Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Вопрос по алгебре:

Существуют ли такие целые числа m и n, что 2014=m^2/n^3

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

2014=m²/n³
m²=2014n³
если n=2014, то
m²=2014·2014³=2014⁴=((2014)²)², значит m=2014²
Ответ: существуют
n=2014, m=2014²

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Видео:Натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа и действительные числаСкачать

Натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа и действительные числа

Решение уравнений в целых числах (стр. 6 )

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнениюИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Пример 4. Решить в целых числах уравнение x2 + 1 = 3y.

Решение. 1) Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y.

2) Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.

По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2.

Если х = 3k, то правая часть уравнения на 3 не делится.

Если х = 3k+1, то x2 + 1= (3k+1)2+1=3m+2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится.

Если х = 3k+2, то x2 + 1= (3k+2)2+1=3m+2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится.

Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y. Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.

Решение. 1) Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).

2) Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение к виду x³ = 3y³ + 9z³. ………………….. (3)

Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана делится на три, следовательно, так как 3 — число простое, х делится на 3, т. е. х = 3k, подставим это выражение в уравнение (3): 27k3 = 3y³ + 9z³, откуда

следовательно, y³ делится на 3 и y = 3m. Подставим полученное выражение в уравнение (4): 9k3 = 27m³ + 3z³, откуда

В свою очередь, из этого уравнения следует, что z3 делится на 3, и z = 3n. Подставив это выражение в (5), получим, что k3 должно делиться на 3.

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.

Другие методы решения уравнений

На отдельных примерах рассмотрим несколько частных методов решения уравнений.

Замечание. При решении следующего уравнения применяется неравенство Коши, справедливое для любых положительных чисел:

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Пример 6. Решить в целых числах уравнение Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению.

Решение. 1) Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также положительно. Поэтому к сумме, стоящей слева, применим неравенство Коши, получим:

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению= Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

2) Исследуем возможные наборы трех целых чисел, которые в произведении дают 1. Это могут быть тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Непосредственной проверкой убеждаемся, что каждая из них является решением исходного уравнения.

Пример 7. Найти все пары простых чисел х и y, которые удовлетворяют уравнению 3х4 +5y4 + 15 = 13х2y2

Решение. 1) Если хотя бы одно из чисел х или y четное, то справа будет стоять число четное, при этом, число, стоящее слева тоже обязано быть четным, а это возможно только в том случае, когда только одно из чисел четно.

2) Пусть х = 2 (это единственное простое четное число), тогда непосредственно, решив биквадратное уравнение относительно y, находим y = 3.

3) Пусть y = 2, непосредственно убеждаемся, что в этом случае натуральных значений х, удовлетворяющих уравнению не существует.

4) Если х и y оба нечетные числа: х = 2m+1и y = 2n+1, то левая часть первоначального уравнения при делении на 4 дает в остатке 3, при этом правая часть делится на 4 с остатком 1. Следовательно, не существует нечетных простых чисел, удовлетворяющих данному уравнению.

Задачи для самостоятельного решения

7.1. Решить в натуральных числах уравнение y2 — x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1.

7.2. Решить в простых числах уравнение x2 — 2y2 = 1.

7.3. Доказать, что уравнение x3 + x + 10y = 20004 неразрешимо в целых числах.

7.4. Доказать, что уравнение x5 + 3x4y — 5x3y2 — 15x2y3 + 4xy4 + 12y5 = 33 неразрешимо в целых числах.

7.5. Решить в целых числах уравнение 2x3 + xy — 7 = 0.

7.6. Доказать, что уравнения не имеют целочисленных решений:

7.7. Решить в целых числах уравнения: а) x2 + x = y4 + y3 + y2 + y;

7.8. Решите в натуральных числах уравнения:

7.9. Докажите, что система уравнений не имеет решений в целых числах.

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

7.10. Найти все пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению

7.11. Существуют ли целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению

7.12. Найти все простые числа, которые одновременно являются суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел.

7.13. Докажите, что уравнение x2 – y2 = 30 не имеет решений в целых числах.

7.14. Решите уравнение x2 – 2х + y2 – 4y + 5 = 0.

7.15. Если первую цифру трехзначного числа увеличить на n, то полученное число будет в n раз больше исходного. Найдите число n и исходное число.

7.16. Решить в целых числах уравнение x2 + y2 + z2 = 2xyz.

7.17. Решить в целых числах уравнение x2 — 2y2 + 8z = 3.

7.18. Решите в натуральных числах систему уравнений:

а) Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнениюб) Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

7.19. Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45.

7.20. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению:

7.21. Решите в целых числах уравнение:

7.22. Докажите, что система не имеет целочисленных решений

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

1. Башмакова, и диофантовы уравнения. – М.: Наука, 1972.

2. Фоминых, уравнения //Математика в шк. – 1996. — №6.

3. Школьная энциклопедия. Математика. / под редакцией – М.: Издательство «Большая российская энциклопедия», 1996.

4. Бабинская, математических олимпиад. – М., 1975.

5. Васильев, Всесоюзных математических олимпиад. – М., 1998.

6. Курляндчик, Л. Метод бесконечного спуска // Приложение к журналу «Квант». 1999. – №3.

7. Яковлев, математические олимпиады школьников. М., 1992.

8. Серпинский, В. О решении уравнений в целых числах. – М, 1961.

Видео:✓ Сравнение по модулю. Арифметика остатков | Ботай со мной #034 | Борис ТрушинСкачать

✓ Сравнение по модулю. Арифметика остатков | Ботай со мной #034 | Борис Трушин

Известно, что целые числа n и m удовлетворяют уравнению (1 + n ^ 2)(nm + 3) = 60?

Алгебра | 5 — 9 классы

Известно, что целые числа n и m удовлетворяют уравнению (1 + n ^ 2)(nm + 3) = 60.

Чему может равняться nm?

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Видео:Целые и рациональные числа. 6 класс.Скачать

Целые и рациональные числа. 6 класс.

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению?

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению.

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Видео:Нелинейный диофант | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Нелинейный диофант | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, пожалуйста не только ответ)?

Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, пожалуйста не только ответ).

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№7 - Делимость. Свойства и признаки делимости.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№7 - Делимость. Свойства и признаки делимости.)

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2?

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2.

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Видео:РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ

Найдете наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенство?

Найдете наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенство.

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Видео:Совершенно иной подход к математике [Veritasium]Скачать

Совершенно иной подход к математике [Veritasium]

Известно что x 4степени = у4степени и (у — 1)2в квадрате = 4?

Известно что x 4степени = у4степени и (у — 1)2в квадрате = 4.

Чему не может равняться x?

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числах

Ниити наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству(вложение)?

Ниити наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству(вложение).

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№9 - Решение уравнений в целых числах.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№9 - Решение уравнений в целых числах.)

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2?

Найти все целые числа, удовлетворяющие уравнению |x — 2, 5| |x — 4, 5| = 2.

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Видео:ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Диофантовы уравненияСкачать

ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Диофантовы уравнения

Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству?

Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству.

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Видео:16. Решение линейных уравнений в целых числах. Часть 1. Алексей Савватеев. 100 уроков математикиСкачать

16. Решение линейных уравнений в целых числах. Часть 1. Алексей Савватеев. 100 уроков математики

Найти число целых значений x, удовлетворяющих неравенствам?

Найти число целых значений x, удовлетворяющих неравенствам.

Существуют ли целые числа m и n удовлетворяющие уравнению

Видео:Задание на целые числа | Нестандартные задачи 10Скачать

Задание на целые числа | Нестандартные задачи 10

В геометрической прогрессии известно b7 = 9, и 11 = 16 чему равняется b9?

В геометрической прогрессии известно b7 = 9, и 11 = 16 чему равняется b9?

Вы зашли на страницу вопроса Известно, что целые числа n и m удовлетворяют уравнению (1 + n ^ 2)(nm + 3) = 60?, который относится к категории Алгебра. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

🎥 Видео

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА целые числаСкачать

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА целые числа

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.Скачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Уравнение в целых числах с параметромСкачать

Уравнение в целых числах с параметром

Решите систему уравнений в целых числахСкачать

Решите систему уравнений в целых числах

7.2 Последовательность чисел 4. "Поколение Python": курс для начинающих. Курс StepikСкачать

7.2 Последовательность чисел 4. "Поколение Python": курс для начинающих. Курс Stepik

Теория приближений — Алексей Савватеев / ПостНаукаСкачать

Теория приближений — Алексей Савватеев / ПостНаука
Поделиться или сохранить к себе: