Старинные задачи на квадратные уравнения (3 видео)

Старинные задачи на квадратные уравнения

Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в древнеегипетских математических папирусах. Вот, например: «Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а 3/4 длины равно ширине». Попробуйте решить сами!»

Пусть длина поля , тогда ширина , а площадь , что, по условию, составляет 12: . Отсюда:

Старинные задачи на квадратные уравнения

Итак, длина поля 4, а ширина (3/4) ∙ 4 = 3.

Запись собственно решения в папирусе лаконична: по сути, говорится лишь, что необходимо разделить 12 на 3/4.

Уравнения, в которых присутствуют и вторая, и первая степени, впервые появляются в Древнем Вавилоне. При этом отрицательные решения не рассматривались. Условие и решение излагались словами. Например, в условии одной из задач говорится: «Я вычел из площади сторону моего квадрата и получил 870» (это в современных обозначениях; в оригинале здесь стоит число в шестидесятеричной системе геометрическую алгебру – методы и результаты, которые мы бы сейчас трактовали как «перевод» алгебраических формул на язык геометрии. В том числе, рассматривались геометрические задачи, эквивалентные квадратным уравнениям, но решаемые сугубо геометрическими средствами. Мы рассмотрим их в ходе следующего урока. Тем не менее, один из греческих математиков поздней античности – Диофант – возможно, под влиянием вавилонян развивал алгебраический подход, не обращаясь ни к каким геометрическим построениям.

В качестве решений Диофант рассматривал только рациональные числа. В настоящее время Диофант имеет наибольшую известность как исследователь неопределенных задач, в которых число неизвестных превышает число уравнений и которые имеют, как правило, много решений: такие уравнения до сих пор называются диофантовыми. Но он уделил внимание и определенным задачам, в том числе сводящимся к квадратным уравнениям. Такова, например, задача о нахождении двух чисел, если известны их сумма и произведение: задачи такого типа решали уже в Вавилоне.

А Вы можете решить эту задачу? Пусть, например, сумма двух чисел равна 20, а произведение 96 (пример взят из задач Диофанта). Каковы числа?

Дана система

Выразим из первого уравнения и подставим во второе:

откуда , (, соответственно, наоборот).

Диофант, применяя полезную замену переменных, принимает, что разность двух исходных чисел равна удвоенному неизвестному, 2. При этом исходные числа равны:

откуда большее число равно 10 + 2 = 12, меньшее 10 – 2 = 8.

Очевидно, метод Диофанта применим и к другим сумме и произведению. В общем случае, если сумма , а произведение , метод Диофанта дает:

Следовательно,

Формул такого типа Диофант не писал: у него не было обозначения для произвольных параметров (хотя было обозначение для неизвестного). Тем не менее, его метод является общим, хотя он и показывает его действие лишь на частном примере. Диофант, кроме того, выяснил, что для существования решения (которые он искал лишь среди рациональных чисел) «нужно, чтобы квадрат полусуммы искомых отличался от их произведения на квадрат»: только в этом случае из подкоренного выражения в вышеприведенной формуле будет извлекаться корень.

Содержание

Презентация «История решения квадратных уравнений»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Краткое описание документа:
Квадратные уравнения – сквозь века
🔥 Видео

Видео:Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Презентация «История решения квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Учитель математики Каргопольской основной школы Алькеевского района РТ Галиуллина Фарида Вакифовна

История решения квадратных уравнений (с древности до наших дней) Цель исследования:

“Маршрут” исследований: 1)Древний Вавилон 2)Диофант 3)Индия 4)Европа 5)Казань

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики

Вавилон Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Вавилон Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения В «Арифметике» Диофанта содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Задача Диофанта «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение –96» Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+х, другое же меньше, т.е.10-х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение(10+х)(10-х)=96 или же 100-х 2=96 , х2-4=0 Отсюда х=2.Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х=-2 для Диофанта не существует, т.к.греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта(VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: х2+вх=с, а0. В этом уравнении коэффициенты, кроме а,могут быть и отрицатель-ными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Индия Задача Мухаммеда ибн Мусы ал-Хорезми “Квадрат и 10 корней равны 39”. Эта задача соответствует уравнению х2+10х=39. Ал-Хорезми предлагает решать ее следующим образом: если бы у нас был квадрат со стороной (х+5), тогда его можно было бы разбить на квадрат со стороной х, два прямоугольника 5х и квадрат со стороной 5 (см. рисунок). Нам известно, что х 2+2*5х=39. Тогда площадь большого квадрата 39+25=64, а значит его сторона равна 8. Но сторона этого квадрата равна х+5, то есть х=8-5=3. Ответ: х=3.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи» Задачи часто облекались в стихотворную форму. «Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась, Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать, повисая… Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?»

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв. Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.Книга способствовала распространению алгебраических знаний в Италии, в Германии, Франции и др. странах Европы.

В глубокой древности была найдена формула для решения квадратного уравнения с помощью радикалов (корней). Вывод формулы имеется у Виета,но он признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кордано, Бомбелли в XVI в.учитывают и отрицательные корни. В XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Казанские ученые-математики Большой вклад в теорию решения уравнений внесли казанские ученые-математики. Н.Г.Чеботарев в казанский период жизни и научной деятельности создал казанскую алгебраическую школу. Он и его ученики работали над теориями алгебраических чисел, распределением корней, теориями алгебраических функций. Н.Г.Четаев работал над проблемами устойчивости движения, аэродинамикой и качественными методами решения дифференциональных уравнений.

Традиционное решение квадратных уравнений 2 корня, если а и с числа с разными знаками; нет корней, если а и с числа с одинаковыми знаками. 2 корня: 1 корень, x=0

Нетрадиционное решение квадратных уравнений На зависть древним грекам и индийцам вы можете научиться решать квадратные уравнения быстрее. Найдите связь между суммой коэффициентов и корнями квадратных уравнений.

Выводы: Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году. После работ Жирара (1592-1632), Декарта и Ньютона метод решения квадратных уравнений приобрёл нынешний вид. Выявляются новые методы решения квадратных уравнений.

Каралачак мәсьәләләр: Квадрат тигезләмәләрне чишү тарихы белән танышу Тулы булмаган квадрат тигезләмәләрне чишү Квадрат тигезләмәләрне: 1) икебуынның квадратын аерып чыгару юлы белән чишү 2)формула кулланып чишү 3)Виет теоремасын кулланып чишү 4)традицион булмаган юллар белән чишү Тигезләмәләрне график юл белән чишү Укучыларда математика, аның тарихы белән кызыксыну тәрбияләү Квадратик функция һәм аның графигы белән танышу

Әгәр х2+10х-39=0 тигезләмәсен безгә билгеле формула ярдәмендә чишсәк, сезнең исәпләүләр мең ел элек гарәп математиклары башкарган исәпләүләрдән нигездә аерылырмы? Билгеле инде, юк. Димәк, әгәр сез, уй белән генә, квадрат тигезләмәләрне чишү тизлеге буенча шул заман математиклары белән ярышсагыз, кем кемне җиңүе әлегә билгесез. Мөгаен, сез оттырырга мөмкин-алар телдән бик тиз исәпләгәннәр. Ә сез? иәрхйя 168_ 155918128

Краткое описание документа:

«Описание материала:

Умение решать квадратных уравнений -одна из ключевых задач обучения математики. Несмотря на, казалось бы, доступность методов решения таких задач, в школе немало учеников, которые не справляются с этим заданием. Учителю приходится убедить своих учеников на необходимость таких знаний. Очень часто в таких случаях учителя обращаются к дополнительным материалам, которые помогают заинтересовать учащихся той или иной темой. Подготовленные учителем презентации, видеоуроки помогают достичь поставленных целей.

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать

Квадратные уравнения – сквозь века

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательные:
- расширение и углубление представлений учащихся о решении квадратных уравнений,
- обеспечение повторения, обобщения и систематизации знаний по решению квадратных уравнений.
Развивающие:
- способствовать формированию умений применять приемы обобщения, сравнения, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи,
- развитие творчества, умения анализировать,
Воспитательные:
- содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умения общаться.

Задачи:

развивать интерес к предмету,
продолжать формирование общеучебных навыков,
сделать вывод о связи геометрии и алгебры,
дать историческое видение решения квадратных уравнений,
развивать различные способы анализа,
воспитывать математически грамотную личность.

1. Втупительное слово учителя

– Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Сегодня на уроке мы будем решать квадратные уравнения, которые уже решали на уроках алгебры в 8 классе. Только познакомимся с теми способами, которые не представлены в Вашем учебнике. Сегодня у нас урок-путешествие.

В развитии математики можно выделить четыре основных этапа:

Древний Вавилон
Античный мир
Эпоха Возрождения в Европе
Средневековый Восток

– Посмотрим, каким же образом решали квадратные уравнения в различные времена и похожи ли эти решения на современное.
Вспомним стандартный алгоритм решения квадратного уравнения.

2. Алгоритм решения квадратного уравнения:

Алгоритм строится на доске учителем, помогают учащиеся. По ходу построения схемы можно задавать наводящие вопросы:
– На что обращаем внимание, увидев квадратное уравнение?
– Стандартный вид, полное или неполное, приведенное или нет?
– Отмечаем другим цветом общий случай решения квадратного уравнения Повторяем теорему Виета.
– Теперь же отправимся в глубину веков и сначала посетим древний Вавилон.

3. Древний Вавилон (I тысячелетие до н.э.)

– Имена математиков этого времени не сохранились. Вся информация у современных ученых заимствована из клинописных табличек. Математика в то время считалась знанием для избранных, ей владели жрецы, которые тщательно оберегали информацию от непосвященных. Основным принципом того времени было указание к действию (делай как Я). Объяснение при решении уравнений в то время отсутствует. Вывода формул нет. Дается только рецепт решения конкретного квадратного уравнения, алгоритм носит общий характер. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
При разборе задачи удобно разделить доску на две части. На одной записывать указания с клинописных табличек, на другой – стандартный алгоритм решения квадратного уравнения.

Задача 1.

Решение древних	Современное решение
Я вычел из площади одну сторону моего квадрата и получил 870.

Взял эту одну и разделил пополам

Умножил на саму себя.

Что является квадратом 29 ?

( = 29 )

Сложим то, что получили с первой половиной ()

Прибавили то, что было

x₁ = 30.х 2 – bx – c = 0

добавили свободный член

и получили формулу для четного коэффициента

Задаем вопрос: «Что настораживает, кажется странным?»

Отсутствует второй корень квадратного уравнения x₂ = – 29 (его легко найти по теореме, обратной теореме Виета). В древнем Вавилоне не оперировали с отрицательными числами, все задачи определялись практической жизнью. Поэтому получен только положительный корень.

Задача 2.

Длина и ширина вместе 14. Площадь 40. Найди длину и ширину.

Длина и ширина вместе 14. Площадь 40. О какой фигуре идет речь?

Можно догадаться, что речь идет о прямоугольнике со сторонами х и у.

Записываем систему уравнений, используя условие задачи.

– Каким образом можно решить систему?

1) Можно использовать способ подстановки.
2) Можно записать по теореме Виета квадратное уравнение и решить его.

Найди квадрат длины и ширины, взятых вместе:

Квадрат длины и ширины, взятых вместе равен 196. (Раскрываем скобки)

Возьми четыре площади – это 160.

Вычти из квадрата эти четыре площади, получишь 36.

196 – 160 = 36

(х – у)2 = 36

Найди корень. Это 6. x – y = 6

Предполагается, что длина больше ширины ( х > у). Это значит, что длина превосходит ширину на 6. Сложи длину и ширину с их разностью.

(x + y) + (x – y) =14 + 6. Это будет 20.
2x = 20. Две длины равны 20, значит одна длина 10.
x = 10.
Из суммы вычти разность.
(x + y) – (x – y) = 14 – 6
2y = 8
y = 8

Ответ: длина 8, ширина 6.

Для простых систем уравнений удобно было пользоваться стандартными способами, для более сложных – искали свои пути решения (это будет позднее).
Перенесемся теперь в Античный мир.

4. Античный мир (II век до н. э. – IV век н.э., Архимед, Евклид)

Метод решения квадратных уравнений разработал Евклид. Раньше уравнения решали по образцу, ничего не объясняя (существовало правило – делай как я).
В Античности появляется обязательное требования объяснять решение (почему что-то случилось, что произошло?). Геометрия в то время считалась наукой всех наук.
Поэтому теперь посмотрим на квадратное уравнение с точки зрения геометрии.

Задача 3.

Дано уравнение:

Отрицательных чисел в те века еще не знали, приблизился к ним только Диофант. Поэтому рассматриваем решение, используя только положительные числа.

В этом уравнении коэффициенты р > 0, q > 0. x = .

Записанное выражение напоминает теорему Пифагора. Если рассматривать , то проводя параллель с теоремой Пифагора можно догадаться, что находим катет (т.к. стоит знак минус). В этом случае гипотенуза равна , катет .

.

Выполним построение прямоугольного треугольника с помощью циркуля:

С центром в точке Р построим полуокружность радиусом РА = (РА – гипотенуза). От точки Р отложим вправо отрезок РМ = (отрезок РМ – катет).

В этом случае расстояния СМ и КМ:

СМ = x₁ = , КМ = x₂ = , (РС = РА = РК = ).

Для решения алгебраической задачи использовалась геометрия. В древности часто встречался синтез алгебры с геометрией.

Теперь отправимся на дальше.

5. Средневековый Восток (IX век н.э. аль-Хорезми)

В эти века все вычисления производились в уме, все объяснялось на словах, поэтому за решение очень сложно уследить, т.к. всё считается устно и вся информация держится в голове.
Задачи решались геометрическим способом. Мы знаем среднеазиатского математика аль-Хорезми, он дал классификацию линейных и квадратных уравнений и способы их решения. Общее решение квадратного уравнения он не рассматривал, т.к. его не интересовали уравнения, у которых не было ни одного положительного корня. Он старался записать уравнение так, чтобы все его члены выступали в качестве слагаемых, а не вычитаемых. Аль-Хорезми рассматривал пять типов квадратных уравнений:

ax 2 + bx = c ( квадраты и корни равны)
ax 2 + c = bx (квадраты и числа равны корням)
ax 2 = bx + c (корни и числа равны квадратам)
ax 2 = bx (квадраты равны корням)
ax 2 = c ( квадраты равны числу)

Почему? В то время еще не знали отрицательных чисел, Идея отрицательных чисел вносит общие методы решения, упрощает алгоритм. Кроме алгебраического способа нахождения корня уравнения аль-Хорезми обычно предлагал и геометрический.

Задача 4.

Квадрат и десять его корней равны 39. Рассмотрим геометрическое решение уравнения х 2 + 10х = 39.
Рисуем квадрат, сторона которого обозначается неизвестной величиной х.
x 2 – площадь квадрата со стороной x, 10x – площадь прямоугольника со сторонами 10 и x

Раздвои число корней (корней 10, раздвоили, получили 5). Построй большой квадрат.
Площадь маленького квадрата 25.Площадь заштрихованной фигуры 39.
Что можем найти? Площадь большого квадрата равна 39 + 25 = 64
Вся площадь целиком S_ABCD = 64. т.е. (х + 5) = 64, х = 3
Возникает вопрос: «Где ещё один корень?». Второй корень отрицательный. (По теореме Виета – 39 : 3 = – 13 ). х₂ = – 13
(Раздвоить прямоугольники удалось легко за счёт четного коэффициента. Этот наглядно, красиво, просто, но тяжело для других уравнений. Поэтому такой способ решения не развился дальше.)

6. Европа. Эпоха Возрождения (рассмотрим конкретное время – XVI век н. э. Франсуа Виет)

Невозможно сейчас представить математику специальных обозначений. Создателем алгебраической символики и формул по праву считается французский математик Франсуа Виет.. Он писал: «Искусство, которое я излагаю, ново или, по крайней мере, настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид». Хотя символика Виета и обладала некоторыми недостатками, тем не менее это был огромный шаг вперед. А вот древние математики вполне обходились без буквенных обозначений и специальных правил оперирования с ними.
Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику. Но вскоре он стал секретарем и домашним учителем в доме знатного дворянина-гугенота де Партеней. Тогда Виет очень увлекся изучением астрономии и тригонометрии. Знакомство Виета с Генрихом Наваррским, будущим королем Франции Генрихом IV помогло Виету занять видную придворную должность – тайного советника.
Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра, в котором насчитывалось более 500 знаков, менявшихся время от времени. Этим шифром пользовались недруги французского короля в Нидерландах для переписки с испанским двором. Хотя французы часто перехватывали письма из Испании, расшифровать их никто не мог. Только Виет быстро нашел ключ. Испанцы не представляли себе всего могущества человеческого ума. Они думали, что французам помогает дьявол. Они даже жаловались римскому папе и просили его уничтожить дьявольскую силу.

Задача 5.

Рассмотрим уравнение х 2 – 6х – 16 = 0. Вводим новую переменную (на первый взгляд усложняем уравнение, но посмотрим, к чему это приведёт).

Мы хотим получить неполное квадратное уравнение, при каком значении а это получится?

Основа метода – любое полное уравнение заменой переменных сводим к неполному квадратному уравнению.
Эта идея дала толчок развитию математики. Появился вопрос: «А можно ли решать уравнения третьей, четвёртой, пятой и высших степеней. Существует ли общий метод решения более сложных уравнений?»
Формула решения квадратного уравнения известна с незапамятных времен. В XVI в. Итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции ( сложение, вычитание, умножение и деление. ) и извлечение корней степени не превышающей степень уравнения. Кроме того все уравнения данной степени можно «обслужить» одной формулой. После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие формулы для решения уравнений пятой степени и выше. Общей формулы для таких уравнений не существует. Это доказал молодой норвежский ученый Нильс Хенрик Абель. Однако, это не означает, что невозможно решить те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Новые открытия в решении уравнений сделал французский ученый Эварист Галуа. Эварист Галуа погиб на дуэли в 20 лет. Свои результаты он изложил в письме, написанном в ночь перед поединком. Потребовались десятилетия, чтобы теория Галуа стала понятна математикам.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Алгебра и геометрия – взаимосвязаны.

Рассмотренные методы решения квадратных уравнений могут заинтересовать увлекающихся математикой учеников, дают возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

В качестве домашнего задания можно предложить учащимся решить следующие квадратные уравнения различными способами.

1. x 2 – 10x – 9 = 0 решить способом в стиле Виета, аль-Хорезми.
2. x 2 – 10x + 9 = 0 решить способом в стиле Евклида.
3. 2x 2 – x – 1 = 0 решить способом в стиле Виета.
4. x 2 – 4x + 3 = 0 подобрать способ решения в стиле Евклида.
5. x 2 – 10x = 16 подобрать способ решения в стиле аль-Хорезми.