Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- § 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- Математика. Шпоры. Решение оду. Постановка задачи Коши для оду 1ого порядка разрешенных и неразрешенных относительно производной для норм систем оду и т д
- Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)
- Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
- Уравнения 1-го порядка n-ой степени относительно производной
- 2°. Уравнения вида f(y,y’)=0 и f(x,y’)=0
- 3°. Уравнения Лагранжа
- Уравнения Клеро
- 🔍 Видео
Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:
1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;
2) 
– обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;
3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;
4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;
5) 
– уравнение в частных производных первого порядка.
В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.
Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.
Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).
Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную 
в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).
Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.
Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).
Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.
Например, общее решение уравнения 
записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида
относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду
Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению
которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)
507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.
△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем
x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²
Это общее решение данного дифференциального уравнения.
Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲
508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.
△ Полагая 
, перепишем данное уравнение в виде
Проинтегрируем обе части уравнения:
, или 
Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем
▲
509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.
△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем
, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.
Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲
510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.
△ Преобразуем данное уравнение к виду 
. Интегрируя, получим
, или ln |y| = – arctg x + С
Это и есть общий интеграл данного уравнения.
Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,
ln у = – arctg х + π/4,
откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.
Видео:Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.schoolСкачать
Математика. Шпоры. Решение оду. Постановка задачи Коши для оду 1ого порядка разрешенных и неразрешенных относительно производной для норм систем оду и т д
| Название | Решение оду. Постановка задачи Коши для оду 1ого порядка разрешенных и неразрешенных относительно производной для норм систем оду и т д |
| Анкор | Математика. Шпоры.doc |
| Дата | 24.12.2017 |
| Размер | 0.93 Mb. |
| Формат файла |  |
| Имя файла | Математика. Шпоры.doc |
| Тип | Решение #12746 |
| Категория | Математика |
| страница | 1 из 4 |
Подборка по базе: 10 класс практикум генетические задачи МОРГАН.docx, Спасенкова О. М. Ситуационные задачи №2.docx, Тема 5. Ситуационные задачи по теме. Кровь. (1).docx, Задание. Пед. задачи (1).doc, Задание. Пед. задачи.doc, 14 решение задач равноускоренное.docx, ЕГЭ Обществознание — Пробный вариант №2 с решением.pdf, ТК Решение задач с использование циклов. Яндекс-Учебник Квест р, Задание Задачи кадровой политики компании ЛУКОЙЛ (18.02.22).docx, 3 задачи задание 2 гражданское право.docx
Решением ОДУ называется функция y(x), имеющая непрерывные производные нужного порядка, исходя из уравнений, при постановке которые уравнение превращается в точку. Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x) , имеющая на некотором интервале (a, b) производные y ‘( x ), y »( x ). y ( n ) ( x ) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Частное решение диф.ур.-ф-ция превращающая ур.в подмножество. Общее решение-все множество частных результатов. Задача Коши-нахождение решения ДУ, удовлетворяющего начальным условиям. ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной
Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система n-го порядка)
ОДУ n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной
| Общий вид ОДУ без выделения вектора произвольных постоянных C таков (см. п. 1.1.2):
Если (1) можно разрешить относительно старших производных, т. е. привести к виду
то путем увеличения числа неизвестных скалярных функций (см. п. 1.4.5) уравнение (2) всегда можно привести к нормальному виду
Поэтому в дальнейшем основным объектом изучения будет именно нормальная система (НС). Задача Коши, или начальная задача для уравнения (2) — это система, состоящая из (2) и начального условия
где t0 О R — начальный момент, y0 — начальное значение. Для (НС) начальное условие записывается в виде
Геометрический смысл задачи Коши (НС), (НУ) заключается в том, чтобы во множестве всех интегральных кривых системы (НС) найти ту, которая проходит через точку(t0, x0) (см. рис. 1).
График решения ОДУ y=f(x) называется интегральной кривой ДУ. Нахождение множества решений ДУ называют интегрированием ДУ | ||||||
| 2)Уравнения с разделяющимися переменными. 1. Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию
Пусть y(x) — решение этого уравнения, т.е. f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0. Интегрируя это тождество, получим 2. Так называются уравнения вида
Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными: Записываем уравнение (1) в форме Уравнение (2) делим на f2(x) g1(y): Эти уравнения — с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному. y = y3, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения. В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. | 7)ОДУ высших порядков. Простейшие случаи, допускающие понижение порядка уравнения.. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида: В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y ( n ) : Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Понижение порядка диф ур-ния – основной метод решения ур-ний высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем ур-ниям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка. Если f(x) – ф-ция непрерывная на некотором промежутке a 3.Линейное однородное уравнение первого порядка Общее решение: Линейное неоднородное уравнение первого порядка
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами
1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами
Находим фундаментальную систему решений и и общее решение однородного уравнения
2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных). Если известна фундаментальная система решений и однородного уравнения (3), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (1) может быть найдено по формуле
где функции и определяются из системы линейных алгебраических уравнений |  (4)Интегрируя, находим функции и и записываем общее решение неоднородного уравнения. 3. Используя начальные условия (2), находим решение задачи Коши Метод Бернулли. Одним из методов решения дифференциального уравнения Бернулли является сведение его к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка введением новой переменной . Действительно, при такой замене имеем
После решения этого уравнения и проведения обратной замены получаем искомое решение. | |||||
| 4.Структура решения линейного неоднородного ОДУ. Теорема (о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения: где – частное решение ДУ(1), y 0 – общее решение соответствующего однородного ДУ (2): y ( n ) + a 1 y ( n -1) + . +a n y = 0, Докажем теорему для уравнения второго порядка y // + py / + qy = f ( x ). (4) Рассмотрим соответствующее однородное ДУ: y // + py / + q = 0. (5) Обозначим y 1, y 2 его линейно независимые частные решения и y 0 = c 1 y 1 + c 2 y 2 – его общее решение.) Пусть – какое-то частное решение ДУ (4). Покажем, что решение (3) удовлетворяет ДУ (4). Подставим формулу (3) в ДУ (4) (предва-рительно найдём производные): Получаем тождественное равенство, так как первая скобка обращается в нуль в силу того, что y 0– общее решение однородного ДУ(5), а вторая скобка равна правой части, так как – частное решение ДУ (4). Теорема доказана.
то
|  5)Уравнение Бернулли, два метода его решения
Если α — действительное число, отличающееся от 0 и 1, т.к. при α=0 и α=1 ур-ние обращается в линейное. Данное ур-ние решается 2 способами: 1.Из него можно сделать линейное ур-ние, разделив :
2..Решать точно так же как и однородное ур-ние, поскольку левая часть у них одинаковая.
| ||||||
| 6.Рассмотрим уравнение вида F ( x , y , y ‘ ) = 0 , не разрешённое относительно производной. Если попытаться выразить из него y ‘ , то можно получить , вообще говоря , несколько уравнений Видео:ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производнойСкачать  Дифференциальные уравнения 1-го порядка, |
— общий интеграл (общее решение) этого уравнения. 
Исходное уравнение — с разделёнными переменными, интегрируя его, получим 
. Соотношение (x-1) 2 + y 3 = C — общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения x0 и y0, и найти значение постоянной C на этом решении: (2-1) 2 + 1 3 = 2 
C = 2. Таким образом, решение поставленной задачи: (x-1) 2 + y 3 = 2.
или (1)
, затем делим на g(y) и умножаем на dx: 
.
.
.
.
.
.
.
(1)
. (2)
. (3)
.
,
. При n = 1 это дифференциальное уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными 
.
и дифференциальное уравнение Бернулли примет вид
.
— решение уравнения
