Теория флоке для решений систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Как мы видели выше, рассмотрение системы с постоянными коэффициентами как частного случая системы периодической дало весьма любопытные результаты. Однако оказывается, что, но большому счету, системы с постоянными коэффициентами совсем не частный случай для периодических систем, а самый что ни на есть общий. Это удивительный результат принадлежит Флоке [1] и носит его имя.

Теорема 28.3 (Теорема Флоке) Любая система с периодическими коэффициентами эквивалентна некоторой системе с постоянными коэффициентами. Более точно для любой и>-периодической матрицы A(t) существует такая и)-периодическая, матрица P(t) и постоянная, вообще говоря, комплексная матрица В, что U(t) = P(t)e Bt . Возможно также найти постоянную вещественную матрицу С и 2ш-периодическую вещественную матричную функцию Q(t), что U(t) = Q(?)e Ct .

Утверждение теоремы по существу означает, что замена х — P<t)y (или х = Q(t)y) превращает систему (28.1) в систему ij = By (или соответственно у = Су).

Доказательство базируется на следующих двух теоремах из алгебры матриц.

Теорема 28.4 (Теорема о существовании комплексного логарифма) Пусть G произвольная невырожденная комплексная матрица. Тогда существует логарифм этой матрицы, т.е. такая комплексная матрица L, что e L — G.

Теорема 28.5 (Теорема о существовании вещественного логарифма) Пусть матрица G вещественна, невырождена и все ее отрицательные собственные значения, имеют двойную кратность (с учетом цепочек собственных и присоединенных векторов все в „двой- ном“ количестве). Тогда существует вещественный логарифм матрицы G, т.е. такая вещественная матрица L, что e L = G.

Доказательство первой из этих теорем мы приведем чуть позже, вторую же мы даем без доказательства, чтобы не углубляться в сугубо алгебраические вопросы (тем, кто интересуется деталями, рекомендуем посмотреть |30|). Отметим только, что невырожденность матрицы является необходимым условием существования логарифма, ибо dete L — L -ф 0 для любой матрицы L. Необходимость дополнительного условия на отрицательный спектр матрицы G для существования вещественного логарифма следует, например, из теоремы об отображении спектров. Если // = —а 2 является собственным значением матрицы е , то матрица А имеет собственное значение вида А = In |а| + п(2к + l)i. Поскольку матрица А вещественна, все ее комплексные собственные значения ходят „парами», и каждому из них соответствует комплексно сопряженное, с точностью до цепочек собственных и присоединенных векторов. Но при взятии экспоненты оба комплексно сопряженных числа 1п|а| ± 7г(2к + 1 )г попадут на одно и то жег значение /г = —а 2 . Значит, это значение ц будет иметь наверняка четную кратность и „парные» цепочки собственных и присоединенных векторов.

Итак, мы приступаем к доказательству теоремы Флоке. В комплексном случае рассмотрим матрицу U(u>), найдем ее комплексный логарифм. пользуясь теоремой 28.4 (матрица невырождена, так как является значением фундаментальной матрицы), и разделим его на со. Полученную матрицу обозначим через В. т.е. е Вш = U(uj). Положим теперь

Тогда U(t) = P <t)e Bt .и единственное, что нам остается показать, периодичность матрицы P(t). Но

так как произведение в квадратных скобках равно единице благодаря выбору матрицы В.

Аналогичные рассуждения происходят и в вещественном случае, только логарифм ищется не от матрицы [/(се), а от матрицы U‘ 2 (uj). Поскольку собственные значения квадрата от матрицы U(се) равны квадратам от собственных значений матрицы U(се) (это все та же теорема об отображении спектров), отрицательная часть спектра матрицы С/ 2 (се) это возведенная в квадрат часть спектра матрицы ?/(се), лежащая на мнимой оси. А поскольку для вещественной матрицы спектр симметричен (с точностью до цепочек собственных и присоединенных векторов) относительно комплексного сопряжения и поскольку комплексно сопряженные мнимые собственные значения при возведении в квадрат отображаются на одно и то же отрицательное число, отрицательная часть спектра матрицы f/ 2 (ce) будет двойной и тем самым матрица U(u>) будет полностью удовлетворять условиям теоремы 28.5. Далее рассуждения дословно повторяют комплексный случай: вещественный логарифм, деленный на 2и, объявляется матрицей С. полагается Q(t) = U(t)e

ct и доказывается 2 -1 перехода от матрицы к ее жордановой форме. Теорема доказана.

Последнее замечание к этой теореме: при вычислении логарифма от жордановой клеточки мы использовали логарифм от Aл. Собственные значения невырожденной матрицы могут быть как положительными, так и отрицательными, как вещественными, так и комплексными.

и поэтому необходимо четко понимать, что логарифм здесь берется не н вещественном, а в комплексном смысле. А в иоле комплексных чисел логарифм определяется не однозначно, а с точностью до добавки 2nki. где к € 7L. В поле комплексных чисел логарифм является многозначной функцией, и поэтому для определенности выделяют так называемое главное значение логарифма то, у которого мнимая часть лежит в промежутке (—тг,7г]. Все эти проблемы автоматически „переезжают» и в матричный логарифм, так что на самом деле логарифмов у каждой матрицы много, но поскольку мы задаемся только вопросом о существовании логарифма мы можем выбирать и строить тот логарифм, который нам представляется более удобным.

Задания для самостоятельной работы.

1. Докажите, что если a <t)^-периодична, то

не зависит от t.

2. Докажите формулы (28.9).

• 1. Как выглядит теорема об отображении спектров для произвольной аналитической 5 функции от матрицы? А для функции f(x) = 1 /хР.
• 2. Пусть /г 1 собственный, a h 2 ,h 3 . h k цепочка из присоединенных к нему векторов, отвечающих собственному значению Л матрицы А. Как выразить через них цепочку из собственного и присоединенных векторов матрицы е»*?

“Напомним, что аналитическими называют функции, представимые в виде ряда /(х) = ао + а1Ж + й2Ж 2 -|— • ? + а„х п —. . сходящегося хотя бы в некоторой окрестности нуля.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим частный случай линейной неоднородной системы, а именно случай периодической системы

Здесь а также

Рассмотрим линейную однородную систему

Теорема 4 (Теорема Флоке). Для линейной системы (31) с Г-периодической матрицей фундаментальная матрица решений, нормированная при х = 0 (матрицант), имеет вид

где Ф(х) — Т-периодическая (Ф(х + Т) = Ф(х)), невырожденная матрица, причем Ф(0) = Е, В-постоянная матрица.

Доказательство. Пусть Z(x) — нормированная при x = 0 (Z(0) = Е) фундаментальная матрица системы (31). Покажем, что матрица Z(x + Т) также является фундаментальной. Действительно, на основании тождества

Следовательно, Z(x + Т) — фундаментальная матрица системы (31). Тогда можем записать

где С — постоянная невырожденная матрица.

Полагая в тождестве (33) х = 0 и учитывая, что Z(0) = = Е, находим

Таким образом, получаем

Матрица Z(T) носит название матрицы монодромии. Очевидно, что матрица Z(T) — невырожденная.

Тогда

Напишем тождество где Ф(х) = Z(x)e

Вх . Отсюда, учитывая (33) и (35), получаем

т. е. мы получили, что матрица Ф(х) — периодическая, с периодом Т. Кроме того, Ф(0) = Е, |Ф(х)| = |?(х)||е _в *| * 0. Теорема доказана.

Замечание 7. Нетрудно получить более общие формулы для матричного решения линейной периодической си- стемы(31). nycTbZ_x(x) — произвольная фундаментальная матрица той же системы.

Очевидно, имеем Z_x(x) = Z(x)Z₁(0). Так как Z(x) — нормированная фундаментальная матрица системы (31), то по теореме 4 можем записать

Далее, умножая это равенство на единичную матрицу, представленную как Е = Z₁(0)Z[ 1 (0), получаем

Обозначим в этом равенстве ФДх) = Ф(х)Е_х(0), далее, принимая во внимание второе свойство матричных экспонент, имеем Z< 1 (0)e xB Z₁(0) = e z,1(0)xBZl(0> = е хВ> . Здесь В_х — квадратная матрица, подобная матрице В: В_х =Zf 1 (0)x xBZ_x (0). Таким образом, для произвольной фундаментальной матрицы мы получаем аналогичную (32) формулу

где ФДх) = Ф(х)Е_х(0) — неособая Т-периодическая матрица,

Определение 8. Собственные значения р, (J = 1, . п) матрицы Z(T), т. е. корни характеристического уравнения det(Z(T) — р?) = 0, называются мультипликаторами.

Определение 9. Собственные значения А., матрицы В, т. е. корни уравнения det(B — ХЕ) = 0, называются характеристическими показателями системы (31).

Отметим, что матрица В не является строго определенной, так как значение LnZ(T) многозначно.

Видео:Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Преобразование периодических систем к системам с постоянными коэффициентами на основе теории Флоке — Ляпунова Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сизых Виктор Николаевич

Рассматривается задача преобразования системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами к системе уравнений с постоянными коэффициентами. На основе теории Флоке Ляпунова разработан новый практически реализуемый метод математического моделирования электромеханических и робототехнических систем.

Видео:Системы дифференциальных уравнений. Часть 2Скачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сизых Виктор Николаевич

Видео:15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

PERIODICAL SYSTEMS PERFORMANCE TO THE CONSTANT COEFFICIENT ONES BASED ON FLOKER — LYAPUNOV THEORY

The performance of differential equations for periodical system to the system with constant coefficients problem is considered. Floker Lyapunov theory based the new practically realized method of mathematical modeling for electromechanical and robot technical systems is suggested.

Видео:Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентамиСкачать

Текст научной работы на тему «Преобразование периодических систем к системам с постоянными коэффициентами на основе теории Флоке — Ляпунова»

УДК 681.32 Сизых Виктор Николаевич,

к.т.н., доцент, зав. лабораторией кафедры «Управление техническими системами», докторант-соискатель, ИрГУПС, тел. (3952)638364, e-mail: sizykh_vn@mail.ru

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ К СИСТЕМАМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ФЛОКЕ — ЛЯПУНОВА

PERIODICAL SYSTEMS PERFORMANCE TO THE CONSTANT COEFFICIENT ONES BASED ON FLOKER — LYAPUNOV THEORY

Аннотация. Рассматривается задача преобразования системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами к системе уравнений с постоянными коэффициентами. На основе теории Флоке — Ляпунова разработан новый практически реализуемый метод математического моделирования электромеханических и робототехнических систем.

Ключевые слова: периодическая система, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, интегральное уравнение Воль-терра второго рода, мехатронные системы.

Abstract. The performance of differential equations for periodical system to the system with constant coefficients problem is considered. Floker -Lyapunov theory based the new practically realized method of mathematical modeling for electromechanical and robot technical systems is suggested.

Keywords: periodic system, differential equations with constant factor, Voliterra integral equation of second type, mechatronic objects.

Общеизвестны трудности, связанные с преобразованием дифференциальных уравнений периодических систем, описывающих работу электрических машин (ЭМ) на несимметричную нагрузку (выпрямители, инверторы, циклоконверто-ры, импульсные преобразователи и др.), к системам с постоянными коэффициентами [1, 2] и с большими вычислительными затратами ЭВМ при их исследовании [3]. Поэтому разработка системных методов приведения для исследования ме-хатронных электромашинных вентильных систем на основе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами представляет собой актуальную и не до конца решенную задачу.

Постановка задачи исследования

Рассмотрим периодическую систему вида

где X — п -мерный вектор состояния системы;

Л(г) = Л(г + Т) — квадратная матрица периодических коэффициентов размерности п х п с периодом Т;

и(г) — п -мерный вектор экстенсивных (контролируемых) внешних возмущений.

Фундаментальная матрица Ф(г), характеризующая реакцию системы (1) на ненулевые начальные условия и внешние возмущения, удовлетворяет квадратному матричному уравнению той же размерности, что и матрица Л(г) [3],

где Ф(0) = I, I — единичная матрица размера п х п.

Решение уравнения (2) представим в экспоненциальном виде

📽️ Видео

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Сергеев И. Н. - Дифференциальные уравнения - Методы решения дифференциальных уравненийСкачать

Метод Эйлера. Решение систем ДУСкачать

Системы дифференциальных уравненийСкачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

5 Численное решение дифференциальных уравнений Part 1Скачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать