Типы кривых и их уравнения

Содержание:

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Уравнения прямых и кривых на плоскости

Уравнения кривых в большом количестве встречаются при чтении экономической литературы. Укажем некоторые из этих кривых.

Кривая безразличия — кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета — кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей — кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса — кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.

Кривая Филлипса — кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.

Кривая Лаффера — кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума.

Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и анализировать уравнения кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка — окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми, уравнения которых заданы. Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств, уравнения которых даны. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной уравнениями системы неравенств.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1. Общее уравнение прямой:

Вектор ортогонален прямой, числа А и В одновременно не равны нулю.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

где — угловой коэффициент прямой, то есть величина угла, образованного прямой с осью некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение (2.2) принимает вид есть точка пересечения прямой с осью

3. Уравнение прямой в отрезках:

где а и b — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки —

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору

6. Нормальное уравнение прямой:

где — радиус-вектор произвольной точки этой прямой, — единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; — расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

где величина угла, образованного прямой с осью Ох.

Уравнение пучка прямых с центром в точке имеет вид:

где — параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми то его уравнение имеет вид:

где — параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми задается формулой:

Равенство есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если и прямые пересекаются, если Расстояние d от точки до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то — радиус-вектор точки или, в координатной форме,

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Предполагается, что среди коэффициентов уравнения есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным R: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат.

Параметры а и b называются полуосями эллипса.

Пусть тогда фокусы и находятся на оси Ох на расстоянии от начала координат. Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояния от точки эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

Если же то фокусы находятся на оси

Если а=b, то эллипс является окружностью с центром в начале координат радиуса а.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2а.

Каноническое уравнение гиперболы:

Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось в точках — вершинах гиперболы и не пересекает ось Параметр а называется вещественной полуосью, b — мнимой полуосью. Параметр есть, расстояние от фокуса до начала координат. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, уравнения которых называются асимптотами гиперболы.

Расстояния от точки гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

Гипербола, у которой а=b, называется равносторонней, ее уравнение а уравнение асимптот

Гиперболы называются сопряженными. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1. — парабола симметрична относительно оси Ох. 2. — парабола симметрична относительно оси Оy. В обоих случаях и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола, уравнение которой имеет фокус и директрису фокальный радиус-вектор точки Парабола, уравнение которой имеет фокус и директрису фокальный радиус-вектор точки параболы равен

Уравнение задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство а в других — неравенство Иными словами, линия отделяет часть плоскости, где от части плоскости, где

Прямая, уравнение которой разбивает плоскость на две полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем а в какой применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой, уравнение которой ) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство Его можно переписать в виде

Уравнение задает окружность с центром в точке С(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр С(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки С в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Пример:

Составьте уравнения прямых, проходящих через точку А(3,1) и наклоненных к прямой под углом 45°.

Решение:

Будем искать уравнение прямой в виде Поскольку прямая проходит через точку А, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е.

Величина угла между прямыми определяется формулой Так как угловой коэффициент исходной прямой равен то имеем уравнение для определения

Имеем два значения Находя соответствующие значения b по формуле получим две искомые прямые, уравнения которых:

Пример:

При каком значении параметра t прямые, уравнения которых параллельны ?

Решение:

Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. Решая полученное уравнение, находим t:

Пример:

Найти уравнение общей хорды двух окружностей: и

Решение:

Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений: Решая первое уравнение, находим значения Из второго уравнения -соответствующие значения Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и В(1,3), принадлежащие этой прямой:

Пример:

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям

Решение:

Первое неравенство системы определяет внутренность круга, не включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3,3) и радиуса Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой, уравнение которой х = у, причем, так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то искомая область — внутренность полукруга.

Пример:

Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс, уравнение которого

Решение:

Пусть — вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторона квадрата будет равна 2с. Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса откуда значит, сторона квадрата —

Пример:

Зная уравнение асимптот гиперболы и одну из ее точек составить уравнение гиперболы.

Решение:

Запишем каноническое уравнение гиперболы: Асимптоты гиперболы задаются уравнениями значит, откуда Поскольку М — точка гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. Учитывая, что а=2b , найдем b: Тогда уравнение гиперболы

Пример:

Вычислить длину стороны правильного треугольника АВС, вписанного в параболу с параметром р, предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы.

Решение:

Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс. Так как прямая АВ образует с осью Оx угол в 30°, то уравнение прямой имеет вид: Следовательно, мы можем найти координаты точки В, решая систему уравнений откуда Значит, расстояние между точками

• Плоскость и прямая в пространстве
• Определитель матрицы
• Критерий совместности Кронекера-Капелли
• Формулы Крамера
• Производные тригонометрических функции
• Производная сложной функции
• Пределы в математике
• Функции многих переменных

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Тип кривой второго порядкаСкачать

Кривые второго порядка

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Видео:Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Видео:Кривые второго порядкаСкачать

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

Видео:Определить тип кривой (эллипс)Скачать

или можно встретить следующую форму записи:

Видео:Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Видео:Определить тип кривой (гипербола)Скачать

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ — фокусы.

с — фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ — правая директриса, f₂ — левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Классификация плоских кривых

В этом параграфе рассмотрим классификацию плоских кривых.

Так как характерные особенности формы кривой и её свойства определяются особенностями и свойствами соответствующего ей уравнения, то естественно положить в основу классификации кривых природу их уравнений – подразделение уравнений на алгебраические и трансцндентные. Здесь, однако, возникает затруднение, заключающееся в том, что природа уравнения кривой зависит не только от природы самой кривой, но и от той системы координат, к которой отнесена кривая. Одна и та же кривая в одной системе координат может выражаться алгебраическим уравнением, а в другой – трансцендентным. Более того иногда достаточно изменить положение системы и уравнение кривой, которое было алгебраическим, становится трансцендентным. Так, например, в полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе имеет вид и является, как видно, алгебраическим: но достаточно поместить полюс в какую-либо точку , как уравнение принимает вид и становится, таким образом, трансцендентным.

Указанный недостаток отсутствует, однако, у прямоугольной декартовой системы координат. Параллельное смещение и поворот этой системы не меняют не только природу уравнения этой кривой, но и степень этого уравнения, если оно было алгебраическим. Естественно поэтому подразделить все кривые на алгебраические и трансцендентные соответственно тому, будут ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

а) Алгебраические кривые

Внутри обширного семейства алгебраических линий в свою очередь производят подразделение кривых, в основу которого полагается понятие порядка кривой, определяемого степенью её уравнения.

Соответственно этому алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов, записывается в декартовой системе координатв виде

Очевидно, число членов уравнения равно . Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты могут быть нулями.

Если левая часть уравнения кривой разлагается на множители то такому уравнению будет соответствовать система кривых В этом случае кривую n-го порядка называют распадающейся или приводимой.

В частности, когда левая часть уравнения кривой, которую мы обозначим через f (x, y), является однородной функцией n-го измерения, кривая вырождается в систему прямых линий. Действительно, по известному свойству однородных функций, мы, полагая , будем иметь , и если a₁, a₂, …,a_n – корни уравнения , то

Приравнивая к нулю каждый множитель, получим систему n прямых (среди которых могут быть и мнимые).

Рассмотрим разновидности алгебраических кривых.

Класс алгебраической кривой. Формулы Плюккера.

Алгебраические кривые классифицируются не только по их порядку, но и по их классу и роду (жанру).

Класс алгебраической кривой определяется степенью её уравнения в тангенциальных координатах – так называются коэффициенты u и v в уравнениях прямых , касающихся данной алгебраической кривой.

класс кривой может быть также определён числом касательных, действительных и мнимых, которые можно провести к этой кривой из произвольной точки, не лежащей на ней.

Для получения тангенциального уравнения кривой и, следовательно, для определения её класса, представим себе, что данная кривая пересечена прямой . Условие того. что две точки её пересечения с кривой совпадают между собой, записанное в форме равенства, связывающего u и v, и будет искомым тангенциальным уравнением кривой.

Так, например, желая найти тангенциальное уравнение окружности x 2 +y 2 =1, пересечём её прямой . Исключая у из уравнения этой прямой и окружности, получим (u 2 +v 2 ) x 2 +2ux+(1-v 2 )=0. Условием касания прямой и окружности будет совпадение корней этого квадратного уравнения, что приводит к равенству v 2 (1-u 2 -v 2 )=0. Подобным же образом получим равенство u 2 (1-u 2 -v 2 )=0. Очевидно, полученные равенства будут удовлетворяться, если 1-u 2 -v 2 =0. Это и есть тангенциальное уравнение заданной окружности.

Если, наоборот, необходимо перейти от тангенциального уравнения f (u, v)=0 кривой к её обычному уравнению, то следует присоединить к этому уравнению уравнение пучка всех касательных к кривой, проходящих через точку М (х, у). Условие того, что эта точка будет точкой касания, выразится равенством, определяющим условие совпадения двух касательных в одну (так как в тангенциальных координатах каждая точка кривой определяется как точка пересечения двух бесконечно близких касательных). Это равенство и будет искомым уравнением кривой в исходной системе.

Так, например, если дана в тангенциальных координатах кривая u+v+uv=0, то, желая иметь её обычное уравнение, рассмотрим пучок прямых , проходящих через произвольную точку М (х, у). Найдём те прямые этого пучка, которые касаются кривой. Исключая u из заданного уравнения кривой и уравнения пучка, получим: v 2 y+v (1+y-x)+1=0. Для того, чтобы две прямые, определяемые двумя значениями v в этом равенстве, совпали в одну, необходимо, чтобы эти значения v были равны между собой, а последнее произойдёт, если будет справедливым равенство (1+y-x) 2 -4y=0, которое и представляет собой обычное уравнение заданной кривой.

Порядок и класс линии, вообще говоря не совпадают, за исключением кривых второго порядка, которые одновременно являются кривыми второго класса. В общем случае при определении класса кривой приходится принимать во внимание не только её порядок, но и ряд её характерных особенностей – наличие у неё двойных точек, точек перегиба, двойных касательных и т.д. Именно, если n – порядок кривой, k – класс кривой, d – число двойных точек (узловых и изолированных), r – число точек возврата, t – число двойных касательных (т.е. прямых, касающихся кривой в двух точках), w – число точек перегиба кривой, то между всеми этими величинами существуют следующие соотношения:

k=n (n – 1) – 2d – 3r, n=k (k – 1) – 2t – 3w,

w=3n (n – 2) – 6d – 8r, r=3k (k – 2) – 6t – 8w.

Эти равенства называются формулами Плюккера и были приведены им впервые в его «Системе аналитической геометрии на плоскости» в 1834 году.

💡 Видео

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Пример определения кривой второго порядкаСкачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Видеоурок "Гипербола"Скачать

Приводим уравнение кривой 2 порядка к каноническому видуСкачать

Лекция 31.3. Кривые второго порядка. Парабола.Скачать

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать