Свойство 1. Если в уравнении ах 2 + bх +с = 0, а + b + с = 0, то один из его корней равен 1, а другой, в соответствии с теоремой Виета, равен с/а.
Доказательство: Имеем а+b+с=0, тогда b= — (а+с). Найдем дискриминант D=b 2 -4ас= а 2 +2ас+с 2 — 4ас = а 2 — 2ас+с 2 =(а — с) 2 . Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.
Пример 1: х 2 + х – 2 = 0; а = 1, в = 1, с = -2. Так как 1+1–2 =0, то х1 =1, х2 = -2.
Свойство 2. Если в уравнении ах 2 + bх + с = 0, а – b + с = 0 или b=a+c, то один из его корней равен –1, а другой –с/а .
Доказательство: Имеем а — b+с=0, тогда b= а+с. Найдем дискриминант D=b 2 -4ас= а 2 +2ас+с 2 — 4ас = а 2 — 2ас+с 2 =(а — с) 2 . Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.
Пример 2 : х 2 – х – 2 = 0. Так как 1 – (- 1 ) + ( -2 ) = 0, то х1 = -1, х2 = 2.
Свойство 3. Если a = c, b = a 2 + 1, то x1 = — a, x2 = -1/a.
Доказательство: Имеем a = c, b = a 2 + 1. Найдем дискриминант D=b 2 -4ас= а 4 +2а 2 +1 — 4а 2 = а 4 — 2а 2 +1=(а 2 — 1) 2 . Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.
Пример 3. 3х 2 +10х+3=0, а=3, b=10, с=3. Так как а=с=3, b=3 2 +1=10, то х1= -3, х2=-1/3.
Свойство 4. Если a = c, b = -(a 2 + 1), то x1 = a, x2 = 1/a.
Доказательство: Имеем a = c, b = -(a 2 + 1). Найдем дискриминант D=b 2 -4ас= а 4 +2а 2 +1 — 4а 2 = а 4 — 2а 2 +1=(а 2 — 1) 2 . Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.
Пример 4. 3х 2 — 10х+3=0, а=3,b=-10,с=3. Так как а=с=3, b=-(3 2 +1)=-10, то х1=3, х2=1/3.
Приём переброски.
, первый коэффициент в качестве множителя «перебрасываем к -3», получим уравнение
Корни 9 и -2 . Делим числа 9 и ( -2) на 6:
Ответ:
6 этап. Практическая направленность.
Задания, при решении которых необходимо умение решать квадратные уравнения.
Уровень А. 1. Найдите сумму и произведение корней уравнения: 2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5. |
Уровень В. 2. Найдите сумму и произведение корней уравнения: 2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны и . |
Уровень С. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: |
С помощью квадратных уравнений можно решать многие текстовые задачи. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары, решить ее можно с помощью квадратного уравнения.
На две партии разбившись, забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате в роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать воздух свежий оглашали…
Вместе сколько, ты мне скажешь, обезьян там было в роще?
1. Проводя исследование, выяснили, что кроме традиционных методов решения квадратного уравнения , которые мы узнали на уроках математики, существуют еще не менее интересные, а главные полезные свойства, практически устного решения квадратного уравнения.
2. Исследовательскую работу по математике планируем продолжать и далее.
3. Результаты своего исследования я представила в виде карточки-памятки( приложение 1) по решению квадратного уравнения.
· А.П.Ершова, В.В.Голобородько, А.С.Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса», «ИЛЕКСА»,Москва,2003 .
· М.Б.Миндюк, Н.Г.Миндюк «Разноуровневые дидактические материалы по алгебре, 8 класс», «ГЕНЖЕР»,Москва,2002.
· «Алгебра 7-9 .Тематические зачеты»
· Г.И.Ковалева «Уроки математики в 8 классе»,издательство «БРАТЬЯ ГРИНИНЫ»,Волгоград, 2001.
Видео:СУММА КОЭФФИЦИЕНТОВ: Как решать Квадратные Уравнения по МАТЕМАТИКЕ 8 классСкачать
Теорема Виета и её применение
Разделы: Математика
Цель:
- Обобщить и закрепить навыки решения квадратных уравнений ах 2 + вх + с = 0, в которых а + в + с = 0; продолжить развивать навыки устного решения таких уравнений.
- Способствовать выработке у школьников желания и потребности обощения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.
- Обеспечить закрепление теоремы на интересных примерах.
Оборудование:
- Кодоскоп
- Карточки тесты
- Карточки с индивидуальными заданиями для учащихся
- Сигнальные карточки.
Ход урока
I Повторение пройденного материала
1) Устная работа через кодоскоп с применением сигнальных карточек. Если ученик готов отвечать, то зеленая, нет – красная. Согласен с ответом – зеленая, не согласен – красная.
А) 5х 2 – 7х + 2 = 0 | [т.к. а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = ] |
Б) х 2 – 12х + 35 = 0 | [по обратной теореме Виета х1 = 7, х2 = 5] |
В) 313х 2 + 326х + 13 = 0 | [а – в + с = 0, то х1 = –1, х2 = –] |
Г) 4х 2 + 12х + 5 = 0 | [метод переброски х1 = –, х2 = –] |
Д) Составьте квадратное уравнение, если известны его корни: | |
х1 = 5, х2 = –6 | [ х 2 + х –30 = 0] |
х1 = 2, х2 = | [ х 2 – (2 – ) х + 2 = 0] |
Доказательство теоремы Виета и свойств числовых коэффициентов уравнения.
Теорема Виета.
Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при х 2 ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену деленному на коэффициент при х 2 .
х1 + х2 = –
х1х2 = .
Т.к. квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 имеет корни х1 и х2, то справедливо тождество ах 2 + вх + с = а(х – х1)(х – х2).
Раскроем скобки в правой части этого тождества:
х 2 + х – х2х + х1х2,
отсюда следует, что х1 + х2 = – и х1* х2 = . Что и требовалось доказать.
Обратная теорема Виета.
Если выполняются равенства х1 + х2 = – и х1х2 = , то числа х1 и х2 являются корнями уравнения ах 2 + вх + с = 0.
Свойства коэффициентов 1.
Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0, где а0. Если а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = .
ах 2 + вх + с = 0, а0
Разделим обе части уравнения на а0, получим приведенное квадратное уравнение х 2 + .
Согласно теореме Виета | х1 + х2 = – | |
х1 |
По условию а + в + с = 0, откуда в = – а – с. Значит | х1 + х2 = – = 1 + | |
х1* х2 = 1 * |
Получим х1 = 1, х2 = .
Свойство коэффициентов 2.
Если в квадратном уравнении ах 2 + вх + с = 0 а – в + с = 0, то х1 = – 1, х2 = – .
В итоге на доске открывается таблица:
Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
Уравнение | Условие | Заключение | Пример |
ах 2 + вх + с = 0 | х1 и х2 | х1 + х2 = – , х1 * х2 = | х1 = 7 + ; х2 = 2 – |
х1 + х2 = 9; х1х2 = 11 – 5
х1 = – 2, х2 = – 3
х1 = 1, х2 =
х1 = – 1, х1 = –
у1, у2
х2 =
у 2 + 12у + 20 = 0
х1 = – , х2 = – ;
у1 = – 2, у2 = – 10.
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?!
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе в, в знаменателе а.
II. Решение интересных заданий с применением теоремы Виета. Классу задается на дом подобрать по три интересных задания. Самые интересные решаются на уроке. №1 и №2 решаются на доске одновременно. №1 решается с полным комментированием, класс работает с учеником, который решает №1. №2 ученик рассказывает основные моменты.
1. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения х 2 – 3e х? + 1 = 0.
х 2 + 3х + 1 = 0; | х1 + х2 = – 3; | х1 * х2 = 1; | |
х 2 – 3х + 1 = 0; | х3 + х4 = 3; | х1 * х2 = 1; |
х + х + х + х = (х1 + х2) 2 – 2х1х2 + (х3х4) 2 – 2х3х4 = 9 – 2 + 9 – 2 = 14.
2. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х 2 – 7х + 1 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .
Для составления квадратного уравнения с заданными корнями и воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета, для этого необходимо найти их сумму и произведение:
+ = = = = 150,5
– = = = 2.
Искомое уравнение имеет вид
х 2 + 150,5 + 2 = 0 или 2х 2 – 301х + 4 = 0.
3. Корни уравнения х 2 – вх – в = 0 таковы, что х + х + хх = 7,5.
х + х = (х)(( х) – 3х) + х = b(b + 3b) – b 3 = b 3 + 3b 2 – b 3 = 3b 2 = 75.
4. Пусть х1и х2 корни уравнения 3х 2 + 14х – 4 = 0.
Установите, больше или меньше единицы значение дроби
.
х1 + х2 = – ;
х1 * х2 = – ;
5. Для каких значений а разность корней уравнения 2х 2 – (а + 1)х + а + 3 = 0 равна единице?
х1 + х2 = = > 1 + х1 + х2 =
х1 * х2 = = > 2х2 + 1 = = > х2 = .
х1 = 1 +
х1 =
= ;
(а + 3)(а – 1) = 8а + 24
а 2 + 3а – а – 3 – 8а – 24 = 0
III. Тест – самостоятельная по карточкам.
Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).
х 2 + (
А) 2; ;
Б) ——;
В); ;
Г) нет правильных ответов.
Не решая квадратного уравнения 3х 2 -х-11 = 0, составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .
А) х 2 —
Б) х 2 —
В) х 2 +
Г) х 2 +
Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).
1) Решите уравнение:
х 2 -(
А) 5; ;
Б) ——;
В) —; ;
Г) ; .
Не решая квадратного уравнения 2х 2 -5х-4 = 0, составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .
А) х 2 —
Б) х 2 —
В) х 2 +
Г) х 2 +
Проверка ответов через кодоскоп. Учащиеся меняются листочками с ответами, проверяют решение соседа и ставят оценку.
IV. Домашнее задание
Поменяться карточками с творческими заданиями.
Видео:Свойства коэффициентов квадратного уравненияСкачать
Свойства коэффициентов квадратного уравнения с доказательством
Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.
Дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то
Дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Если a — b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
341x 2 + 290x — 51 = 0
Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.
Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию
341 — 51 = 290. Получим а + с = b. Следовательно, мы
можем воспользоваться свойством 2.
Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 . Коэффициент b представлен в виде 2k, т.е. является четным числом, то формулу корней уравнения можно переписать в более простом виде
🔍 Видео
СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯСкачать
Метод переброски в квадратных уравнениях. ЕГЭ и ОГЭ 2022 по математикеСкачать
Квадратные уравнения: Свойства коэффициентовСкачать
5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Теорема Виета. 8 класс.Скачать
СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯСкачать
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать
коэффициенты в квадратном уравненииСкачать
Квадратные уравнения | Формулы для коэффициентов | АлгебраСкачать
Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
ЕГЭ-2018. Задание В-5. Решение квадратного уравнения по сумме коэффициентов.Скачать
Частные случаи решения квадратных уравнений Решение уравнений с использованием свойств коэффициентовСкачать
Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать
Квадратные уравнения.Скачать
Доказательство формулы корней квадратного уравненияСкачать