Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Вопрос по алгебре:

Существуют ли такие целые числа m и n, что 2014=m^2/n^3

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

2014=m²/n³
m²=2014n³
если n=2014, то
m²=2014·2014³=2014⁴=((2014)²)², значит m=2014²
Ответ: существуют
n=2014, m=2014²

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Видео:Натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа и действительные числаСкачать

Решение уравнений в целых числах (стр. 6 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6

Пример 4. Решить в целых числах уравнение x2 + 1 = 3y.

Решение. 1) Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y.

2) Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.

По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2.

Если х = 3k, то правая часть уравнения на 3 не делится.

Если х = 3k+1, то x2 + 1= (3k+1)2+1=3m+2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится.

Если х = 3k+2, то x2 + 1= (3k+2)2+1=3m+2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится.

Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y. Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.

Решение. 1) Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).

2) Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение к виду x³ = 3y³ + 9z³. ………………….. (3)

Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана делится на три, следовательно, так как 3 — число простое, х делится на 3, т. е. х = 3k, подставим это выражение в уравнение (3): 27k3 = 3y³ + 9z³, откуда

следовательно, y³ делится на 3 и y = 3m. Подставим полученное выражение в уравнение (4): 9k3 = 27m³ + 3z³, откуда

В свою очередь, из этого уравнения следует, что z3 делится на 3, и z = 3n. Подставив это выражение в (5), получим, что k3 должно делиться на 3.

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.

Другие методы решения уравнений

На отдельных примерах рассмотрим несколько частных методов решения уравнений.

Замечание. При решении следующего уравнения применяется неравенство Коши, справедливое для любых положительных чисел:

Пример 6. Решить в целых числах уравнение .

Решение. 1) Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также положительно. Поэтому к сумме, стоящей слева, применим неравенство Коши, получим:

=

2) Исследуем возможные наборы трех целых чисел, которые в произведении дают 1. Это могут быть тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Непосредственной проверкой убеждаемся, что каждая из них является решением исходного уравнения.

Пример 7. Найти все пары простых чисел х и y, которые удовлетворяют уравнению 3х4 +5y4 + 15 = 13х2y2

Решение. 1) Если хотя бы одно из чисел х или y четное, то справа будет стоять число четное, при этом, число, стоящее слева тоже обязано быть четным, а это возможно только в том случае, когда только одно из чисел четно.

2) Пусть х = 2 (это единственное простое четное число), тогда непосредственно, решив биквадратное уравнение относительно y, находим y = 3.

3) Пусть y = 2, непосредственно убеждаемся, что в этом случае натуральных значений х, удовлетворяющих уравнению не существует.

4) Если х и y оба нечетные числа: х = 2m+1и y = 2n+1, то левая часть первоначального уравнения при делении на 4 дает в остатке 3, при этом правая часть делится на 4 с остатком 1. Следовательно, не существует нечетных простых чисел, удовлетворяющих данному уравнению.

Задачи для самостоятельного решения

7.1. Решить в натуральных числах уравнение y2 — x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1.

7.2. Решить в простых числах уравнение x2 — 2y2 = 1.

7.3. Доказать, что уравнение x3 + x + 10y = 20004 неразрешимо в целых числах.

7.4. Доказать, что уравнение x5 + 3x4y — 5x3y2 — 15x2y3 + 4xy4 + 12y5 = 33 неразрешимо в целых числах.

7.5. Решить в целых числах уравнение 2x3 + xy — 7 = 0.

7.6. Доказать, что уравнения не имеют целочисленных решений:

7.7. Решить в целых числах уравнения: а) x2 + x = y4 + y3 + y2 + y;

7.8. Решите в натуральных числах уравнения:

7.9. Докажите, что система уравнений не имеет решений в целых числах.

7.10. Найти все пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению

7.11. Существуют ли целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению

7.12. Найти все простые числа, которые одновременно являются суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел.

7.13. Докажите, что уравнение x2 – y2 = 30 не имеет решений в целых числах.

7.14. Решите уравнение x2 – 2х + y2 – 4y + 5 = 0.

7.15. Если первую цифру трехзначного числа увеличить на n, то полученное число будет в n раз больше исходного. Найдите число n и исходное число.

7.16. Решить в целых числах уравнение x2 + y2 + z2 = 2xyz.

7.17. Решить в целых числах уравнение x2 — 2y2 + 8z = 3.

7.18. Решите в натуральных числах систему уравнений:

а) б)

7.19. Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45.

7.20. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению:

7.21. Решите в целых числах уравнение:

7.22. Докажите, что система не имеет целочисленных решений

1. Башмакова, и диофантовы уравнения. – М.: Наука, 1972.

2. Фоминых, уравнения //Математика в шк. – 1996. — №6.

3. Школьная энциклопедия. Математика. / под редакцией – М.: Издательство «Большая российская энциклопедия», 1996.

4. Бабинская, математических олимпиад. – М., 1975.

5. Васильев, Всесоюзных математических олимпиад. – М., 1998.

6. Курляндчик, Л. Метод бесконечного спуска // Приложение к журналу «Квант». 1999. – №3.

7. Яковлев, математические олимпиады школьников. М., 1992.

8. Серпинский, В. О решении уравнений в целых числах. – М, 1961.

Видео:✓ Сравнение по модулю. Арифметика остатков | Ботай со мной #034 | Борис ТрушинСкачать

Известно, что целые числа n и m удовлетворяют уравнению (1 + n ^ 2)(nm + 3) = 60?

Алгебра | 5 — 9 классы

Известно, что целые числа n и m удовлетворяют уравнению (1 + n ^ 2)(nm + 3) = 60.

Чему может равняться nm?

Видео:Целые и рациональные числа. 6 класс.Скачать

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению?

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению.

Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, пожалуйста не только ответ)?

Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, пожалуйста не только ответ).

Видео:Нелинейный диофант | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2?

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№7 - Делимость. Свойства и признаки делимости.)Скачать

Найдете наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенство?

Найдете наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенство.

Видео:Совершенно иной подход к математике [Veritasium]Скачать

Известно что x 4степени = у4степени и (у — 1)2в квадрате = 4?

Известно что x 4степени = у4степени и (у — 1)2в квадрате = 4.

Чему не может равняться x?

Видео:РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Ниити наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству(вложение)?

Ниити наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству(вложение).

Видео:Задание на целые числа | Нестандартные задачи 10Скачать

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2?

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2.

Видео:РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА целые числаСкачать

Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству?

Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству.

Видео:ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Диофантовы уравненияСкачать

Найти число целых значений x, удовлетворяющих неравенствам?

Найти число целых значений x, удовлетворяющих неравенствам.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№9 - Решение уравнений в целых числах.)Скачать

В геометрической прогрессии известно b7 = 9, и 11 = 16 чему равняется b9?

В геометрической прогрессии известно b7 = 9, и 11 = 16 чему равняется b9?

Вы зашли на страницу вопроса Известно, что целые числа n и m удовлетворяют уравнению (1 + n ^ 2)(nm + 3) = 60?, который относится к категории Алгебра. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

🎦 Видео

16. Решение линейных уравнений в целых числах. Часть 1. Алексей Савватеев. 100 уроков математикиСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Математика это не ИсламСкачать

Решите систему уравнений в целых числахСкачать

Уравнение в целых числах с параметромСкачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.Скачать

7.2 Последовательность чисел 4. "Поколение Python": курс для начинающих. Курс StepikСкачать

Теория приближений — Алексей Савватеев / ПостНаукаСкачать