Супер сложное уравнение с ответом (8 видео)

Содержание

Математика
Решение сложных уравнений. 3 класс.
Реально сложные задачи
Бабушка и помидоры
Странный разговор двух программистов
Странные программисты снова разговаривают
Программисты и странное знакомство
Самая сложная задача в мире
Монти Холл и три шкатулки
Если пустую шкатулку открыли случайно
Пустую шкатулку выбрали специально
🎦 Видео

Видео:Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

Математика

52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1 .

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Общий знаменатель есть x 2 – 1, так как x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x 2 – 1. Получим:

или, после сокращения,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

Рассмотрим еще уравнение:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

Решая, как выше, получим:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.

Для первого примера получим:

Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.

Для второго примера получим:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0

Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.

Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x 2 . Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x 2 — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x 2 уничтожатся, и мы получим:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:

Вспоминая данное уравнение

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.

Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:

2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,

Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:

Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:

или 11 = 11

Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Здесь уже члены с x 2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы

Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:

1) 2 2 – 3 · 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 · 1 = –2

Если мы вспомним начальное уравнение

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.

Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:

на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.

Если бы мы взяли уравнение:

то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

откуда получили бы

что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.

Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Решение сложных уравнений. 3 класс.

Овладение детьми способом решения уравнений в начальной школе создает прочную основу для дальнейшего обучения алгебры, химии, физики и других предметов.

Начиная с 3-го класса, ученикам встречаются сложные уравнения, но справиться с ними очень просто.

Дети уже умеют решать простые уравнения, читай об этом здесь.

А эта статья будет посвящена решению сложных уравнений в 2-3 действия.

Очень часто родители, желая помочь, объясняют так: вот смотри, сейчас вот это число перенести в другую часть от знака равенства, надо поменять знак на противоположный: было умножение, меняем на деление; было сложение меняем на вычитание.

В начальной школе это объяснение не срабатывает, т.к. ребенок не знаком с законами алгебры.

Как сложное уравнение привести к тому, которые мы уже умеем решать, а именно к уравнению в 1 действие?

Рассмотрим уравнение в 2 действия:

х + 56 = 98 — 2 — оно достаточно легкое.

Здесь особого труда не будет в решении, потому что ребенок сразу догадается, что сначала надо 98-2.

х + 56 = 98 — 2

х + 56 = 96 – это простое уравнение. А его решаем очень быстро!

Сейчас мы рассмотрим уравнение:

Такое уравнение можно решить несколькими способами.

У нас здесь неизвестное число х. Мы не знаем, что спрятано за этим числом.

А когда к х + 5 – это число тоже известно.

Закроем его и пусть это будет другое число, например b .

Мы видим, что у нас получилось самое простое уравнение в 1 действие.

2 • b = 30

А чтобы найти а, нам нужно 30 : на 2.

А b не что иное, как х + 5.

х + 5 = 30 : 2

х + 5 = 15

х = 15 – 5

х = 10

Проверку делаем как обычно: переписываем первое уравнение: 2 • (10 + 5) = 30.

30 – переписываем, а левую часть считаем — будет 30.

30 = 30, значит, уравнение решили правильно.

При решении таких сложных уравнений самое главное – понять, что заменить на другое неизвестное число. Когда в уравнении всего 2 действия – это очень просто.

Более удобно и понятно, как показывает практика, если использовать решение сложных уравнений на основе зависимости между компонентами действий.

Наше уравнение 2 • (х + 5) = 30 читаем так: число 2 умножить на сумму х и пяти, получится 30. В данном случае – нам неизвестна сумма, чтобы ее найти, надо 30:2.

48 : (16 – а) = 4.

Если опять заменять часть уравнения другим неизвестным числом, можно запутаться. Поэтому легче использовать взаимосвязи компонентов и результата действия: число 48 разделить на разность.

Нам неизвестна разность, поэтому сначала нужно узнать чему она равна. Надо 48 : 4.

16 — а = 48 : 4

16 — а = 12 – это простое уравнение.

а = 16 — 12

а = 4

Проверка: 48 : (16 — 4) = 4

Давайте посмотрим еще одно:

Из 96 надо вычесть разность с и 16. Чтобы найти разность, надо 96-94.

Проверка: 96 — (16 — 14) = 94

А сейчас мы переходим к тем уравнениям, у которых не 2, а 3 действия. Как же нам поступать в этом случае? При решении таких сложных уравнения используем знания порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без них.

Рассмотрим уравнение: 36 – (8 • у + 5) = 7

Прежде всего, нужно внимательно оценить левую часть уравнения: ту, которая с неизвестным числом. Вы должны четко себе представить какое вы будете делать действие первым, какое – вторым, какое – третьим: сначала делается умножение, потом сложение и последним – вычитание.

И вот то, которое вы будете делать третьим, с него и начнем, т.е. начинаем упрощать уравнение с последнего действия. Последнее действие – вычитание. С него и начнем: из числа 36 вычесть то, что в скобках и получим 7.

Значит, то что в скобках – вычитаемое, чтобы его найти, надо 36 — 7.

По правилам математики в данной записи скобки – не ставим.

8 • у + 5 = 29 – уравнение сложное. Нужно его упростить. Данное уравнение читаем так: к произведению 8 и у прибавили 5 и получилось 29. Нам неизвестно произведение, чтобы его найти, надо 29-5.

8 • у = 24 – это уравнение простое.

Проверка: 36 — (8 • у + 5) = 7 . Правую часть – 7 — переписываем, а левую считаем.

Итак: 7 = 7. Значит, уравнение решили правильно.

(36 + d) : 4 + 8 = 18. Определяем порядок действий: первое – сложение в скобках, второе – деление, третье сложение вне скобок. Значит, все, что до 8 – это первое слагаемое, чтобы его найти, надо 18 — 8

(36 + d) : 4 = 18 — 8

(36 + d) : 4 = 10 – уравнение сложное, теперь последнее действие — :, значит

36 + d = 40 – уравнение простое и его мы решаем легко!

Для удобства и быстроты решения сложных уравнений можете пользоваться данной памяткой

Дело в том, что при кажущейся сложности, если внимательно изучить все приемы, которые я вам сегодня показала, эти уравнения дети будете щелкать как семечки. Обязательно напишите в комментариях, какой способ вам более удобен.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 58

Видео:Как решить сложные уравненияСкачать

Реально сложные задачи

Без шуток, мы предупредили.

Если вы любите поломать мозг над трудностями и обожаете сложности — эта подборка для вас. В каждой задаче относительно простая математика, но убийственная логика, которая, как ни странно, оказывается правильной. Если вы сможете сами решить их все без наших подсказок — напишите об этом в комментариях, IT-сфера должна знать своих героев.

Видео:Выскочек никто не любит / Одарённая (2017)Скачать

Бабушка и помидоры

Бабушка решила заняться фермерским хозяйством — выращивать и продавать помидоры. Она насобирала 100 кг томатов, погрузила их на тележку и выставила с утра перед домом.

Помидоры, которые вырастила бабушка, на 99% состоят из воды, но на солнце часть воды испаряется сквозь кожуру. День выдался жарким, и к вечеру воды в помидорах стало уже 98%. Сколько теперь весят бабушкины помидоры?

Результат может оказаться неожиданным для вас, поэтому внимательно следите за расчётами.

Для начала рассчитаем состав помидоров с утра. В них было 99% воды. Это значит, что в них было 99 килограммов воды и 1 килограмм клетчатки. Эта клетчатка с утра занимала 1%:

100% — 99% = 1%.

По условию задачи, этот килограмм клетчатки не может испариться или исчезнуть, его вес всегда одинаковый. Испаряется только вода.

Теперь считаем состав помидоров вечером: воды было уже 98%. Это значит, что количество воды уменьшилось, но вся клетчатка осталась на месте: как был килограмм с утра, так и остался. Но изменилось процентное соотношение клетчатки к воде: сейчас тот же самый килограмм клетчатки занимает 2% общего веса. Давайте посчитаем, сколько тогда вечером весят все помидоры:

2% помидоров весит 1 килограмм, а значит 20% весят 10 килограмм.

Умножаем обе части на 5, чтобы получить полный вес. Получаем:

100% = 50 кг.

Оказывается, к вечеру вес снизился вдвое! Это неинтуитивно, но так работает математика. ¯_(ツ)_¯

Видео:Мэри решает сложные примеры по математике | Одарённая (2017)Скачать

Странный разговор двух программистов

Встречаются два программиста, которые давно друг друга не видели. У них происходит такой диалог:

— Я слышал, у тебя дети появились.

— И сколько им лет?

— Ну. В сумме — тринадцать!

— Хм. Ты снова загадками говоришь? Ну ладно. Что ещё можешь сказать?

— Если возрасты перемножить, получится столько же, сколько окон вон у того дома.

Программист считает окна и прикидывает варианты.

— Но этого до сих пор недостаточно для ответа!

— Могу добавить, что мой старший сын — рыжий.

— Ну теперь совсем другое дело. Им . (далее следует ответ).

Сколько же лет им было? И как первый смог вычислить возраст?

Если вам до сих пор кажется, что эта задача — полная дичь, мы вас понимаем. И всё-таки у неё есть чёткое, логичное и точное решение.

Суть его в том, что каждый ответ второго — уточнение или подсказка для решения. И первый задавал вопросы до тех пор, пока все подсказки не привели его к правильному ответу. Давайте проследим за ходом его мыслей.

Первый ответ говорит нам о том, что всего детей — трое. Хорошо, но явно недостаточно для того, чтобы вычислить возраст.

Второй ответ говорит о том, что в сумме детям 13 лет. Давайте запишем все возможные комбинации возрастов, которые подходят под это условие:

Остальные комбинации получаются из этих простой перестановкой возрастов.

Третий ответ — произведение возрастов равно числу окон. Кажется, что это вообще никак нам не помогает, потому что мы не знаем количества окон в доме, — но это не так. Если бы этого ответа было достаточно, то первый бы сразу назвал возраст, но раз он этого не сделал, значит, информации было недостаточно.

Давайте посмотрим на произведения всех комбинаций возрастов и попробуем понять, что же с ними не так:

1 × 6 × 6 = 36

2 × 2 × 9 = 36

Раз этого ответа про количество окон оказалось недостаточно, значит в доме было столько окон, что под это число попадали сразу несколько результатов произведений. Мы выделили их в таблице. Все остальные числа давали бы однозначный ответ про возраст, а для числа 36 есть несколько вариантов, поэтому первый сказал, что этого ему недостаточно.

Четвёртый ответ — старший сын рыжий. Цвет волос нам не так важен, как количество старших сыновей. Так как «старший сын» означает, что он такой старший один, значит, вариант 1 — 6 — 6 нам не подходит, потому что в нём старших сыновей двое. Остаётся только один вариант: 2 — 2 — 9.

Ответ: старшему сыну 9 лет, двум другим — по 2 года.

Видео:Супер Жесть с красивым ответом ➜ 1/x²-1/(x+1)² =1Скачать

Странные программисты снова разговаривают

Двоих программистов вывезли на кладбище бандиты из девяностых. Бандиты тайно выбрали 2 целых положительных числа, оба больше единицы, а их сумма меньше 100. Первому программисту бандит сказал произведение этих чисел, а второму — их сумму. После этого у программистов состоялся такой разговор.

Первый: Я понятия не имею, какая у тебя сумма.

Второй: Ха-ха, это для меня не новость! Я и так знал, что ты не знал этого.

Первый: Ага! Теперь я понял, чему равна твоя сумма!

Второй: Отлично — теперь и я тоже знаю твоё произведение!

Бандиты, конечно же, их отпустили. Потому что это загадка! А загадка в том, что это за числа и как программисты это выяснили.

В отличие от предыдущей задачи, здесь решение намного сложнее, потому что в голове нужно держать одновременно 2-3 условия, которыми надо проверять числа. Но мы справимся.

Для решения нам понадобится вспомнить, что такое простые числа и в чём их особенность. Простое число — то, которое может делиться нацело только на себя и на единицу. Например, число 5 — простое, потому что делится только на 5 и на 1. А число 6 — не простое, потому что кроме 6 и 1 оно ещё делится на 2 и 3 без остатка. Семь тоже будет простым числом, а восемь — нет, потому что кроме 8 и 1 оно делится также на 2 и 4.

Если перемножить два простых числа, то полученное произведение больше никак нельзя получить другим способом (кроме умножения этого же числа на единицу). Поясним на примере.

Возьмём два простых числа 5 и 7 и перемножим их — получится 35. Больше число 35 получить никак не получится, кроме как умножить 35 на 1. Это значит, что если произведение можно разложить на два простых множителя, то других вариантов разложения (кроме числа и единицы) у него не будет. Это нам пригодится при решении задач — и если число можно разложить на 2 простых, то и их сумму тоже легко сразу посчитать.

54 = 6 × 9, а это значит, что число 54 нельзя получить перемножением двух простых чисел и нельзя сразу сказать, чему однозначно равна сумма множителей.

Оба числа простые, поэтому произведение 21 можно получить только из них, а значит, легко посчитать сумму — она будет равна 3 + 7 = 10.

Теперь переведём их диалог на язык математики и логики и обозначим числа как n и m:

Первый: Я понял, что одно из чисел точно не простое, потому что иначе я сразу бы разложил число на произведение двух простых и легко получил сумму. А раз так, то это одно из чисел m или n можно получить перемножением двух других чисел. Поэтому общее произведение состоит не менее чем из трёх множителей, причём как минимум один из них отличается от остальных — поэтому получается несколько вариантов возможных сумм, и я не знаю, какая из них правильная (пометим это как Правило 1).

Второй: Сумму, которая у меня есть, нельзя получить из двух простых чисел, поэтому и твоё произведение тоже нельзя разложить на два простых множителя. Это значит, что у меня нечётная сумма, потому что, по гипотезе Гольдбаха, в нашем случае можно получить любое чётное число, сложив два простых. А раз это не два простых числа, значит, и сумма будет нечётная. А ещё эта сумма точно не равна сумме двух и простого числа, потому что два — тоже простое, ха! Поэтому есть несколько вариантов суммы m и n, которые подходят под твои условия, но я не могу пока определить, какие именно (пометим это как Правило 2).

Первый: Из всех множителей моего произведения я могу составить только один вариант пары, сумма которой подойдёт под твоё ограничение — не будет разбиваться на сумму двух простых или сумму чисел одного множителя (Правило 3).

Второй: Ах вот как! Из всех вариантов пар, на которые можно разбить сумму и подходящих под твои условия, есть только одна, которая позволила бы тебе определить это (Правило 4). Теперь и мне понятно, что это за числа!

Теперь подберём варианты суммы, которая была у второго. Ограничения такие:

нечётная;
не равна сумме двойки и простого числа.

1 — не подходит, потому что оба числа больше единицы.

2, 4, 6, 8… — нет, потому что чётные.

3 — нет, потому что это сумма двойки и простого числа.

5 — нет, по той же причине (2 + 3).

7 — тоже нет (2 + 5).

9 — тоже нет (2 + 7, а 7 — простое число).

11 — подходит.

13 — нет, потому что 13 = 2 + 11 (11 — простое число).

15 — нет, потому что 15 = 2 + 13 (13 — тоже простое число).

17 — подходит.

19 — нет, потому что 19 = 2 + 17 (17 — простое число).

Способ подбора суммы понятен, дальше можно продолжать по тому же алгоритму. Мы же выберем те, которые нам уже подошли, и на их примере покажем, что нужно делать дальше, чтобы получить правильный ответ. Наши числа, которые нам подходят уже сейчас: 11 и 17. Начнём с 11.

Сумма = 11.

Найдём все слагаемые, которые могут давать эту сумму:

Для каждого из них запишем произведение и проверим, выполняется ли Правило 3, которое сказал первый программист.

Смотрим на произведение 2 × 9 = 18 и как ещё его можно получить.

18 = 2 × 9 → Да (Правило 3 выполняется).

18 = 3 × 6 → Нет (Правило 3 не работает, потому что 3 + 6 = 9, а 9 можно получить из простых чисел 2 и 7).

Смотрим на произведение 3 × 8 = 24.

24 = 2 × 12 → Нет (чётная сумма, Правило 2 не работает).

24 = 3 × 8 → Да (выполняется Правило 3).

24 = 6 × 4 → Нет (чётная сумма).

Смотрим на произведение 4 × 7 = 28.

28 = 2 × 14 → Нет (чётная сумма).

28 = 4 × 7 → Да (выполняется Правило 3).

Смотрим на произведение 5 × 6 = 30.

30 = 2 × 15 → Да.

30 = 3 × 10 → Нет (Правило 3 не работает, потому что 3 + 10 = 13, а 13 можно получить суммой простых чисел 2 и 11).

30 = 5 × 6 → Да.

Тут мы вообще не можем выбрать одну пару, потому что Правило 3 выполняется 2 раза, а значит, этот вариант отбрасываем.

Получается, что для суммы 11 могут быть три варианта произведений, для которых выполняется Правило 3: 2 и 9, 3 и 8, 4 и 7. Но тогда Правило 4 не выполняется, потому что нужно, чтобы для одной суммы была только одна пара, которая подходит под правило 3. Продолжаем искать.

Сумма = 17.

Найдём все слагаемые, которые могут давать эту сумму:

Смотрим на произведение 2 × 15 = 30 и как ещё его можно получить.

30 = 2 × 15 → Да.

30 = 3 × 10 → Нет (Правило 3 не работает, потому что 3 + 10 = 13, а 13 можно получить суммой простых чисел 2 и 11).

30 = 5 × 6 → Да.

Смотрим на произведение 3 × 14 = 42 и как ещё его можно получить:

42 = 2 × 21 → Да.

42 = 3 × 14 → Да.