Теория подобия и его уравнение (7 видео)

Теория подобия и критериальные уравнения

Конвективный теплообмен описывается системой дифференциальных уравнений и условиями однозначности с большим количеством переменных. Попытки аналитического решения полной системы уравнений наталкиваются на серьезные трудности. Поэтому большое значение приобретает экспериментальный путь исследования. Однако при изучении столь сложного процесса, как конвективный теплообмен, не всегда легко проводить и опытное исследование.

Для исследования влияния на процесс какой-либо одной величины остальные нужно сохранять неизменными, что не всегда возможно или затруднительно из-за большого количества переменных. Кроме того, нужно быть уверенным, что результаты, получаемые с помощью какой-либо конкретной установки (модели), можно перенести и на другие аналогичные процессы (образец). Эти трудности помогает разрешить теория подобия. С помощью теории подобия размерные физические величины можно объединить в безразмерные комплексы, причем так, что число комплексов будет меньше числа величин. Полученные безразмерные комплексы можно рассматривать как новые переменные.

При введении в уравнения безразмерных комплексов число величин под знаком искомой функции формально сокращается, что упрощает исследование физических процессов.

Теория подобия устанавливает также условия, при которых результаты лабораторных исследований можно распространить на другие явления, подобные рассматриваемому. Ввиду этого теория подобия является теоретической базой эксперимента, но не только. Теория подобия является важным подспорьем теоретических исследований. Хотя методами теории подобия вид искомой функции не может быть определен, эта теория облегчает в ряде случаев анализ процесса и описание полученных результатов.

Для практического использования выводов теории подобия необходимо уметь приводить к безразмерному виду математические описания изучаемых процессов.

Имеется несколько методов, и один из них — метод масштабных преобразований.

независимые переменные: х, у.

зависимые переменные:

постоянные величины: и др. Для определенной задачи они являются постоянными.

Таким образом, искомые зависимые переменные зависят от большого числа величин: они являются функцией независимых переменных и постоянных величин.

В качестве масштабов удобно принять постоянные величины .

; ; ; ; , тогда

; ; ; ; .

Помимо безразмерных величин и безразмерных координат X, Y, составленных из однородных физических величин, в уравнения входят также безразмерные комплексы, состоящие из разнородных физических величин.

Безразмерные соотношения параметров характеризующих процесс, имеющие у подобных явлений в сходственных точках численно одинаковые значения называются числами подобия.

1). У подобных явлений числа подобия численно одинаковы.

2). Интеграл дифференциальной функции (или системы уравнений) может быть представлен как функция чисел дифференциального уравнения.

3). Подобны те явления, условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из условия однозначности, численно одинаковы.

Условия однозначности: Явление, протекающее в геометрически подобных системах; для рассматривания явления можно составить дифференциальные уравнения; установлены существование и единственность решения уравнений при заданных граничных условиях; известны числовые значения коэффициентов и физических параметров.

Видео:Методы исследования технологических процессов. Теория подобия. Виды подобияСкачать

Реферат: Основы теории подобия (метод обобщенных переменных)

Основы теории подобия (метод обобщенных переменных)

Методы исследования технологических процессов

Теория подобия. Виды подобия

Основные положения теории подобия (теоремы подобия)

Методы исследования технологических процессов

Исследования процессов, протекающих в технологических установках, установление закономерностей их протекания, нахождение зависимостей, необходимых для их анализа и расчета, можно проводить разными методами: теоретическим, экспериментальным, подобия.

Теоретический метод основан на составлении и решении системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс. Дифференциальные уравнения описывают целый класс однородных по своей сущности явлений (процессов), поэтому для выделения конкретного явления необходимо ввести определенные ограничения, которые однозначно будут характеризовать данное явление. Эти дополнительные условия называются условиями однозначности. Условия однозначности включают в себя: геометрическую форму и размеры системы, т.е. аппарата, канала и т.д.; физические свойства веществ, участвующих в процессе; начальные условия (начальную температуру, начальную скорость и т.д.); граничные условия, например скорость жидкости у стенок канала, равную нулю.

Однако многие процессы химической технологии так сложны, что удается лишь составить систему дифференциальных уравнений и установить условия однозначности. Решить эти уравнения известными в математике методами не представляется возможным.

Экспериментальный метод позволяет на основе опытных данных получить эмпирические уравнения, описывающие данный процесс. Сложности экспериментального метода заключаются в необходимости проведения большого количества опытов на реальных технологических установках. Это связано с большими затратами средств и времени. Вместе с тем результаты проведенных экспериментов будут справедливы только для тех условий, для которых они получены, и не могут быть с достаточной надежностью перенесены на процессы, аналогичные изученным, но протекающие в других аппаратах.

Метод теории подобия позволяет с достаточной для практики точностью изучать сложные процессы на более простых моделях, обобщать результаты опытов и получать закономерности, справедливые не только для данного процесса, но и для всей группы подобных процессов. При моделировании процессов можно вместо дорогостоящих трудоемких опытов на промышленных установках проводить исследования на моделях значительно меньших размеров, а вместо зачастую опасных и вредных веществ использовать безопасные модельные вещества, опыты проводить в условиях, отличных от производственных. Кроме того, материальную модель можно заменить физической схемой (моделью), отражающей существенные особенности данного процесса. Поэтому в данном учебном пособии наиболее подробно будет рассмотрена теория подобия.

Теория подобия. Виды подобия

Метод обобщенных переменных составляет основу теории подобия. Одним из основных принципов теории подобия является выделение из класса явлений (процессов), описываемых общим законом (процессы движения жидкостей, диффузии, теплопроводности и т.п.), группы подобных явлений.

Подобными называются такие явления, для которых отношения сходственных и характеризующих их величин постоянны.

Различают следующие виды подобия: геометрическое; временное; физических величин; начальных и граничных условий.

Геометрическое подобие соблюдается при равенстве отношений всех сходственных линейных размеров натуры и модели. Например, при изучении движения жидкости в канале длиной L , диаметром D . В модели сходственные размеры равныl и d . Тогда

Безразмерная величина k (а в Дытнерском), называется константой геометрического подобия , или масштабным (переходным) множителем . Константы подобия характеризуют отношение однородных сходственных величин в подобных системах и позволяют перейти от размеров одной системы (модели) к другой (натуре).

Временное подобие предполагает, что сходственные частицы в геометрически подобных системах, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути за промежутки времени, отношение которых является константой подобия k_х , т.е.

(1)

На рис.1. изображен канал (натура) с размерами L и D и модель с размерами l и d . Некая частица в точке А (натура) находится в момент времени τ_А , в точке В — в момент времени τ_в . В геометрически подобной модели сходственная частица находится в подобной точке а в момент времени τ_а , в точке b— в момент времени τ _b .

Рис. 1. Условия подобия в натуре (a) и в модели (б)

теория подобие переменная обобщенный

При соблюдении геометрического и временного подобия константа подобия скоростей k_υ определяется из соотношений

(2)

Подобие физических величин предполагает, что для двух любых сходственных точек натуры и модели, размещенных подобно в пространстве и во времени, соотношение физических величин (μ,ρи т.д.) является величиной постоянной:

(3)

Подобие начальных и граничных условий заключается в том, что для начальных и граничных условий должно соблюдаться геометрическое, временное и физическое подобие так же, как и для других сходственных точек натуры и модели.

Рассмотренные константы подобия постоянны для различных сходственных точек подобных систем, но могут изменяться в зависимости от соотношения размеров натуры и модели, т. е. если имеется другая модель, подобная натуре, константы подобия будут другими.

Если подобные величины выразить в относительных единицах, т.е. в виде отношений сходственных величин в пределах одной системы (натуры или модели), то получим инварианты подобия:

(4)

Инварианты подобия не зависят от соотношения размеров натуры и модели, т.е. для всех моделей, подобных натуре, они будут одни и те же. Инварианты подобия, представляющие собой отношение однородных величин, называются симплексами, или параметрическими критериями , например отношение L / D — геометрический симплекс.

Инварианты подобия, выраженные отношением разнородных величин, называются критериями подобия. Критерии подобия обозначаются начальными буквами имен ученых, которые внесли большой вклад в развитие данной области знаний.

Критерии подобия безразмерны, их значения для разных точек системы могут быть различными, но для сходственных точек подобных систем они одинаковые и не зависят от относительных размеров натуры и модели.

Критерии подобия имеют физический смысл, являясь мерами соотношения между какими-то двумя эффектами, силами и т.п., оказывающими влияние на протекание данного процесса.

Критерии подобия могут быть получены для любого процесса, если известны уравнения, описывающие этот процесс.

Основные положения теории подобия (теоремы подобия)

Основные положения теории подобия заключены в теоремах подобия, которые лежат в основе практического применения теории подобия.

Первая теорема подобия( теорема Ньютон-Бертрана): подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия .

Теорема была сформулирована Ньютоном. Она устанавливает, что единственным количественным условием подобия процессов является равенство критериев подобия натуры и модели.

Отсюда очевидно, что отношение критериев одной системы (натуры) к критериям другой подобной ей системы (модели) всегда равно 1. Например,

Если отношение констант подобия равно 1, оно носит название индикатора подобия и указывает на равенство критериев подобия.

Следовательно, у подобных явлений индикаторы подобия равны 1.

Первая теорема подобия указывает, какие величины следует измерять при проведении опытов, результаты которых требуется обобщить: надо измерять те величины, которые входят в критерии подобия.

Вторая теорема подобия (теорема Бэкингем-Федермана): решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между критериями К подобия. Такие уравнения называются уравнениями обобщенных переменных , или критериальными уравнениями , например

Обычно критериальное уравнение записывается в виде зависимости определяемого критерия подобия от определяющих критериев подобия:

где А, т, п — эмпирические показатели.

Определяемым критерием является тот критерий, в который входит определяемая величина. Критерии, в которые входят величины, определяющие ход процесса (v ,μ,ρ, d _э и т.д.), называются определяющими .

Если какой-либо эффект в исследуемом процессе мало влияет на его протекание, то критерии подобия, характеризующие интенсивность данного эффекта, могут не учитываться. В этом случае процесс по отношению к этому эффекту и к критерию подобия становится автомодельным , т.е. независимым. В соответствии с этой теоремой результаты эксперимента, проведенного на модели, можно представлять в виде критериальных уравнений.

Третья теорема подобия (теорема Киринчен-Гухмана): явления подобны, если их определяющие критерии равны.

Следствием равенства определяющих критериев подобия является равенство и определяемых критериев для натуры и модели, поэтому полученная на модели в результате опытов критериальная зависимость будет справедлива для всех подобных процессов, в том числе и для протекающих в промышленной установке. При этом следует учитывать, что полученные уравнения надежно можно использовать только в тех интервалах изменения переменных, которые были использованы при проведении опытов.

Таким образом, для исследования технологических процессов методом подобия необходимо:

1. выбрать дифференциальное уравнение и условия однозначности, описывающие данный процесс; затем путем преобразования найти критерии подобия;

2. опытным путем с помощью моделей установить зависимость между критериями подобия; полученное обобщенное уравнение будет справедливым для всех подобных процессов в пределах изменения определяющих критериев подобия.

Преобразование дифференциальных уравнений методом теории подобия проводится в следующем порядке:

1. каждый из членов дифференциального уравнения умножается на соответствующие константы подобия к_τ , к_v , к_l ит.д.;

2. полученные коэффициенты перед членами уравнения для соблюдения тождественности приравниваются;

3. в полученных индикаторах подобия константы подобия заменяются соответствующими отношениями величин, и полученные комплексы являются критериями подобия.

В табл. 1 приведены основные критерии гидродинамического подобия, которые будут равны для сходственных точек натуры и модели, если они подобны.

Таблица 1 — Основные критерии гидродинамического подобия

Название: Основы теории подобия (метод обобщенных переменных)
Раздел: Рефераты по экономико-математическому моделированию
Тип: реферат Добавлен 03:53:33 03 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 9858 Комментариев: 23 Оценило: 7 человек Средний балл: 4.1 Оценка: 4 Скачать

l — определяющий размер, м;

μ — динамическая вязкость, Па-с;

ν — кинематическая вязкость, м 2 /с;

g — ускорение свободного падения, м/с 2 ;

Критерий	Выражение критерия	Характеристика критериев	Единицы измерения входящих в критерии подобия величин
Кинематический (критерий Рейнольдса)	Rе=υl/ν= υlρ/μ	Характеризует меру соотношения сил инерции и сил трения
Гравитационный (критерий Фруда)	Fr =υ 2 /gl	Характеризует меру соотношения сил инерции и сил тяжести
Гидравлического сопротивления (критерий Эйлера)	Еu =∆p/ρ υ 2	Характеризует меру соотношения сил гидростатического давления и сил инерции
Гомохронности	Но =υ τ/l	Характеризует неустановившееся движение жидкости

Таким образом, дифференциальное уравнение Навье — Стокса, описывающее движение вязкой жидкости, может быть представлено в виде критериального уравнения:

f (Rе, Но, Fr, Еu) = 0 (8)

Уравнение (8) является обобщенным критериальным уравнением гидродинамики. Все критерии уравнения (8), кроме критерия Ей, являются определяющими, так как они составлены из величин, входящих в условия однозначности. Критерий Эйлера, в который входит величина ∆р, являющаяся целью расчета, будет определяемым критерием.

Еu = f (Rе, Но, Fr) или

Еu = AНо с Rе т Fr п , (9)

где А,c,т,п- эмпирические показатели.

В ряде случаев уравнение (19) дополняют геометрическим симплексом l / d :

Еu = AНо с Rе т Fr п (l / d ) b , (10)

где b- эмпирический показатель.

При установившемся движении критерий Но исключается из критериального уравнения:

Еu = ARе т Fr п (l / d ) b . (11)

В случае, если скорость движения жидкости не определена, в расчеты вводят производные или модифицированные критерии подобия, составленные из основных критериев. В этих критериях подобия неизвестная величина υ заменяется другими величинами, которые сравнительно легко определяются экспериментально или аналитически.

Возьмем отношение критериев Rе и Fr:

(12)

Полученный безразмерный комплекс величин называется критерием Галилея. Если умножить этот критерий на отношение ( ρ ₁ — ρ ₂ )/ ρ ₂ , то получается новый критерий подобия — критерий Архимеда

(13)

где ρ ₁ , ρ ₂ — плотности жидкости в разных точках, кг/м 3 .

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Основы теории подобия.

При изучении различных физических явлений применяют два метода исследований: экспериментальныйи теоретический(или метод математической физики). Достоинством экспериментального метода исследования является достоверность получаемых результатов. Основной недостаток экспериментального метода исследования заключается в том, что результаты данного эксперимента не могут бить использованы применительно к другому явлению, которое в деталях отличается от изученного. Следовательно, при экспериментальном методе каждый конкретный случай должен служить самостоятельным объектом изучения. Последнее обстоятельство является органическим недостатком экспериментального метода исследований.

Второй метод исследования для нахождения количественных зависимостей широко применяется современной наукой и рассматривается в математической или теоретической физике. Суть этого метода состоит в том, что изучаемое физическое явление описывается дифференциальным уравнением (или системой уравнений), т.е. составляется математическая модель этого явлений. Так как при этих уравнений используются самые общие законы природы, то дифференциальное уравнение (или система уравнений) является математической моделью целого класса явлений. Под классом понимается такая совокупность явлений, которая характеризуется одинаковым механизмом процессов и одинаковой физической природой. Для того, чтобы однозначно описать единичное явление, входящее в класс явлений, необходимо к дифференциальному уравнению (или системе уравнений) добавить условия однозначности. В большинстве случаев и, в частности, при описании конвективного теплообмена из-за сложности изучаемых явлений найти решение, удовлетворяющее системе дифференциальных уравнений и условиям однозначности, невозможно. Следовательно, если недостатком экспериментального метода исследования является невозможность распространения результатов, полученных в данном опыте , на другие явления, отличающиеся от изученного, то недостатком математической физики является невозможность перейти от класса явлений, характеризуемых дифференциальными уравнениями и условиями однозначности, к конкретному единичному явлению. Каждый из этих методов в отдельности не может быть эффективно использован для решения практических задач.

Если положительные стороны математического и экспериментального методов исследования объединить в целое, то получим универсальный аппарат изучения различиях явлений природа. Такое объединение обоих методов осуществляется теорией подобия.

Теория подобия — это учение о подобии явлений. Впервые с понятием подобия мы встречаемся в геометрии, откуда этот термин и заимствован. Как известно, геометрически подобные фигуры, например треугольники, обладают свойством, что их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны, т.е.

(117)

l₁″, l₂″, l₃″— сходственнее линейные размеры другой фигуры;

C_l — константа геометрического подобия.

Условие (116) является математической формулировкой геометрического подобия.

Понятие подобия может быть распространено на любые физические явления. Можно говорить, например, о подобии движения двух потоков жидкости-кинематическом подобии; о подобии сил, вызывающих подобные между собой движения, динамическом подобии; о подобии распределения температур и тепловых потоков — тепловом подобии и т.п.

Для сложных физических явлений должны выполняться следующие условия подобия:

1) Понятие подобия в отношении физических явлений применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и описываются одинаковыми уравнениями, как по форме, так и по содержанию.

Если же математическое описание двух каких-либо явлений одинаково по форме, но различно по физическому содержанию, то такие явления называются аналогичными. Такая аналогия существует, например, между процессами теплопроводности, электропроводности и диффузии.

2) Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть геометрическое подобие, т.е. подобные явления всегда протекают в геометрически подобных системах.

3) При анализе подобных явлений сопоставлять между собой можно только однородные величины и лишь в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени.

Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физический смысл и одинаковую размерность.

Сходственными точками геометрически подобных систем называются такие точки, координаты которых удовлетворяют условию (116):

, ,

Два промежутка времени τ’ и τ″ называются сходственными, если они имеют начало отсчета, и связаны преобразованием подобия, т.е. τ″=С_τ*τ’

4) Подобие двух физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих рассматриваемых явлений.

Это означает, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина φ’ первого явления пропорциональна однородной с ней величине φ» второго явления, т.е.

где С_φ— константа подобия (или множитель подобного преобразования).

При этом физическая величина имеет свою константу подобия, например:

, , , ,

Приведенные константы подобия называют: линейная, плотностная, температурная, скоростная, временная.

Константы подобия для различных величин в подобных явлениях нельзя назначать или избирать произвольно. Между ними имеются строго определенные соотношения, которые выводятся из анализа математического описания процессов. Эти соотношения имеют центральное значение в теории подобия, так как они устанавливают существование особых величин, называемых числами или критериями подобия, которые для всех подобных между собой явлений сохраняют одно и то же числовое значение. Покажем это на примере. Для примера воспользуемся дифференциальным уравнением теплоотдачи. Это уравнение для сходственных точек двух подобных систем запишется так:

для первой системы (а)

для второй системы (б)

Обозначим константы подобия:

, , , (в)

где l— характерный (определяющий) размер системы. Из уравнений (в) получаем:

, , , , ,

Подставив эти выражения в уравнение (б), получим

Сократив на С_t и разделив левую и правую часть на С_α, получим

(г)

Сравнивая (а) и (г), получим, что

(д)

Из уравнения (д) следует, что выбор комплекса констант подобия ограничен условием: любая их комбинация должна быть равна единице. Величину С называют индикатором подобия.

Заменив значения констант подобия в уравнении (д) из уравнений (в), получаем:

Умножив левую и правую часть последнего уравнения на α″*l″/λ″, получим

или в общем случае (е)

Такие комплексы величин называются числами подобия.

Числа подобия являются безразмерными комплексами, составленными из разнородных физических величин, характеризующих данное явление. При этом нулевая размерность является характерным свойством числа подобия и может служить проверкой правильности его составления. Числа подобия принято называть именами ученых, работающих в соответствующей области науки, и обозначать двумя начальными буквами их фамилий. Получают числа подобия из аналитических зависимостей, описывающих данный процесс. Таким образом, математические описания процесса, хотя бы в виде неинтегрируемых дифференциальных уравнений общего вида, является необходимой предпосылкой использования теории подобия. Это положение лежит в основе практического применения теории подобия.

Записанное уравнением (е) число называют числом Нуссельта и обозначают N_U. Равенство (е) можно представить в виде:

Для характеристики подобия явлений можно применять константы подобия и числа подобия. Но при этом нужно помнить, что константе подобия сохраняют числовое значение только для двух подобных явлений, оставаясь одинаковыми для всех сходственных точек рассматриваемых систем. Числа подобия сохраняют свое числовое значение в сходственных точках всех подобных между собой систем, но в различных точках одной и той же системы они могут иметь разные числовые значения.

Основные положения теории подобия обычно формулируются в виде теорем подобия.

Первая теорема подобия.

В подобных явлениях одноименные числа подобия в сходственных точках и в сходственные моменты временя имеют одинаковые числовые значения.

Вторая теорема подобия.

Зависимость между переменными величинами, характеризующими какое-либо явление, может быть представлена в виде зависимости между числами подобия.

Эта зависимость между числами подобия называется уравнением подобия (или критериальным уравнением).

Вторую теорему подобия можно сформулировать так:

если физическое явление описывается дифференциальным уравнением (или системой уравнений), то всегда существует возможность представить его (их) в виде уравнения подобия.

Третья теорема подобия отвечает на вопрос, какие условия достаточны, чтобы явления были подобны.

Подобны те явления условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из условий однозначности в сходственных точках и сходственные моменты времени численно одинаковы.