Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n-го порядка

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Будем считать, что функции pk(x) (k=1, …, n) и f(x) непрерывны на отрезке [a, b]. Неоднородное уравнение кратко запишем так:

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Теорема. Если y0 — решение однородного уравнения L[y]=0, y1 — решение соответствующего неоднородного уравнения L[y] = f(x), то сумма y0+y1 является решением этого неоднородного уравнения.

Структура общего решения неоднородного уравнения определяется следующей теоремой.

Теорема. Если Y — частное решение уравнения L[y] = f(x) с непрерывными коэффициентами, Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка— общее решение соответствующего однородного уравнения L[y] = 0, то общее решение данного неоднородного уравнения определяется формулой

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Замечание. Чтобы записать общее решение линейного неоднородного уравнения, необходимо найти какое-нибудь частное решение этого уравнения и общее решение соответствующего однородного уравнения.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

где a1, a2, …, an — действительные числа. Запишем соответствующее однородное уравнение

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Общее решение неоднородного уравнения определяется формулой

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Общее решение однородного уравнения y0 находить умеем, частное решение Y может быть найдено методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:

    1. f(x) = e axPn(x), где Pn(x) — многочлен степени n.

Если a не является корнем соответствующего характеристического уравнения, то полагают Y= e ax Qn(x), где Qn(x) — многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

Если a — корень характеристического уравнения, то Y=x r e ax Qn(x), где r — кратность корня a.
2. f(x) = e ax (Pn(x) cos bx + Rm(x) sin bx).

Если a±ib не являются корнями характеристического уравнения, то полагают

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

где Ql(x), Sl(x) — многочлены степени l = max(n, m) с неопределенными коэффициентами.

Если a±ib — корни характеристического уравнения, то

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

где r — кратность корней a±ib.

В общем случае применяется метод вариации произвольных постоянных.

Видео:Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального  уравнения

Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Будем считать, что функции pk(x) (k=1, …, n) непрерывны на некотором отрезке [a, b].

Если нахождение частного решения этого уравнения оказывается затруднительным, но известно общее решение соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных.

Пусть соответствующее однородное уравнение

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

имеет общее решение

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

где y1=y1(x), y2=y2(x), …, yn=yn(x) — линейно-независимые решения однородного уравнения, входящие в его общее решение, а C1(x), C2(x), …, Cn(x) — неизвестные функции. Чтобы найти эти функции, подчиним их некоторым условиям.

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Потребуем, чтобы сумма во второй скобке равнялась нулю, то есть

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Найдем вторую производную

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

и потребуем, чтобы

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Продолжая аналогичный процесс, получим

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

В этом случае нельзя требовать, чтобы сумма во второй скобке обратилась в нуль, так как функции C1(x), C2(x), …, Cn(x) уже подчинены n-1 условиям, а нужно еще удовлетворить исходному неоднородному уравнению.

Подставим в это неоднородное уравнение выражения для функции y и ее производных, получим

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Поскольку yk = yk(x) (k=1, …, n) — решения однородного уравнения, то

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

и последнее уравнение примет вид

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Следовательно, для определения функций C′k(x) (k=1, …, n) имеем систему линейных уравнений

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Определитель этой системы отличен от нуля, как определитель Вронского для линейно-независимых функций, поэтому система имеет единственное решение.

Из этой системы находим C′kk(x) (k=1, …, n), а потом и сами функции

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

где Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка— постоянные.

Подставляя эти выражения в формулу

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

получаем искомое общее решение неоднородного уравнения.

Видео:Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравненияСкачать

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального  уравнения

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y » + p · y ‘ + q · y = f ( x ) , где произвольными числами являются p и q , а имеющаяся функция f ( х ) непрерывная на интервале интегрирования x .

Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.

Видео:Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентам

Теорема общего решения ЛДНУ

Общим решением, находящимся на интервале х , неоднородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и непрерывной функцией f ( x ) равняется сумме общего решения y 0 , которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y

, где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y

Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y

. Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y

Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f ( x ) , располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.

Когда f ( x ) считается за многочлен n -ой степени f ( x ) = P n ( x ) , отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y

= Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом степени n , r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y

является частным решением y

= f ( x ) , тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
Q n ( x ) , отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y

Вычислить по теореме Коши y » — 2 y ‘ = x 2 + 1 , y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 .

Решение

Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y » — 2 y ‘ = x 2 + 1 , которое будет удовлетворять заданным условиям y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 .

Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y

, то есть y = y 0 + y

Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.

Перейдем к нахождению y 0 . Запись характеристического уравнения поможет найти корни. Получаем, что

k 2 — 2 k = 0 k ( k — 2 ) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x .

. Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y

= Q 2 ( x ) · x γ = ( A x 2 + B x + C ) · x = A x 3 + B x 2 + C x , где значения А , В , С принимают неопределенные коэффициенты.

Найдем их из равенства вида y

Тогда получим, что:

‘ = x 2 + 1 ( A x 3 + B x 2 + C x ) » — 2 ( A x 3 + B x 2 + C x ) ‘ = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C ‘ — 6 A x 2 — 4 B x — 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B — 6 A x 2 — 4 B x — 2 C = x 2 + 1 — 6 A x 2 + x ( 6 A — 4 B ) + 2 B — 2 C = x 2 + 1

Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x , получим систему линейных выражений — 6 A = 1 6 A — 4 B = 0 2 B — 2 C = 1 . При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A = — 1 6 , B = — 1 4 , C = — 3 4 и y

= A x 3 + B x 2 + C x = — 1 6 x 3 — 1 4 x 2 — 3 4 x .

Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 , требуется определить значения C 1 и C 2 , исходя из равенства вида y = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

y ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y ‘ ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ‘ x = 0 = = 2 C 2 e 2 x — 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 — 3 4

Работаем с полученной системой уравнений вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 — 3 4 = 1 4 , где C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Применив теорему Коши, имеем, что

y = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Ответ: 3 2 + 1 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Когда функция f ( x ) представляется в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f ( x ) = P n ( x ) · e a x , тогда отсюда получаем, что частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y

= e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом n -ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α .

Коэффициенты, принадлежащие Q n ( x ) находятся по равенству y

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y » — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) · e x .

Решение

Уравнение общего вида y = y 0 + y

. Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y » — 2 y ‘ = 0 . По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k 1 = 0 и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x по характеристическому уравнению.

Видно, что правой частью уравнения является x 2 + 1 · e x . Отсюда ЛНДУ находится через y

= e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) , являющимся многочленом второй степени, где α = 1 и r = 0 , потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1 . Отсюда получаем, что

= e a x · Q n ( x ) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

А , В , С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y

‘ = e x · A x 2 + B x + C ‘ = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y

‘ ‘ = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C ‘ = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

‘ = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C — — 2 e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · — A x 2 — B x + 2 A — C = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ — A x 2 — B x + 2 A — C = x 2 + 1 ⇔ — A x 2 — B x + 2 A — C = 1 · x 2 + 0 · x + 1

Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А , В , С :

— A = 1 — B = 0 2 A — C = 1 ⇔ A = — 1 B = 0 C = — 3

Ответ: видно, что y

= e x · ( A x 2 + B x + C ) = e x · — x 2 + 0 · x — 3 = — e x · x 2 + 3 является частным решением ЛНДУ, а y = y 0 + y = C 1 e 2 x — e x · x 2 + 3 — общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.

Когда функция записывается как f ( x ) = A 1 cos ( β x ) + B 1 sin β x , а А 1 и В 1 являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y

= A cos β x + B sin β x · x γ , где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ± i β . В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y » + 4 y = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

Решение

Перед написанием характеристического уравнения находим y 0 . Тогда

k 2 + 4 = 0 k 2 = — 4 k 1 = 2 i , k 2 = — 2 i

Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:

y 0 = e 0 · ( C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) ) = C 1 cos 2 x + C 2 sin ( 2 x )

Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ± 2 i , тогда f ( x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) . Отсюда видно, что поиск y

будет производиться из y

= ( A cos ( β x ) + B sin ( β x ) · x γ = ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x . Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y

= cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

‘ = ( ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x ) ‘ = = ( — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) y

» = ( ( — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) ‘ = = ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) — — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) = = ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x )

Тогда видно, что

= cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) + + 4 ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x )

Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:

— 4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = — 3 4 B = 1 4

= ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x = — 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x .

Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается

= = C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) + — 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x

Когда f ( x ) = e a x · P n ( x ) sin ( β x ) + Q k ( x ) cos ( β x ) , тогда y

= e a x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ . Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α ± i β , где P n ( x ) , Q k ( x ) , L m ( x ) и N m ( x ) являются многочленами степени n , k , т , m , где m = m a x ( n , k ) . Нахождение коэффициентов L m ( x ) и N m ( x ) производится, исходя из равенства y

Найти общее решение y » + 3 y ‘ + 2 y = — e 3 x · ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) ) .

Решение

По условию видно, что

α = 3 , β = 5 , P n ( x ) = — 38 x — 45 , Q k ( x ) = — 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Тогда m = m a x ( n , k ) = 1 . Производим нахождение y 0 , предварительно записав характеристическое уравнение вида:

k 2 — 3 k + 2 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 2 = 1 k 1 = 3 — 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y

= e α x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) · x 0 = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) )

Известно, что А , В , С являются коэффициентами, r = 0 , потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α ± i β = 3 ± 5 · i . Данные коэффициенты находим из полученного равенства:

= — e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) ) ⇔ ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) » — — 3 ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) = — e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) )

Нахождение производной и подобных слагаемых дает

— e 3 x · ( ( 15 A + 23 C ) · x · sin ( 5 x ) + + ( 10 A + 15 B — 3 C + 23 D ) · sin ( 5 x ) + + ( 23 A — 15 C ) · x · cos ( 5 x ) + ( — 3 A + 23 B — 10 C — 15 D ) · cos ( 5 x ) ) = = — e 3 x · ( 38 · x · sin ( 5 x ) + 45 · sin ( 5 x ) + + 8 · x · cos ( 5 x ) — 5 · cos ( 5 x ) )

После приравнивания коэффициентов получаем систему вида

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B — 3 C + 23 D = 45 23 A — 15 C = 8 — 3 A + 23 B — 10 C — 15 D = — 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Из всего следует, что

= e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) = = e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:

= = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Алгоритм решения ЛДНУ

Любой другой вид функции f ( x ) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:

  • нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С 1 и С 2 считаются произвольными постоянными;
  • принятие в качестве общего решения ЛНДУ y = C 1 ( x ) ⋅ y 1 + C 2 ( x ) ⋅ y 2 ;
  • определение производных функции через систему вида C 1 ‘ ( x ) + y 1 ( x ) + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ( x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) + y 1 ‘ ( x ) + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ ( x ) = f ( x ) , а нахождение функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) посредствам интегрирования.

Найти общее решение для y » + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x .

Решение

Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y 0 , y » + 36 y = 0 . Запишем и решим:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = — 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos ( 6 x ) + C 2 sin ( 6 x ) ⇒ y 1 ( x ) = cos ( 6 x ) , y 2 ( x ) = sin ( 6 x )

Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y = C 1 ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ( x ) · sin ( 6 x ) . Необходимо перейти к определению производных функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) по системе с уравнениями:

C 1 ‘ ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) · ( cos ( 6 x ) ) ‘ + C 2 ‘ ( x ) · ( sin ( 6 x ) ) ‘ = 0 ⇔ C 1 ‘ ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) ( — 6 sin ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) ( 6 cos ( 6 x ) ) = = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Необходимо произвести решение относительно C 1 ‘ ( x ) и C 2 ‘ ( x ) при помощи любого способа. Тогда запишем:

C 1 ‘ ( x ) = — 4 sin 2 ( 6 x ) + 2 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 6 e 6 x sin ( 6 x ) C 2 ‘ ( x ) = 4 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 cos 2 ( 6 x ) + 6 e 6 x cos ( 6 x )

Каждое из уравнений следует проинтегрировать . Тогда запишем получившиеся уравнения:

C 1 ( x ) = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 x — 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) — 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 C 2 ( x ) = — 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — x — 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4

Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:

y = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 x — 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) — 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 · cos ( 6 x ) + + — 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — x — 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x ) = = — 2 x · cos ( 6 x ) — x · sin ( 6 x ) — 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Ответ: y = y 0 + y

= — 2 x · cos ( 6 x ) — x · sin ( 6 x ) — 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ (док). Понятие ФСР

Опр: Система n линейно-независимого решения ЛОДУ n-го порядка называется ФСР

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ

Если функции y1(х), y2(х), … ,yn(х) – образует ФСР ЛОДУ у ( n ) + P1y ( n -1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 , то y(х) = C1y1(x) + C2y2(x) + … + Cnyn(x) = Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка, есть общее решение этого уровня. (4).

Из теоремы о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ:

Если n решений y1, y2, … ,yn ЛОДУ (2) и они линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться в ноль (0) ни в одной точке х Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка‌| для любого Х из (а,b) .

ð что (4) являются решением у ( n ) + P1y ( n -1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0

остается доказать, что можно подобрать const-ты то С1, С2, … Сn , таким образом что функция (4) удовлетворяет любой системе начальных условий [н.у.]

Задаем н.у. , при x0 Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(а,b) y(х0) = y0, y’(х0) = y0’, y ( n -1) (x0) = y0 ( n -1) определяем C1,C2,…, Cn

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаОпределение:

Определителем этой системы является определитель Вронского

W[y1, y2, … ,yn] Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка0, C1,C2,…, Cn — определяется един-м образом

Построим Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка= C1y1(x) + C2y2(x) + … + Cnyn(x) ,

согласно свойству (если y1) α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0 причем хотя бы одно hi Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка0.

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка— является решением ДУ(2) Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка= y(x) , т.к. система (5) определена теми же н.у., что и y(x) ч.т.д.

1) максимальное число линейно-независимых решение ЛОДУ, коэффициенты непрерывны на (a,b) равно порядку этого уравнения.

2) независимо от н.у. все другие решения таких уравнений ЛОДУ является линейной комбинацией этих независимых решений (решений ФС)

3) Пространство решений ЛОДУ n-го порядка имеет базис из n-векторов, т.е. пространство n-мерное.

4) Для решения ЛОДУ n-го порядка необходимо найти ФСР. Общее решение получается как линейная комбинация решений ФС.

11. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение(×)

ЛОДУ с постоянными коэффициентами

у ( n ) + P1y ( n -1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0, где все Pi (i= Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка)= const

будем искать частное решение y=e kx , к – неизвестная постоянная

y ( n ) =k ( n ) e kx

k (n) e kx + P1k (n-1) e kx + … + Pne kx = e kx (k (n) + P1k (n-1) + … + Pn) = 0

e kx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка0 => k (n) + P1k (n-1) + … + Pn = 0, (1)

ð y=e kx — решение ДУ

(1) – характеристическое уравнение для ЛОДу с постоянными коэффициентами, выражения слева характеристический многочлен.

Решением характеристич уравнения (1) дает систему частных решений ЛОДу, структура ФСР зависит от вида корней характер уравнения.

(1) – алгебраическое уравнение n-ой степени, может иметь не более, чем n корней, обознач-м эти корни характеристического уравнения через k1 ,k2 …kn

1)все корни хар-го уранения вещественны и различны

2)все корни различны, но среди них есть комплексные

3)среди действительных корней имеются кратные

4)среди комплексных корней есть кратные

Общий алгоритм решения ЛОДу с постоянным коэффициентом

1) составим характер уравнение : y=e kx , k ( n ) + P1k ( n -1) + … + Pn = 0

2) найти корни характер уравнения k1 ,k2 …kn

3) по характеру корней находим частное линейно-независимое решение по таблице 1

4) подставляем частное решение Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкана основе Теоремы о структуре общего решения ЛОДУ и получаем общее решение y = Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Вид корняСоответственное решение
Действ корень кратности 1e kx
Пара корней a Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаbi;кратнос 1e а x cosbx , e а x sinbx
Действит корень кратност αe kx , хe kx , х 2 e kx , х 3 e kx ,…, х α-1 e kx
Пара сопряж корней α a Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаbie а x cosbx , e а x sinbx хe а x cosbx , хe а x sinbx х 2 e а x cosbx , х 2 e а x sinbx х α-1 e а x cosbx , х α-1 e а x sinbx

13. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема о структуре общего решения (док. для n=2). Теорема о суперпозиции решений (док. для n=2).

у ( n ) + P1y ( n -1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x) (1) Pi – непрерывна на отрезке (a,b)

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ

Общее решение ЛНДУ есть сумма частного решения и общего решения соответственного ему однородного уравнения

Для уравнения 2-го порядка ( но теорема применима для уравнений любого порядка)

Обозначим у*(х) – частное решение ЛНДУ

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(х) – общее решение ЛОДУ

(2) у= у*+ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка— общее решение ЛНДУ

Дважды дифференцируем функцию (2) и подставляем у, y’,y” в (1’)

у*”(x) + Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка”(x) + P1(x)[ у*(x)+ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка’(x)] + P2(x)[ у*(x)+ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)] =

= [у*”(x)+ P1(x) у*’(x)+ P2(x) у*(x)] + [ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка”(x) + P1(x) Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка’ (x)+ P2(x) Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)] = f(x) + 0 = 0

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка= C1y1(x) + C2y2(x), y1,y2 – частное решение ЛОДУ y” + P1y’ + P2 = 0

C1C2 – подбираем так, чтобы они удовлетворяли начальным условиям

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаy(x0)=y0 , y’(x0)=y0’, для любых х0 Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(а,в), и любых y0 ,y0

Линейная неоднородная система, определитель этой системы, определитель Вронского

W[y1, y2]≠0 =>система имеет единственное решение при любых Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка0 , Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка0 ,y*0 ,y*’0 , это означает у= у*+ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка— общее решение ЛНДУ

Теорема2 принцип суперпозиции (принцип сложения решений)

Если функция yi(x) является решением ЛНДУ

(3) y ( n ) + P1y ( n -1) + … + Pny = fi(x) то функция Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка= α1y1 + α2y2 + … + αnyn , то это функция является решением y ( n ) + P1y ( n -1) + … + Pny = α1 f1(x) + α2 f2(x) + … + αn fn(x) (4)

Подставим y, y’, y”, в (4) , учитываем что y1 y2 решение соответственного уравнения (3)

14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов для уравнений со специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных (вывод рабочей формулы).

Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэф-ми.

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Метод неопр-х коэф-в можно применять если правое ур-е имеет следующий вид: f(x)= Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка, Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка, Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка-многочлены степени g и r соотв-но a и b некоторые числа. В основе метода неопр-х коэф-в лежит знание формы частного решения, а именно частное решение стоит искать в аналогич-ой форме свободного члена.

Вид правой части (f(x))Корни харак-го уравненияВид частного решения y*
P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)=A Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+A Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+… +A Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx+ A Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаа) число 0 не явл-ся корнем хар-го ур-я б) число 0 явл-ся корнем хар-го ур-я кратности Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаа) y*=b Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+b Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+…+ +b Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаб) y*=x Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(B Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+B Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+… +B Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка)
P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)e Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка= e Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка( A Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+ +A Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+…+A Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx+ A Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка) p-действ-е числоа) число p не явл-ся корнем хар-го ур-я б) число p явл-ся корнем хар-го ур-я кратности Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаa) y*= e Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка( b Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+b Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+…+ +b Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка) б) y*= e Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка( b Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+b Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаx Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+…+ +b Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка)
P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)cosgx+Q Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)singx g-числоа) число Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаgi-не явл-ся корнем хар-го ур-я б) число Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаgi-явл-ся корнем хар-го ур-я кратности Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаа) y*= Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)cosgx+ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)singx б) y*=x Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка( Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)cosgx+ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)singx)
P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)e Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаcosgx+ Q Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)e Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаsingxа) число Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаgi-не явл-ся корнем хар-го ур-я б) число Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаgi-явл-ся корнем хар-го ур-я кратности Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаа) y*= Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) e Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаcosgx+ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)singx б) y*= x Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка( Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) e Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаcosgx+ + Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)singx)

Замечание к таблице: 1)степени многоч-ов P и Q в случаях (3) и (4) можно считать одинаковыми, если они различны, то коэф-ты при недостающих степенях одного из многоч-ов можно считать=0.

2)правая часть ур-я может содержать несколько слагаемых; в этом случае сост-ся из неск-ких слагаемых в соотв-ии с Теоремой о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ

Метод вариации производных постоянных(метод Лагранджа).

Метод позволяет найти решение ДУ независимо от вида правой части, когда известно общее решение соотв-го однородного ДУ.

Например: ДУ 2-го порядка. Пусть y”+P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’+P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y=f(x) (1) пусть y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) и y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)-ФСРЛОДУ

y”+P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’+P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y=0 Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)= C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаy Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаy Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) (2). Частное решение y*(x) в виде (14) считая при этом C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаи C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкане постоянными, а неизв-ми функциями от x.

y*= C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x), y*= C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+C(x) Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаy’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+ C(x) Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаy’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)

Пусть C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) и C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаC’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)=0 /справедливое равенство (3), тогда y* ’= C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+ C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x); y* ”= C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+ C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y” Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+ C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y” Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x).

Подставим y*, y* ’, y* ” в (1): C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)[ y” Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) + P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка’(x) + P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)] + C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)[ y” Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) + P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка’(x) + P Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)] + C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)=f(x). Т.к. y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x), y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) решения ОДУ, то выражения []=0 Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаC’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) + C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)=0.

Объясним два условия и (3):

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)=0

C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)=f(x) (4)

Неопр-е ф-ии C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) и C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x).

Определитель этой системы: W[y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка, y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка]= Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка0 Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкарешая систему мы получим C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)= Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x),

C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)= Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) проинтегрируем и получим решение Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаC Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) и C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) найдены. Подставим в y*.

Для ЛНДУ n-го порядка ф-ии C Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x) определяются из системы:

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+…+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка=0

C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+…+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка=0

C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+…+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка=0

C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка+…+ C’ Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка(x)y Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка=f(x)

Алгоритм решения ЛНДУ

1) найти ФСР однородного уравнения и записать его общее решение (ОУ)

2) записать частное решение неоднородного ДУ в форме общего решения ОУ считая Ci=Ci (x)

3) построить систему для определения Ci ‘(x) – решить ее

4) найти Ci (x) и подставить их в общее решение НДУ

Видео:Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных уравненийСкачать

Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных уравнений

Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение

Линейным однородным уравнением n-го порядка называют уравнение вида

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаa – заданные непрерывные функции относительно x, так же коэффициенты уравнения.

Частные решения y1=y1(x) , y2=y2(x), …, yn=yn(x) уравнения образуют фундаментальную систему некотором интервале , если всюду в этом интервале отличен от нуля определитель Вронского

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка.

Ø С постоянными коэффициентамит.е. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

a – заданные действительные числа

Общее решение будет y=C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x)=0 y1(x) ,y2(x),…, yn(x) — частные решения уравнения, образующие фундаментальную систему в рассматриваемом интервале т.е. всюду отличен от нуля определитель Вронского. Частные решения будем искать в виде y=e kx

Подставив в уравнение и преобразовав получим характеристическое уравнение

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Уравнение имеет n решений. Эти корни будут действительными (простыми или кратными) или комплексными (простыми или кратными). Если комплексное число α+iβ является корнем, то сопряжённое число α —iβ тоже является корнем, так как уравнение имеет действительные коэффициенты.

· Каждому простому действительному корню k характеристического уравнения соответствует одно решение e kx исходного уравнения .

· Каждому действительному корню k кратности r характеристического уравнения отвечают r решений исходного уравнения вида e kx , xe kx , x 2 e kx , …, x r -1 e kx исходного уравнения

· Каждой паре комплексно сопряжённых корней k1= α+iβ и k2= α-iβ характеристического уравнения соответствует одна пара частных решений исходного уравнения

e αx cosβx и ie αx sinβx

· Каждой паре комплексно сопряжённых корней кратности μ k1= α+iβ и k2= α-iβ характеристического уравнения отвечают μ пар решений исходного уравнения

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

11. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного диф. Уравнения второго порядка.

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Общее решение данного уравнения представляется в виде суммы какого-либо частного решения y * =y * (x) этого уравнения и и общего решения Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкасоответствующего однородного уравнения т.е.

y= y * + Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаили y= y * (x) +C1y1(x)+C2y2(x)

Для доказательства нужно два факта:

1) Сумма y * + Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаудовлетворяет исходному уравнению при любых значениях входящих в него постоянных С1 и С2.

Подставляя данную сумму в исходное уравнение получим

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкано Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка— общее решение соответствующего однородного уравнения следовательно вторая скобка обращается нуль, а первая скобка равна f(x). Таким образом получаем тождество, что означает данная сумма удовлетворяет исходному уравнению.

2) Для любых начальных условий можно подобрать такие значения постоянных С1 и С2 , при которых функция y= y * (x) +C1y1(x)+C2y2(x) будет удовлетворять этим начальным условиям.

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Через определитель Вронского начальных условий

12. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка.

y * = C1(x)y1 +C2(x)y2 , где C1(x) и C2(x) – новые искомые функции. Одну из них можно выбрать произвольно или наложить на неё дополнительные требования, а вторую выбрать так чтобы функция y * = C1(x)y1 +C2(x)y2 была решением неоднородного уравнения.

Возьмём производную и получим Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкавозьмём что Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Тогда Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка. Возьмём ещё раз производную и представим представим что y * решение неоднородного уравнения т.е. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка

Но поскольку y1 и y2 – решения однородного уравнения суммы в скобках обращаются нуль получаем

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядказапишем вместе с Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаи получим систему двух линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка:

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаРешив систему найдём Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка, Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка. Интегрируя получим:

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка, Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка,где Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаи Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядка— произвольные постоянные, которые примем равные нулю. Подставляя найденное в y * = C1(x)y1 +C2(x)y2 получим искомое частное решение неоднородного уравнения y * = Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаy1 + Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения n го порядкаy2

🌟 Видео

Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Неоднородная система линейных уравнений

19. Общее решение линейного уравненияСкачать

19. Общее решение линейного уравнения

✓Дифференцируемая функция. Дифференциал | матан #032 | Борис ТрушинСкачать

✓Дифференцируемая функция. Дифференциал | матан #032 | Борис Трушин

Задача Коши ДУ I п. 1. Caushy`s ProblemСкачать

Задача Коши ДУ I п. 1.  Caushy`s Problem

Встреча с Путиным в общежитии МГУ на Воробьевых горах!Скачать

Встреча с Путиным в общежитии МГУ на Воробьевых горах!

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядка

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. часть 3Скачать

18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. часть 3

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Поделиться или сохранить к себе: