Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Ранг матрицы — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Элементарные преобразования матриц:

Рассмотрим прямоугольную матрицу:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

состоящую из m строк и n столбцов. В п.3.2 отмсчалось, что каждую строку матрицы можно рассматривать как n-мсрный вектор, а каждый столбец — как m-мерный вектор. Тогда матрицу А можно записать в виде:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

и, следовательно, данную матрицу можно рассматривать как систему вектор строк или вектор столбцов. Б указанных системах вектор-строк и вектор-столбцов можно выделять линейно независимые (зависимые) векторы. Тогда будем говорить, что строки (столбцы) матрицы линейно независимы (зависимы), если соответствующие им векторы независимы (зависимы).

Видео:Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать

Исследование систем линейных уравнений на совместность

Определения

Определение: Рангом системы строк (соответственно столбцов) матрицы А называется наибольшее число линейно независимых среди них.

Поскольку легко доказать, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы её столбцов, то справедливо следующее

Определение: Рангом матрицы, обозначаемым r(А), называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

При транспонировании матрицы ранг её не изменяется.

Другой метод определения ранга матрицы связан с понятием определителя.

Выделим в матрице А любые k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на их пересечении, образуют квадратную матрицу, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А. Ясно, что величина к должна удовлетворять двум условиям: Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений. Полагая последовательно k = 1,2. l, где

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, составляем при каждом k все миноры k-то порядка матрицы А. Тогда можно сформулировать еще одно определение ранга матрицы.

Определение: Рангом матрицы, обозначаемым r(А), называется порядок самого старшего минора этой матрицы, не равного нулю.

Из определения следует, что если ранг матрицы А равен l, то среди всех её миноров существует хотя бы один минор l-го порядка, отличный от нуля, но все миноры (l+1)-го порядков либо равны нулю, либо не могут быть составлены.

Вычисление ранга матрицы путём перебора всех её миноров весьма трудоёмко. Существует, однако, более простой способ вычисления ранга матрицы, основанный на упрощении структуры матрицы с помощью элементарных преобразований. Элементариыми преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

  1. обмен местами двух строк или двух столбцов матрицы;
  2. умножение всех элементов строки или столбца матрицы на произвольное число Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, не равное нулю;
  3. прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же число;
  4. исключение из матрицы строки или столбца, состоящего из нулей.

Матрицы называются эквивалентными, если от одной из них к другой можно перейти путём конечного числа элементарных преобразований.

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая тому свойству, что если в какой-либо из сё строк первый отличный от нуля элемент стоит на l-м месте, то во всех следующих строках на первых l местах стоят нули:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

где элементы Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийотличны от нуля, а все элементы, стоящие под ними, равны нулю.

Для вычисления ранга матрицы приводят её с помощью цепочки элементарных преобразований к ступенчатому виду. Тогда ранг матрицы совпадает с числом её ненулевых диагональных элементов.

Теоремы о ранге матриц. Свойства ранга матриц

Относительно ранга матриц можно сформулировать следующие теоремы:

Теорема: Если матрица имеет минор порядка r, отличный от нуля, для которого все содержащие его миноры порядкаСвязь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений(окаймляющие миноры) равны нулю, то ранг этой матрицы равен r.

Вычисление ранга матрицы при помощи метода окаймления нужно вести от низших порядков к высшим. Сначала ищем минор первого порядка (т.е. элемент матрицы) или сразу второго порядка, отличный от нуля. Затем вычисляем окаймляющие его миноры следующего порядка, пока не найдём среди них отличного от нуля и т.д., пока не найдем минор порядка l, отличный от нуля, для которого либо все окаймляющие его миноры порядка l+1 равны нулю, либо такие миноры не могут быть составлены.

Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство теоремы следует из определения ранга матрицы и свойств определителей.

Пример:

Найти ранг матрицы: Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Решение:

Минор первого порядка в левом верхнем углу равен Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений. Окаймляющий его минор второго порядка:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийВычисляем окаймляющий его минор третьего порядка: Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Значит ранг матрицы равен 2.

Пример:

Найти ранг матрицы:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Решение:

При помощи элементарных преобразований приведём данную матрицу к ступенчатому виду. На первом шаге умножим последовательно первую строку на 3, 3, 2 и вычтем из второй, третьей, четвёртой строк соответственно:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

В эквивалентной матрице прибавим к третьей строке вторую и вычтем вторую из четвёртой строки:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

(поменяем местами третью и четвертую строки)

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

(поменяем местами третий, четвёртый и пятый столбцы со вторым и опустим строки, состоящие из нулей) Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийПреобразовали матрицу к ступеньчатому виду, у которой на диагонали три ненулевых элемента. Ранг матрицы равен 3.

Отмстим некоторые свойства ранга матриц.

  1. Ранг суммы двух (или нескольких) матриц не больше суммы их рангов.
  2. Любую матрицу ранга r можно представить в виде суммы r матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы менее чем r таких матриц.
  3. Любую матрицу С ранга r можно представить в виде произведения Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, где А состоит из r линейно независимых столбцов, г B -из r линейно независимых строк.
  4. Ранг произведения матриц порядка n удовлетворяет неравенству Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений.

Определение системы m линейных уравнений с n неизвестными

Системой m линейных уравнений с n неизвестными Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийназывается система вида:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Числа Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийназываются соответственно коэффициентами системы и ее свободными членами. Первый индекс i коэффициента Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийсоответствует номеру уравнения, в которое входит этот коэффициент, а второй индекс — номеру неизвестной Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, при которой стоит этот коэффициент. Индекс свободного члена Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийсоответствует номеру уравнения, содержащего Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений.

С помощью знака суммирования Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийсистему (5.3.1) можно записать в виде:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

составленная из коэффициентов системы Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, называется матрицей

системы. Если к этой матрице добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы: Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийОбозначив матрицу-столбец неизвестных Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийи матрицу-столбец свободных членов Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, систему (5. 3.1) можно записать в матричной форме:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийгде Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Используется также табличная форма записи системы (5.3.1):Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Отметим, что (5.3.1), (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4)- различные виды записи одной и той же системы линейных уравнений.

Решением системы (5.3.1) называется любой упорядоченный набор действительных чисел Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, который при подстановке в (5.3.1) вместо неизвестных Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, обращает каждое из уравнений системы в верное равенство.

Система уравнений (5.3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений с одинаковыми наборами неизвестных Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийназываются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Отмстим, что для любой системы (5.3.1) возможны только три случая:

  1. система (5.3.1) имеет единственное решение;
  2. система (5.3.1) имеет бесчисленное множество решений;
  3. система (5.3.1) несовместна.

Множество всех решений системы (5.3.1) называется ее общим решением.

Решить систему (5.3.1) — значит найти ее общее решение.

Пример:

Пусть задана система

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Тогда эту систему можно записать в матричном виде:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

или в виде таблицы:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Система определенная, так как она имеет единственное решение Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений. Других решений быть не может, так как прямые

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийна координатной плоскости Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийпересекаются в единственной точке.

Экономические задачи, приводящие к системе линейных уравнений

Предположим, что производственные мощности для изготовления n различных видов продукции установлены в т цехах. Пусть Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийпредставляет собой суммарную мощность цеха i, и Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений— часть производственного аппарата цеха i, которая необходима для производства единицы продукции вида j. Тогда обозначив через Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийколичество выпущенной продукции, получим систему уравнений, показывающих. как можно использовать имеющиеся мощности в полном объёме.

Широкий круг задач экономики приводит к составлению системы уравнений. Так в примере 4.3.2 составлялась система линейных уравнений (4.3.1) балансовой модели для трёх отраслей. В общем случае под балансовой моделью понимается система уравнений, каэ/сдое из которых выражает требование баланса между производимым количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.

При построении балансовых моделей используется понятие чистой (или технологической) отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей всё производство данного продукта независимо от ведомственной (административной) подчинённости и форм собственности предприятий и фирм. Всё народное хозяйство представляется в виде совокупности п отраслей, каждая из которых рассматривается как производящая и как потребляющая.

Если обозначить через:

  • Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений— межотраслевые потоки продукции, где i и j — соотвестственно номера отраслей производящих и потребляющих;
  • Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений— валовой выпуск продукции i-й отрасли; Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений— конечную продукцию i-Й отрасли, Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений;
  • Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений— количество продукции i-й отрасли, учитывая только прямые затраты, необходимые для производства единицы продукции j-й отрасли,

то систему уравнений баланса можно записать в виде:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

или в матричной форме:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

где Х- вектор-столбец валовой продукции; Y- вектор-столбец конечной продукции; А — матрица коэффициентов прямых затрат.

Основу экономико-математической модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица А, содержащая коэффициенты прямых затрат на производство единицы продукции:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Коэффициент. прямых затрат являются довольно стабильной величиной во времени.

Переписав матричное уравнение (5.4.2) в виде EX-AX = Y или (E-A)X = Y, (5.4.3) получим стандартную форму записи системы уравнений.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделить произвольно Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийстрок и Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийстолбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийСреди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, но всякий минор порядка, большего чем Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений(А).

Очевидно, что выполняется соотношение

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

  1. перестановка двух любых строк (или столбцов),
  2. умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
  3. прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: А

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы

равны нулю, например, Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример:

Найти методом окаймления миноров ранг матрицы Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Решение:

Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийрасположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийотличный от нуля.

Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийИх всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Таким образом, асе окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Пример:

Найти ранг матрицы Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийи привести ее к каноническому виду.

Решение:

Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки: Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5: Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийкоторая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийМатрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Вычисление ранга матрицы

Для исследования разрешимости систем линейных уравнений важную роль играет понятие ранга матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу А Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Выделим k произвольных строк и k произвольных столбцов этой матрицы. Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Обозначение: rank А, Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Рассмотрим некоторые методы вычисления ранга матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Минор порядка k+1, содержащий в себе минор порядка k, называется окаймляющим минором.

Вычисляя ранг матрицы, удобнее переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если найден минор k-го порядка, отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры порядка k+1 равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Определители второго и третьего порядков и их свойства
  • Метод Гаусса — определение и вычисление
  • Прямая линия на плоскости и в пространстве
  • Плоскость в трехмерном пространстве
  • Кратный интеграл
  • Ряды в математике
  • Дифференциальные уравнения с примерами
  • Обратная матрица — определение и нахождение

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

20. Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы

Пусть дана система линейных уравнений Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений(25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р.

Пусть А = Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений(26) матрица этой системы и А1 = Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений(27) расширенная матрица. Если система (25) имеет хотя бы одно решение, то её называют Совместной, в противном случае система Несовместная. Если все слагаемые, содержащие неизвестные, стоят в левых частях уравнений, а свободные члены – в правых частях, то система называется Приведённой. Если в системе (25) хотя бы один свободный член отличен от нуля, то эта система называется Неоднородной. Если же все свободные члены равны нулю, то имеем систему Линейных однородных уравнений.

Теорема 26 (теорема Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Þ Пусть система (25) совместна. Следовательно, существуют такие элементы A1, A2, … , AN , что

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Записав эти равенства в векторной форме, получим, что В = A1×А1 + A2×А2 + … + AN×АN , где А1, а2, … , АN –векторы-столбцы матрицы А, В – вектор-столбец свободных членов. Из последнего равенства следует, что системы векторов А1, а2, … , АN и А1, а2, … , АN , В эквивалентны, поэтому их ранги равны. Итак, rang A = rang A1.

Ü Пусть rang A = rang A1 = К. Не нарушая общности, можно считать, что отличный от нуля минор К-го порядка в матрице А Стоит в левом верхнем углу. Векторы-столбцы обозначим А1, а2, … , Ак, ак+1, … , АN, В (*). Система А1, а2, … , Ак Будет максимальной линейно независимой подсистемой в системе (*), следовательно, найдутся такие коэффициенты Х10, х20, … , хк0, Что В = Х10 А1 + Х20 А2 + … + Хк0 Ак. Это равенство равносильно равенству В = Х10 А1 + Х20 А2 + … + Хк0 Ак + … + 0×Ак+1 + … + 0×АN. Перейдя к координатам, получим:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений(28)

Отсюда следует, что (Х10, х20, … , хк0, 0,… ,0) – решение системы (25), т. е. эта система совместна.

Из теоремы Кронекера – Капелли следуют правила решения системы линейных уравнений.

Для решения системы линейных уравнений достаточно

1. Найти ранги основной и расширенной матриц ( А и А1 ). Если rang A ¹ rang A1, То система не имеет решения.

2. Если rang A = rang A1 = К, то для решения достаточно оставить К Уравнений, коэффициенты которых стоят на тех строчках матрицы А, На которых стоит базисный минор, и в этих уравнениях оставить в их левых частях те неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор. Остальные неизвестные нужно перенести в правые части уравнений. Они могут принимать все возможные значения из поля Р. Эти неизвестные называются Свободными. (Не нарушая общности, можно считать, что оставлены первые К уравнений и первые К неизвестных, система (29)).

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений(29)

Определитель левой части системы (29) отличен от нуля, число уравнений равно числу неизвестных, поэтому (по теореме Крамера) эта система при всевозможных Хк+1, … , хN имеет единственное решение.

Видео:Ранг матрицыСкачать

Ранг матрицы

Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Установить, совместна ли система линейных уравнений, с помощью теоремы Кронекера-Капелли часто можно быстрее, чем с помощью метода Гаусса, когда требуется последовательно исключать неизвестные. Основана эта теорема на использовании ранга матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу её расширенной матрицы, то есть чтобы Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений .

Здесь матрица A (матрица системы) — это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

В свою очередь матрица В (расширенная матрица) — это матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца из свободных членов:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Ранги этих матриц связаны неравенством Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, при этом ранг матрицы В может быть лишь на одну единицу больше ранга матрицы A.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли о числе решений. Пусть для системы m линейных уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, то есть ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда верно следующее.

  • Если ранг матрицы равен числу неизвестных (Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений), то система имеет единственное решение.
  • Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым nr неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся r неизвестных определятся уже единственным образом.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений, то есть Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, то система совместна при любых свободных членах. В этом случае ранг расширенной матрицы также равен m, так как ранг матрицы не может быть больше числа её строчек.

В ходе доказательства теоремы Кронекера-Капелли были получены явные формулы для решений системы (в случае её совместности). Если уже известно, что система совместна, то, чтобы найти её решения, необходимо:

1) отыскать в матрице системы A ранга Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийотличный от нуля минор Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийпорядка, равного рангу матрицы системы, то есть ранга r;

2) отбросить те уравнения, которые соответствуют строкам матрицы A, не входящим в минор Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений;

3) члены с коэффициентами, не входящими в Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, перенести в правую часть, а затем, придавая неизвестным, находящимся в правой части, произвольные значения, определить по формулам Крамера оставшиеся r неизвестных из системы r уравнений с отличным от нуля определителем Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений.

Пример 1. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы. В обоих случаях он равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. Минор

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

отличен от нуля, поэтому последнее уравнение отбрасываем и неизвестному Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравненийпридаём произвольное значение Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений.

Оставшиеся неизвестные определяются из системы

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Решая последнюю систему по формулам Крамера или иным способом, находим

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений,

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений,

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений.

Присоединяя сюда Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений, получаем все решения данной системы линейных уравнений.

Пример 2. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений.

Следовательно, ранг системы равен 3. Определим ранг расширенной матрицы:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений.

Это означает, что ранг расширенной матрицы также равен 3. Следовательно, система совместна, а так как число неизвестных равно рангу матрицы системы, то она имеет единственное решение. Для решения можем использовать первые три уравнения:

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений

Решая последнюю систему по формулам Крамера, находим

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений,

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений,

Связь ранга матрицы с числом переменных и с множеством решения системы уравнений.

📸 Видео

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

11. Ранг матрицыСкачать

11. Ранг матрицы

Ранг матрицыСкачать

Ранг матрицы

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

ФСР.  Система однородных уравнений.  Общее решение

Как найти ранг матрицы (пример) - bezbotvyСкачать

Как найти ранг матрицы (пример) - bezbotvy

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.

Найти ранг матрицы при всех значениях параметраСкачать

Найти ранг матрицы при всех значениях параметра

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решенийСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса. Бесконечное множество решений

14. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений ( бесконечное множество решений ). Часть 3Скачать

14. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений ( бесконечное множество решений ). Часть 3

Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.Скачать

Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

Линейная алгебра, 6 урок, Ранг матрицыСкачать

Линейная алгебра, 6 урок, Ранг матрицы
Поделиться или сохранить к себе: