Стационарным уравнением шредингера для электрона в водородоподобном ионе уравнение

Планетарная модель водородоподобного атома, сформулированная Бором, не является ни классической (поскольку допускает квантование), ни квантовой (поскольку квантование не объясняет). Объяснить квантование можно с помощью уравнения Шредингера.

Однако описание атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является сложной задачей. Это касается даже простейшего атома водорода и водородоподобных ионов. Поэтому ограничимся здесь качественным рассмотрением задачи, которая сводится к анализу движения электрона в кулоновском иоле ядра. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром заряда Ze задается формулой

Здесь г — расстояние между электроном и ядром. Необходимо учитывать, что атом принципиально является трехмерной системой, и одномерным приближением для его описания обойтись нельзя. Поэтому стационарное уравнение Шредингера для водородоподобного атома записывается следующим образом:

Масса ядра на несколько порядков больше массы электрона, поэтому систему центра масс обычно можно считать привязанной к ядру. Поле, в котором движется электрон, является в этой системе центрально-симметричным.

Задачи такой геометрии удобно решать в сферической системе координат (рис. 37.1). В ней для точки М выбраны координаты г, 0, ср. Расстояние до начала координат г равно ОМ. Полярный (зенитный) угол 0 — это угол между осью Oz и радиус- вектором г, который меняется в пределах от 0 до к. Азимутальный угол ф — это угол между осью Ох и проекцией радиус-вектора г на плоскость Оху, ко- Рис.37.1 торый меняется в пределах от 0 до 2л. Переход

к сферической системе от декартовой и обратно осуществляется по следующим из геометрии правилам:

После перехода к сферической системе координат решение уравнения Шредингера ищется в виде произведения трех составляющих, каждая из которых зависит от одной из сферических координат:

Решение уравнения Шредингера с трехмерным кулоновским потенциалом оказывается еще более сложным, чем в предыдущей задаче с одномерным потенциалом гармонического осциллятора. Аналогично предыдущим квантовым задачам поиск собственных волновых функций (с учетом естественных ограничений) приводит к получению дискретных собственных энергетических состояний. И каждая из составляющих волновой функции дает набор решений, характеризующийся своим квантовым числом: главным п, орбитальным / и магнитным т,.

Видео:Урок 459. Обзор квантовой теории атома водородаСкачать

Стационарным уравнением шредингера для электрона в водородоподобном ионе уравнение

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса _x, _y, _z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

где – гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).

Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

или

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():

−(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),

где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ().

(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ)

(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она

|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)

Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений E_n

n = 1, 2, 3, …

(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E_n соответствует волновая функция ψ_n(x), которая с учетом условия нормировки

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψ_n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

n = 1, 2, …

Одномерный гармонический осциллятор:

E_n = ћω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

где радиальная функция R_nl(r) и угловая функция Y_lm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2 Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.16)

Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y_lm(θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R_nl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R_nl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r₀ = ћ 2 /m_ee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L_z являются решением уравнений

2 Y_lm(θ,φ) = L 2 Y_lm(θ,φ) и _zY_lm(θ,φ) = L_zY_lm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L_z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y_lm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

2 = ћ 2 s(s + 1)

(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s_zћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

Число s_z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s_z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s_z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

= + .

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция на выделенную ось J_z также принимает дискретные значения:

Число значений проекции J_z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l_z и s_z, то j_z также определена однозначно: j_z = l_z + s_z.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

n	Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, j	Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1).
L, l	Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
m	Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, s	Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы опреде­лен­ного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
sz	Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения szћ, где sz = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или π	Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → — (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные.
I	Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

• Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
• Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
• Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
• Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

• Кулоновский потенциал U = Q/r,
• Прямоугольная потенциальная яма
• Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
• Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

где U₀, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j_z, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ —). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d_5/2?

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>_n = |1, 1 /₂: 3 /₂>, |l,s:j>_p = |1, 1 /₂: 3 /₂>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>₁ = |1, 1 /₂: 3 /₂> и |l,s:j>₂ = |1, 1 /₂: 3 /₂>?

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента j_z. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; j_z = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; j_z = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию J_z. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона электронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /₂L, x = 2 /₃L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /₃L, 2 /₃L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?
Ответ: L_z = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2

4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?

Видео:Урок 455. Уравнение ШрёдингераСкачать

Уравнение Шредингера (конкретные ситуации)

Задание 1

Стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение…

Варианты ответов:

1) ;

2 ;

3) ;

4)

Задание 2

Стационарным уравнением Шредингера для частицы в трёхмерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение …

Варианты ответов:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

Задание 3

Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид: , где U – потенциальная энергия микрочастицы. Линейному гармоническому осциллятору соответствует уравнение…

Варианты ответов:

1) ; 2);

3) ; 4)

Задание 4

Стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение…

Варианты ответов:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

Задание 5

На рисунках приведены картины распределения плотности вероятности нахождения микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Состоянию с квантовым числом n=2 соответствует распределение…

Варианты ответов:

1) 2) 3) 4)●

Задание 6

На рисунке изображена плотность вероятности обнаружения микрочастицы на различных расстояниях от «стенок» ямы. Вероятность ее обнаружения в центре ямы равна…

Варианты ответов:

Задание 7

Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле , где ω-плотность вероятности, определяемая Ψ-функцией. Если Ψ-функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна…

Варианты ответов:

Задание 8

Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле , где ω-плотность вероятности, определяемая Ψ- функцией. Если Ψ-функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна…

Варианты ответов:

1) 5/8; 2) 3/8; 3) 1/2; 4) 1/4

Задание 9

Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле , где ω — плотность вероятности, определяемая Ψ -функцией. Если Ψ -функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна…

Варианты ответов:

1) 3/8; 2) 1/2; 3) 5/8; 4) 1/4

Задание 10

Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле , , где ω – плотность вероятности, определяемая ψ – функцией. Если ψ – функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна…

Варианты ответов:

Задание 11

Электрон находится в возбужденном состоянии (n=2) в одномерном потенциальном ящике шириной a c бесконечно высокими стенками. Плотность вероятности нахождения электрона максимальна в точках с координатами…

Варианты ответов:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

Задание 12

Электрон находится в первой трети прямоугольного одномерного потенциального ящика с непроницаемыми стенками на втором энергетическом уровне. Вероятность найти электрон в центре этого потенциального ящика на этом же энергетическом уровне равна …

Варианты ответов:

Задание 13

Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной L имеет вид: . Величина импульса частицы в первом возбужденном состоянии (n=2) равна .

Варианты ответов:

1) 3)

2) 4)

Задание 14

Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной L имеет вид: Если величина импульса частицы равна то частица находится на энергетическом уровне с номером .

Варианты ответов:

Задание 15

Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и шириной L имеет вид:. Если величина импульса частицы равна , то длина волны де Бройля этой частицы равна…

Варианты ответов

1) 2) 3) 4) 3L

Задание 16

В потенциальной яме бесконечной глубины находится электрон. Волновые функции

схематически представлены на рисунке. Какие из этих состояний сохранятся, если ширина потенциальной ямы уменьшится вдвое?

д) нет верного ответа.

Задание 17

Электрон, имеющий кинетическую энергию и движущийся слева направо, встречает на пути в одном случае порог (П), а в другом – барьер (Б) высотой в обоих случаях. С точки зрения классической и квантовой теории вероятность преодоления электроном порога и барьера различна и зависит от соотношения и . Установите соответствие и заполните таблицу:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

Соответствующий случай	Буква
Классическая теория,
Классическая теория,
Квантовая теория,
Квантовая теория,
Неверный ответ

Задание 18

Выберите правильный ответ для единиц измерения одномерной пси-функции (ψ=ψ(х))

б) ;

в) ;

г) ;

д) нет верного ответа

Задание 19

В потенциальной яме с вертикальными стенками находится электрон. Его волновая функция изображена на рисунке. В этом случае глубина потенциальной ямы

б) бесконечна слева, конечна справа;

в) бесконечна справа, конечна слева;

д) нет верного ответа.

Задание 20

Физический смысл пси-функции в том, что

а) её модуль описывает движение частицы;

б) она показывает плотность вероятности нахождения частицы в окрестности данной точки пространства;

в) квадрат её модуля показывает плотность вероятности нахождения частицы в окрестности данной точки пространства;

г) куб её модуля показывает вероятность нахождения частицы в данной точке пространства;

д) нет верного ответа.

Задание 21

Электрон находится в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Для некоторых состояний в середине ямы пси-функция электрона может иметь узел, т.е. y=0. Выберите правильное высказывание:

а) пси-функция не может иметь узлов в яме с бесконечными стенками;

б) пси-функция не может иметь узел в центре ямы;

в) номера состояний кратны двум;

г) номера состояний кратны трем.

Задание 22

Частица находится в прямоугольной одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками в состоянии с главным квантовым числом n .Чему равно количество узлов пси-функции внутри ямы, не учитывая узлов (y=0) на границах ямы?

д) нет верного ответа.

Задание 23

Выберите правильное продолжение высказывания. Для макроскопических тел, например пылинки в спичечном коробке, мы не замечаем квантования уровней энергии, потому, что

а) макроскопические тела не подчиняются законам квантовой механики;

б) уровни энергии макроскопических тел расположены настолько редко, что квантование энергии не заметно;

в) уровни энергии макроскопических тел расположены настолько часто, что квантование энергии не заметно;

г) эксперименты по обнаружению квантования энергии макроскопических тел не проводились.

Задание 24

В потенциальной яме бесконечной глубины находится электрон. Волновые функции схематически представлены на рисунке. Ширину ямы уменьшили в два раза. Во сколько раз изменится при этом минимальное значение кинетической энергии электрона?

Задание 25

Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме прямоугольной формы. Установите соответствие между графиком зависимости и номером состояния . Заполните таблицу:

Задание 26

Условие нормировки пси-функции для частицы, находящейся в потенциальной яме с непроницаемыми стенками шириной l, заключается в том, что вероятность нахождения частицы внутри ямы равна:

г) ;

д) нет верного ответа.

Задание 27

Выберите неверные утверждения

а) уравнение Шредингера описывает движение квантовой частицы;

б) уравнение Шредингера может быть получено уточнением законов Ньютона в классической механике;

в) квантовая теория настаивает на отказе от абсолютной определенности в задании начальных условий движения частицы;

г) в квантовой теории физический смысл имеет только вещественная часть комплексной волновой функции;

д) для макроскопических частиц предсказания квантовой и классической теории совпадают.

Задание 28

Частица находится в одномерной потенциальной яме прямоугольной формы с непроницаемыми стенками. Общее решение для стационарного уравнения Шрёдингера имеет вид:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) правильных решений не приведено.

Задание 29

На рисунках схематично изображены зависимости от координаты плотности вероятности обнаружения частицы. Установите соответствие между формой одномерной прямоугольной потенциальной ямы и рисунком и заполните таблицу.

Задание 30

Частица массы m находится в одномерной прямоугольной яме ширины l с непроницаемыми стенками в состоянии с пси-функцией Y_n(x,t) и спектром энергии . Чему равно количество узлов волновой функции внутри ямы в области 0 .

🌟 Видео

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Квантовая механика 47 - Стационарное уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор.Скачать

Урок 32. Уравнение ШрёдингераСкачать

Классические уравнения | уравнение Шрёдингера (координатное представление) | простейший выводСкачать

Квантовая механика 41 - Уравнение Шредингера. Гамильтониан.Скачать

Структура материи 6: уравнение Шрёдингера. Зачем нужна квантовая механика – Виталий Бейлин | НаучпопСкачать

Уравнение ШрёдингераСкачать

Урок 454. Понятие о волновой функцииСкачать

97. Микрочастица в потенциальной ямеСкачать

94. Теория Бора водородоподобных атомовСкачать

Консультация по квантовой механике. Часть 6. "Энергетический спектр водородоподобных атомов"Скачать

Квантовые числа (видео 14) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Лучшая модель атома? [Минутка физики]Скачать

Теория Бора. Гипотеза де Бройля. Принцип неопределенности. Уравнение Шрёдингера.Скачать

Хренова М.Г. - Квантовая химия - 2. Атом водородаСкачать

Урок 456. Движение микрообъекта в одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямеСкачать

Атомная физика. Лекция 14. Атом водорода. Гамильтониан и решение уравнения Шредингера.Скачать

Лекция №4 "Волновая функция. Уравнение Шредингера" (Гавриков А.В.)Скачать