Стационарный режим и уравнение колмогорова (5 видео)

Теория случайных процессов и теория массового обслуживания

Теорией случайных процессов называют раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений в динамике их развития. Теория случайных процессов — это сравнительно новый раздел теории вероятностей, особенно интенсивно развивающийся в настоящее время в связи с широким кругом его практических приложений.

Содержание:

Содержание

Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания
Определение случайного процесса и его характеристики
Основные понятия теории массового обслуживания
Понятие марковского процесса
Простейший поток событий
Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний
Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний
Процесс гибели и размножения
Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний
📽️ Видео

Видео:Матрица интенсивностей. Система уравнений КолмогороваСкачать

Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания

Теория случайных процессов — это раздел математической науки, который изучает закономерности случайных явлений в динамике их развития.

Определение случайного процесса и его характеристики

Случайным процессом называется процесс, значение которого при любом значении аргумента является случайной величиной.

Реализацией случайного процесса называется детерминированная функция в которую преобразуется случайный процесс вследствие испытания, то есть его траектория.

Количество реализаций определенного случайного процесса изображено на рис. 4.1. Пусть сечение процесса при данном является непрерывной случайной величиной. Тогда случайный процесс при данном определяется плотностью вероятности

Очевидно, что плотность вероятности не является исчерпывающей задачей случайного процесса поскольку она не выражает зависимости между его сечениями в разные моменты времени.

Случайный процесс представляет собой совокупность всех сечений при всех возможных значениях поэтому для его задания необходимо рассматривать многомерную случайную величину образованную из всех сечений этого процесса.

Таких сечений бесконечно много, но для задания случайного процесса удается ограничиться сравнительно небольшим количеством сечений.

Случайный процесс имеет порядок если он полностью определяется плотностью общего распределения произвольных сечений процесса, то есть плотностью -мерной случайной величины где — сечение случайного процесса в момент времени

Случайный процесс может быть задан числовыми характеристиками.

Математическим ожиданием случайного процесса называется детерминированная функция которая при любом значении переменной равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса то есть

Дисперсией случайного процесса называется детерминированная функция которая при любом значении переменной равна дисперсии соответствующего сечения случайного процесса то есть

Средним квадратическим отклонением случайного процесса называется арифметическое значение квадратного корня из его дисперсии, то есть

Математическое ожидание случайного процесса характеризует среднюю траекторию всех возможных его реализаций, а его дисперсия или среднее квадратическое отклонение — разброс реализаций относительно средней траектории.

Корреляционной функцией случайного процесса называется детерминированная функция

двух переменных и которая для каждой пары переменных и равна ковариации соответствующих сечений и случайного процесса.

Корреляционная функция характеризует не только степень близости линейной зависимости между двумя сечениями, а и разброс этих сечений относительно математического ожидания

Поэтому рассматривается также нормированная корреляционная функция случайного процесса.

Нормированной корреляционной функцией случайного процесса называется функция

Пример. Случайный процесс определяется формулой где — случайная величина. Найти основные характеристики этого процесса, если

Решение. Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии получим:

Находим далее корреляционную функцию

а также нормированную корреляционную функцию

Случайные процессы можно классифицировать в зависимости от того, плавно или скачкообразно изменяются состояния системы, в которой они происходят, конечное или бесконечное множество этих состояний. Среди случайных процессов особое место занимают марковские случайные процессы, которые составляют основу теории массового обслуживания.

Основные понятия теории массового обслуживания

На практике часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования во время решения однотипных задач. Процессы, которые при этом происходят, называются процессами обслуживания, а соответствующие системы — системами массового обслуживания (СМО).

Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, кассы, где продаются железнодорожные или авиабилеты, магазины, парикмахерские и т.п.

Каждая МСО состоит из определенного количества обслуживаемых единиц (приборов, пунктов, станций), которые будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и т.п. По количеству каналов СМО делятся на одно- и многоканальные.

Заявки поступают в СМО конечно нерегулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (ссылок). Обслуживание заявок также длится в течение определенного случайного времени. Учитывая случайность потока заявок и время обслуживания, СМО загружаются неравномерно: в определенные периоды накапливается очень много заявок (они или стают в очередь, или оставляют СМО не обслуженными), в другие периоды СМО работает с малой загрузкой или простаивает.

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, которые связывают заданные условия работы СМО с показателями ее эффективности, которые описывают способность этой системы обрабатывать потоки заявок.

Показателями эффективности СМО являются:

— среднее количество заявок, которые она обслуживает за единицу времени;
— среднее количество заявок в очереди;
— среднее время ожидания обслуживания;
— вероятность отказа в обслуживании без ожидания;
— вероятность того, что количество заявок в очереди превышает определенное значение и т.д.

СМО делятся на два основных класса: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью).

В СМО с отказами заявка, которая поступила в момент, когда все каналы были заняты, получив отказ, оставляет СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

В СМО с ожиданием заявка, которая поступает в момент, когда все каналы заняты, не оставляет систему, а становится в очередь на обслуживание.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния можно заранее пересчитать, а переход системы от одного к другому происходит мгновенно (скачкообразно). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из одного состояния в другое не фиксированы заранее, а случайные.

Процесс функционирования СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы — марковский.

Понятие марковского процесса

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система приняла это состояние.

Пример. Система — счетчик в такси. Состояние системы в момент характеризуется количеством километров, пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент счетчик показывает Вероятность того, что в момент счетчик будет показывать то или иное количество километров зависит от но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показатели счетчика до момента

Некоторые процессы можно приблизительно считать марковскими.

Пример. Система — группа шахматистов. Состояние системы характеризуется количеством фигур противника, которые остались на доске до момента Вероятность того, что в момент материальное преимущество будет на стороне одного из противников, зависит, прежде всего от того, в каком состоянии находится система в данный момент а не от того, когда и в какой последовательности исчезали фигуры с доски до момента

Анализируя случайный процессы с дискретными состояниями, удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний Обычно состояния системы изображают прямоугольниками (кругами), а возможные переходы от одного состояния к другому — стрелками, которые соединяют состояния.

Пример. Построить граф состояний такого случайного процесса: прибор состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего немедленно начинается ремонт узла, который длится в течение заранее неизвестного случайного времени.

Решение. Возможные состояния системы: — оба узла исправны; — первый узел ремонтируется, а второй исправный; второй узел ремонтируется, а первый исправный; — оба узла ремонтируются.

Граф системы приведен на рис. 4.2.

Стрелка, направленная из до означает переход системы в момент отказа первого узла; стрелка из до — переход в момент окончания ремонта этого узла. Стрелки из до нет, поскольку допускается, что узлы выходят из строя независимо друг от друга.

Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, которое происходит в СМО, рассмотрим одно из важных понятий теории вероятностей — понятие потока событий.

Простейший поток событий

Потоком событий называется последовательность событий, которые происходят один за другим в случайный момент времени Например, поток заявок, поступающий на предприятие бытового обслуживания, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов (сбоев) во время работы на ЭВМ и т.д. Среднее количество событий, которые происходят за единицу времени, называется интенсивностью потока.

Поток называется простейшим, если он имеет такие свойства:

1) стационарность — вероятность того, что за некоторый промежуток времени произойдет то или иное количество событий, зависит только от длины промежутка и не зависит от начала его отсчета, то есть интенсивность потока постоянная;

2) отсутствие последействия — вероятность наступления некоторого количества событий в произвольном промежутке времени не зависит от того, какое количество событий произошло до начала этого промежутка;

3) ординарность — вероятность наступления двух и более событий за малый промежуток времени существенно меньше, чем вероятность того, что произойдет одно событие.

Если поток событий простейший, то вероятность того, что за промежуток времени событие наступит раз, определяется формулой: где — интенсивность потока. Эта формула отражает все свойства простейшего потока, а следовательно, является его математической моделью.

Пример. Среднее количество заявок, поступающих на комбинат бытового обслуживания за 1 час равно 4. Найти вероятность того, что за 3 часа поступит: 1) 6 заявок; 2) менее 6 заявок; 3) не менее 6 заявок.

Решение. Пусть событие — «поступление одной заявки». Поток заявок простейший. Поэтому для решения задачи используем приведенную только что формулу, в которой Вычислим соответствующие вероятности:

Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

Вероятностью состояния называется вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии

Очевидно, что для любого момента сумма вероятностей состояний равна 1:

Правило построений уравнений Колмогорова. В левой части каждого из уравнений должна быть производная вероятности состояния. В правой части = сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых происходим переход в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, которые выводят систему из данного состояния, умноженная на вероятность этого состояния.

Например, для системы которая имеет четыре состояния система дифференцированных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний принимает такой вид:

В системе (2) независимых уравнений на одно меньше от общего количества уравнений. Поэтому для решения системы необходимо прибавит уравнений (1) при

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что нужно задавать так называемые начальные условия, в данном случае — вероятности состояний системы в начальный момент Так, систему (2) должны решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии то есть при начальных условиях

Уравнения Колмогорова дают возможность находить все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляет вероятности системы в предельном стационарном режиме, то есть при которые называются предельными вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказано, что количество состояний системы конечное и из каждого из них можно перейти к любому другому состоянию, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния имеет такое содержание: она показывает среднюю относительную продолжительность пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния составляет то это означает, что в среднем половину времен системы находится в состоянии

Пример 1. Найти предельные вероятности для системы из последнего примера, граф состояний которой приведен на рис. 4.2. При

Решение. Система алгебраических уравнений, которая описывает стационарный режим для данной системы, принадлежит к виду (1):

Решая эту систему уравнений, получаем Следовательно, в предельном стационарном режиме система в среднем 40% времени находится в состоянии 20% — в состоянии 27% — в состоянии 13% — в состоянии

Пример 2. Найти прибыль от эксплуатации в стационаром режиме системы когда известно, что за единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход, который составляет соответственно 10 и 6 ус. ед., а их ремонт требует расходов, которые составляют соответственно 4 и 2 ус. ед.

Оценить экономическую эффективность уменьшения вдвое средней продолжительности ремонта каждого из этих узлов, если в этом случае придется вдвое увеличить расходы на ремонт.

Решение. Из примера 1 следует, что в среднем первый узел исправен в течение части времени, которая составляет а второй узел — в течение части В этом случае первый узел находится в ремонте в среднем часть времени, равной а второй — Поэтому средняя прибыль за единицу времени от эксплуатации системы (разница между доходом и расходами) будет такой:

Прибыль = (ус. ед.).

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов согласно с будет означать увеличение вдвое интенсивности потока «окончания ремонта» каждого узла. Следовательно, в этом случае и система линейных алгебраических уравнений (1) принимает вид:

Решая эту системы, получаем

Поскольку то расходы на ремонт первого и второго узла будут составлять соответственно 8 и 4 ус. ед. Отсюда получим среднюю прибыль за единицу времени:

(Прибыль) (ус. ед.)

(Прибыль) больше, чем Прибыль (приблизительно — на 2%), поэтому экономическая целесообразность сокращения срока ремонта узлов очевидна.

Лекции:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:уравнение колмагороваСкачать

Уравнения Колмогорова.
Предельные вероятности состояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем* на примере случайного процесса из примера 1, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния в происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями ; так, переход системы из состояния в будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния в — под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла и т.п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 1). Рассматриваемая система имеет четыре возможных состояния: .

Вероятностью i-го состояния называется вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого момента сумма вероятностей всех состояний равна единице:

Рассмотрим систему в момент и, задав малый промежуток , найдем вероятность того, что система в момент будет находиться в состоянии . Это достигается разными способами.

1. Система в момент с вероятностью находилась в состоянии , а за время не вышла из него.

Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью , т.е. в соответствии с формулой (7), с вероятностью, приближенно равной . А вероятность того, что система не выйдет из состояния , равна . Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии и не выйдет из него за время ), равна по теореме умножения вероятностей:

2. Система в момент с вероятностями (или ) находилась в состоянии или и за время перешла в состояние .

Потоком интенсивностью (или — с- рис. 1) система перейдет в состояние с вероятностью, приближенно равной (или ). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по этому способу, равна (или ).

Применяя теорему сложения вероятностей, получим

Переходя к пределу при (приближенные равенства, связанные с применением формулы (7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную (обозначим ее для простоты ):

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы , можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова . В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).

В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8).

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент . Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии , т.е. при начальных условиях .

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени . Особый интерес представляют вероятности системы в предельном стационарном режиме , т.е. при , которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии . Например, если предельная вероятность состояния , т.е. , то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии .

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы с графом состояний, изображенном на рис. 1), такая система уравнений имеет вид:

Систему (10) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом , согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа — сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример 2. Найти предельные вероятности для системы из примера 1, граф состояний которой приведен на рис. 1, при

Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (10) или

(Здесь мы вместо одного «лишнего» уравнения системы (10) записали нормировочное условие (8)).

Решив систему (11), получим , т.е. в предельном, стационарном режиме система в среднем 40% времени будет находиться в состоянии (оба узла исправны), 20% — в состоянии (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% — в состоянии (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени — в состоянии (оба узла ремонтируются)

Пример 3. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы в условиях примеров 1 и 2, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден.ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден.ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Решение. Из примера 2 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную , а второй узел — . В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную , а второй узел — . Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (6) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончаний ремонтов» каждого узла, т.е. теперь и система линейных алгебраических уравнений (10), описывающая стационарный режим системы , вместе с нормировочным условием (8) примет вид:

Решив систему, получим .

Учитывая, что , а затраты на ремонт первого и второго узла составляют теперь соответственно 8 и 4 ден.ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:

Так как больше (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.

Видео:Предельные вероятности состоянийСкачать

Процесс гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения . Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 4.

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы . Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния возможны переходы только либо в состояние , либо в состояние .

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями или .

По графу, представленному на рис. 4, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с правилом составления таких уравнений (см. 13) получим: для состояния

для состояния имеем , которое с учетом (12) приводится к виду

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

к которой добавляется нормировочное условие

При анализе численности популяций считают, что состояние соответствует численности популяции, равной , и переход системы из состояния в состояние происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние — при гибели одного члена популяции.

Решая систему (14), (15), можно получить

Легко заметить, что в формулах (17) для коэффициенты при есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (16). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния , а знаменатели — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния .

Пример 4. Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 5). Найти предельные вероятности состояний.

Видео:Цепи Маркова (видео 12) | Теория информации | ПрограммированиеСкачать

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний

Рассматривая марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, нам удобно будет представлять себе, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток отказов, поток восстановлений и т.д.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние,- простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским. Это и естественно, так как простейший поток не обладает последействием: в нем «будущее» не зависит от «прошлого».

Если система S находится в каком-то состоянии Si, из которого есть непосредственный переход в другое состояние Sj (стрелка, ведущая из Si в Sj на графе состояний), то мы себе это будем представлять так, как будто на систему, пока она находится в состоянии Si действует простейший поток событий, переводящий ее по стрелке Si → Sj. Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из Si в Sj.

Для наглядности очень удобно на графе состояний у каждой стрелки проставлять интенсивность того потока событий, который переводит систему по данной стрелке. Обозначим λij интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния Si в Sj. На рис. 4.7 дан граф состояний с проставленными у стрелок интенсивностями (мы будем называть такой граф размеченным).

Рис. 4.7. Размеченный граф состояний

Построим размеченный граф состояний для технического устройства из двух узлов. Состояния системы:

S0 — оба узла исправны,

S1 — первый узел ремонтируется, второй исправен,

S2 — второй узел ремонтируется, первый исправен,

S3 — оба узла ремонтируются.

Интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, будем вычислять, предполагая, что среднее время ремонта узла не зависит от того, ремонтируется ли один узел или оба сразу. Это будет именно так, если ремонтом каждого узла занят отдельный специалист. Найдем все интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Пусть система находится в состоянии S0. Какой поток событий переводит ее в состояние S1? Очевидно, поток отказов первого узла. Его интенсивность λ1 равна единице, деленной на среднее время безотказной работы первого узла. Какой поток событий переводит систему обратно из S1 в S0? Очевидно, поток «окончаний ремонтов» первого узла. Его интенсивность μ1 равна единице, деленной на среднее время ремонта первого узла. Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем стрелкам графа рис. 4.7.

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, легко построить математическую модель данного процесса.

В самом деле, пусть рассматривается система S, имеющая n возможных состояний S1, S2. Sn. Назовем вероятностью i-го состояния вероятность pi(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии Si. Очевидно, что для любого момента сумма всех вероятностей состояний равна единице: