Типы кривых и их уравнения

Уравнения прямых и кривых на плоскости с примерами решения

Содержание:

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Уравнения прямых и кривых на плоскости

Уравнения кривых в большом количестве встречаются при чтении экономической литературы. Укажем некоторые из этих кривых.

Кривая безразличия — кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета — кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей — кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса — кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.

Кривая Филлипса — кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.

Кривая Лаффера — кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума.

Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и анализировать уравнения кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка — окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми, уравнения которых заданы. Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств, уравнения которых даны. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной уравнениями системы неравенств.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Типы кривых и их уравнения

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1. Общее уравнение прямой:

Типы кривых и их уравнения

Вектор Типы кривых и их уравненияортогонален прямой, числа А и В одновременно не равны нулю.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Типы кривых и их уравнения

где Типы кривых и их уравнения— угловой коэффициент прямой, то есть Типы кривых и их уравнениявеличина угла, образованного прямой с осью Типы кривых и их уравнениянекоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение (2.2) принимает вид Типы кривых и их уравненияесть точка пересечения прямой с осью Типы кривых и их уравнения

3. Уравнение прямой в отрезках:

Типы кривых и их уравнения

где а и b — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки — Типы кривых и их уравнения

Типы кривых и их уравнения

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку Типы кривых и их уравненияпараллельно данному вектору Типы кривых и их уравнения

Типы кривых и их уравнения

6. Нормальное уравнение прямой:

Типы кривых и их уравнения

где Типы кривых и их уравнения— радиус-вектор произвольной точки Типы кривых и их уравненияэтой прямой, Типы кривых и их уравнения— единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; Типы кривых и их уравнения— расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

Типы кривых и их уравнениягде Типы кривых и их уравнениявеличина угла, образованного прямой с осью Ох.

Уравнение пучка прямых с центром в точке Типы кривых и их уравненияимеет вид: Типы кривых и их уравнения

где Типы кривых и их уравнения— параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми Типы кривых и их уравнениято его уравнение имеет вид:

Типы кривых и их уравнениягде Типы кривых и их уравнения— параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми Типы кривых и их уравнениязадается формулой:

Типы кривых и их уравнения

Равенство Типы кривых и их уравненияесть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

Типы кривых и их уравнениязадавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

Типы кривых и их уравнения

Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если Типы кривых и их уравненияи Типы кривых и их уравненияпрямые пересекаются, если Типы кривых и их уравненияРасстояние d от точки Типы кривых и их уравнениядо прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки Типы кривых и их уравненияк прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то Типы кривых и их уравнения— радиус-вектор точки Типы кривых и их уравненияили, в координатной форме, Типы кривых и их уравнения

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Типы кривых и их уравнения

Предполагается, что среди коэффициентов уравнения Типы кривых и их уравненияесть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке Типы кривых и их уравненияи радиусом, равным R: Типы кривых и их уравненияЭллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек Типы кривых и их уравнения(фокусов) есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое (простейшее) уравнение эллипса: Типы кривых и их уравнения

Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат.

Параметры а и b называются полуосями эллипса.

Пусть Типы кривых и их уравнениятогда фокусы Типы кривых и их уравненияи находятся на оси Ох на расстоянии Типы кривых и их уравненияот начала координат. Отношение Типы кривых и их уравненияназывается эксцентриситетом эллипса.

Расстояния от точки Типы кривых и их уравненияэллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

Типы кривых и их уравнения

Если же Типы кривых и их уравнениято фокусы находятся на оси Типы кривых и их уравненияТипы кривых и их уравнения

Если а=b, то эллипс является окружностью с центром в начале координат радиуса а.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек Типы кривых и их уравнения(фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2а.

Каноническое уравнение гиперболы: Типы кривых и их уравнения

Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Типы кривых и их уравненияв точках Типы кривых и их уравнения— вершинах гиперболы и не пересекает ось Типы кривых и их уравненияПараметр а называется вещественной полуосью, b — мнимой полуосью. Параметр Типы кривых и их уравненияесть, расстояние от фокуса до начала координат. Отношение Типы кривых и их уравненияназывается эксцентриситетом гиперболы. Прямые, уравнения которых Типы кривых и их уравненияназываются асимптотами гиперболы.

Расстояния от точки Типы кривых и их уравнениягиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами: Типы кривых и их уравнения

Гипербола, у которой а=b, называется равносторонней, ее уравнение Типы кривых и их уравненияа уравнение асимптот Типы кривых и их уравнения

Гиперболы Типы кривых и их уравненияназываются сопряженными. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1. Типы кривых и их уравнения— парабола симметрична относительно оси Ох. 2. Типы кривых и их уравнения— парабола симметрична относительно оси Оy. В обоих случаях Типы кривых и их уравненияи вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола, уравнение которой Типы кривых и их уравненияимеет фокус Типы кривых и их уравненияи директрису Типы кривых и их уравненияфокальный радиус-вектор точки Типы кривых и их уравненияПарабола, уравнение которой Типы кривых и их уравненияимеет фокус Типы кривых и их уравненияи директрису Типы кривых и их уравненияфокальный радиус-вектор точки Типы кривых и их уравненияпараболы равен Типы кривых и их уравнения

Уравнение Типы кривых и их уравнениязадает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство Типы кривых и их уравненияа в других — неравенство Типы кривых и их уравненияИными словами, линия Типы кривых и их уравненияотделяет часть плоскости, где Типы кривых и их уравненияот части плоскости, где Типы кривых и их уравнения

Прямая, уравнение которой Типы кривых и их уравненияразбивает плоскость на две полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем Типы кривых и их уравненияа в какой Типы кривых и их уравненияприменяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой, уравнение которой Типы кривых и их уравнения) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение Типы кривых и их уравненияТот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости Типы кривых и их уравненияимеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство Типы кривых и их уравненияЕго можно переписать в виде Типы кривых и их уравнения

Уравнение Типы кривых и их уравнениязадает окружность с центром в точке С(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр С(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки С в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство Типы кривых и их уравненияОтсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Пример:

Составьте уравнения прямых, проходящих через точку А(3,1) и наклоненных к прямой Типы кривых и их уравненияпод углом 45°.

Решение:

Будем искать уравнение прямой в виде Типы кривых и их уравненияПоскольку прямая проходит через точку А, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. Типы кривых и их уравнения

Величина угла между прямыми Типы кривых и их уравненияопределяется формулой Типы кривых и их уравненияТак как угловой коэффициент Типы кривых и их уравненияисходной прямой Типы кривых и их уравненияравен Типы кривых и их уравнениято имеем уравнение для определения Типы кривых и их уравнения

Типы кривых и их уравнения

Имеем два значения Типы кривых и их уравненияНаходя соответствующие значения b по формуле Типы кривых и их уравненияполучим две искомые прямые, уравнения которых: Типы кривых и их уравнения

Пример:

При каком значении параметра t прямые, уравнения которых Типы кривых и их уравнения Типы кривых и их уравненияпараллельны ?

Решение:

Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. Типы кривых и их уравненияРешая полученное уравнение, находим t:

Типы кривых и их уравнения

Пример:

Найти уравнение общей хорды двух окружностей: Типы кривых и их уравненияи Типы кривых и их уравнения

Решение:

Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений: Типы кривых и их уравненияРешая первое уравнение, находим значения Типы кривых и их уравненияИз второго уравнения -соответствующие значения Типы кривых и их уравненияТеперь получим уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и В(1,3), принадлежащие этой прямой: Типы кривых и их уравнения

Пример:

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям Типы кривых и их уравнения

Решение:

Первое неравенство системы определяет внутренность круга, не включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3,3) и радиуса Типы кривых и их уравненияВторое неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой, уравнение которой х = у, причем, так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то искомая область — внутренность полукруга.

Пример:

Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс, уравнение которого Типы кривых и их уравнения

Решение:

Пусть Типы кривых и их уравнения— вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторона квадрата будет равна 2с. Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса Типы кривых и их уравненияоткуда Типы кривых и их уравнениязначит, сторона квадрата — Типы кривых и их уравнения

Пример:

Зная уравнение асимптот гиперболы Типы кривых и их уравненияи одну из ее точек Типы кривых и их уравнениясоставить уравнение гиперболы.

Решение:

Запишем каноническое уравнение гиперболы: Типы кривых и их уравненияАсимптоты гиперболы задаются уравнениями Типы кривых и их уравнениязначит, Типы кривых и их уравненияоткуда Типы кривых и их уравненияПоскольку М — точка гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. Типы кривых и их уравненияУчитывая, что а=2b , найдем b: Типы кривых и их уравненияТогда уравнение гиперболы Типы кривых и их уравнения

Пример:

Вычислить длину стороны правильного треугольника АВС, вписанного в параболу с параметром р, предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы.

Решение:

Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид Типы кривых и их уравнениявершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс. Так как прямая АВ образует с осью Оx угол в 30°, то уравнение прямой имеет вид: Типы кривых и их уравненияСледовательно, мы можем найти координаты точки В, решая систему уравнений Типы кривых и их уравненияоткуда Типы кривых и их уравненияЗначит, расстояние между точками Типы кривых и их уравнения

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоскость и прямая в пространстве
  • Определитель матрицы
  • Критерий совместности Кронекера-Капелли
  • Формулы Крамера
  • Производные тригонометрических функции
  • Производная сложной функции
  • Пределы в математике
  • Функции многих переменных

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Тип кривой второго порядкаСкачать

Тип кривой второго порядка

Кривые второго порядка

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Типы кривых и их уравнения

Видео:Определить тип кривой (эллипс)Скачать

Определить тип кривой (эллипс)

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Видео:Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Пример

Типы кривых и их уравнения

Видео:Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертеж

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Типы кривых и их уравнения

или можно встретить следующую форму записи:

Видео:Кривые второго порядкаСкачать

Кривые второго порядка

Типы кривых и их уравнения

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Типы кривых и их уравнения

Рассмотрим кривую второго порядка:

Видео:Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"

Типы кривых и их уравнения

Вычислим определитель из коэффициентов:

Типы кривых и их уравнения

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F1 и F2 — фокусы.

Типы кривых и их уравнения

с — фокальное расстояние,

Типы кривых и их уравнения

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

Типы кривых и их уравнения

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Типы кривых и их уравнения

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x0;y0), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Типы кривых и их уравнения

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Типы кривых и их уравнения

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

Типы кривых и их уравнения

Типы кривых и их уравнения

с — фокальное расстояние,

Типы кривых и их уравнения

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

Типы кривых и их уравнения

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x0;y0), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Типы кривых и их уравнения

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Типы кривых и их уравнения

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f1 — правая директриса, f2 — левая директриса.

Типы кривых и их уравнения

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

Типы кривых и их уравнения

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

Типы кривых и их уравнения

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Типы кривых и их уравнения
Типы кривых и их уравненияТипы кривых и их уравнения

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

Видео:Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

Классификация плоских кривых

В этом параграфе рассмотрим классификацию плоских кривых.

Так как характерные особенности формы кривой и её свойства определяются особенностями и свойствами соответствующего ей уравнения, то естественно положить в основу классификации кривых природу их уравнений – подразделение уравнений на алгебраические и трансцндентные. Здесь, однако, возникает затруднение, заключающееся в том, что природа уравнения кривой зависит не только от природы самой кривой, но и от той системы координат, к которой отнесена кривая. Одна и та же кривая в одной системе координат может выражаться алгебраическим уравнением, а в другой – трансцендентным. Более того иногда достаточно изменить положение системы и уравнение кривой, которое было алгебраическим, становится трансцендентным. Так, например, в полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе имеет вид Типы кривых и их уравненияи является, как видно, алгебраическим: но достаточно поместить полюс в какую-либо точку Типы кривых и их уравнения, как уравнение принимает вид Типы кривых и их уравненияи становится, таким образом, трансцендентным.

Указанный недостаток отсутствует, однако, у прямоугольной декартовой системы координат. Параллельное смещение и поворот этой системы не меняют не только природу уравнения этой кривой, но и степень этого уравнения, если оно было алгебраическим. Естественно поэтому подразделить все кривые на алгебраические и трансцендентные соответственно тому, будут ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

а) Алгебраические кривые

Внутри обширного семейства алгебраических линий в свою очередь производят подразделение кривых, в основу которого полагается понятие порядка кривой, определяемого степенью её уравнения.

Соответственно этому алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов, записывается в декартовой системе координатв виде

Типы кривых и их уравнения

Очевидно, число членов уравнения равно Типы кривых и их уравнения. Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты могут быть нулями.

Если левая часть уравнения кривой разлагается на множители Типы кривых и их уравнениято такому уравнению будет соответствовать система кривых Типы кривых и их уравненияВ этом случае кривую n-го порядка называют распадающейся или приводимой.

В частности, когда левая часть уравнения кривой, которую мы обозначим через f (x, y), является однородной функцией n-го измерения, кривая вырождается в систему прямых линий. Действительно, по известному свойству однородных функций, мы, полагая Типы кривых и их уравнения, будем иметь Типы кривых и их уравнения, и если a1, a2, …,an – корни уравнения Типы кривых и их уравнения, то

Типы кривых и их уравнения

Приравнивая к нулю каждый множитель, получим систему n прямых (среди которых могут быть и мнимые).

Рассмотрим разновидности алгебраических кривых.

Класс алгебраической кривой. Формулы Плюккера.

Алгебраические кривые классифицируются не только по их порядку, но и по их классу и роду (жанру).

Класс алгебраической кривой определяется степенью её уравнения в тангенциальных координатах – так называются коэффициенты u и v в уравнениях прямых Типы кривых и их уравнения, касающихся данной алгебраической кривой.

класс кривой может быть также определён числом касательных, действительных и мнимых, которые можно провести к этой кривой из произвольной точки, не лежащей на ней.

Для получения тангенциального уравнения кривой и, следовательно, для определения её класса, представим себе, что данная кривая Типы кривых и их уравненияпересечена прямой Типы кривых и их уравнения. Условие того. что две точки её пересечения с кривой совпадают между собой, записанное в форме равенства, связывающего u и v, и будет искомым тангенциальным уравнением кривой.

Так, например, желая найти тангенциальное уравнение окружности x 2 +y 2 =1, пересечём её прямой Типы кривых и их уравнения. Исключая у из уравнения этой прямой и окружности, получим (u 2 +v 2 ) x 2 +2ux+(1-v 2 )=0. Условием касания прямой и окружности будет совпадение корней этого квадратного уравнения, что приводит к равенству v 2 (1-u 2 -v 2 )=0. Подобным же образом получим равенство u 2 (1-u 2 -v 2 )=0. Очевидно, полученные равенства будут удовлетворяться, если 1-u 2 -v 2 =0. Это и есть тангенциальное уравнение заданной окружности.

Если, наоборот, необходимо перейти от тангенциального уравнения f (u, v)=0 кривой к её обычному уравнению, то следует присоединить к этому уравнению уравнение Типы кривых и их уравненияпучка всех касательных к кривой, проходящих через точку М (х, у). Условие того, что эта точка будет точкой касания, выразится равенством, определяющим условие совпадения двух касательных в одну (так как в тангенциальных координатах каждая точка кривой определяется как точка пересечения двух бесконечно близких касательных). Это равенство и будет искомым уравнением кривой в исходной системе.

Так, например, если дана в тангенциальных координатах кривая u+v+uv=0, то, желая иметь её обычное уравнение, рассмотрим пучок прямых Типы кривых и их уравнения, проходящих через произвольную точку М (х, у). Найдём те прямые этого пучка, которые касаются кривой. Исключая u из заданного уравнения кривой и уравнения пучка, получим: v 2 y+v (1+y-x)+1=0. Для того, чтобы две прямые, определяемые двумя значениями v в этом равенстве, совпали в одну, необходимо, чтобы эти значения v были равны между собой, а последнее произойдёт, если будет справедливым равенство (1+y-x) 2 -4y=0, которое и представляет собой обычное уравнение заданной кривой.

Порядок и класс линии, вообще говоря не совпадают, за исключением кривых второго порядка, которые одновременно являются кривыми второго класса. В общем случае при определении класса кривой приходится принимать во внимание не только её порядок, но и ряд её характерных особенностей – наличие у неё двойных точек, точек перегиба, двойных касательных и т.д. Именно, если n – порядок кривой, k – класс кривой, d – число двойных точек (узловых и изолированных), r – число точек возврата, t – число двойных касательных (т.е. прямых, касающихся кривой в двух точках), w – число точек перегиба кривой, то между всеми этими величинами существуют следующие соотношения:

k=n (n – 1) – 2d – 3r, n=k (k – 1) – 2t – 3w,

w=3n (n – 2) – 6d – 8r, r=3k (k – 2) – 6t – 8w.

Эти равенства называются формулами Плюккера и были приведены им впервые в его «Системе аналитической геометрии на плоскости» в 1834 году.

📸 Видео

Определить тип кривой (гипербола)Скачать

Определить тип кривой (гипербола)

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Пример определения кривой второго порядкаСкачать

Пример определения кривой второго порядка

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядка

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Лекция 31.3. Кривые второго порядка. Парабола.Скачать

Лекция 31.3. Кривые второго порядка. Парабола.

Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

Приводим уравнение кривой 2 порядка к каноническому видуСкачать

Приводим уравнение кривой 2 порядка  к каноническому виду
Поделиться или сохранить к себе: