Тема степень с рациональным показателем и ее свойства иррациональные уравнения

Кроме того, если p и q – произвольные рациональные числа, то

Замечание . Желающие могут ознакомиться с нашей презентацией «Степень с рациональным показателем», содержание которой связано с данным разделом.

Видео:Степень числа с рациональным показателем. 11 класс.Скачать

Понятие о степени с иррациональным показателем

Кроме степеней с рациональными показателями в математике и других точных науках большое значение имеют и степени с иррациональными показателями , однако их определение выходит за рамки курса средней школы. Упомянем лишь о том, что степень с иррациональным показателем строится с помощью предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями, которые являются приближениями иррационального показателя степени с недостатком и с избытком.

С понятиями степени с целочисленным показателем и арифметического корня можно ознакомиться в разделе «Степень с целочисленным показателем и арифметический корень» нашего справочника.

Графики степенных и показательных функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени. В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.

Навигация по странице.

Видео:Степень с рациональным показателем. Алгебра, 9 классСкачать

Свойства степеней с натуральными показателями

По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел, можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем:

1. основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение a n₁ ·a n₂ ·…·a n_k =a n₁+n₂+…+n_k ;
2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m :a n =a m−n ;
3. свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение (a₁·a₂·…·a_k) n =a₁ n ·a₂ n ·…·a_k n ;
4. свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n :b n ;
5. возведение степени в степень (a m ) n =a m·n , его обобщение (((a n₁ ) n₂ ) … ) n_k =a n₁·n₂·…·n_k ;
6. сравнение степени с нулем:
   • если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
   • если a=0 , то a n =0 ;
   • если a и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 , если a и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 ;
7. если a и b – положительные числа и a , то для любого натурального n справедливо неравенство a n n ;
8. если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0 выполняется неравенство a m n , а при a>0 справедливо неравенство a m >a n .

Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .

Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени: для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .

Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n , то есть, a m+n . На этом доказательство завершено.

Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень, имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 — верное, и оно подтверждает основное свойство степени.

Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n₁, n₂, …, n_k справедливо равенство a n₁ ·a n₂ ·…·a n_k =a n₁+n₂+…+n_k .

Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями: для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m :a n =a m−n .

Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0 , а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n показатель степени a m−n является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n ), либо отрицательным числом (что происходит при m ), а мы ведем разговор про свойства степени с натуральным показателем.

Доказательство. Основное свойство дроби позволяет записать равенство a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m . Из полученного равенства a m−n ·a n =a m и из связи умножения с делением следует, что a m−n является частным степеней a m и a n . Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π и натуральными показателями 5 и 2 , рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5 :π 2 =π 5−3 =π 3 .

Теперь рассмотрим свойство степени произведения: натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней a n и b n , то есть, (a·b) n =a n ·b n .

Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно a n ·b n .

Приведем пример: .

Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a₁·a₂·…·a_k) n =a₁ n ·a₂ n ·…·a_k n .

Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем .

Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени: частное действительных чисел a и b , b≠0 в натуральной степени n равно частному степеней a n и b n , то есть, (a:b) n =a n :b n .

Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , а из равенства (a:b) n ·b n =a n следует, что (a:b) n является частным от деления a n на b n .

Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .

Теперь озвучим свойство возведения степени в степень: для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень a m в степени n равна степени числа a с показателем m·n , то есть, (a m ) n =a m·n .

Например, (5 2 ) 3 =5 2·3 =5 6 .

Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: .

Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p , q , r и s справедливо равенство . Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3 ) 2 ) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем.

Для начала обоснуем, что a n >0 при любом a>0 .

Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a . Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень a n есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 и .

Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень a n есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0 . К примеру, 0 3 =0 и 0 762 =0 .

Переходим к отрицательным основаниям степени.

Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m , где m — натуральное. Тогда . По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a , значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a 2·m . Приведем примеры: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 , (−0,003) 17 и .

Переходим к свойству сравнения степеней с одинаковыми натуральными показателями, которое имеет следующую формулировку: из двух степеней с одинаковыми натуральными показателями n меньше та, основание которой меньше, а больше та, основание которой больше. Докажем его.

Неравенство a n n представляет собой произведение левых и правых частей n верных неравенств a , следовательно, в силу свойств неравенств справедливо и доказываемое неравенство вида a n n . Например, в силу этого свойства справедливы неравенства 3 7 >(2,2) 7 и .

Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства.

Докажем, что при m>n и 0 выполняется неравенство a m n . Для этого запишем разность a m −a n и сравним ее с нулем. Записанная разность после вынесения a n за скобки примет вид a n ·(a m−n −1) . Полученное произведение отрицательно как произведение положительного числа a n и отрицательного числа a m−n −1 ( a n положительна как натуральная степень положительного числа, а разность a m−n −1 отрицательна, так как m−n>0 в силу исходного условия m>n , откуда следует, что при 0 степень a m−n меньше единицы). Следовательно, a m −a n и a m n , что и требовалось доказать. Для примера приведем верное неравенство .

Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n и a>1 справедливо a m >a n . Разность a m −a n после вынесения a n за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1) . Это произведение положительно, так как при a>1 степень a n есть положительное число, и разность a m−n −1 есть положительное число, так как m−n>0 в силу начального условия, и при a>1 степень a m−n больше единицы. Следовательно, a m −a n >0 и a m >a n , что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2 .

Видео:Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

Свойства степеней с целыми показателями

Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

Степень с целым отрицательным показателем, а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m :a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n :b n ;
5. (a m ) n =a m·n ;
6. если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем a , то a n n и a −n >b −n ;
7. если m и n – целые числа, причем m>n , то при 0 справедливо неравенство a m n , а при a>1 выполняется неравенство a m >a n .

При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.

Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p ) q =a p·q , (a −p ) q =a (−p)·q , (a p ) −q =a p·(−q) и (a −p ) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.

Для положительных p и q равенство (a p ) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0 ) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0 ) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p ) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p ) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0 ) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0 ) 0 =a 0·0 .

Теперь докажем, что (a −p ) q =a (−p)·q . По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем . Так как 1 p =1·1·…·1=1 и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q) , которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q .

Аналогично .

И .

По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.

В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a . Доказываемое неравенство по определению степени с целым отрицательным показателем можно переписать как . Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: . Так как по условию a , то по свойству степени с натуральным показателем a n n , следовательно, b n −a n >0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.

Видео:11 класс, 8 урок, Понятие степени с любым рациональным показателемСкачать

Свойства степеней с рациональными показателями

Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0 ;
3. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0 , а если и , то при a≥0 и (или) b≥0 ;
4. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0 , а если , то при a≥0 и b>0 ;
5. свойство степени в степени при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b , a и рациональном p при p>0 справедливо неравенство a p p , а при p – неравенство a p >b p ;
7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q , p>q при 0 выполняется неравенство a p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .

Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a и рациональном p при p>0 справедливо неравенство a p p , а при p – неравенство a p >b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p и p>0 в этом случае будут эквивалентны условия m и m>0 соответственно. При m>0 и a по свойству степени с целым положительным показателем должно выполняться неравенство a m m . Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, a p p .

Аналогично, при m имеем a m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .

Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p>q при 0 выполняется неравенство a p q , а при a>0 – неравенство a p >a q . Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q , пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m₁ и m₂ – целые числа, а n — натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m₁>m₂ , что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0 должно быть справедливо неравенство a m₁ m₂ , а при a>1 – неравенство a m₁ >a m₂ . Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0 выполняется неравенство a p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№17 - Степень с рациональным и действительным показателем.)Скачать

Свойства степеней с иррациональными показателями

Из того, как определяется степень с иррациональным показателем, можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p :a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p :b p ;
5. (a p ) q =a p·q ;
6. для любых положительных чисел a и b , a и иррациональном p при p>0 справедливо неравенство a p p , а при p – неравенство a p >b p ;
7. для иррациональных чисел p и q , p>q при 0 выполняется неравенство a p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .

Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.

Видео:СТЕПЕНИ с рациональным показателям СТЕПЕНИ с действительным показателямСкачать

Степень с рациональным показателем

Мы уже знакомы с понятием степени с целым показателем. Давайте разберемся, что такое степень с рациональным показателем.

Рациональный показатель – это выражение вида (frac

), где (p)-некоторое целое число, а (q) – натуральное число, причем (qge2).

Положительное число (a) в рациональной степени (frac

) является арифметическим корнем степени (q) из числа (a) в степени (p):

Обращаем ваше внимание, что

Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень или возвести в степень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте.

Пусть есть некоторое положительное число (a) и целое число (p), тогда справедливы следующие соотношения:

где (k) и (q) – натуральные числа большие 1.

Давайте попробуем их доказать:

Из определения степени с рациональным показателем следует, что:

Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:

Третья формула на наш взгляд очевидна, просто сократить степень справа и получите исходное выражение.

Видео:Степень числа с рациональным показателем. Практическая работа. 11 класс.Скачать

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть (a) и (b) – некоторые положительные числа, а числа (m) и (n) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:

При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени складываются.

При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени вычитаются.

При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.

Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.

Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.

И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.

Пусть опять есть некоторое положительное число (a>1) и рациональные числа (n) и (m).

При (n gt 0) (a^n gt 1),

При (n lt 0) (0 lt a^n lt 1).

Если же (a gt 1) и (n gt m), то

Если ( 0 lt a lt 1 ) и (n gt m), то

Разберем несколько примеров:

Так как основание степени больше единицы (3 gt 1) и (frac lt frac).

Так как (0 lt frac lt 1) и (frac lt frac)

Описание урока

От успешной сдачи государственного экзамена по математике зависит поступление в высшее учебное заведение. Степень с рациональным показателем – важная тема, изучение которой необходимо для успешной подготовки к ЕГЭ. От того, насколько хорошо она освоена, зависит в будущем, насколько легко будет решать уравнения и производить более сложные операции с числами. Задание номер 15 строится на умении работать с такими степенями. Чтобы понимать, о чём идёт речь, стоит ознакомиться с определением степени с рациональным показателем и её основными свойствами, которые пригодятся и при работе с функциями.

Степенью числа А, рациональный показатель которого равен p делённому на q, называют выражение, где под корнем степени q находится возведённое в степень p число A. Чтобы более наглядно рассмотреть это явление, разберём пример. Допустим, число 3 возводится в степень 2/4. Тогда изначальное выражение приобретёт следующий вид: корень четвертой степени от 3 в квадрате. 3 во второй степени — 9. Корень четвертой степени из 9 сложно рассчитать без помощи калькулятора, но существуют примеры, где корень n-ой степени из подкоренного выражения легко извлекается.

Важно запомнить, что число А не должно быть меньше 0, а число q не равно 1.

Свойства степени с рациональным показателем

Знание свойств степеней с показателем, равным рациональному числу, облегчает работу с уравнениями и функциями, где содержатся такие выражения. Внимательно их изучив, можно достаточно быстро выполнять задания, что немаловажно в процессе написания ЕГЭ.

Одно из основных свойств: произведение двух степеней с одинаковым основанием равно основанию в степени, равной сумме степеней двух множителей.

При делении степеней с рациональным показателем из показателя делимого вычитают показатель делителя. У степени с рациональным показателем есть и другие свойства, которые также присущи степени с обыкновенным показателем. Их легко запомнить, а чтобы примеры помогли внимательнее рассмотреть свойства, посмотрите видео, в котором о них рассказывается подробнее.

Видео:11 класс, 6 урок, Свойства корня n-й степениСкачать

Мерзляк 10 класс Контрольная 3

Алгебра. Мерзляк 10 класс Контрольная 3 в четырех вариантах. Контрольная работа по алгебре в 10 классе «Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир (базовый уровень). Транскрипт заданий. Решения и ответы только на 2 варианта (для родителей).

Алгебра 10 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 3

Тема: Степень с рациональным показателем и её свойства.
Иррациональные уравнения и неравенства

Проверяемые темы (параграфы) учебника: 10) Определение и свойства степени с рациональным показателем. 11) Иррациональные уравнения. 12) Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений. 13) Иррациональные неравенства.

Вариант 1

1. Найдите значение выражения:
   1) 5 • 64 1/2 ; 2) 125 –1/3 ; 3) 81 1,25 ; 4) (2 7 /₉) –1,5 .
2. Упростите выражение: 1) а 0,6 • а 3,4 ; 2) а –3/7 а 5/14 ; 3) (a 5/12 ) 3/25 ; 4) а 7/15 : а 1/6 ; 5) (a –0,8 ) 4 • (a –1,4 ) –2 : (a 0,4 ) –6 ; 6) (a 5/18 b 10/27 ) 9/5 .
3. Решите уравнение √[2х + 8] = х.
4. Сократите дробь: 1) (m – 3m 1/3 )/(m 2/3 – 3); 2) (m 1/2 – n 1/2 )/(m 1/4 + n 1/4 ); 3) (x 1/3 – 2x 1/6 y 1/6 + y 1/3 ) / (x 1/2 y 1/3 – x 1/3 y 1/2 ).
5. Решите уравнение: 1) √[х – 4] + 2 4 √[х – 4] = 35; 2) √[х + 5] – √[8 – х] = 1.
6. Решите неравенство √[8х + 9] ОТВЕТЫ на контрольную работу

Ответы на КР-3 Вариант 1

Ответы на КР-3 Вариант 2

Вы смотрели: Алгебра. Мерзляк 10 класс Контрольная 3 в 4-х вариантах. Контрольная работа по математике в 10 классе «Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства» по УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Транскрипт заданий. Решения и ответы только на 2 варианта (для родителей).

(с) Цитаты из пособия «Алгебра 10 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Добавить комментарий Отменить ответ

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

Видео:Степень с рациональным показателем | Алгебра 9 класс #11 | ИнфоурокСкачать

Предметы

Видео:Тема 1. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Степень с действительным показателемСкачать

Новые работы

Видео:8 класс, 38 урок, Иррациональные уравненияСкачать

Найти контрольную:

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Авторы работ и УМК

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№20 - Иррациональные уравнения и неравенства.)Скачать

Предметы

Видео:Степень числа с иррациональным показателем. Практическая работа. 11 класс.Скачать

Важные страницы

Соглашение о конфиденциальности

(с) 2020-2022. Дистанционный информационный Центр НПИ (г.Москва). Бесплатная помощь школьникам, находящимся на домашнем или семейном обучении. Цитаты из учебных пособий размещены в учебных целях. Контакты: kip1979@mail.ru

Видео:Степень с рациональным и действительным показателем. Теория. Видеоурок 4. Алгебра 10 классСкачать

Популярное

Видео:Корни n-й степени. Вебинар | МатематикаСкачать

Предупреждение

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, пользовательских данных (сведения о местоположении; тип и версия ОС; тип и версия Браузера; тип устройства и разрешение его экрана; источник откуда пришел на сайт пользователь; с какого сайта или по какой рекламе; язык ОС и Браузера; какие страницы открывает и на какие кнопки нажимает пользователь; ip-адрес) в целях функционирования сайта, проведения ретаргетинга и проведения статистических исследований и обзоров. Если вы не хотите, чтобы ваши данные обрабатывались, покиньте сайт.

📺 Видео

✓ Про степень с действительным показателем | В интернете опять кто-то неправ #005 | Борис ТрушинСкачать

СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

	a p a q = a p + q , a > 0 ,
	(a p ) q = a pq , a > 0 ,
	(ab) p = a p b q , a > 0 , b > 0 ,