Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y » + p · y ‘ + q · y = f ( x ) , где произвольными числами являются p и q , а имеющаяся функция f ( х ) непрерывная на интервале интегрирования x .

Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Теорема общего решения ЛДНУ

Общим решением, находящимся на интервале х , неоднородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и непрерывной функцией f ( x ) равняется сумме общего решения y 0 , которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y

, где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y

Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y

. Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y

Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f ( x ) , располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.

Когда f ( x ) считается за многочлен n -ой степени f ( x ) = P n ( x ) , отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y

= Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом степени n , r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y

является частным решением y

= f ( x ) , тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
Q n ( x ) , отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y

Вычислить по теореме Коши y » — 2 y ‘ = x 2 + 1 , y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 .

Решение

Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y » — 2 y ‘ = x 2 + 1 , которое будет удовлетворять заданным условиям y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 .

Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y

, то есть y = y 0 + y

Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.

Перейдем к нахождению y 0 . Запись характеристического уравнения поможет найти корни. Получаем, что

k 2 — 2 k = 0 k ( k — 2 ) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x .

. Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y

= Q 2 ( x ) · x γ = ( A x 2 + B x + C ) · x = A x 3 + B x 2 + C x , где значения А , В , С принимают неопределенные коэффициенты.

Найдем их из равенства вида y

Тогда получим, что:

‘ = x 2 + 1 ( A x 3 + B x 2 + C x ) » — 2 ( A x 3 + B x 2 + C x ) ‘ = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C ‘ — 6 A x 2 — 4 B x — 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B — 6 A x 2 — 4 B x — 2 C = x 2 + 1 — 6 A x 2 + x ( 6 A — 4 B ) + 2 B — 2 C = x 2 + 1

Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x , получим систему линейных выражений — 6 A = 1 6 A — 4 B = 0 2 B — 2 C = 1 . При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A = — 1 6 , B = — 1 4 , C = — 3 4 и y

= A x 3 + B x 2 + C x = — 1 6 x 3 — 1 4 x 2 — 3 4 x .

Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 , требуется определить значения C 1 и C 2 , исходя из равенства вида y = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

y ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y ‘ ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ‘ x = 0 = = 2 C 2 e 2 x — 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 — 3 4

Работаем с полученной системой уравнений вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 — 3 4 = 1 4 , где C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Применив теорему Коши, имеем, что

y = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Ответ: 3 2 + 1 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Когда функция f ( x ) представляется в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f ( x ) = P n ( x ) · e a x , тогда отсюда получаем, что частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y

= e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом n -ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α .

Коэффициенты, принадлежащие Q n ( x ) находятся по равенству y

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y » — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) · e x .

Решение

Уравнение общего вида y = y 0 + y

. Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y » — 2 y ‘ = 0 . По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k 1 = 0 и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x по характеристическому уравнению.

Видно, что правой частью уравнения является x 2 + 1 · e x . Отсюда ЛНДУ находится через y

= e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) , являющимся многочленом второй степени, где α = 1 и r = 0 , потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1 . Отсюда получаем, что

= e a x · Q n ( x ) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

А , В , С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y

‘ = e x · A x 2 + B x + C ‘ = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y

‘ ‘ = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C ‘ = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

‘ = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C — — 2 e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · — A x 2 — B x + 2 A — C = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ — A x 2 — B x + 2 A — C = x 2 + 1 ⇔ — A x 2 — B x + 2 A — C = 1 · x 2 + 0 · x + 1

Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А , В , С :

— A = 1 — B = 0 2 A — C = 1 ⇔ A = — 1 B = 0 C = — 3

Ответ: видно, что y

= e x · ( A x 2 + B x + C ) = e x · — x 2 + 0 · x — 3 = — e x · x 2 + 3 является частным решением ЛНДУ, а y = y 0 + y = C 1 e 2 x — e x · x 2 + 3 — общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.

Когда функция записывается как f ( x ) = A 1 cos ( β x ) + B 1 sin β x , а А 1 и В 1 являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y

= A cos β x + B sin β x · x γ , где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ± i β . В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y » + 4 y = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

Решение

Перед написанием характеристического уравнения находим y 0 . Тогда

k 2 + 4 = 0 k 2 = — 4 k 1 = 2 i , k 2 = — 2 i

Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:

y 0 = e 0 · ( C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) ) = C 1 cos 2 x + C 2 sin ( 2 x )

Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ± 2 i , тогда f ( x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) . Отсюда видно, что поиск y

будет производиться из y

= ( A cos ( β x ) + B sin ( β x ) · x γ = ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x . Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y

= cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

‘ = ( ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x ) ‘ = = ( — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) y

» = ( ( — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) ‘ = = ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) — — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) = = ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x )

Тогда видно, что

= cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) + + 4 ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x )

Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:

— 4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = — 3 4 B = 1 4

= ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x = — 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x .

Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается

= = C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) + — 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x

Когда f ( x ) = e a x · P n ( x ) sin ( β x ) + Q k ( x ) cos ( β x ) , тогда y

= e a x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ . Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α ± i β , где P n ( x ) , Q k ( x ) , L m ( x ) и N m ( x ) являются многочленами степени n , k , т , m , где m = m a x ( n , k ) . Нахождение коэффициентов L m ( x ) и N m ( x ) производится, исходя из равенства y

Найти общее решение y » + 3 y ‘ + 2 y = — e 3 x · ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) ) .

Решение

По условию видно, что

α = 3 , β = 5 , P n ( x ) = — 38 x — 45 , Q k ( x ) = — 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Тогда m = m a x ( n , k ) = 1 . Производим нахождение y 0 , предварительно записав характеристическое уравнение вида:

k 2 — 3 k + 2 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 2 = 1 k 1 = 3 — 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y

= e α x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) · x 0 = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) )

Известно, что А , В , С являются коэффициентами, r = 0 , потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α ± i β = 3 ± 5 · i . Данные коэффициенты находим из полученного равенства:

= — e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) ) ⇔ ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) » — — 3 ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) = — e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) )

Нахождение производной и подобных слагаемых дает

— e 3 x · ( ( 15 A + 23 C ) · x · sin ( 5 x ) + + ( 10 A + 15 B — 3 C + 23 D ) · sin ( 5 x ) + + ( 23 A — 15 C ) · x · cos ( 5 x ) + ( — 3 A + 23 B — 10 C — 15 D ) · cos ( 5 x ) ) = = — e 3 x · ( 38 · x · sin ( 5 x ) + 45 · sin ( 5 x ) + + 8 · x · cos ( 5 x ) — 5 · cos ( 5 x ) )

После приравнивания коэффициентов получаем систему вида

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B — 3 C + 23 D = 45 23 A — 15 C = 8 — 3 A + 23 B — 10 C — 15 D = — 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Из всего следует, что

= e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) = = e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:

= = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Видео:19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядка

Алгоритм решения ЛДНУ

Любой другой вид функции f ( x ) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:

  • нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С 1 и С 2 считаются произвольными постоянными;
  • принятие в качестве общего решения ЛНДУ y = C 1 ( x ) ⋅ y 1 + C 2 ( x ) ⋅ y 2 ;
  • определение производных функции через систему вида C 1 ‘ ( x ) + y 1 ( x ) + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ( x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) + y 1 ‘ ( x ) + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ ( x ) = f ( x ) , а нахождение функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) посредствам интегрирования.

Найти общее решение для y » + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x .

Решение

Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y 0 , y » + 36 y = 0 . Запишем и решим:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = — 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos ( 6 x ) + C 2 sin ( 6 x ) ⇒ y 1 ( x ) = cos ( 6 x ) , y 2 ( x ) = sin ( 6 x )

Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y = C 1 ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ( x ) · sin ( 6 x ) . Необходимо перейти к определению производных функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) по системе с уравнениями:

C 1 ‘ ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) · ( cos ( 6 x ) ) ‘ + C 2 ‘ ( x ) · ( sin ( 6 x ) ) ‘ = 0 ⇔ C 1 ‘ ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) ( — 6 sin ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) ( 6 cos ( 6 x ) ) = = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Необходимо произвести решение относительно C 1 ‘ ( x ) и C 2 ‘ ( x ) при помощи любого способа. Тогда запишем:

C 1 ‘ ( x ) = — 4 sin 2 ( 6 x ) + 2 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 6 e 6 x sin ( 6 x ) C 2 ‘ ( x ) = 4 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 cos 2 ( 6 x ) + 6 e 6 x cos ( 6 x )

Каждое из уравнений следует проинтегрировать . Тогда запишем получившиеся уравнения:

C 1 ( x ) = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 x — 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) — 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 C 2 ( x ) = — 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — x — 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4

Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:

y = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 x — 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) — 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 · cos ( 6 x ) + + — 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — x — 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x ) = = — 2 x · cos ( 6 x ) — x · sin ( 6 x ) — 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Ответ: y = y 0 + y

= — 2 x · cos ( 6 x ) — x · sin ( 6 x ) — 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, примеры

Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка,

где p и q – являются произвольными действительных чисел, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X.

Выразим теорему, отображающая вид, в котором необходимо находить общее решение линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения: Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядкас непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядкаи непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения y0 соответствующего линейного неоднородного дифференциального уравнения и любого частного решения Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядкаисходного неоднородного уравнения, т.е., Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка.

Значит, общим решением ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами оказывается сумма общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения: Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка.

Вычисление y0 расписано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, сейчас рассмотрим метод нахождения Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка.

Есть некоторые методы определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Эти методы определяются учитывая вид функции f(x), которая находится в правой части уравнения. Назовем их и в последующих статьях рассмотрим решения каждого ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. Если f(x) оказывается многочленом n-ой степени f(x) = Pn(x), то частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения находится как Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка,

где Qn(x) – многочлен степени n,

r – число корней характеристического уравнения, которые равны нулю.

Т.к. Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка— является частным решением уравнения Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка, тогда коэффициенты, которые определяют многочлен Qn(x), можно определить способом неопределенных коэффициентов из равенства Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка.

2. Если функция f(x) представляется произведением многочлена степени n и экспоненты Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка, значит, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка находится как Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка,

где Qn(x) является многочленом n-ой степени,

r – количество корней характеристического уравнения, которые равняются Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка.

Коэффициенты многочлена Qn(x) можно определить из равенства Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка.

3. Если функция f(x) выглядит так: Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка, где А1 и В1 оказываются числами, значит, частное решение линейного неопределенного дифференциального уравнения представляют как Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка,

где А и В являются неопределенными коэффициентами,

r — является числом комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, которые равны Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка. Коэффициенты многочлена А и В определяются исходя из равенства Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка.

4. Если Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка, значит, Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка,

где r является числом комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, которые равны Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка,

Найти коэффициенты многочленов Lm(x) и Nm(x) можно используя равенство Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка.

5. Для всех остальных видов функции f(x) используется такой порядок действий:

  • первым шагом определяем общее решение необходимого линейного однородного уравнения как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2, где y1 и y2 являются линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения, а С1 и С2 являются произвольными постоянными;
  • далее варьируем произвольные постоянные, т.е., как общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения принимаем y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2;
  • и последним шагом необходимо определить производные функций C1(x) и С2(x) из системы уравнений:

Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка,

а функции C1(x) и C2(x) определяют при дальнейшем интегрировании.

Видео:ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

Линейным называется дифференциальное уравнение n -го порядка , если оно 1-ой степени относительно искомой функции y ( x ) и ее производных Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка , то есть имеет вид:

Если коэффициент P 0 ( x ) ≠ 1, то на него можно поделить и после соответствующих переобозначений получить:

Уравнение (8.43) называется уравнением с переменными коэффициентами. Предположим, что в нем функции Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка , непрерывны на интервале Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . Тогда для уравнения (8.43) на данном интервале имеет место задача Коши, сформулированная нами ранее.

Примечание. Частным случаем (8.43) является линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с переменными коэффициентами:

Если в уравнении (8.43) f ( x ) ≡ 0, то оно называется однородным, если f ( x ) ≠ 0, то неоднородным.

Теорема 8.3 (о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ). Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного и некоторого частного решения неоднородного уравнения Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . Запишем коротко: Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (8.43), имеет вид:

Пусть в уравнении (8.45) функции Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . Тогда оно принимает вид:

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами , где Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка – функции, n раз дифференцируемые.

Рассмотрим решения уравнений (8.45) и (8.46). Обозначим полную совокупность их линейно независимых решений через Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . Тогда, по свойству решений однородного уравнения, их линейная комбинация также является решением уравнения (8.45) и (8.46), т о есть общее решение может быть записано в виде:

где ci – константы интегрирования.

Перейдем к конструированию функций Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . Какого они вида? Так как эти функции в уравнениях (8.45) и (8.46) n раз дифференцируемы, то их конструкция при дифференцировании не меняется. Это возможно в случае экспоненциального вида функций, то есть при

где Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка , . Отсюда, линейная комбинация функций (8.48):

– также решение уравнений (8.45) и (8.46).

Рассмотрим одну из функций (8.48) – функцию y = e λx как решение для уравнения (8.46) с постоянными коэффициентами. Продифференцируем ее n раз:

Так как e λx 0 , то Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка ( 8.50)

–алгебраическое уравнение n -ой степени относительно λ, называемое характеристическим уравнением для уравнения (8.46). Известно, что уравнение n -ой степени имеет равно n корней как действительных, так и комплексных, с учетом их кратности. Значит, характеристическое уравнение (8.50) дает нам n значений числа λ, ранее обозначенных нами через Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка , которые при подстановке в (8.49) приводит нас к окончательному виду общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (8.46) с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим наиболее распространенный частный случай уравнения (8.46) – его аналог 2-го порядка:

Для данного уравнения характеристическое уравнение (8.50) принимает вид:

Уравнение (8.52) является квадратным относительно λ. В зависимости от дискриминанта D характеристического уравнения рассматривают три случая, приведенных в таблице 8.1.

Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

Пример 8.17. Найти общее решение уравнений:

Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

а) Составляем характеристическое уравнение λ 2 +2 λ – 15 = 0. Корнями этого уравнения будут λ 1 = –5 и λ 2 = 3 . Тогда, применяя (8.53), получаем общее решение: y=C 1 e – 5x +C 2 e 3x .

б) Составляем характеристическое уравнение λ 2 – 16 λ + 64 = 0.

Решая это уравнение, получим λ 1 = λ 2 = 8 . Так как корни равные, то, применяя (8.54), будем иметь:

в) Характеристическое уравнение λ 2 – 4 λ + 13 = 0 имеет комплексные корни λ 1 = 2+3 i и λ 2 = 2 –3 i . Положив в (8.55) α=2 и β = 3, получим общее решение: Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка .

г) Характеристическое уравнение λ 2 +9 = 0 имеет корни λ 1;2 = ± 3 i . П олагая в (8.55) α=0 и β = 3, получим общее решение Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

Теорема 8.4. Пусть задано линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и п равой частью специального вида

1. Если Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, то частное решение уравнения (8.57) имеет вид:

где Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка – многочлены общего вида (с неопределенными коэффициентами).

2. Если Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка – корень характеристического уравнения кратности s , то частное решение уравнения (8.57) имеет вид:

Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка – многочлены общего вида Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

Рассмотрим в таблице 8.2 некоторые случаи составления частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (8.57) по специальному виду его правой части.

Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

Пример 8.18. Найти общее решение уравнения Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ: Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . Х арактеристическое уравнение λ 2 +2 λ +1 = 0 имеет корень λ1 = 1 кратности 2 (смотри таблицу 8.1). Значит, yo . o . = c 1 e x + c 2 x e x . Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть x –4=( x –4) e 0 x есть формула вида P 1 ( x ) e 0 x , причем α= 0 не является корнем характеристического уравнения: α λ . Поэтому согласно формуле (8.58), частное решение y ч.н. ищем в виде y ч.н. = Q 1 ( x ) e 0 x , т.е. y ч.н. = Ax + B , где A и B – неопределенные коэффициенты. Тогда

Пример 8.19. Решить уравнение Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка .

уравнения Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . Характеристическое уравнение λ 2 – 4 λ +13 = 0 имеет корни λ1 = 2+3 i , λ 2 = 2 –3 i (смотри таблицу 8.1). Следовательно, Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка .

Находим частное решение y ч.н. . Правая часть неоднородного уравнения в нашем случае имеет вид

Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

Отсюда, сравнивая коэффициенты при косинусе и синусе, имеем Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . Следовательно, A = 1, B = – 3 . Поэтому Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . И наконец, с учетом теоремы 8.3 получаем общее решение заданного линейного неоднородного ДУ в виде:

Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

Пример 8.20. Найти частное решение уравнения Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка , удовлетворяющее начальным условиям Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка .

Решение . Находим общее решение однородного уравнения Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . Характеристическое уравнение λ 2 – λ – 2 = 0 имеет два корня λ 1 = –1 и λ 2 = 2 (смотри таблицу 8.1) ; тогда yo . o . = C 1 ex + C 2 e 2 x – общее решение соответствующего однородного ДУ.

В правой части заданного уравнения имеется показательная функция. Так как в данном случае α=2 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде функции Axe 2 x . Таким образом, y ч.н. = Axe 2 x . Дифференцируя дважды это равенство, по лучим: Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . Подставим y ч.н. и ее производные в левую часть заданного уравнения и найдем коэффициент A : Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка . Следовательно, частное решение y ч.н. = 3xe 2 x , общее решение

Используя начальные условия, определим значения произвольных постоянных C 1 и C 2 . Дифференцируя общее решение (8.60), получим:

Подставим в общее решение (8.60) значения x = 0 и y = 2, будем иметь 2 = C 1 + C 2 . Подставим в выражение для Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка значения x = 0 и Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка , будем иметь: 13 = – C 1 +2 C 2 +3 ; 10 = – C 1 + C 2 . Из этих уравнений составим систему Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка , из которой находим: C 1 = – 2 и C 2 =4 . Таким образом, Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка есть то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

Теорема 8.5 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (8.56) представляет собой сумму двух функций: Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка , а y 1 ч.н. и y 2 ч.н. – частные решения уравнений Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка и Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка соответственно, то функция

является частным решением данного уравнения Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 го порядка

🎦 Видео

Математика без Ху!ни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка.Скачать

Математика без Ху!ни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка.

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального  уравнения

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентам

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. часть 3Скачать

18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. часть 3

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядка

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способаСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способа

19. Общее решение линейного уравненияСкачать

19. Общее решение линейного уравнения

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядкаСкачать

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка

Теорема об общем решении ЛНДУ второго порядка. (Дифференциальные уравнения - урок 14)Скачать

Теорема об общем решении ЛНДУ второго порядка. (Дифференциальные уравнения - урок 14)

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться или сохранить к себе: