Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Уравнения с одной переменной

Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Содержание:

Содержание
  1. Определение уравнения. Корни уравнения
  2. Пример 1.
  3. Пример 2.
  4. Пример 3.
  5. Равносильность уравнений
  6. Линейные уравнения
  7. Пример 1.
  8. Пример 2.
  9. Квадратные уравнения
  10. Пример 1.
  11. Пример 2.
  12. Пример 3.
  13. Рациональные уравнения
  14. Пример:
  15. Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители
  16. Пример 1.
  17. Пример 2.
  18. Решение уравнений методом введения новой переменной
  19. Пример 1.
  20. Пример 2.
  21. Биквадратные уравнения
  22. Пример:
  23. Решение задач с помощью составления уравнений
  24. Иррациональные уравнения
  25. Пример 1.
  26. Пример 2.
  27. Пример 3.
  28. Показательные уравнения
  29. Пример 1.
  30. Пример 2.
  31. Пример 3.
  32. Логарифмические уравнения
  33. Пример 1.
  34. Пример 2.
  35. Пример 3.
  36. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений
  37. Пример 1.
  38. Пример 2.
  39. Пример 3.
  40. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
  41. Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений
  42. Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.
  43. Равносильные преобразования уравнений — это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.
  44. Основные равносильные преобразования уравнений:
  45. Равносильные уравнения и уравнения следствия
  46. Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.
  47. 🎥 Видео

Определение уравнения. Корни уравнения

Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1.

Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.

Пример 2.

Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.

Пример 3.

Уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравненийне имеет действительных корней.

Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравненийимеет два мнимых корня: Теоремы о равносильности квадратных уравнений(см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.

Равносильность уравнений

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравнений— ни одно из них не имеет корней.

Уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийнеравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1.

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравненийравносильно уравнению Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Теорема 2.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравненийравносильно уравнению Теоремы о равносильности квадратных уравнений(обе части первого уравнения мы умножили на 3).

Линейные уравнения

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

где Теоремы о равносильности квадратных уравнений— действительные числа; Теоремы о равносильности квадратных уравненийназывают коэффициентом при переменной, Теоремы о равносильности квадратных уравненийсвободным членом.

Для линейного уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравнениймогут представиться три случая:

1) Теоремы о равносильности квадратных уравнений; в этом случае корень уравнения равен Теоремы о равносильности квадратных уравнений;

2) Теоремы о равносильности квадратных уравнений; в этом случае уравнение принимает вид Теоремы о равносильности квадратных уравнений, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;

3) Теоремы о равносильности квадратных уравнений; в этом случае уравнение принимает вид Теоремы о равносильности квадратных уравнений, оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Пример 1.

Решить уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Итак, Теоремы о равносильности квадратных уравнений— корень уравнения.

Пример 2.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Квадратные уравнения

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

где Теоремы о равносильности квадратных уравнений— действительные числа, причем Теоремы о равносильности квадратных уравнений, называют квадратным уравнением. Если Теоремы о равносильности квадратных уравнений, то квадратное уравнение называют приведенным, если Теоремы о равносильности квадратных уравнений, то неприведенным. Коэффициенты Теоремы о равносильности квадратных уравненийимеют следующие названия: Теоремы о равносильности квадратных уравненийпервый коэффициент, Теоремы о равносильности квадратных уравненийвторой коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийнаходят по формуле

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Выражение Теоремы о равносильности квадратных уравненийназывают дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение Теоремы о равносильности квадратных уравнений, можно переписать формулу (2) в виде Теоремы о равносильности квадратных уравненийЕсли Теоремы о равносильности квадратных уравнений, то формулу (2) можно упростить:

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Формула (3) особенно удобна, если Теоремы о равносильности квадратных уравнений— целое число, т. е. коэффициент Теоремы о равносильности квадратных уравнений— четное число.

Пример 1.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Здесь Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Имеем:

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Так как Теоремы о равносильности квадратных уравнений, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Итак, Теоремы о равносильности квадратных уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравнений— корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Здесь Теоремы о равносильности квадратных уравненийПо формуле (3) находим Теоремы о равносильности квадратных уравненийт. е. х = 3 — единственный корень уравнения.

Пример 3.

Решить уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Здесь Теоремы о равносильности квадратных уравненийТеоремы о равносильности квадратных уравненийТак как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.

Рациональные уравнения

Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.

Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример:

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Из уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийнаходим Теоремы о равносильности квадратных уравнений(см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия Теоремы о равносильности квадратных уравненийЗамечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.

Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:Теоремы о равносильности квадратных уравнений, где Теоремы о равносильности квадратных уравнений— многочлены более низкой степени, чем Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Если Теоремы о равносильности квадратных уравнений— корень уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийа потому хотя бы одно из чисел Теоремы о равносильности квадратных уравненийравно нулю.

Значит, Теоремы о равносильности квадратных уравнений— корень хотя бы одного из уравнений

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Верно и обратное: если Теоремы о равносильности квадратных уравнений— корень хотя бы одного из уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравненийто Теоремы о равносильности квадратных уравнений— корень уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийт. е. уравнения р (х) = 0.

Итак, если Теоремы о равносильности квадратных уравнений, где Теоремы о равносильности квадратных уравнений— многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравненийВсе найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.

Пример 1.

Решить уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравненийТеоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем Теоремы о равносильности квадратных уравненийоткуда Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Значит, либо х + 2 = 0, либо Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.

Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть Теоремы о равносильности квадратных уравненийно среди выражений Теоремы о равносильности квадратных уравненийесть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравнениймогут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.

Пример 2.

Решить уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Имеем Теоремы о равносильности квадратных уравнений; значит, либо Теоремы о равносильности квадратных уравнений, либо Теоремы о равносильности квадратных уравнений.Из уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийнаходим х = 0, из уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийнаходим Теоремы о равносильности квадратных уравнений.

Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Это посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Положив Теоремы о равносильности квадратных уравнений, получим уравнение

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

откуда находим Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим Теоремы о равносильности квадратных уравненийТеоремы о равносильности квадратных уравнений. Это корни заданного уравнения.

Пример 2.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Положим Теоремы о равносильности квадратных уравнений, тогда

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

и уравнение примет вид

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решив это уравнение (см. п. 145), получим

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Но Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Значит, нам остается решить совокупность уравнений

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Из первого уравнения находим Теоремы о равносильности квадратных уравнений, Теоремы о равносильности квадратных уравнений; из второго уравнения получаем Теоремы о равносильности квадратных уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравненийТем самым найдены четыре корня заданного уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называют уравнение вида

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив Теоремы о равносильности квадратных уравнений, придем к квадратному уравнению Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Пример:

Решить уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений.

Решение:

Положив Теоремы о равносильности квадратных уравнений, получим квадратное уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений, откуда находим Теоремы о равносильности квадратных уравненийТеоремы о равносильности квадратных уравнений. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравненийПервое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим Теоремы о равносильности квадратных уравненийЭто — корни заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью составления уравнений

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Задача 1.

Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?

Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить Теоремы о равносильности квадратных уравненийт груза, а на самом деле грузили Теоремы о равносильности квадратных уравненийт груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.

Задача 2.

Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение:

Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит Теоремы о равносильности квадратных уравненийч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит Теоремы о равносильности квадратных уравненийч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. Теоремы о равносильности квадратных уравненийч, приходим к уравнению

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задача 3.

Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение:

Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решив это уравнение, найдем Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.

Задача 4.

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение:

Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна Теоремы о равносильности квадратных уравнений, а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна Теоремы о равносильности квадратных уравненийСогласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть Теоремы о равносильности квадратных уравнений, а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть Теоремы о равносильности квадратных уравненийТак как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

решив которое, найдем х = 10.

Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.

Задача 5.

Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение:

Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится Теоремы о равносильности квадратных уравненийл кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось Теоремы о равносильности квадратных уравненийл кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй Теоремы о равносильности квадратных уравненийл кислоты, а всего

за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решив это уравнение, найдем два корня: Теоремы о равносильности квадратных уравненийи Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.

Задача 6.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 7.

Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?

Решение:

Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению

0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,

из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийТеоремы о равносильности квадратных уравнений

Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) метод введения новых переменных (см. п. 147).

Метод возведения обеих частей уравнения в одну

и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

в) учитывая, что Теоремы о равносильности квадратных уравнений, получают уравнение

г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример 1.

Решить уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.

Проверка:

Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим Теоремы о равносильности квадратных уравнений, т. е. 2 = 2 — верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

и возведем обе части его в квадрат. Получим

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

откуда Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Проверка:

1) При х = 5 имеем

Теоремы о равносильности квадратных уравнений— верное равенство.

Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.

2) При х = 197 имеем Теоремы о равносильности квадратных уравненийТаким образом, х = 197 — посторонний корень.

Ответ: 5.

Пример 3.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Применим метод введения новой переменной.

Положим Теоремы о равносильности квадратных уравненийи мы получаем уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений, откуда находим Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Возведя обе части уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийв пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.

Уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравненийне имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.

Показательные уравнения

Показательное уравнение вида

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

где Теоремы о равносильности квадратных уравненийравносильно уравнению f(х) = g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений:

1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду Теоремы о равносильности квадратных уравненийа затем к виду f(х) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решить уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению Теоремы о равносильности квадратных уравненийоткуда находим Теоремы о равносильности квадратных уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравненийРешив это квадратное уравнение, получим Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Пример 2.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Приведем все степени к одному основанию Теоремы о равносильности квадратных уравнений. Получим уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравненийкоторое преобразуем к виду Теоремы о равносильности квадратных уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравненийУравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.

Пример 3.

Решить уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Применим метод введения новой переменной. Так как Теоремы о равносильности квадратных уравнений,то данное уравнение можно переписать в виде

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Введем новую переменную, положив Теоремы о равносильности квадратных уравненийПолучим квадратное уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравненийс корнями Теоремы о равносильности квадратных уравненийТеперь задача сводится к решению совокупности уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как Теоремы о равносильности квадратных уравненийпри любых значениях х.

Ответ: 2.

Логарифмические уравнения

Чтобы решить логарифмическое уравнение вида

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

где Теоремы о равносильности квадратных уравненийнужно:

1) решить уравнение f(x) = g(x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:

1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду Теоремы о равносильности квадратных уравненийзатем к виду f(x) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Перейдем от заданного уравнения к уравнению Теоремы о равносильности квадратных уравненийи решим его. Имеем Теоремы о равносильности квадратных уравненийПроверку найденных значений х выполним с помощью неравенств Теоремы о равносильности квадратных уравненийЧисло -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.

Ответ: -3.

Пример 2.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Из последнего уравнения находим Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.

Ответ: -1.

Пример 3.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Так как Теоремы о равносильности квадратных уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравненийзаданное уравнение можно переписать следующим образом:

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Введем новую переменную, положив Теоремы о равносильности квадратных уравненийПолучим

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Но Теоремы о равносильности квадратных уравнений; из уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийнаходим х = 4.

Ответ: 4.

Примеры решения показательно-логарифмических уравнений

Пример 1.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Решение:

Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

равносильное уравнению (1). Далее имеем Теоремы о равносильности квадратных уравненийТеоремы о равносильности квадратных уравнений

Полагая Теоремы о равносильности квадратных уравненийполучим уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравненийТеоремы о равносильности квадратных уравнений, откуда Теоремы о равносильности квадратных уравненийОстается решить совокупность уравнений Теоремы о равносильности квадратных уравненийИз этой совокупности получим Теоремы о равносильности квадратных уравнений— корни уравнения (1).

Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Пример 2.

Теоремы о равносильности квадратных уравнений(2)

Решение:

Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Полагая Теоремы о равносильности квадратных уравнений, получим уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравненийкорнями которого являются Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Так как Теоремы о равносильности квадратных уравнений, а -1 0 и мы получаем

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

если Теоремы о равносильности квадратных уравнений, то D = 0 и мы получаем Теоремы о равносильности квадратных уравнений, т. е. (поскольку Теоремы о равносильности квадратных уравнений) Теоремы о равносильности квадратных уравнений.

Итак, если Теоремы о равносильности квадратных уравненийто действительных корней нет; если Теоремы о равносильности квадратных уравнений= 1, то Теоремы о равносильности квадратных уравнений; если Теоремы о равносильности квадратных уравнений,то Теоремы о равносильности квадратных уравнений; если Теоремы о равносильности квадратных уравненийи Теоремы о равносильности квадратных уравнений, то

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Пример 3.

При каких значениях параметра Теоремы о равносильности квадратных уравненийуравнение

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

имеет два различных отрицательных корня?

Решение:

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня Теоремы о равносильности квадратных уравненийего дискриминант должен быть положительным. Имеем

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Значит, должно выполняться неравенство Теоремы о равносильности квадратных уравненийТеоремы о равносильности квадратных уравнений

По теореме Виета для заданного уравнения имеем

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Так как, по условию, Теоремы о равносильности квадратных уравнений, то Теоремы о равносильности квадратных уравненийи Теоремы о равносильности квадратных уравнений

В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) Теоремы о равносильности квадратных уравнений; из второго Теоремы о равносильности квадратных уравнений; из третьего Теоремы о равносильности квадратных уравнений. С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо Теоремы о равносильности квадратных уравнений, либо Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Теоремы о равносильности квадратных уравненийТеоремы о равносильности квадратных уравнений

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №19. Равносильные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие равносильного уравнения;

2) понятие равносильного неравенства;

3) понятие уравнения-следствия;

4) основные теоремы равносильности.

Глоссарий по теме

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Два уравнения с одной переменной

f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

1) Уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийравносильны, т.к. каждое из них имеет только один корень х=3.

2) Уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийтакже равносильны, т.к. у них одни и те же корни Теоремы о равносильности квадратных уравнений.

3) А вот уравнения Теоремы о равносильности квадратных уравненийне равносильны, потому что у первого уравнения корень х=2, а у второго уравнения два корня х=2 и х=-2.

Из определения равносильности следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот.

Решение уравнения осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3)→ (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

  • Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
  • Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
  • Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
  • В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Из курса средней школы мы знаем, что можно сделать следующие преобразования уравнений: любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одной и то же число, не равное нулю.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:

  1. если ва уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
  2. если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений главное- не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

Стоит отметить, что посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное; а вот потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Итак, сформулируем основные теоремы, которые используются при решении равносильных уравнений:

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и туже нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравнений(где а > 0, a≠1)

равносильно уравнению f(x) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение Теоремы о равносильности квадратных уравненийравносильное данному в его ОДЗ.

Краткая запись теорем 4, 5.

4. f(x) = g(x) ⇔h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ Теоремы о равносильности квадратных уравнений, где f(x)≥0, g(x)≥0

и n=2k (чётное число).

Например, х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!

Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение: Теоремы о равносильности квадратных уравнений

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

Теоремы о равносильности квадратных уравнений, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня Теоремы о равносильности квадратных уравнений, а у первоначального уравнения только один корень х=4.

  1. Неравенства Теоремы о равносильности квадратных уравненийи x-3 x-1 не равносильны, так как решениями первого являются числа x 1, а решениями второго- числа x>-1. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | Математика

Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

  • Уравнения (x+2=7) и (2x+1=11) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число (5).
  • Равносильны и уравнения (x^2+1=0) и (2x^2+3=1) — ни одно из них не имеет корней.
  • А вот уравнения (x-6=0) и (x^2=36) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень (6), второе имеет два корня: (6) и (-6).

Равносильные преобразования уравнений — это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Основные равносильные преобразования уравнений:

  1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.

Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.

Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.

Видео:ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать

ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫ

Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.

Пример (ОГЭ). Решите уравнение (x^2-2x+sqrt=sqrt+3)

Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.

Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.

Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета .

Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.

(↑) не подходит под ОДЗ

Запишем ответ.

Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ .

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

Решение:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как (sqrt) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на (2) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида (a^=a^) к виду (f(x) =g(x)), что тоже является равносильным преобразованием.

🎥 Видео

Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Быстрый способ решения квадратного уравнения

Алгебра 8 класс (Урок№30 - Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема Виета.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№30 - Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема Виета.)

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Теорема Виета. 8 класс.Скачать

Теорема Виета. 8 класс.

Теорема Виета. Алгебра, 8 классСкачать

Теорема Виета. Алгебра, 8 класс

ТЕОРЕМА ВИЕТА // Как решать Квадратные Уравнения по АЛГЕБРЕ 8 классСкачать

ТЕОРЕМА ВИЕТА // Как решать Квадратные Уравнения по АЛГЕБРЕ 8 класс

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.

Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 класс

ПРОДВИНУТАЯ ТЕОРЕМА ВИЕТА #математика #егэ #огэ #уравнение #виета #теорема #подготовкакегэ #shortsСкачать

ПРОДВИНУТАЯ ТЕОРЕМА ВИЕТА #математика #егэ #огэ #уравнение #виета #теорема #подготовкакегэ #shorts

Теорема Виета за 10 минут: самое простое решение квадратных уравнений | АЛГЕБРА | SkysmartСкачать

Теорема Виета за 10 минут: самое простое решение квадратных уравнений | АЛГЕБРА | Skysmart

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 класс

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | Математика

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Алгебра 8. Урок 10 - Теорема Виета и её применение в задачахСкачать

Алгебра 8. Урок 10 - Теорема Виета и её применение в задачах

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.

Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)
Поделиться или сохранить к себе: