Теорема бэкингема применима только к уравнениям

Методы теории подобия позволяют преобразовать ДУ Навье-Стокса, описывающие движение реальной жидкости, и получить общую функциональную зависимость между критериями ГД подобия, характеризующими силы, действующие при движении жидкости.

Уравнение Навье-Стокса для практических случаев решить чисто математически невозможно.

Преобразуем уравнение Навье-Стокса для оси OZ в соответствии с положениями теории подобия.

1. Отбрасываем знаки дифференциала;

2. Считаем геометрический размер z=l (линейным)

Для установившегося режима отсутствуют изменения технологической переменной во времени, поэтому в левой части уравнения заменяем отношение дифференциалов на отношение конечных величин.

3. Делим все слагаемые на ρ

4. Учитывая, что время может быть выражено

5. Делим правую часть на левую

Отражает влияние силы тяжести на движение жидкости и характеризует отношение сил инерции к силе тяжести в подобных потоках.

Это отношение сил давления к силе инерции. Отражает влияние перепада гидростатического давления на давление жидкости.

Отражает влияние силы трения на движение жидкости.

Помимо этих критериев имеет место:

Критерии Рейнольдса, Фруда и гомохромности составлены из величин определяющих распределение скоростей в потоке, и поэтому являются определяющими критериями ГД подобия.

Критерий Эйлера включает в себя абсолютное давление, которое нужно определить, т.к. если знать разность – известна движущая сила, поэтому он является определяемым критерием.

Т.о., чтобы процессы, происходящие в модели и в натуре, были подобны в сходных точках, должно осуществляться равенство:

Согласно второй теории подобия, критерии подобия должны быть связаны между собой критериальным уравнением:

Необходимо учитывать симплекс геометрического подобия.

Любую функциональную зависимость можно описать степенной функцией

Путем обработки опытных данных на моделях находят численные значения коэффициента А и степеней m,n,r,q и получают обобщенное критериальное уравнение ГД для данного процесса.

Если процесс установившийся:

При турбулентном движении капельных жидкостей и газов, перемещаемых с помощью насосов и компрессоров, влияние силы тяжести на распределение скоростей и перепад давления незначительно, поэтому Fr может быть исключен:

Некоторые физические величины, входящие в критерии подобия, целесообразно заменять на другие им пропорциональные, т.к. иногда бывает почти невозможно экспериментально определить ту или иную физическую величину, входящую в критерий подобия; поэтому используются производные от остальных критериев подобия.

Т.о. получают критерий подобия для естественной конвекции, т.е. движении, возникающем вследствие разности плотностей

Критериальное уравнение подобия процесса можно получить, используя метод анализа размерностей.

Один из методов обработки экспериментальных данных с получением критериального уравнения – π – теорема Бекингема, согласно которой общая функциональная зависимость, связывающая между собой n переменных величин при m основных единицах измерения может быть представлена в виде зависимости между (n-m) безразмерных комплексов этих величин, а при наличии подобия в виде связи между этим количеством критериев подобия.

Видео:Теорема Безу. 10 класс.Скачать

Пи-теорема Букингема

Определение типа этой зависимости возможно только путем экспериментов и требует большого количества экспериментов. Анализируя размеры стенда, можно уменьшить количество экспериментов, необходимых для решения поставленной задачи. Во-первых, давление (то есть величина падения давления, вызванного движением) рассчитывается по формуле (14. 21) предполагает, что это зависит от переменных. Это предположение основано на предварительных признаках физики phenomenon. It не всегда заранее понятно, какие переменные следует учитывать. Метод Бекингема основан на предположении, что уравнения, описывающие поведение системы, должны иметь равномерные размеры, поэтому уравнение.

Может быть записана в безразмерную переменную с помощью процедуры, аналогичной процедуре, используемой для вывода. Символ L обозначает безразмерную переменную и описывает этот результат в общем виде. «, = / («Я».). (14.22） Где формула(14. 21) (14. 22).Сюда входят только безразмерные переменные. Во-первых, формула(14. 21) Сколько получается безразмерных комплексов, то есть должно быть установлено значение r. Это значение определяется отношением. / = н-р, (14.23） Где n-число переменных. g-максимальное число переменных, в которых невозможно сформировать безразмерную комбинацию (значение g обычно равно числу базовых измерений).

Для рассматриваемой общей задачи формула(14. 21) от η= 8 выбор, вы можете видеть, что любая комбинация A, u и o не является безразмерной quantity. To проиллюстрируйте это, запишите такую комбинацию в следующем виде По (> ы(14.24） И затем мы заменяем каждую переменную на это измерение.： (14-25） M находится только в измерении p, T — только в измерении, и даже если выбрать значения a, b, c, то выражение(14. 25) не может быть безразмерным. Одно из оставшихся значений переменной(14. 25) найти значение индикатора, которое будет принято, как только будет показана формула без измерения. r = 3, поэтому он должен быть равен 5. Существует 5 независимых безразмерных групп NN n2, фунт. 1.

Интересное обсуждение этого вопроса было дано Бриджменом [14], а также размерным анализом в целом. Эффекты гравитации — это 1-эффекты поверхностного натяжения o, 1-быстрый C, 1-Давление p, связанные с эффектами. Поэтому мы выбираем безразмерную комбинацию так, чтобы каждая из переменных p, a, C и p входила только в 1 группу. С другой стороны, А и Р могут влиять практически на любой процесс, поэтому их присутствие допустимо в любом комплексе. напишите Л1 14.

• Форма этого уравнения, выраженная в 3 основных измерениях, является (14. Двадцать семь). Показатель степени переменной должен быть безразмерным в этом выражении. Это требует удовлетворения системы уравнений М, Б, Т 0 = с -> -^; 0 = а 4-Б-3С-о = — б-2а (14. Двадцать восемь） (14. 29.） (14. Тридцать） Решая эти уравнения, можно выразить все показатели любым из них. установите g и получите b =-2(1, c = — a и a = 0.Далее, формула(14. 22) содержит все неизвестные функции ETA, поэтому вы можете выбрать показатель C1, равный 1. = = Ec-это число Эйлера. Положите его в L2 (если R = −1） l2 = — число Рейнольдса, r * (14. Тридцать одна） (14. Тридцать два）14.

Аналогично, формула(14. 26) и (14. 32) заменяя 4-ю переменную последовательно на C и o, получим оставшуюся безразмерную величину l. As итог L3 = — = Er-число флюида. l4 =и/ C = M-число Маха. 55 =22Л / a = Ye — это число Вебера. (14.34)） (14. Тридцать пять） (14. Тридцать шесть） Уравнение для этой задачи (14.21) имеет вид: Она= /(та, ТМ, м, Ауэ). (14. Тридцать семь） Такая система из 5 безразмерных комплексов называется полной. Каждый из них зависит от другого.

Многие другие безразмерные переменные, например、 NeKg = 7? (14.38） Именно этот комплекс может помочь в изучении некоторых специальных проблем. К счастью, во многих случаях уравнение(14. 37) некоторые термины представляют собой незначительное воздействие. Вы можете упомянуть следующие проблемы, но некоторые из них были изучены аналитически в предыдущих главах. 1.Идеальное движение жидкости.

Это приближение может быть применено к расчетам производительности подъема профиля или вентилятора, если эффекты вязкости, силы тяжести, поверхностного натяжения и сжимаемости (число Маха) являются negligible. In в этом случае формула(14. 37) принимает вид: ЕІ = — ^ — = НБР, (14.39） Что можно считать модификацией уравнения Бернулли. 2.Если требуется только вязкое сопротивление, то поток в трубе или поток вокруг объекта, погруженного в жидкость. (14.40)） (Напомним, что это эквивалентно co или/.)Для обтекания цилиндра формула(14. 15) представляет собой формулу (14. Двадцать） ^ = / х(быть).

Для течения в гладкой трубе формула(13. 67) определяется коэффициентом сопротивления/. Ра _ _ / I2rL и 2P 2 Формула (7. 10) от、 м Уравнение / принимает вид 13. 8.Одежда. Они формируются уравнениями, поэтому нужно ввести количество флейт. Ра. 4.Быстрая езда. Барри в т и А. (14. Сорок один） График зависимостей/ 3.Поток вокруг поверхностной волны、 __ri8 (14.42） Ф(М / с). RL Для этого типа задач, необходимо usech. 17. 5.Движение распадающихся взвешенных частиц. (14.43).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Теорема Кронекера-КапеллиСкачать

Основы теории подобия. Анализ размерностей. Теорема Бекингема.

Блок

1. Ламинарное движение жидкости. Определение средней скорости течения.

При относительно небольших скоростях жидкость движется параллельными струйками, не смешивающимися друг с другом. Такое движение жидкости называют струйчатым или ламинарным. Струйки обладают различными скоростями: в слое, непосредственно соприкасающемся со стенками, вследствие прилипания скорость равняется нулю и достигает максимального значения в слое, движущемся по оси трубы.

Рассмотрим распределение скоростей и расход жидкости при установившемся ламинарном потоке.

Вследствие действия между слоями сил трения слои будут двигаться с неодинаковыми скоростями. Центральный цилиндрический слой у оси трубы имеет максимальную cкорость, по мере удаления от оси, скорость элементарных кольцевых слоёв будет уменьшаться.

Непосредственно у стенки скорость жидкости равна нулю .

Выделим в потоке жидкости, ламинарно движущейся по трубе с радиусом R, цилиндрический слой l и радиусом r.

Движение слоя происходит под действием сил давления P1 и P2 с обеих торцевых сторон цилиндра: (17), где P1 и P2 — гидростатическое давление в сечениях 1-1 и 2-2.

Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внутреннего трения, согласно закону Ньютона равна.

где Wr – скорость движения жидкости вдоль оси (18) , цилиндра на расстоянии r от оси.

F = 2prl – наружная поверхность цилиндра

m — вязкость жидкости.

В соответствии с законами динамики для установившегося движения можно написать уравнение : (19). После подстановки и сокращения переменных, получим выражение для (20)

При r = R, W = 0, а при r = 0, Wr = Wmax уравнение

.

Откуда Wr можно выразить через Wmax:

Уравнение (21) представляет собой закон Стокса, выражающий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении. Согласно этому закону скорость течения жидкости у стенки трубы равна нулю и максимальна по оси трубы.

Средняя скорость равна половине максимальной (22)

Для определения расхода жидкости при ламинарном движении рассмотрим элементарное кольцевое сечение с внутренним радиусом r и внешним радиусом (r + dr), площадь которого равна dS = 2prdr.

Умножая скорость слоя жидкости на площадь его сечения, получим расход жидкости:

dVсек = 2prdrWr (23), интегрируя выражение (23) найдём расход жидкости для всей площади сечения трубы. Интегрируя от r = 0 до R получим

Подставив вместо Wr его значение из выражения (20) и разделив расход жидкости на площадь сечения трубы найдём среднюю скорость:

Сопоставляя значение Wср со значением Wмакс, находим, что Wср равна половине Wмакс.

2. Турбулентное движение жидкости. Расчёт эквивалентного диаметра.

При относительно небольших скоростях жидкость движется параллельными струйками, не смешивающимися друг с другом. Такое движение жидкости называют струйчатым или ламинарным.

При турбулентном режиме движения частицы жидкости движутся с большими скоростями, беспорядочно в различных направлениях. Распределение скоростей по поперечному сечению трубопровода идёт по кривой, сходной с параболой, но только с более широкой вершиной и средняя скорость потока составляет 0,8-0,9 от максимальной.

У стенок трубы в очень тонком пограничном слое движение носит ламинарный характер. Характер движения жидкости зависит от скорости W жидкости, от диаметра d трубы, от плотности r жидкости и вязкости (m или n) жидкости. Переход от ламинарного течения к турбулентному происходит тем легче, чем больше массовая скорость жидкости rW и диаметр трубы d и чем меньше вязкость жидкости m. Рейнольдс установил, что указанные величины можно объединить в безразмерный комплекс Wdr/m, значение которого позволяет судить о режиме движения жидкости. Этот комплекс носит название критерия Рейнольдса:

Re = Wdr/m = Wd/n (26)

Переход от ламинарного к турбулентному движению характеризуется критическим значением Re_кр. Так, при движении жидкостей по прямым гладким трубам Re_кр » 2320. При Re 10000 – устойчивое турбулентное движение. При движении жидкости в трубах и каналах некруглого сечения в выражение критерия Re вместо диаметра подставляют величину эквивалентного диаметра d_экв,

где r – гидравлический радиус , f_пс – площадь поперечного сечения ,П – смоченный периметр ,d_экв – эмпирическое понятие

Основы теории подобия. Анализ размерностей. Теорема Бекингема.

Одним из основных принципов теории подобия является выделение из класса явлений (процессов), описываемых общим законом (процессы движения жидкостей, диффузии, теплопроводности и т.п.), группы подобных явлений. Подобными называют такие явления, для которых отношения сходственных и характеризующих их величин постоянны.

Различают следующие виды подобия: а) геометрическое; б) временное; в) физических величин; г) начальных и граничных условий.

Геометрическое подобие предполагает, что сходственные размеры натуры и модели параллельны, а их отношение выражается постоянной величиной.

Предположим, что изучается сложное явление — движение газа во вращающемся цилиндре (рис. 1). Чтобы исследовать процесс в данном аппарате, строим модель, соблюдая геометрическое подобие (рис. 1б), т.е. равенство отношений сходственных линейных размеров натуры и модели.

Рис. 1. К определению условий подобия натуры (а) и модели (б)

Если рассматриваемая система (натура, образец) находится в движении, то при наличии геометрического подобия все ее точки должны перемещаться по подобным траекториям сходственных точек подобной ей системы (модели), т.е. проходить геометрически подобные пути (точки А₁ и А₂). Геометрическое подобие соблюдается при равенстве отношений всех сходственных размеров натуры и модели:

Безразмерную величину а_l называют константой геометрического подобия, или масштабным (переходным) множителем. Константа подобия характеризует отношение однородных сходственных величин в подобных системах (в данном случае — линейных размеров натуры и модели) и позволяет перейти от размеров одной системы (модели) к другой (натуре).

Временное подобие предполагает, что сходственные точки или части геометрически подобных систем (натуры и модели), двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути в промежутки времени, отношение которых является постоянной величиной:

где Т₁ и Т₂ — время прохождения сходственными частицами всего аппарата, соответственно натуры и модели; t₁ и t₂ — время прохождения сходственными частицами подобных путей l₁ и l₂; а_t — константа временного подобия.

Подобие физических величин предполагает, что в рассматриваемых подобных системах (натуры и модели) отношение значений физических величин двух любых сходственных точек или частиц, подобно размещенных в пространстве и времени, есть величина постоянная. Например, если в натуре частица за время t₁ прошла путь l₁ (рис. 1а), а в модели — за время t₂путь l₂, то для сходственных точек А₁ и А₂ имеем

Подобие физических величин включает подобие не только физических констант, но и совокупности значений физических величин, или полей физических величин. Таким образом, при соблюдении геометрического и временного подобия будет соблюдаться также подобие полей скоростей, температур, концентраций и других физических величин, т.е. w₁/w₂ = a_w, t₁/t₂ = a_t; c₁/c₂ = а_с — константы.

Подобие начальных и граничных условий предполагает, что начальное состояние и состояние на границах систем (натуры и модели) подобны, т. е. отношения основных параметров в начале и на границах систем постоянны. Это справедливо лишь в тех случаях, когда для начальных и граничных условий систем выдерживаются геометрическое, временное и физическое подобия, т.е. L₁/L₂ = а_l; m₁/m₂ = а_m.

Если все сходственные величины, определяющие состояние данной системы (натуры) и подобной ей системы (модели), измерять в относительных единицах, т.е. брать сходственное отношение величин для каждой системы, то оно также будет величиной постоянной и безразмерной, например

Величины i_l, i_t и т.д. не зависят от соотношения размеров натуры и модели, т.е. для другой модели, также подобной натуре, значения i_l, i_t … будут те же. Таким образом, отношения геометрических размеров, времени и физических констант в данной системе (натуре) равны отношениям тех же величин в подобной системе (модели). При переходе от одной системы к другой, ей подобной, численное значение величин i_l, i_t … сохраняется. Поэтому безразмерные числа i,выражающие отношение двух однородных величин в подобных системах, носят название инвариантов подобия (invariantis (лат.) — неизменяющийся).

Инварианты подобия, представляющие собой отношения однородных величин, называют симплексами (simplex (лат.) — простой), или параметрическими критериями (например, отношение L₁/D₁ — геометрический симплекс). Инварианты подобия, выраженные отношением разнородных величин, называют критериями подобия. Обычно их обозначают начальными буквами имен ученых, внесших существенный вклад в данную область знания (например, Re — число, или критерий, Рейнольдса).

Явления, подобные между собой, характеризуются численно равными критериями подобия. Равенство критериев подобия — единственное количественное условие подобия процессов. Отсюда очевидно, что отношение критериев одной системы к критериям подобной ей системы всегда равно 1. Например, для натуры и модели Re₁ = Re₂ . Тогда

Если отношение констант подобия равно 1, оно носит название индикатора подобия и указывает на равенство критериев подобия. Следовательно, у подобных явлений индикаторы подобия равны единице (первая теорема подобия).Критерии подобия, которые составлены только из величин, входящих в условия однозначности, называют определяющими. Критерии же включающие также величины, которые не являются необходимыми для однозначной характеристики данного процесса, а сами зависят от этих условий называют определяемыми.

Любая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление (т.е. система дифференциальных уравнений), может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия (вторая теорема подобия):

Эту зависимость называют обобщенным (критериальным) уравнением, а критерии подобия К_i — обобщенными переменными величинами.

Таким образом, теория подобия дает возможность представить решение дифференциальных уравнений и обрабатывать экспериментальные данные в виде обобщенных критериальных уравнений.

Обычно уравнение (6) записывают в виде зависимости определяемого критерия подобия (в который входит искомая величина) от определяющих:

где К₁ — определяемый критерий подобия; значения А, n, т находят опытным путем.

Подобны те явления, которые описываются одной и той же системой уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности, т.е. явления подобны, если их определяющие критерии равны (третья теорема подобия.).

В основу метода анализа размерностей положена p — теорема Бекингема, согласно которой общую функциональную зависимость, связывающую между собой n переменных величин при m основных единицах их измерения, можно представить в виде зависимости между (n — m) безразмерными комплексами этих величин, а при наличии подобия — в виде связи между (n — m) критериями подобия.

Дата добавления: 2015-12-08 ; просмотров: 187 | Нарушение авторских прав

📹 Видео

Теорема Виета для многочлена 3 порядка. 10 класс.Скачать

Малая теорема Ферма и теорема Эйлера | Ботай со мной #037 | Борис Трушин !Скачать

✓ Теорема Больцано — Вейерштрасса. Подпоследовательности | матан #012 | Борис Трушин |Скачать

Билет 10 (Теорема Кронекера-Капелли)Скачать

✓ Основная теорема арифметики | Ботай со мной #015 | Борис ТрушинСкачать

✓ Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Коши | матан #022 | Борис ТрушинСкачать

Теорема Кронекера-Капелли. ТемаСкачать

Малая т. Ферма и т. Вильсона. Любимое доказательство ДА + Михаил Абрамович из @PostupashkiСкачать

Теорема Менелая | Математика | TutorOnlineСкачать

Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса | матан #010 | Борис Трушин |Скачать

6 Теорема ВильсонаСкачать

Теоремы XX века!Скачать

Теорема о среднемСкачать

Теорема Пуанкаре - Перельмана в психотерапииСкачать

✓ Теорема Чевы | Осторожно, спойлер! | Борис ТрушинСкачать

10. Многочлены с коэффициентами в полях. Теорема Вильсона.Скачать

Меняем порядок слагаемых: меняется сумма. Теорема Римана. Высшая математикаСкачать