную ось равна первой производной от текущей координаты х по времени t. Она положительна, если точка P движется в положительном направлении оси Ох, и отрицательна, если точка P движется в отрицательном направлении.
Аналогично получаем алгебраические скорости проекций Q и R на ось Oy и на ось Oz:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(61″)

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(61″‘)

Чтобы получить векторы скоростей проекций, надо умножить величины (61) на единичные векторы:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(61)

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции скорости той же точки на туже ось:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Скорость проекции и проекция скорости

Пусть точка М за бесконечно малый отрезок времени dt передвинулась по своей траектории на элемент дуги ds, абсолютную величину которого выразим формулой (60):
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

где dx, dy и dz — проекции элемента дуги на оси координат, или, Что то же, элементарные приращения координат точки М.

На рис. 87 эти элементы условно изображены конечными отрезками. Как видно из чертежа, косинусы углов, составляемых элементарным перемещением (а следовательно, и скоростью точки), с осями х, у и z соответственно равны

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(62)

Величина скорости точки M может быть определена по (53):

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Чтобы определить проекцию скорости Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамина какую-либо ось, надо умножить абсолютную величину скорости на косинус угла между направлением скорости и направлением этой оси. Таким образом, для проекций скорости точки M на оси координат имеем:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(63′)

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(63″)

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(63″‘)

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Рис. 87

Равенства (63) словами нужно читать так: проекция скорости точки на ось равна алгебраической скорости проекции точки на ту же ось.

Задача №5

Доказать, что проекция Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамискорости Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамиточки M (х, у, z) иа плоскость хОу равняется скорости Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, с которой движется по плоскости проекция M1 (х, у, О) точки M на ту же плоскость.

Решение. Скорость Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамиточки M составляет с осью Oz угол γυ, следовательно, угол, составляемый ею с плоскостью хОу, равен 90° — yυ п косинус этого угла равен sinγυ. Поэтому модуль проекции скорости точки M на плоскость хОу

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Подводя Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамипод радикал и выражая cosγυ, по формуле (62), мы убедимся, что проекция скорости на плоскость равна по величине скорости проекции:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Направления векторов Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамии Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамитоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы. Теорема доказана.

Модуль скорости точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций скорости на оси координат:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Модуль скорости. Возведем в квадрат каждое из равенств:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(63)

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице и

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(64)

Перед радикалом взят положительный знак, так как величина скорости (ее модуль) всегда положительна. В этом ее существенное отличие от алгебраической величины скорости (53), характеризующей скорость точки при движении по заданной траектории и имеющей знак « + » или «—» в зависимости от направления движения. Величину (64) иногда называют полной скоростью.

Направление скорости можно определить по направляющим косинусам скорости:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамиТочка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Направляющие косинусы скорости

Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (58). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемых направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63):

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(62′)

где Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамии Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами— производные от х, у и z по t.

Если точка движется в плоскости хОу, то γυ = 90 o , cosγυ = 0 и cos αυ = sin βυ.

Задача №6

Уравнения движения суть

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Определить траекторию и скорость.

Решение. Из уравнений движения следует, что х и у всегда больше нуля.
Для определения уравнения траектории возведем каждое из уравнений движения в квадрат и составим разность

x 2 — у 2 = a 2

Для определения скорости найдем сначала ее проекции:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

а затем уже и полную скорость.

Ответ. Траектория — ветвь гиперболы x 2 — у 2 = a 2 — расположена в области положительных значений х; скорость Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами.

Задача №7

Движение точки задано уравнениями

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

причем ось Ox горизонтальна, ось Oy направлена по вертикали вверх, υ0, g и Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами—величины постоянные. Найти траекторию точки, координаты наивысшего ее положения, проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох.

Решение. Уравнения описывают движение тела, брошенного со скоростью υ0 под углом α0 к горизонту (к оси Ох).
Чтобы найти уравнение траектории, определим время из первого уравнения и подставим найденное значение во второе; получим

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

уравнение параболы, проходящей через начало координат (рис. 88).

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Рис. 88

Чтобы определить координаты наивысшего положения, мы можем применить известные из дифференциального исчисления правила нахождения максимума функции, т. е. взять производную Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, приравняв ее нулю, определить значение х и, подставив его в уравнение траектории, определить соответствующее значение у, убедившись при этом, что вторая производная Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами. Однако мы найдем координаты наивысшего положения точки другим методом, для чего, продифференцировав по времени уравнения движения точки, найдем проекции ее скорости:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Первое из этих уравнений показывает, что проекция скорости на горизонтальную ось постоянна и равна проекции начальной скорости.

Исследование второго уравнения убеждает, что проекция скорости на вертикальную ось в начальное мгновение положительна и равна υ0 sin α0; затем, по мере увеличения t, проекция υy уменьшается, оставаясь положительной до мгновения Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, когда υy обращается в нуль, после чего υy становится отрицательной, возрастая по абсолютной величине с течением времени t.

Таким образом, точка движется вправо, сначала поднимаясь, затем опускаясь. Мгновение Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, при котором точка кончила подниматься, но еще не начала опускаться, соответствует максимальному подъему точки. В это мгновение скорость горизонтальна и Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами. Подставляя найденное значение t в уравнения движения, найдем координаты наивысшей точки траектории:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Определим проекции скорости в мгновение, когда точка находится на оси Ох. В это мгновение ордината точки равна нулю. Приравняем пулю второе из уравнений движения:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка находится на оси Ox два раза: при t=0 при Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Первое значение t соответствует началу движения, второе —падению точки на ось Ох. Второе значение равно времени всего полета, и оно вдвое больше полученного нами ранее времени наивысшего подъема: время падения равно времени подъема.

Подставляя значение t=0 в уравнения, определяющие проекции скорости, найдем проекции скорости в начальное мгновение:

Подставляя второе из найденных значений t, найдем скорости в момент падения:

Ответ: 1) Парабола Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

2) Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

3) υx = υ0 cos α0, υy = Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамиυ0 sin α0.

причем верхний знак соответствует началу движения, а нижний—концу.

Задача №8

По осям координат (рис. 89) скользят две муфты A и B, соединенные стержнем AB длиной l. Скорость В равна υB.

При каком положении муфт скорость муфты А вдвое больше υB?

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Решение. Координата точки А связана с координатой точки В соотношением

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Считая х и у функциями времени и продифференцировав это равенство по времени, найдем зависимость между скоростями обеих точек:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Но Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамии по условию надо, чтобы величина Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамибыла равна 2υB, т. е.

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

откуда после алгебраических преобразований получаем ответ.

Ответ: Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(см. задачи № 57 и 89, где даны другие решения).

Проекция ускорения точки на координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости на ту же ось или второй производной от текущей координаты по времени:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Ускорение проекции и проекция ускорения

Ускорение характеризует изменение скорости точки в данное мгновение. Оно выражается пределом отношения изменения вектора скорости к соответствующему промежутку времени при стремлении этого промежутка времени к нулю.

Для того чтобы определить ускорение точки M при ее движении в пространстве, рассмотрим сначала движение по оси Ox точки Р, являющейся проекцией точки M на эту ось.

Пусть в некоторое мгновение t алгебраическая величина скорости точки P была υх, а в мгновение tl = t + Δt стала υx+∆υx. Тогда ускорение точки P по величине и по знаку выразится пределом

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Если знаки υx и ap одинаковы, то движение точки P ускоренное, а если различны, то замедленное.

Аналогично выразятся ускорения проекций Q и R точки M на другие координатные оси:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Проекции υx, υy и υz сами являются производными по времени от координат точки, поэтому ускорения проекций можно выразить вторыми производными по времени от координат точки. Эти равенства характеризуют не только величины, но и знаки ускорений проекций. Иными словами, они выражают изменение алгебраических скоростей проекций P, Q и R в мгновение t.

Только что доказанная теорема о равенстве алгебраической скорости проекции точки на ось и проекции скорости той же точки на ту же ось справедлива для любого момента времени. Следовательно, эта теорема относится не только к скорости, но и к ее изменению в любое мгновение, т. е. к ускорению. Это значит, что написанные выше равенства выражают также проекции ax, ау и аz ускорения а точки M на оси координат Ox, Oy и Oz:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(65)

где cosαa, cosβa и cosγa—направляющие косинусы ускорения.

Можно рассматривать эти величины (65) как векторы, направленные по осям координат:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(65′)

Модуль ускорения точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций ускорения на оси координат:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Величина ускорения при координатном способе задания движения точки

Возведем в квадрат каждое из равенств:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

и затем сложим их:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами(66)

Перед радикалом взят знак плюс, так как модуль вектора—величина положительная. Ускорение точки в отличие от проекций ускорения на оси координат или на другие направления обычно называют полным ускорением. Поэтому равенство (66) можно прочитать так: величина полного ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Направление ускорения можно определить по направляющим косинусам ускорения:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Направляющие косинусы ускорения

Направление ускорения определяют по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с вектором ускорения. Формулы направляющих косинусов получаем из уравнений (65):
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами (67′)

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами (67»)

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами (67»’)

Для определения направления ускорения в каждом конкретном случае надо сначала найти ускорение проекций по (65), для чего необходимо дважды продифференцировать уравнения движения (58), затем найти величину ускорения по (66), а потом определить направляющие косинусы ускорения по (67).

Направление ускорения обычно не совпадает с направлением скорости, и направляющие косинусы (67) ускорения только при прямолинейном ускоренном движении точки постоянно равны направляющим косинусам (62) скорости.

Если точка движется в плоскости хОу, то γa = 90 o , cosγa = 0, cosα0 = sin βa.

Задача №9

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям х= r cos πt, y=r sinπt, где х и у—в см, a t — в сек. Найти уравнение траектории точки М, ее скорость, направляющие косинусы скорости, ускорение, направляющие косинусы ускорения. Для значений времени t=0; 0,25; 0,5; 0,75, . 2 сек дать чертежи положений точки M, вектора скорости и вектора ускорения.

Решение. Из уравнения движения видно, что координаты точки M являются проекциями на соответствующие оси радиуса-вектора r, составляющего с осью абсцисс угол πt:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Для определения траектории точки исключаем время из уравнений движения. Получаем уравнение окружности

x 2 + y 2 = r 2

Найдем теперь проекции скорости на оси координат, для чего продифференцируем по времени уравнения движения:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

откуда по (64) получаем модуль скорости

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Величина скорости точки M постоянна.

Направляющие косинусы скорости определим по формуле (62′):

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Эти соотношения показывают, что направление скорости непрерывно меняется и что скорость перпендикулярна радиусу-вектору, проведенному из центра О в точку М.

Ускорение точки M найдем по его проекциям, для чего продифференцируем выражения, полученные для проекций скорости:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

откуда по (66) получаем величину ускорения

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости не только по величине, но и по направлению, поэтому, несмотря на постоянство модуля скорости точки М, ускорение этой точки не равно нулю. Как видно из полученного

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
Рис. 90

равенства, величина полного ускорения постоянна. Направление ускорения определим по направляющим косинусам согласно (67):
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Направление ускорения точки M противоположно направлению радиуса-вектора.
Положения точки M в различные мгновения показаны на рис. 90, а, векторы скорости — на рис. 90,6 и векторы ускорения — на рис. 90, в.

Ответ. Точка M движется по окружности радиуса r против часовой стрелки с постоянной по величине скоростью υ = rπ и с постоянным по величине ускорением a = rπ 2 .

Задача №10

Снаряд выбрасывается из орудия с начальной скоростью υ=1600 м/сек под утлом α0 = 55 o к горизонту. Определить теоретическую дальность и высоту обстрела, учитывая, что ускорение свободно падающих тел g = 9,81 м/сек 2 .

Решение. Сначала составим уравнения движения снаряда в координатной форме, направив оси, как показано на чертеже (см. рис. 88), для этого определим проекции ускорения:
Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Разделив переменные, интегрируем:
υх= С1, υy = — gt + С2

Подставляя вместо переменных величин их начальные значения, увидим, что C1 и C2 равны проекциям начальной скорости:

1600 cos 55 o = C1, 1600 sin 55 o = — gt + C2.

Подставим их в уравнения, полученные для проекций скорости:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

При t = 0 координаты снаряда были: х =0, у = 0. Подставляя эти данные, найдем, что C3 = O и C4 = O. Значения cos 55° и sin 55° найдем в тригонометрических таблицах. Уравнения движения снаряда примут вид:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Далее поступим, как при решении задачи № 42: приравняв вертикальную скорость нулю, найдем время подъема снаряда (t= 133,7 сек); подставляя это значение t в уравнение движения по оси Оу, найдем теоретическую высоту обстрела (h = 87 636 м); удваивая время /, найдем время полета снаряда (t = 267,4 сек); подставляя это значение- в уравнение движения по оси Ох, найдем теоретическую дальность обстрела (l = 245 393 м).
Ответ. l = 245 км; h = 87,5κм.

Рекомендую подробно изучить предмет:
  • Теоретическая механика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Касательное и нормальное ускорения точки
  • Основные законы динамики
  • Колебания материальной точки
  • Количество движения
  • Пара сил в теоретической механике
  • Приведение системы сил к данной точке
  • Система сил на плоскости
  • Естественный и векторный способы определения движения точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1

Нужно решить задачи К-1 и Д 2

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Нужно решить задачи К-1 и Д 2

4.1.1. К -1. Определение скорости и ускорения

точки по заданным уравнениям её движения

Определить: уравнение траектории точки; для момента времени t1=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Указания: задача К1 относится к кинематике точки; скорость и ускорение точки в декартовых координатах определяются по формулам координатного способа задания движения точки, а касательное и нормальное ускорения точки — по формулам естественного способа задания её движения.

По предпоследней цифре шифра зачетной книжки выбирается уравнение, задающее изменении координаты X(t), а по последней – Y(t).

В задаче все искомые величины следует определить для момента времени t1=1с.

Дано: уравнения движения точки в плоскости XOY:

Определить: уравнение траектории точки; для момента времени t1=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения параметр t:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамиТочка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамиТочка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами— уравнение траектории точки – эллипс с полуосями 12 см и 4 см (рис. К -1).Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

2. Определим положение точки на траектории в момент времени t1=1с :

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами
3. Скорость точки находим по её проекциям на координатные оси:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, при t1=1с Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

2. Аналогично найдём ускорение точки при t1=1с :

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами, при t1=1с Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

5. Находим касательное ускорение точки, зная численные значения всех величин, входящих в правую часть выражения:

Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатамипри t1=1с Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

6. Нормальное ускорение точки определяем по формуле , подставляя известные численные значения. При t1=1с получим Точка движется в плоскости оху уравнение движения точки задано координатами

5.3.3. Д -2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии

к изучению движения механической системы

два вариант 2 и 3

Дано. Механическая система состоит из катков 1 и 2 (или катка и подвижного блока), ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3= 0,3 м, r3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ3 = 0,2 м, блока 4 радиуса R4= 0,2 м и грузов 5 и 6 (рис. Д 2.0 – Д 2.9, табл. Д-2); тела 1 и 2 считать сплошными однородными цилиндрами, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1. Тела системы соединены друг с

другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Все катки катятся по плоскостям без скольжения.

Если по заданию массы грузов 5 и 6 или массы катков 1 (рис. Д 2.0-2.4) и 2 (рис. Д 2.5-2.9) равны нулю, то на чертеже их можно не изображать.

Определить: значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s1= 0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы Д 2, где обозначено: ω3 – угловая скорость тела 3; ε4 – угловое ускорение тела 4; v5 – скорость тела 5; ас2- ускорение центра масс тела 2 и т. п.

Указания. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию следует выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении энергии для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей. При вычислении работы необходимо все перемещения выразить через заданное перемещение s1, учитывая при этом, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

📸 Видео

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Дифференциальные уравнения движения точкиСкачать

Дифференциальные уравнения движения точки

Движение точки тела. Способы описания движения | Физика 10 класс #2 | ИнфоурокСкачать

Движение точки тела. Способы описания движения | Физика 10 класс #2 | Инфоурок

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. ПроизводнаяСкачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. Производная

кинематика точкиСкачать

кинематика точки

Уравнение движенияСкачать

Уравнение движения

Кинематика точки в плоскости. ТермехСкачать

Кинематика точки в плоскости. Термех

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. ВычислиСкачать

Уравнение движения тела дано в виде x=2−3t. Вычисли

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорение

Термех. Кинематика. Сложное движение точкиСкачать

Термех. Кинематика. Сложное движение точки

Сложное движение точки #1Скачать

Сложное движение точки #1

Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать

Физика - уравнения равноускоренного движения

Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.Скачать

Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.

Кинематика. Закон движения. Урок 3Скачать

Кинематика. Закон движения. Урок 3

Определение координаты движущегося тела | Физика 9 класс #3 | ИнфоурокСкачать

Определение координаты движущегося тела | Физика 9 класс #3 | Инфоурок

Кинематика материальной точки за 20 минут (кратко и доступно) Кинематика точкиСкачать

Кинематика материальной точки за 20 минут (кратко и доступно) Кинематика точки
Поделиться или сохранить к себе: