РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнение cos x = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)
2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a
Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:
При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).
Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.
Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:
таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
- Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
- Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
- Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
- Решение: Для решения этой задачи воспользуемся формулой N=2
- Главная > Решение
- Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.
- Как пользоваться калькулятором
- Видеоинструкция к калькулятору
- Используемые символы
- Обозначения логических операций
- Что умеет калькулятор
- Что такое булева функция
- Что такое таблица истинности?
- Логические операции
- Таблица истинности логических операций
- Как задать логическую функцию
- Способы представления булевой функции
- Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)
- Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)
- Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)
- Алгоритм построения СДНФ для булевой функции
- Алгоритм построения СКНФ для булевой функции
- Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции
- Примеры построения различных представлений логических функций
- Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы:
- Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы:
- Построение полинома Жегалкина:
- 🌟 Видео
Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать
Решение: Для решения этой задачи воспользуемся формулой N=2
Главная > Решение
Информация о документе | |
Дата добавления: | |
Размер: | |
Доступные форматы для скачивания: |
Вероятностный подход к измерению информации
Количество информации i , содержащейся в сообщении о том, что произошло одно из N равновероятных событий, определяется из решения уравнения:
N = 2 i (формула Хартли)
Как решать задачи данного типа:
Задача 1. В рулетке общее количество лунок равно 128. Какое количество информации мы получим, когда увидим, что шарик остановился в одной из лунок?
Для решения этой задачи воспользуемся формулой N=2 I . Если N=128, то I=7, т.к. 2 7 = 128.
Ответ: количество информации равно 7 битам.
1.Какое количество информации несет в себе сообщение о том, что нужная вам программа находится на одном из 8 CD дисков?
2. Происходит выбор одной карты из колоды в 32 карты. Какое количество информации мы получим, когда увидим, что выбрана определенная карта?
3. Сколько существует различных последовательностей из символов «плюс» и «минус», длиной ровно в пять символов?
Алфавитный подход к определению количества информации
Чтобы определить объем информации в сообщении при алфавитном подходе, нужно:
Определить количество информации (i) в одном символе по формуле 2 i = N , (где N — мощность алфавита)
Определить количество символов в сообщении (K)
Вычислить объем информации по формуле: V = K * i
Единицы измерения информации
1 Кбайт = 2 10 байт = 1024 байт
1 Мбайт = 2 10 Кбайт = 1024 2 байт = 1 048 576 байт
1 Гбайт = 2 10 Мбайт = 1024 3 байт » 1 млрд. байт
Задача 1. При составлении сообщения использовали 128-символьный алфавит. Каким будет информационный объем сообщения в Кбайтах, если оно содержит 2048 символов.
Определим количество информации (i) в одном символе по формуле N=2 I . Если N=128, то I=7, т.к. 2 7 = 128.
Количество символов в сообщении (K) известно К=2048.
Вычисли объем информации по формуле: V = K * I = 2048*7 бит = (2048*7) /8 /1024 Кбайт =2*7/8 Кбайт = 1,75 Кбайт
Ответ: информационный объем сообщения равен 1,75 Кбайт
1. При составлении сообщения использовали 128-символьный алфавит. Каким будет информационный объем сообщения в Кбайтах, если оно содержит 2048 символов.
2. Сообщение занимает 2 страницы. На каждой странице по 80 строк, в каждой строке по 32 символа. Найдите информационный объем такого текста, если при его составлении использовали 256-символьный алфавит.
Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.
Онлайн калькулятор позволяет быстро строить таблицу истинности для произвольной булевой функции или её вектора, рассчитывать совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную нормальные формы, находить представление функции в виде полинома Жегалкина, строить карту Карно и классифицировать функцию по классам Поста.
Калькулятор таблицы истинности, СКНФ, СДНФ, полинома Жегалкина
введите функцию или её вектор
Построено таблиц, форм:
Видео:Алфавитный подход к определению количества информацииСкачать
Как пользоваться калькулятором
- Введите в поле логическую функцию (например, x1 ∨ x2) или её вектор (например, 10110101)
- Укажите действия, которые необходимо выполнить с помощью переключателей
- Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
- Нажмите на кнопку «Построить»
Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Видеоинструкция к калькулятору
Используемые символы
В качестве переменных используются буквы латинского и русского алфавитов (большие и маленькие), а также цифры, написанные после буквы (индекс переменной). Таким образом, именами переменных будут: a , x , a1 , B , X , X1 , Y1 , A123 и так далее.
Для записи логических операций можно использовать как обычные символы клавиатуры ( * , + , ! , ^ , -> , = ), так и символы, устоявшиеся в литературе ( ∧ , ∨ , ¬ , ⊕ , → , ≡ ). Если на вашей клавиатуре отсутствует нужный символ операции, то используйте клавиатуру калькулятора (если она не видна, нажмите «Показать клавиатуру»), в которой доступны как все логические операции, так и набор наиболее часто используемых переменных.
Для смены порядка выполнения операций используются круглые скобки ().
Обозначения логических операций
- И (AND): & • ∧ *
- ИЛИ (OR): ∨ +
- НЕ (NOT): ¬ !
- Исключающее ИЛИ (XOR): ⊕ ^
- Импликация: -> → =>
- Эквивалентность: =
Что умеет калькулятор
- Строить таблицу истинности по функции
- Строить таблицу истинности по двоичному вектору
- Строить совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ)
- Строить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ)
- Строить полином Жегалкина (методами Паскаля, треугольника, неопределённых коэффициентов)
- Определять принадлежность функции к каждому из пяти классов Поста
- Строить карту Карно
- Минимизировать ДНФ и КНФ
- Искать фиктивные переменные
Видео:Сколько решений имеет логическое уравнение: (A импликация В) ИЛИ (C импликация D). ЕГЭ(информатика)Скачать
Что такое булева функция
Булева функция f(x1, x2, . xn) — это любая функция от n переменных x1, x2, . xn, в которой её аргументы принимают одно из двух значений: либо 0, либо 1, и сама функция принимает значения 0 или 1. То есть это правило, по которому произвольному набору нулей и единиц ставится в соответствие значение 0 или 1. Подробнее про булевы функции можно посмотреть на Википедии.
Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Что такое таблица истинности?
Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов. Таблица состоит из n+1 столбцов и 2 n строк, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах записываются всевозможные значения аргументов (переменных) функции, а в n+1-ом столбце записываются значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.
Довольно часто встречается вариант таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В такой таблице также первые n столбцов заполнены наборами аргументов, а оставшиеся столбцы заполняются значениями подфункций, входящих в запись функции, что позволяет упростить расчёт конечного значения функции за счёт уже промежуточных вычислений.
Видео:РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |ПОДРОБНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ / ПРОСТЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 КЛАСС МАТЕМАТИКАСкачать
Логические операции
Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых. В качестве основных операций обычно называют конъюнкцию (∧ или &), дизъюнкцию (∨ или |), импликацию (→), отрицание (¬), эквивалентность (=), исключающее ИЛИ (⊕).
Таблица истинности логических операций
a | b | a ∧ b | a ∨ b | ¬a | ¬b | a → b | a = b | a ⊕ b |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Видео:Решение задачи по теме "Информационный объём сообщения"Скачать
Как задать логическую функцию
Есть множество способов задать булеву функцию:
- таблица истинности
- характеристические множества
- вектор значений
- матрица Грея
- формулы
Рассмотрим некоторые из них:
Чтобы задать функцию через вектор значений необходимо записать вектор из 2 n нулей и единиц, где n — число аргументов, от которых зависит функция. Например, функцию двух аргументов можно задать так: 0001 (операция И), 0111 (операция ИЛИ).
Чтобы задать функцию в виде формулы, необходимо записать математическое выражение, состоящее из аргументов функции и логических операций. Например, можно задать такую функцию: a∧b ∨ b∧c ∨ a∧c
Видео:7 класс. Задачи на измерение информацииСкачать
Способы представления булевой функции
С помощью формул можно получать огромное количество разнообразных функций, причём с помощью разных формул можно получить одну и ту же функцию. Иногда бывает весьма полезно узнать, как построить ту или иную функцию, используя лишь небольшой набор заданных операций или используя как можно меньше произвольных операций. Рассмотрим основные способы задания булевых функций:
- Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
- Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
- Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)
Простая конъюнкция — это конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция простых конъюнкций.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — ДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую конъюнкцию которой входят все переменные данного набора.
Например, ДНФ является функция ¬a bc ∨ ¬a ¬b c ∨ ac, но не является СДНФ, так как в последней конъюнкции отсутствует переменная b.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)
Простая дизъюнкция — это дизъюнкция одной или нескольких переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция простых дизъюнкций.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — КНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую дизъюнкцию которой входят все переменные данного набора.
Например, КНФ является функция (a ∨ b) ∧ (a ∨ b ∨ c), но не является СДНФ, так как в первой дизъюнкции отсутствует переменная с.
Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)
Алгебраическая нормальная форма, полином Жегалкина — это форма представления логической функции в виде полинома с коэффициентами вида 0 и 1, в котором в качестве произведения используется операция конъюнкции, а в качестве сложения — исключающее ИЛИ.
Примеры полиномов Жегалкина: 1, a, a⊕b, ab⊕a⊕b⊕1
Алгоритм построения СДНФ для булевой функции
- Построить таблицу истинности для функции
- Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 1
- Выписать простые конъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 0, то она входит в конъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
- Объединить все простые конъюнкции с помощью дизъюнкции
Алгоритм построения СКНФ для булевой функции
- Построить таблицу истинности для функции
- Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0
- Выписать простые дизъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 1, то она входит в дизъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
- Объединить все простые дизъюнкции с помощью конъюнкции
Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции
Есть несколько методов построения полинома Жегалкина, в данной статье рассмотрим наиболее удобный и простой из всех.
- Построить таблицу истинности для функции
- Добавить новый столбец к таблице истинности и записать в 1, 3, 5. ячейки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а к значениям в строках 2, 4, 6. прибавить по модулю два значения из соответственно 1, 3, 5. строк.
- Добавить новый столбец к таблице истинности и переписать в новый столбец значения 1, 2, 5, 6, 9, 10. строк, а к 3, 4, 7, 8, 11, 12. строкам аналогично предыдущему пункту прибавить переписанные значения.
- Повторить действия каждый раз увеличивая в два раза количество переносимых и складываемых элементов до тех пор, пока длина не станет равна числу строк таблицы.
- Выписать булевы наборы, на которых значение последнего столбца равно единице
- Записать вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора записать единицу) и объединить их с помощью операции исключающего ИЛИ.
Видео:Построение таблиц истинностиСкачать
Примеры построения различных представлений логических функций
Построим совершенные дизъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы, а также полином Жегалкина для функции трёх переменных F = ¬a b∨ ¬b c∨ca
1. Построим таблицу истинности для функции
a | b | c | ¬a | ¬a ∧b | ¬b | ¬b ∧c | ¬a ∧b∨ ¬b ∧c | c∧a | ¬a ∧b∨ ¬b ∧c∨c∧a |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы:
Найдём наборы, на которых функция принимает истинное значение:
В соответствие найденным наборам поставим элементарные конъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 0, то она будет записана с отрицанием:
Объединим конъюнкции с помощью дизъюнкции и получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму:
Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы:
Найдём наборы, на которых функция принимает ложное значение:
В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием:
Объединим дизъюнкции с помощью конъюнкции и получим совершенную конъюнктивную нормальную форму:
Построение полинома Жегалкина:
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1, 3, 5 и 7 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 2, 4, 6 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 3, 5 и 7 строк:
a | b | c | F | 1 | |
0 | 0 | 0 | 0 | → | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | → | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | → | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | → | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 |
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 и 2, 5 и 6 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 3 и 4, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1 и 2, 5 и 6 строк:
a | b | c | F | 1 | 2 | |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | → | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | → | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | ⊕ 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ⊕ 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | → | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | → | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ⊕ 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 1 | 0 |
Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 2, 3 и 4 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 5, 6, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 2, 3 и 4 строк:
a | b | c | F | 1 | 2 | 3 | |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | → | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | → | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | → | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | → | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ⊕ 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | ⊕ 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ⊕ 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | ⊕ 1 | 1 |
Окончательно получим такую таблицу:
a | b | c | F | 1 | 2 | 3 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Выпишем наборы, на которых получившийся вектор принимает единичное значение и запишем вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора следует записать единицу):
Объединяя полученные конъюнкции с помощью операции исключающего или, получим полином Жегалкина: c⊕b⊕bc⊕ab⊕abc
Programforyou — это сообщество, в котором Вы можете подтянуть свои знания по программированию, узнать, как эффективно решать те или иные задачи, а также воспользоваться нашими онлайн сервисами.
🌟 Видео
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Таблица истинностиСкачать
Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать
Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. На примерах из жизни. Логика.Скачать
Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ХИМИИ: Химическое Количество Вещества, Моль, Молярная Масса и Молярный ОбъемСкачать
Перевод единиц измерения информации в информатикеСкачать
Теорема Виета для уравнений высших степеней. Рациональные уравнения Часть 4 из 4Скачать
Химические уравнения // Как Составлять Уравнения Реакций // Химия 9 классСкачать
Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать