Текстовые задачи дробно рациональные уравнения 8 класс (3 видео)

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Содержание

Примеры
Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений табличным методом
Конспект урока + презентация на тему «Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений»
Выберите документ из архива для просмотра:
💥 Видео

Примеры

Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?

Пусть t — время вечером, на дорогу от речки к посёлку.

Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $frac$ = t-0,3 (ч)

По условию разность скоростей равна 10:

$$1,8=t(t-0,3), t neq 0, t neq 0,3$$

$$ D = 0,3^2-4 cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$

$$ t = frac = left[ begin t_1 = -1,1 \ t_2 = 1,5 end right. $$

Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч

Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.

Пусть u — скорость течения

По условию время против течения в 1,5 раз больше:

$$ 1,5(20-u) = 20+u, u neq pm 20 $$

Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.

Пусть x — масса воды в первоначальном растворе, в граммах.

По условию разность концентраций:

$$ 50 cdot 150 = frac (x+50)(x+200), x neq -50, x neq -200 $$

$$ D = 250^2-4 cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$

$$ = 100 cdot 4225 = 650^2 $$

$$ x = frac = left[ begin x_1 = -450 \ x_2 = 200 end right. $$

Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.

Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?

Пусть N изделий – это норма, t — время, потраченное мастером.

Из последней строки таблицы получаем:

$$ 8(2t+12) = t(t+12), t neq 0, t neq -12$$

$$ t^2-4t-96 = 0 Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 Rightarrow left[ begin t_1 = -8 \ t_2 = 12 end right. $$

Выбираем положительный корень, t=12 ч — время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.

Ответ: 12 ч и 24 ч

Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы frac проекта было готово.

За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?

Пусть d — количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.

Видео:Решение задач с помощью рациональных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений табличным методом

Разделы: Математика

Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение практически любой профессией требует тех или иных знаний по математике. Особое значение в этом смысле имеет умение смоделировать математически определённые реальные ситуации. Данное умение интегрирует в себе разнообразные специальные умения, адекватные отдельным элементам математических знаний, их системам, а также различные мыслительные приёмы, характеризующие культуру мышления.

В школьной математике знакомство с математическим моделированием основано, прежде всего, на решении текстовых задач. Текстовая задача несет в себе важные элементы математического моделирования. Решая ее, учащийся некие производственные, экономические, житейские связи зашифровывает с помощью математических символов, придавая им абстрактную математическую форму. Решая уравнения, учащийся расшифровывает результат, согласуя его со здравым смыслом. Вот почему решению текстовых задач, этому важнейшему мостику между математикой и ее приложениями должно уделяться особое внимание. При этом представляется, что техника решения текстовых задач может отрабатываться на любых задачах. Было бы наивным думать, что задача на движение, начинающаяся словами «Два автомобиля:» непременно предназначена для будущих водителей, а для школы со спортивным уклоном она должна начинаться словами «Два лыжника:».

Применение на практике различных задач на составление уравнений позволяет создавать такие учебные ситуации, которые требуют от учащегося умения смоделировать математически определённые физические, химические, экономические процессы и явления, составить план действия в решении реальной проблемы. Практика последних лет говорит о необходимости формирования умений решения задач на составление уравнений различных типов ещё и в связи с включением их в содержание ГИА и ЕГЭ.

Однако, анализ образовательной практики по данному направлению говорит о том, что значительная часть учащихся испытывает серьёзные затруднения при решении задач на составление уравнений. В большей степени это связано с недостаточной сформированностью у учащихся умения составлять план действий, алгоритм решения конкретной задачи, культурой моделирования явлений и процессов. Большинство учащихся решают такие задачи лишь на репродуктивном уровне.

Решению текстовых задач предшествует достаточно долгое время, отводимое на отработку решения уравнений. Начиная с 8 класса, как только выучены дробные рациональные выражения, решения задач по алгебре практически все сводятся к решению дробных рациональных уравнений, которые, в свою очередь, включают чаще всего решение квадратных уравнений.

В 8 классе решение задач с помощью дробных рациональных уравнений как показывает опыт эффективнее решать табличным методом, так как он является более наглядным, что важно для подготовки к ГИА в 9 классе.

Все задачи, решаемые с помощью дробных рациональных уравнений, можно разделить на несколько групп:

Задачи на движение по местности.
Задачи на движение по воде.
Задачи на работу.
Задачи на нахождение дробей и т.д.

Начинать обучение следует с простых задач, условия которых полностью соответствуют названиям основных типов, и сводящихся к решению дробных рациональных уравнений. Затем можно приступать к решению более сложных задач. Рекомендуется подобрать разноуровневые задачи по каждому типу, что дает возможность работать со школьниками разных математических способностей.

Мы стараемся научить детей строить таблицы с данными величинами задачи, слева обозначаются объекты (автомобили, лодки, пешеходы, самолеты и т.д.), сверху в колонках — величины, характеризующие данную задачу, и обязательно единицы их измерения. И дети понимают, что из трех величин, зная две, всегда можно записать третью.

Приведем пример оформления задачи:

Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 120км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 10 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?

Пусть км/ч — скорость автобуса, тогда составим и заполним таблицу:

Скорость (км/ч)	Время (ч)	Путь (км)
Автобус
Такси

Т.к. по условию задачи пассажир опоздал на автобус на 10 минут =часа, то составим и решим уравнение:

, ОДЗ: >0 (т.к. скорость положительна)

720(х+10) — 720х= х (х+10),

Далее решая квадратное уравнение, получаем:

-90 — не входит в ОДЗ, значит, скорость автобуса равна 80 км/ч.

Основная часть класса уверенно заполняет таблицу и составляет уравнение.

В зависимости от выделенного времени, обучаемым может быть предложен широкий спектр мероприятий — семинары, кружки, факультативы, индивидуальные и групповые консультации и т.д., в рамках которых обучаемые более глубоко осваивают решение задач с помощью уравнений.

Практикум по решению задач табличным методом с помощью дробных рациональных уравнений можно провести во второй половине дня на групповой консультации по математике, что целесообразно в рамках школы полного дня.

Список предлагаемых задач:

Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на . Найдите эту дробь.

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки?

Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?

Моторная лодка прошла против течения 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Расстояние 700 км экспресс проходит на 4 часа быстрее товарного поезда, так как его скорость больше скорости товарного поезда на 20 км/ч. Определите скорость каждого из поездов, если известно, что они движутся с постоянной скоростью без остановок.

Мастеру на выполнение заказа потребуется на 5 дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку?

На участке пути длиной 300 км поезд увеличил скорость на 10 км/ч, в результате чего прибыл на конечную станцию на 1 час раньше, чем планировалось по расписанию. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию?

Прозаик хочет набрать на компьютере рукопись объемом 450 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать прозаик?

Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 19 км. Пешеход прошел путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 4 часа. С какой скоростью пешеход шел на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 1 км/ч?

Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через 2 часа пути вынужден был сделать остановку на 10 минут. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Количество решаемых задач может меняться в зависимости от отводимого на это время.

Используемая литература:

И.Л.Бродский, А.М.Видус, А.Б.Коротаев «Сборник текстовых задач по математике для профильных классов».

В.И. Жохов, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк «Дидактические материалы по алгебре 8 класс».

Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы под редакцией С.А.Шестакова.

Ш.А.Алимов, М.Ю.Колягин и др. «Алгебра 8 класс».

А.П.Ершова, В.В.Голобородько, А.С.Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса».

Видео:Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать

Конспект урока + презентация на тему «Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений.doc

Урок в 8 классе по теме: «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений»

Учитель Куликова Д.А.

Цель урока: отработка навыков решения текстовых задач на совместную работу, производительность.

закрепление умений решать текстовые задачи;

составление математических моделей задач на совместную работу, на производительность, перевод условия задачи с обычного языка на математический;

проверка уровня усвоения темы путем проведения самостоятельной работы дифференцированного характера.

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

развитие интеллектуальных умений;

развитие умения принимать решения.

воспитание познавательного интереса к предмету;

воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: комбинированный

Оборудование: презентация, конспект урока, компьютер, проектор, оценочные листы, бланки с задачами и самостоятельной работой

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята. Сообщение темы урока. Работа на уроке будет оценена с помощью оценочных листов ( на партах у каждого ученика)

Для того, чтобы определить цель нашего урока решим следующую задачу.

2. Актуализация знаний учащихся( СЛАЙД №2).

2) Прочитайте задачу, назовите основные величины и смоделируйте ход решения. Каким способом решается данная задача?

Рабочий изготовил за пять дней 175 деталей. За какое количество дней при той же производительности будет выполнен месячный план рабочего-630 деталей?

Предполагаемый ответ: данная задача решается арифметическим способом. Основные понятия- производительность, выполненная работа, затраченное время.

1)находим производительность работы рабочего ( или скорость его работы) 175:5=35 деталей

Сформулировать цель урока: решение задач на работу, производительность с помощью дробных рациональных уравнений.

-Какие уравнения называются дробными рациональными? (СЛАЙД 4)

-Расскажите алгоритм решения дробных рациональных уравнений. (СЛАЙД 5)

(СЛАЙД 6) Выполним следующее задание на применение алгоритма. Необходимо определить способ решения уравнений.

3. Изучение нового материала

— Задачи на совместную работу, производительность труда встречаются в заданиях ЕГЭ, в ГИА.

-А где вы в жизни встречались с понятиями «работа», «производительность»?

— Обобщим величины, характеризующие процесс работы, прикрепляя знаниями из физики

( Работа по СЛАЙДУ 7)

Работа. Обозначаем буквой – А. Если объем работы неизвестен, то всю работу принимаем за 1.

Время – срок выполнения работы. Обозначаем буквой – t .

Производительность – это часть работы за 1 час. Обозначаем буквой – р.

Совместная производительность – это часть работы, выполненная за 1 час вместе всеми участниками.

Как найти производительность работы, если известно время выполнения всей работы?

( на доску прикрепляются таблицы с формулами: А=рt, p=A:t, T = A : p )

Рассмотрим следующую задачу

Задача 2 ( дана на карточке для каждого ученика ). (СЛАЙД 8,9)

Два секретаря-референта должны были напечатать на компьютере по 60 страниц каждая. Второй секретарь печатал за 1 час на 2 страницы меньше, поэтому закончил работу на 1 час позже. Сколько страниц в час печатал первый секретарь?

— Для решения задачи составим таблицу.

Какие данные будут внесены в таблицу?

Заполнение таблицы идет по мере обсуждения .

— Что обозначим за х?

Составляем уравнение по условию задачи

Решаем уравнение ( с места ученик с комментированием решения).

Удовлетворяет условию задачи:х=12

Рассмотрим другой тип задачи:

Задача №614 из учебника

-Что известно в задаче? Что обозначим за х? Как обозначить объем выполненной работы, если он не известен? Какие данные внесем в таблицу? ( работа над таблицей).

Данную задачу решаем у доски

Составляем уравнение к задаче:

Выполнение контролирующего задания дифференцированного характера по изученной теме.

Каждый учащийся для выполнения работы выбирает свой уровень выполнения задач. Задачи выполняем на обратной стороне листа. Затем сдаем после выполнения, проверив по ключу.

Объяснение выполнения задания:

ЗАДАЧА: Два токаря должны обработать 400 деталей. Они работают с постоянной производительностью: первый обрабатывает х дет/час, а второй- на 10 дет/час больше первого.

Составьте соответствующие пары, показав стрелками.

Найдите значения следующих величин при х=40:

2) время, за которое оба токаря вместе выполнят задание

3) разность во времени работы токарей, если каждый выполнит все задание один

4) общее время работы токарей, если каждый их них выполнит половину задания в одиночку

2 уровень. Определить уравнение к задаче и решить ее

Два портальных крана, работая вместе, разгрузят баржу за 6 часов. За какое время может разгрузить баржу, работая отдельно, один кран, если одному из них нужно для этого на 9 ч меньше, чем другому?

А: ; Б: ; В: ; Г:

3 уровень: Составить математическую модель к задаче и решить ее

Первая бригада может выполнить некоторую работу на 10 дней быстрее, чем вторая, а работая вместе они могли бы выполнить ту же работу за 12 дней. За сколько дней каждая бригада могла бы выполнить ту же работу?

( ОТВЕТЫ на задачи будут вывешены по окончании работы: ответы к 1уровню задачи на обратной стороне доски, к задачам 2 и 3 уровня через проектор)( СЛАЙДЫ 10,11)

5.Домашнее задание( прокомментировать) . ( СЛАЙД 12)

Запомнить алгоритмы решения задач

Придумать задачу к уравнению и решить ее

— Над какой темой мы работали? Удалось ли достичь поставленной цели урока?

— Сформулируйте алгоритм решения решаемого на уроке типа задач

— В чём испытывали трудности?

— Где можем применить новые знания? (При решении задач)

— Оцените работу вашего партнёра и себя, и поставьте оценки в оценочных листах.