Тест системы нелинейных уравнений с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными (x и y) имеет вид (f(x,y)= varphi(x,y)) , где ( f и varphi) – выражения с переменными (x и y) .

Если в уравнении (x(x-y)=4) подставить вместо переменной х ее значение –1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: (1cdot(-1-3)=4) . Пара (–1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения (x(x-y)=4) .

То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.

Нелинейные уравнения с двумя переменными решаются так же, как и линейные уравнения с двумя переменными, – с помощью графика. При этом желательно переменную у выразить через х и построить график полученной функции. Все соответствующие координаты точек графика будут являться парами ответов данного уравнения.

Система вида (left< begin f_1 (x,y) = C_1 \ f_2 (x,y) = C_2 \ end right.) , называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными, если хотя бы одно из уравнений нелинейное. Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.

Утверждения о равносильности систем уравнений:

• если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;
• если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например x, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную x на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

Рассмотрим некоторые методы решения нелинейных систем уравнений.

Метод разложения на множители

Пример 1. Решить систему: (left< begin x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0, \ 2x^2-y^2+xy+3y-5=0. \ end right.)

Заметим, что множитель (x+y+1ne0) , так как в этом случае правая часть второго уравнения системы также обратилась бы в нуль. Следовательно, система равносильна системе (left< begin x-2y+1=0 \ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \ end right. Rightarrow left< begin x=2y-1 \ (2x-y+1)(x+y+1)=6 \ end right. )

Решим второе уравнение:

((2(2y-1)-y +1)(2y-1+y+1) =6 \( 4y — 2 -y + 1)cdot 3y = 6 \(3y-1)cdot 3y = 6 \9y ^2-3y -2 = 0 \y_1= 1; y_2 = -frac23)

Выразив x из первого уравнения и подставив во второе, получили уравнения для нахождения у. В первое уравнение системы вместо у подставляем найденное значение и находим значения x: (x_1=1; x_2=-frac73) .

Ответ: ((1; 1); (- frac73; — frac23 )) .

Метод исключения одной из неизвестных

Метод исключения неизвестных позволяет последовательно сводить решение данной системы к решению системы (или совокупности систем), содержащей на одну переменную меньше.

Пример 2. Решить систему: (left< begin 3x^2y^2+x^2-3xy=7, \ 10x^2y^2+3x^2-20xy=3. \ end right. )

Решение: Левые части уравнений системы содержат одни и те же комбинации неизвестных. Умножим уравнения на подходящие множители с тем, чтобы исключить из системы одно из неизвестных. Из системы исключим х 2 . Для этого умножим первое уравнение на –3 и сложим со вторым уравнением.

В результате получаем уравнение ((xy)^2-11xy+18=0) .

Решим данное уравнение путем замены.

Пусть (xy = t) , тогда ( t^2 — 11t + 18= 0) , откуда (t_1 = 2; t_2 = 9) .

Таким образом, исходная система распадается на системы:

В первом случае находим (x^2=1) . Если (x = 1, то y = 2 , а если x = -1, то y = -2) .

Во втором случае получаем (x^2=-209) , т. е. не имеет действительных решений.

Метод подстановки

Пример 3. Решить систему: (left< begin x + y = 3, \ x^3 + x^2 y = 12. \ end right.)

Решение: (left< begin x + y = 3 \ x^3 + x^2 y = 12 \ end right. Rightarrow left< begin x + y = 3 \ x^2 left( right) = 12 \ end right. Rightarrow left< begin x + y = 3 \ x^2 cdot 3 = 12 \ end right. Rightarrow left< begin x + y = 3 \ x^2 =4 \ end right. )

(left< begin x + y = 3 \ x_1=2; x_2=-2 \ end right. Rightarrow y=3-x Rightarrow y_1=3-2=1, y_2=3-(-2)=5)

Метод введения новых переменных

Пример 4. Решить систему: (left< begin x + y +frac=frac12, \ frac=-frac12. \ end right.)

Решение: Введем новые неизвестные (u =x+y, v = frac) и получим симметричную систему уравнений: (left< begin u+v=frac12 \ uv=-frac12 \ end right.) . Решения этой системы: (u_1=1, v_1=-frac12; u_2=-frac12, v_2=1) . Получаем системы уравнений: (left< begin x+y=1 \ frac=-frac12 \ end right. и left< begin x+y=-frac12 \ frac=1 \ end right. ) , которые являются линейными. Решение первой системы – ((-1;2)) , второй – ((- frac 1 ; — frac 1)) .

Видео:Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Тест 3 по теме: «Системы уравнений с двумя переменными»
тест (алгебра, 9 класс) по теме

Уже совсем скоро закончится учебный год для учащихся 9-х классов. Самое время подумать о тематической подготовке к экзамену по математике, который будет проводиться в форме частичного тестирования. Предлагаемая тестовая работа направлена на более углубленное повторение материала по теме «Системы уравнений с двумя переменными». Однако её можно использовать как обучающую, так и контролирующую работу при изучении данного материала. Особенность данной работы в том, что она содержит не только разноуровневые задания, но и задания, где необходимо полностью представить ход выполнения задания.

Видео:Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

Скачать:

Видео:После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

Предварительный просмотр:

Тест по теме: «Системы уравнений с двумя переменными»

А1. Какая пара является решением системы уравнений

х 2 + у 2 – 2 = 27,

1) (- 5; — 2); 2) (- 5; — 8); 3) (- 3; 6); 4) (-4; — 4).

А2. Решите систему уравнений

1) (5; 2); 2) (5; 8); 3) (3; 6); 4) (2; 1), (1; 2).

А3. Определите с помощью графиков число решений системы уравнений

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) ни одного.

А4. Сколько решений имеет система уравнений

1) 1; 2) 3; 3) 2; 4) 4.

А5. Найдите координаты всех точек пересечения параболы у = х 2 – 4х + 1 и прямой у = х – 3, не выполняя построения графиков.

1) ( 5; 2); 2) (1; -2), ( 4; 1); 3) (3; 6); 4) (2; 1), (1; 2).

А6. Разность двух положительных чисел равна 4, а их произведение равно 12. Найдите их сумму.

1) 8; 2) 2; 3) 6; 4) 4.

В1. Длина диагонали прямоугольника равна 5, а его площадь 12. Найдите стороны прямоугольника.

В2. Площадь прямоугольника, одна из сторон которого на 2 см больше другой, равна 35 см². Найдите периметр прямоугольника.

В3. Периметр прямоугольника равен 28 см, а его площадь равна 40 см². Найдите стороны прямоугольника.

В4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если один из них на 7 см больше другого.

В5. Произведение двух чисел равно на 29 больше их суммы. Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 19. Найдите эти числа.

В6. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 17см, а его гипотенуза – 13см. Найдите катеты треугольника.

В7. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18км, вышли одновременно навстречу друг другу две группы туристов и встретились через 2 часа. Определите, с какой скоростью шла каждая группа, если известно, что на прохождение всего пути одной из них потребовалось на 54 мин больше, чем другой.

В8. Два тракториста, работая совместно, могут вспахать поле за 2часа40мин. Сколько времени потребуется каждому трактористу в отдельности для выполнения этой работы, если известно, что первый из них может выполнить ее на 4 часа быстрее второго?

С1. При каких значениях k парабола у= -х²-3 и прямая у= kх имеют только одну общую точку?

С2. При каких значениях a и b прямая y= ax+b проходит через точки А(-1;5) и В(5;-3)?

С3. Положив в банк некоторую сумму денег, вкладчик мог получить через год на 670р. больше. Но он оставил эту деньги в банке и через год, сняв со своего счета всю сумму, получил 8107р. Известно, что больше 100% годовых банк не начисляет. Какую сумму положил вкладчик первоначально и сколько процентов годовых начислял банк?

С4. При каких значениях m система уравнений имеет только одно решение?

Тест по теме: «Системы уравнений с двумя переменными»

А1. Какая пара является решением системы уравнений

1) (3; — 2); 2) (- 3; 2); 3) (- 3; 6); 4) (-4; — 4).

А2. Решите систему уравнений

1) (5; 2); 2) (5; 8); 3) (3; — 1); 4) (2; 1), (1; 2).

А3. Определите с помощью графиков число решений системы уравнений

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) ни одного.

А4. Сколько решений имеет система уравнений

1) 1; 2) 3; 3) 2; 4) 4.

А5. Найдите координаты всех точек пересечения параболы у = -х 2 – 2х + 1 и прямой у =- х – 1, не выполняя построения графиков.

1) (5; 2); 2) (- 2; 1), (1; -2); 3) (3; 6); 4) (2; 1), (1; 2).

А6. Разность двух положительных чисел равна 3, а их произведение равно 4. Найдите их сумму.

1) 5; 2) 2; 3) 3; 4) 6.

В1. Длина диагонали прямоугольника равна 13, а его площадь равна 60. Найдите стороны прямоугольника.

В2. Площадь прямоугольника, одна из сторон которого на 4 см больше другой, равна 32 см². Найдите периметр прямоугольника.

В3. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см². найдите стороны прямоугольника.

В4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Найдите его катеты, если один из них на 4 см больше другого.

В5. Произведение двух чисел на 13 больше их суммы. Если из первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 9. Найдите эти числа.

В6. Периметр прямоугольного треугольника равен 24см, а его гипотенуза – 10см. Найдите катеты треугольника.

В7. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 360км, выехали одновременно два автомобиля. Через 3 часа оказалось, что первый из них прошел расстояние на 30км больше, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если известно, что на весь путь первый автомобиль затратил на полчаса меньше, чем второй.

В8. Одна машинистка может напечатать рукопись на 3часа быстрее другой. При совместной работе им потребовалось бы затратить на перепечатку рукописи 6ч 40мин. Сколько времени потребуется каждой машинистке, чтобы перепечатать рукопись?

С1. При каких значениях k парабола у= -х²-2 и прямая у= kх имеют только одну общую точку?

С2. При каких значениях a и b прямая y= ax+b проходит через точки А(1;5) и В(-5;-3)?

С3. Положив в банк некоторую сумму денег, вкладчик мог получить через год на 590р. больше. Но он оставил эту деньги в банке и через год, сняв со своего счета всю сумму, получил 7139р. Известно, что больше 100% годовых банк не начисляет. Какую сумму положил вкладчик первоначально и сколько процентов годовых начислял банк?

С4. При каких значениях m система уравнений имеет только одно решение?

💥 Видео

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.Скачать

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Алгебра. 9 класс. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными /23.09.2020/Скачать

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ нелинейных 9 класс алгебраСкачать

Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. Способ алгебраического сложения. Алгебра 9 классСкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Алгебра. 9 класс. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными /28.09.2020/Скачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Нелинейные уравнения. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Системы уравнений с двумя переменными. Алгебра 9 классСкачать

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. Способ подстановки. Алгебра 9 классСкачать

Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать