Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Программированию нельзя научить, можно только научится
Главная » Уроки по Численным методам » Урок 14. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ с помощью матричных уравнений
Видео:Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.Скачать
Урок 14. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ с помощью матричных уравнений
Здесь и (i =1..m, j=1..n) — заданные, а — неизвестные действительные числа. Матричной записью системы линейных уравнений называется выражение вида: =, или кратко: = (2), где:
=
=
=
столбец свободных членов
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2. cn) называется решением системы(1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2. xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2. cn)T такой, что AC = B.
СЛУ называется совместной,или разрешимой, если она имеет, по крайней мере, одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений. Матрица , образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (1) решается следующей теоремой.
Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать
Теорема Кронекера-Капелли
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.
Система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Пример. Исследовать систему линейных уравнений Решение. Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц. Далее умножим вторую строку на -2 и сложим с третьей, а затем сложим третью строку с последней. Имеем . Ранг матрицы системы =3, так как матрица имеет три ненулевых строки, а ранг расширенной матрицы =4. Тогда согласно теореме Кронекера-Капелли система не имеет решений.
Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, — так называемые системы крамеровского типа: a11 x1 + a12 x2 +. + a1n xn = b1, a21 x1 + a22 x2 +. + a2n xn = b2, (3) . . . . . . an1 x1 + an1 x2 +. + ann xn = bn.
Системы (3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом.
Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A=0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (3) совпадает с вектором . Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.
Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать
Задание 1: Решить систему уравнений матричным способом в Excel
Ход решения:
Сначала надо записать систему в матричном виде и ввести ее на лист Excel:
, здесь ,
Затем надо с помощью Excel найти обратную матрицу для матрицы А.
Далее полученную матрицу нужно умножить на матрицу В.
Задание 2: Самостоятельно решить матричным способом систему уравнений
Ответ для самопроверки:
Видео:Теорема о количестве решений системы линейных уравненийСкачать
Определение общего решения СЛУ. Базисные и свободные неизвестные.
Системой уравнений называется общим решением совместная система A1x1+A2x2+…+Anxn=B (1), если выполняется следующее условие: A1’x1+A2’x2+…+An’xn=B (2) система (2) общее решение сист. (1) условия:1)система (1) и (2) должны быть равносильны 2)система векторов A1,A2. An в сист. уравнений (2) явл. Разрешённой системой векторов
Набор неизвестных системы уравнения (1) называются базисными, если векторы при этих неизвестных образуют базис системы A1A2…An не базисные неизвестные принято называть свободными.
Однородные СЛУ. Свойства однородной СЛУ. Теорема о нулевом и ненулевом решении СЛУ,
Однородная система— система, у которой все свободные члены равны нулю.
Однородная система—всегда совместна, так как x1=x2=x3=. =xn=0являетсярешением системы.
Теоремы о ненулевых решениях однородной системы:
Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r
а) вектора F1,F2..Fk линейно-независимы
б) k=n-r(A) – число решений равно разности количества неизвестных и ранга системы
Теорема об условии существования ФСР однородной СЛУ
Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.
Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
Исследование СЛАУ. Общие сведения
В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.
Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать
Общие сведения (определения, условия, методы, виды)
Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:
единственное решение;
бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
ни одного решения (несовместные СЛАУ).
Пример 1
Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.
Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .
Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .
Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:
Совместна ли система?
Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
Как найти все решения?
Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:
если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.
Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать
Ранг матрицы и его свойства
Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.
Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда
В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:
при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.
Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .
Свойства ранга матрицы:
квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .
(1)
и 
(i =1..m, j=1..n) — заданные, а 
— неизвестные действительные числа. 
=
, или кратко: 
= 
(2), 
=
=
=
, 
. 
. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.
, здесь 
, 
