Текстовые задачи на квадратные уравнения 8 класс сборник (8 видео)

Текстовые задачи на квадратные уравнения 8 класс сборник

3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Задачи на составление квадратных уравнений

425. 1) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 1201. Найти эти числа.

2) Сумма квадратов двух последовательных четных чисел равна 1060. Найти эти числа.

3) Сумма квадратов двух последовательных нечетных чисел равна 1354. Найти эти числа.

426. 1) Возможен ли такой прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются: а) тремя последовательными целыми числами, б) тремя последовательными четными числами, в) тремя последовательными нечетными числами?

2) Возможен ли такой выпуклый многоугольник, в котором число всех диагоналей было бы равно 12?

3) В каком выпуклом многоугольнике число сторон равно числу всех его диагоналей?

427*. При каком основании системы счисления число 314 запишется как 222?

428*. При каком основании системы счисления справедливо равенство:

1) 532 — 244 = 244; 2) 152 = 321?

429. При умножении двух чисел, из которых одно на 10 больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив на единицу цифру сотен в произведении. При делении (для проверки ответа) полученного произведения на меньший из множителей он получил в частном 45, а в остатке 14. Найти множители.

430. От дома до школы 400 м. Ученик старшего класса делает на этом пути на 300 шагов меньше, чем ученик младшего класса, так как у него шаги на 30 см больше. Определить длину шага каждого ученика.

431. Для перевозки 60 т груза за один рейс было затребовано некоторое количество автомашин определенной грузоподъемности. На перевозку были направлены автомашины грузоподъемностью на полтонны меньшей, но на 4 автомашины больше. Какое количество автомашин было затребовано?

432. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 10 км/ч, прошла вниз по течению 91 км и вернулась обратно. Определить скорость течения реки, зная, что на весь путь было затрачено 20 ч.

433. Поезд должен был пройти 220 км в определеннее время. Однако через 2 ч движения он был задержан на 10 мин, и, чтобы прийти вовремя в место назначения, он увеличил скорость на 5 км/ч. Определить первоначальную скорость поезда.

434. Из колхоза в город, расстояние между которыми 35 км, выехал велосипедист. Через 30 мин из того же колхоза по той же дороге в город выехал второй велосипедист, который за час проезжал на 2 км больше первого. Сколько километров в час проезжал каждый велосипедист, если известно, что второй догнал первого велосипедиста, не доезжая 5 км до города?

435. Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния в 325 км, в новом расписании сокращено на 40 мин. Определить среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию, если она на 10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым расписанием.

436. Одна бригада выполняла задание в течение 3,5 дней, затем она была заменена второй, которая закончила работу за 6 дней. За сколько дней каждая бригада в отдельности выполнила бы задание, если известно, что второй бригаде для этого нужно на 5 дней больше, чем первой?

437. Числитель дроби на 2 больше ее знаменателя. Если сложить эту дробь с обратной ей дробью, то получится 2 4 /₃₅. Найти исходную дробь.

438. Бак имеет два крана, через первый он наполняется, через второй опоражнивается, причем опоражнивается на 1 мин быстрее, чем наполняется. Однажды, когда бак был наполнен до половины, открыли оба крана, и через 10 мин бак опорожнился. Oпреде лить, за сколько минут первый кран наполнит бак, если второй будет закрыт.

439*. Два автомобиля выехали в одном и том же направлении одновременно из одного пункта. Скорость первого автомобиля 50 км/ч, а скорость второго — 40 км/ч. Спустя 0,5 ч из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль, который обогнал второй автомобиль, а после этого через 1,5 ч догнал первый автомобиль. Определить скорость третьего автомобиля.

440*. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 сек скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Определить скорости точек.

441. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой меди, а второй кусок — 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого?

442. Расстояние между станциями А и В равно 120 км. Из А в В отправляется один поезд, а через 3 ч другой, проходящий в час на 10 км больше первого. Второй поезд прибывает в В на 2 ч позже первого. Сколько времени находился в пути первый поезд?

443. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу — первый из А, а второй из В — и встретились через 3 ч. За сколько времени прошел расстояние между пунктами каждый пешеход, если первый пришел в В на 2,5 ч позже, чем второй пришел в А?

444. Двое рабочих, работая совместно, могут выполнить некоторую работу за 6 ч. Если сначала первый рабочий выполнит половину этой работы, а затем другой — остальную ее часть, то работа будет закончена за 12 ч 30 мин. Во сколько времени каждый рабочий, работая отдельно, может выполнить всю работу?

445. Из шахматного турнира двое участников выбыли, причем один сыграл 10 партий, а второй только одну. Поэтому в турнире было сыграно всего 55 партий. Определить, играли ли выбывшие участники между собой и сколько было участников первоначально.

Решить следующие задачи и исследовать полученные решения.

446. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый из них сыграл по одной партии с каждым из остальных участников, а всего было сыграно а партий? Какие значения может принимать параметр а?

447. Для отправки п пионеров в лагерь было заказано несколько автобусов. К назначенному времени один автобус не прибыл, поэтому в каждый автобус пришлось посадить на 5 человек больше, чем предполагалось. Сколько автобусов было занято перевозкой пионеров?

448. Автомобиль должен был пройти S км за определенное время. Пройдя 18 км, он сделал остановку на 15 мин и, чтобы прийти вовремя, увеличил скорость на т км/ч. Найти первоначальную скорость автомобиля.

449. Из двух станций, расстояние между которыми а км, были отправлены навстречу друг другу два поезда. Один поезд вышел на час раньше другого со скоростью на т км/ч меньшей скорости другого поезда. Определить скорость каждого поезда, если известно, что они встретятся на середине пути.

450. Пароход прошел по течению реки т км и вернулся обратно, затратив на весь путь 8 ч. Найти собственную скорость парохода, зная, что скорость течения реки равна
3 км/ч.

451. В раствор, содержащий Р г соли, добавили 100 г воды, после чего концентрация раствора уменьшилась на 25%. Сколько воды содержал раствор?

452. Выпуклый многоугольник имеет всего d диагоналей. Сколько у этого многоугольника внутренних углов?

453. Число всех диагоналей выпуклого многоугольника на а больше числа его сторон. Определить число сторон этого многоугольника. Найти число сторон многоугольника, соответствующее наименьшему положительному значению параметра а.

454. Две силы приложены к телу под прямым углом друг к другу. Одна из этих сил на b кГ больше другой, а их равнодействующая на 2b кГ меньше суммы этих сил. Найти величину каждой составляющей силы.

455. К окружности из одной точки проведены касательная и секущая. Длина секущей равна 20 см. Найти длину касательной, если она на а см больше внешней части секущей.

456. В прямоугольном листе жести со сторонами а см и b см (а > b) требуется вырезать прямоугольное отверстие площадью S см 2 так, чтобы его края были на одинаковом расстоянии от краев листа. Определить это расстояние.

457*. Перевозка одной тонны груза от пункта М до пункта N по железной дороге обходится на b коп. дороже, чем водным путем. Сколько тонн груза можно перевезти из М в N по железной дороге на сумму 5 руб., если водным путем на ту же сумму можно перевезти на k тонн больше, чем по железной дороге?

Содержание

Урок алгебры для 8-го класса по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений»
Решение задач с помощью квадратных уравнений
Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений
Примеры
📸 Видео

Видео:Урок 98 Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений (8 класс)Скачать

Урок алгебры для 8-го класса по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

Разделы: Математика

Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Цели урока:

Закрепить навыки решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений;
Развивать у учащихся внимание при чтении условия задачи и выборе способа решения уравнения;
Воспитание ответственности и коллективизма у учащихся.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, графопроектор, шесть конвертов с шестью карточками, на каждой из которых написана задача.

Структура урока:

Организационный момент: замена тетрадей, учащиеся рассаживаются по группам: 6 групп по 5-6 человек в каждой, группы составлены разноуровневые– 3 мин.
Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений, сообщение темы, цели и задач урока -2 мин
Актуализация изученного материала:
- Вопросы:
- - Какое уравнение называется квадратным?
  - Что показывает дискриминант?
  - Формулы корней квадратного уравнения?
- Задания для устного решения Презентация 1 – 7 мин:
- - Решить уравнения;
  - Найти натуральный корень уравнения.
Решение задач (работа в группах):

Каждой группе предлагается конверт с 6 задачами. Набор задач у каждой группы одинаков. Каждый ученик выбирает себе задачу и решает ее. В первую очередь выбирать задачи № 1-5. Возможно советоваться с ребятами из своей группы. Учитель контролирует процесс и, в случае необходимости, оказывает помощь – 7 мин.
От каждой группы выходят по 1 человеку (те, кто раньше решил свою задачу) и оформляют свои решения на доске (3 чел.), на пленках для графопроектора (2 чел). Учитель контролирует, чтобы задачи были различны (задачи 1-5).
Весь класс сверяет свои решения с теми, которые представлены на доске. Те задачи, которых у учеников нет в тетрадях, они записывают. Для удобства текст проверяемой на доске задачи представлен в виде слайдов Презентации 2.
В ходе проверки задач, записанных на доске, остальные ребята, решавшие эти же задачи, вносят свои коррективы, если необходимо. Задачу 6 проверяет учитель в тетрадях, если есть время, то – разбор на доске. (15 мин.)

Подведение итогов урока, обобщение и систематизация результатов выполненных заданий. (4 мин.)
Постановка домашнего задания: № 656, 651, составить свою задачу, аналогичную одной из решенных в классе, и решить ее. (2 мин)

Задачи (в порядке разбора их у доски):

1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?

Пусть было х подруг, тогда каждая должна получить по (х – 1) фотографии. Всего фотографий было х(х – 1), что по условию задачи равно 30. Составим и решим уравнение:

х(х – 1) = 30
х 2 – х – 30 = 0,
D = 1 + 120 = 121,
х = ,
х₁ = – 5 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 6.

По смыслу ясно, что х – натуральное число, и существует только два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 30. Итак, х = 6. 6 подруг обменивались фотографиями.

2. Несколько приятелей решили сыграть турнир по шахматам. Кто-то из них подсчитал, что если каждый сыграет с каждым по одной партии, то всего будет сыграно 36 партий. Сколько было приятелей?

Решение:
Пусть х приятелей участвует в турнире, тогда каждый из них сыграет (х – 1) партию, но в этом случае партия каждой пары учтена дважды, значит всего было сыграно х(х – 1) партий, что по условию задачи равно 36. Составим и решим уравнение:
х(х – 1) = 36,
х(х – 1) = 72,
х 2 – х – 72 = 0,
D = 1 + 288 = 289,
х = ,
х₁ = 9,
х₂ = – 8 – не удовлетворяет смыслу задачи.

Рассуждения, аналогичные задаче 1.

9 приятелей участвовало в турнире.

Ответ: 9 приятелей.

3. Задача Диофанта (III в.)

Найти два числа. Зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.

Пусть х – одно из чисел, тогда второе число – (20 – х). Значит х(20 – х) – произведение этих чисел, что по условию задачи равно 96. Составим и решим уравнение:

х(20 – х) = 96,
20х – х 2 – 96 = 0,
х 2 – 20х + 96 = 0,
= 100 – 96 = 4,
х = 10 + 2,
х₁ = 12,
х₂ = 8.
12 – первое число, тогда 20 – 12 = 8 – второе число;
8 – первое число, тогда 20 – 8 = 12 второе число.

4. Решение Диофанта (показывает учитель):

Пусть числа 10 + х и 10 – х (сумма их равна 20), тогда (10 + х)(10 – х) – их произведение, что равно 96. Имеем:

(10 + х)(10 – х) = 96,
100 – х 2 = 96,
х 2 = 4.
х = + 2.
В обоих случаях искомые числа 12 и 8.

5. Задача Бхаскары, Индия, XII в.

Цветок лотоса возвышается над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

Пусть глубина озера х ф., тогда длина стебля (х + ) ф. Учитывая, что цветок рос вертикально, составим и решим уравнение:
х 2 + 22 = (х + ) 2
х 2 + 4 = х 2 + х +
х = 3
3 фута – глубина озера.
Ответ: 3 ф.

6. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой – в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 часа расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Пусть х узлов – скорость второго корабля, тогда (х – 10) узлов – скорость первого корабля, за 2 часа они пройдут 2х и 2(х – 10) миль соответственно, т.к. они идут в перпендикулярных направлениях, то, используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение:

(2х) 2 + (2(х + 10)) 2 = 100 2
4х 2 + 4(х 2 + 20х + 100) = 10000
2х 2 + 20х + 100 = 2500
х 2 + 10х + 50 – 1250 = 0
х 2 + 10х – 1200 = 0
= 25 + 1200 = 1225
х = – 5 + 35
х₁ = – 40 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 30
30 узлов – скорость корабля, идущего на север, тогда 30 + 10 = 40 (узлов) – скорость корабля, идущего на восток.

Ответ: 30 узлов и 40 узлов.

7. Два равных прямоугольника сложили так, что они образуют букву Т и их общей частью является меньшая сторона одного из прямоугольников. Периметр образовавшейся фигуры равен 42 м, а площадь каждого прямоугольника равна 27 м 2 . Найти стороны прямоугольников.

P = 3b + 3a + (b – a) = 4b + 2a, a = – 2b, S = ab
Пусть b см длина прямоугольника, тогда ширина прямоугольника ( – 2b) м, т.к. P = 42 м, то длина – (21 – 2b)м. Площадь прямоугольника b(21 – 2b), что по условию равно 27 м 2 . Составим и решим уравнение.
b(21 – 2b) = 27
21b – 2b 2 – 27 = 0
2b 2 – 21b + 27 = 0
D = 441 – 4 * 2 * 27 = 441 – 216 = 225
b =
b₁ = 9
b₂ = 1
Если 9 м – длина, тогда 21 – 2 * 9 = 3(м) – ширина.
Если 1м – длина, тогда 21 – 2 * 1 = 18(м) – ширина, что не удовлетворяет смыслу задачи.

Видео:Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

$$ x^2+5x-165 = 0 Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = -16 \ x_2 = 11 end right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

$$ D = 36^2-4 cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = 15 \ x_2 = 21 end right. $$

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x gt y$.

По условию $x-y = 9 Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

$$ D = 9^2-4 cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = -9 \ x_2 = 18 end right. $$

Получаем две пары чисел: $ left[ begin <left< begin x_1 = -9 \ y_1=-9-9=-18 end right.> \ <left< begin x_2 = 18 \ y_2 = 18-9=9 end right.> end right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x — искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 Rightarrow left[ begin x_1 = 6 \ x_2 = 18 end right. $$

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.

$$ 3n^2 = 588 Rightarrow n^2 = 196 Rightarrow n = pm sqrt = pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?