Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Вопрос по алгебре:

Существуют ли такие целые числа m и n, что 2014=m^2/n^3

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

2014=m²/n³
m²=2014n³
если n=2014, то
m²=2014·2014³=2014⁴=((2014)²)², значит m=2014²
Ответ: существуют
n=2014, m=2014²

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Решение уравнений в целых числах (стр. 6 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6

Пример 4. Решить в целых числах уравнение x2 + 1 = 3y.

Решение. 1) Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y.

2) Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.

По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2.

Если х = 3k, то правая часть уравнения на 3 не делится.

Если х = 3k+1, то x2 + 1= (3k+1)2+1=3m+2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится.

Если х = 3k+2, то x2 + 1= (3k+2)2+1=3m+2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится.

Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y. Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.

Решение. 1) Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).

2) Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение к виду x³ = 3y³ + 9z³. ………………….. (3)

Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана делится на три, следовательно, так как 3 — число простое, х делится на 3, т. е. х = 3k, подставим это выражение в уравнение (3): 27k3 = 3y³ + 9z³, откуда

следовательно, y³ делится на 3 и y = 3m. Подставим полученное выражение в уравнение (4): 9k3 = 27m³ + 3z³, откуда

В свою очередь, из этого уравнения следует, что z3 делится на 3, и z = 3n. Подставив это выражение в (5), получим, что k3 должно делиться на 3.

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.

Другие методы решения уравнений

На отдельных примерах рассмотрим несколько частных методов решения уравнений.

Замечание. При решении следующего уравнения применяется неравенство Коши, справедливое для любых положительных чисел:

Пример 6. Решить в целых числах уравнение .

Решение. 1) Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также положительно. Поэтому к сумме, стоящей слева, применим неравенство Коши, получим:

=

2) Исследуем возможные наборы трех целых чисел, которые в произведении дают 1. Это могут быть тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Непосредственной проверкой убеждаемся, что каждая из них является решением исходного уравнения.

Пример 7. Найти все пары простых чисел х и y, которые удовлетворяют уравнению 3х4 +5y4 + 15 = 13х2y2

Решение. 1) Если хотя бы одно из чисел х или y четное, то справа будет стоять число четное, при этом, число, стоящее слева тоже обязано быть четным, а это возможно только в том случае, когда только одно из чисел четно.

2) Пусть х = 2 (это единственное простое четное число), тогда непосредственно, решив биквадратное уравнение относительно y, находим y = 3.

3) Пусть y = 2, непосредственно убеждаемся, что в этом случае натуральных значений х, удовлетворяющих уравнению не существует.

4) Если х и y оба нечетные числа: х = 2m+1и y = 2n+1, то левая часть первоначального уравнения при делении на 4 дает в остатке 3, при этом правая часть делится на 4 с остатком 1. Следовательно, не существует нечетных простых чисел, удовлетворяющих данному уравнению.

Задачи для самостоятельного решения

7.1. Решить в натуральных числах уравнение y2 — x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1.

7.2. Решить в простых числах уравнение x2 — 2y2 = 1.

7.3. Доказать, что уравнение x3 + x + 10y = 20004 неразрешимо в целых числах.

7.4. Доказать, что уравнение x5 + 3x4y — 5x3y2 — 15x2y3 + 4xy4 + 12y5 = 33 неразрешимо в целых числах.

7.5. Решить в целых числах уравнение 2x3 + xy — 7 = 0.

7.6. Доказать, что уравнения не имеют целочисленных решений:

7.7. Решить в целых числах уравнения: а) x2 + x = y4 + y3 + y2 + y;

7.8. Решите в натуральных числах уравнения:

7.9. Докажите, что система уравнений не имеет решений в целых числах.

7.10. Найти все пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению

7.11. Существуют ли целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению

7.12. Найти все простые числа, которые одновременно являются суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел.

7.13. Докажите, что уравнение x2 – y2 = 30 не имеет решений в целых числах.

7.14. Решите уравнение x2 – 2х + y2 – 4y + 5 = 0.

7.15. Если первую цифру трехзначного числа увеличить на n, то полученное число будет в n раз больше исходного. Найдите число n и исходное число.

7.16. Решить в целых числах уравнение x2 + y2 + z2 = 2xyz.

7.17. Решить в целых числах уравнение x2 — 2y2 + 8z = 3.

7.18. Решите в натуральных числах систему уравнений:

а) б)

7.19. Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45.

7.20. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению:

7.21. Решите в целых числах уравнение:

7.22. Докажите, что система не имеет целочисленных решений

1. Башмакова, и диофантовы уравнения. – М.: Наука, 1972.

2. Фоминых, уравнения //Математика в шк. – 1996. — №6.

3. Школьная энциклопедия. Математика. / под редакцией – М.: Издательство «Большая российская энциклопедия», 1996.

4. Бабинская, математических олимпиад. – М., 1975.

5. Васильев, Всесоюзных математических олимпиад. – М., 1998.

6. Курляндчик, Л. Метод бесконечного спуска // Приложение к журналу «Квант». 1999. – №3.

7. Яковлев, математические олимпиады школьников. М., 1992.

8. Серпинский, В. О решении уравнений в целых числах. – М, 1961.

Известно, что целые числа n и m удовлетворяют уравнению (1 + n ^ 2)(nm + 3) = 60?

Алгебра | 5 — 9 классы

Известно, что целые числа n и m удовлетворяют уравнению (1 + n ^ 2)(nm + 3) = 60.

Чему может равняться nm?

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению?

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению.

Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, пожалуйста не только ответ)?

Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, пожалуйста не только ответ).

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2?

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2.

Найдете наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенство?

Найдете наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенство.

Известно что x 4степени = у4степени и (у — 1)2в квадрате = 4?

Известно что x 4степени = у4степени и (у — 1)2в квадрате = 4.

Чему не может равняться x?

Ниити наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству(вложение)?

Ниити наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству(вложение).

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2?

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2.

Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству?

Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству.

Найти число целых значений x, удовлетворяющих неравенствам?

Найти число целых значений x, удовлетворяющих неравенствам.

В геометрической прогрессии известно b7 = 9, и 11 = 16 чему равняется b9?

В геометрической прогрессии известно b7 = 9, и 11 = 16 чему равняется b9?

Вы зашли на страницу вопроса Известно, что целые числа n и m удовлетворяют уравнению (1 + n ^ 2)(nm + 3) = 60?, который относится к категории Алгебра. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.