Решение. Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести

Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Реакция в опоре R. Прикладываем силу инерции в обратную от ускорения сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу, становится уравновешенной, и можно составить уравнения равновесия. Наносим систему координат и составляем уравнения проекций сил.

где .Fдв — движущая сила;

G — сила тяжести; R — реакция опоры;

Fин — сила инерции; f — коэффициент трения.

Пример 2.Тело весом 3500 Н движется вверх по наклонной плоскости согласно уравнению

S= 0,16 t 2 (рис. 14.5). Определить величину движущей силы, если коэффициент

трения тела о плоскость f = 0,15.

1. Составим расчетную схему, выберем систему координат с осью Ох вдоль наклонной плоскости.

Активные силы: движущая, сила трения, сила тяжести. Наносим реакцию в опоре перпендикулярно плоскости. Чтобы верно направить силу инерции, необходимо знать направление ускорения, определить это можно по уравнению движения.

При а > 0 движение равноускоренное.

2. Определяем ускорение движения:

Силу F_ин направим в обратную от ускорения сторону.

3. По принципу Даламбера составим уравнения равновесия:

4. Подставим все известные величины в уравнения равновесия: .

Выразим неизвестную силу и решим уравнение:

Содержание

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)
Работа и мощность при поступательном движении
Условие задачи
Решение 1
Решение 2
Решение 3
💡 Видео

Видео:Тело массой 2 кг под действием силы F перемещается вверх по наклонной плоскости на - №22978Скачать

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)

Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач. Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разгоняющимся телом (к связям).

Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к активно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к материальной точке, становится уравновешенной, и можно при решении задач динамики использовать уравнения статики.

Принцип Даламбера:

Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в равновесии:

Порядок решения задач с использованием принципа Даламбера

Составить расчетную схему.
Выбрать систему координат.
Выяснить направление и величину ускорения.
Условно приложить силу инерции.
Составить систему уравнений равновесия.
Определить неизвестные величины.

Примеры решений задач

Пример 1. Рассмотрим движение платформы по шероховатой поверхности с ускорением (рис. 14.4).

Решение

где F_rb — движущая сила; Fтр – сила трения; G — сила тяжести; R — реакция опоры; F_mi — сила инерции; f — коэффициент трения.

Пример 2. Тело весом3500 Н движется вверх по наклонной плоскости согласно уравнению S =0,16t 2 (рис.14.5). Определить величину движущей силы, если коэффициент трения тела о плоскость f=0,15.

Решение

1. Составим расчетную схему, выберем систему координат с осью Ох вдоль наклонной плоскости.

При а > 0 движение равноускоренное.

2. Определяем ускорение движения:

a = v’ = S»; v = S’ = 0,32t; a = v’ = 0,32 м/с 2 > 0.

Силу F_ин направим в обратную от ускорения сторону.

3. По принципу Даламбера составим уравнения равновесия:

4. Подставим все известные величины в уравнения равновесия:

Выразим неизвестную силу и решим уравнение:

F_дв = 3500 • 0,5 + 0,15 * 3500 • 0,866 + 3500 • 0,32 / 9,81 = 2318,8 Н.

Пример 3. График изменения скорости лифта при подъеме известен (рис. 14.6). Масса лифта с грузом 2800 кг. Определить натяжение каната, на котором подвешен лифт на всех участках подъема.

Решение

1. Рассмотрим участок 1 — подъем с ускорением. Составим схему сил (рис. 14.7). Уравнение равновесия кабины лифта:

где Т — натяжение каната; G — сила тяжести; F_И_H — сила инерции, растягивающая канат.

Для определения ускорения на участке 1 учтем, что движение на этом участке равнопеременное, скорость v = v_o + at; v₀ = 0. Следовательно, ускорение:

Определяем усилие натяжения каната при подъеме с ускорением

T₁ = 2800(9,81 + 1,25) = 30968H; T₁ = 30,97кН.

2. Рассмотрим участок 2 — равномерный подъем.

Ускорение и сила инерции равны нулю. Натяжение каната равно силе тяжести.

3. Участок 3 — подъем с замедлением.

Ускорение направлено в сторону, обратную направлению подъема. Составим схему сил (рис. 14.8).

Уравнение равновесия: F_ИН3 + Т₃ — G = 0. Отсюда

Ускорение (замедление) на этом участке определяется с учетом того, что v = 0.

Натяжение каната при замедлении до остановки:

Т₃ = 2 800 ^9,81 — 0 = 25 144 Н; Г₃ — 25,14 кН.

Таким образом, натяжение каната меняется при каждом подъеме и опускании, канат выходит из строя в результате усталости материала. Работоспособность зависит от времени.

Пример 4. Самолет выполняет «мертвую петлю» при скорости 160 м/с 2 , радиус петли 1000 м, масса летчика 75 кг. Определить величину давления тела на кресло в верхней точке «мертвой петли».

1. Схема сил, действующих на летчика (рис. 14.9):

гдеG — сила тяжести,R— реакция в опоре, F_ИН п — сила инерции.

Сила давления летчика на кресло равна силе давления опоры на летчика.

Уравнение равновесия (движение равномерное по дуге, действует только нормальное ускорение): F»_H — G — R = 0;

Пример 5. Жесткая рамка с грузом G массой т = 10 кг равномерно вращается с частотой n = 1200 об/мин (рис. 1.61, а). Определить реакции опор при нижнем (показанном на рисунке) положении груза. Массу рамки не учитывать.

Решение

Активной силой, действующей на рамку, является сила тяжести груза

Освободив^ рамку от связей, прикладываем к ней реакции опор V_А и V_В (рис. 1.61,6).

Мысленно остановив рамку, прикладываем к ней в точке крепления груза центробежную силу инерции

Так как рамка вращается равномерно, касательное ускорение груза равно нулю и полное его ускорение равно нормальному. Соответственно полная сила инерции равна центробежной силе инерции груза.

Нормальное ускорение направлено к оси вращения, сила инерции — противоположно (рис. 1.61,6).

Определим величину нормального ускорения:

Сила инерции и сила тяжести в заданном положении груза суммируются:

В данном случае сила тяжести значительно меньше силы инерции и, вообще говоря, можно было бы силой тяжести пренебречь.

Составляя уравнения равновесия

Пример 6. По подкрановой балке (рис.1.62) перемещается тельферная тележка, грузоподъемность которойm = 10 4 кг. Определить добавочные динамические реакции опор балки при указанном на рисунке положении тележки, если тележка поднимает максимальный груз с ускорением а = 6,5 м/с 2 .

Решение

Добавочные динамические реакции V_А и V_в опор балки возникнут от силы инерции груза

Сила инерции направлена вниз, так как ускорение груза направлено вверх.

Освобождаем балку от связей и заменяем их действие реакциями V_А и V_в.

Составляем уравнения равновесия:

Решая уравнения, находим:

Контрольные вопросы и задания

1. Объясните разницу между понятиями «инертность» и «сила инерции».

2. К каким телам приложена сила инерции, как направлена и по какой формуле может быть рассчитана?

3. В чем заключается принцип кинетостатики?

4. Задано уравнение движения материальной точки S = 8,6 t 2 . Определите ускорение точки в конце десятой секунды движения.

5. Тело движется вниз по наклонной плоскости (рис. 14.10). Нанесите силы, действующие на тело; используйте принцип Даламбера, запишите уравнение равновесия.

6. Лифт спускается вниз с ускорением (рис. 14.11). Нанесите силы, действующие на кабину лифта, используя принцип кинетостатики, запишите уравнения равновесия.

7. Автомобиль въезжает на арочный мост с постоянной скоростью v (рис. 14.12). Нанесите силы, действующие на автомобиль в середине моста, используя принцип кинетостатики, запишите уравнения равновесия.

Работа и мощность при поступательном движении

Видео:Движение тела вверх и вниз по наклонной плоскости с учётом тренияСкачать

Условие задачи

Тело М весом G=50 кГ равномерно перемещается вверх по наклонной плоскости, длина которой l=4 м и угол подъема α=20° (рис. 255, а). Определить работу, производимую силой, направленной параллельно наклонной плоскости, и коэффициент полезного действия наклонной плоскости. Коэффициент трения f=0,2.

Видео:Тело массой 3 кг под действием силы F перемещается вниз по наклонной плоскости на - №22984Скачать

Решение 1

1. При движении тела М (примем его за материальную точку) вверх по наклонной плоскости на него действуют четыре силы: вес G, нормальная реакция наклонной плоскости N, движущая сила Р и сила трения F (рис. 255, б).

2. Работа силы Р при перемещении тела по длине наклонной плоскости
A = Pl.

3. Найдем необходимую для перемещения тела М силу Р.

Расположив оси координат, как показано на рис. 255, б, составим два уравнения равновесия:
(1) ∑ X_i = 0; P — G sin α — F = 0;
(2) ∑ Y_i = 0; N — G cos α = 0.

Дополним эти уравнения третьим уравнением, выражающим основной закон трения:
(3) F = fN.

Из уравнения (1)
P = G sin α + F.

Вместо силы трения F подставим ее значение из уравнения (3):
P = G sin α + fN,
а вместо нормальной реакции N подставим ее значение из уравнения (2):
P = G sin α + fG cos α = G(sin α + f cos α).

4. Следовательно, работа силы P
А = Gl(sin α + f cos α).

После подстановки в это уравнение числовых значений
A = 50*4(sin 20° + 0,2 cos 20°) = 106 кГ*м.

Для перевода в СИ достаточно умножить на ускорение свободного падения g=9,81 м/сек 2 .

5. Находим к. п. д. наклонной плоскости:
η = A_пол/A.

Полезная работа состоит в подъеме тела весом G на высоту h=l sin 20°, поэтому
η = A_пол/A = (Gl sin 20°)/A = (50*4*sin 20°)/106 = 0,644.

Видео:Вес тела. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Решение 2

1. Можно считать, что на тело М действуют не четыре, а три силы: G – вес тела, движущая сила Р и полная реакция поверхности реальной связи R, равная геометрической сумме сил N и F (рис. 255, в).

Реакция реальной связи R, как известно (§ 15), при движении отклоняется от нормали к поверхности связи на величину угла трения φ₀, причем tg φ₀=f, где f – коэффициент трения.

2. Так как на тело М действуют только три силы и они образуют уравновешенную систему (тело М, принятое за материальную точку, движется равномерно и прямолинейно), силовой треугольник ABC, построенный из этих сил, является замкнутым.

3. По рис. 255, в можно определить, что в силовом треугольнике ABC угол B=90°-α, угол A=φ₀+α. Следовательно,
∠C = 180° — (∠B + ∠A) = 180° — (90° — α + φ₀ + α) = 90° — φ₀.

Видео:подвижный клин наклонная плоскостьСкачать

Решение 3

1. Известно, что при действии на точку нескольких сил алгебраическая сумма работ всех сил на некотором пути равна работе равнодействующих этих сил (Е. М. Никитин, § 83).

2. В данном случае на тело М, которое примем за материальную точку, действуют четыре силы: вес G, нормальная реакция наклонной плоскости N, сила трения F и движущая сила Р (см. рис 255, б).

3. Точка М движется равномерно и прямолинейно. Равнодействующая сил, действующих на точку, равна нулю, и, следовательно, алгебраическая сумма работ, производимых силами G, N, F и Р на длине l наклонной плоскости, также равна нулю:
A_G + A_N + A_F + A_P = 0.

4. Находим отсюда работу силы Р:
(а) A_P = -(A_G + A_N + A_F),
где работа силы G
A_G = Gl cos (90° + α) = -Gl sin α
работа силы N, направленной перпендикулярно к направлению движения точки, равна нулю:
A_N = Nl cos 90° = 0;
работа силы F
A_F = Fl cos 180° = -Fl = -fGl cos α,
так как сила трения
F = fN = fG cos α.