Сравните алгебраические и логические уравнения в чем их сходство и различие (8 видео)

В чём состоит принципиальное отличие обычных алгебраических операций от логических?

Содержание

Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
В чем состоит принципное отличие обычных алгебраических операций от логических
Сравнение и аналогия
🎬 Видео

Видео:Что больше: 33⁴⁴ или 44³³ ★ Как сравнивать такие числа?Скачать

Ваш ответ

Видео:Задачи на разностное сравнение.Скачать

решение вопроса

Видео:Решение задач на разностное сравнение.Скачать

В чем состоит принципное отличие обычных алгебраических операций от логических

В чем состоит принципное отличие обыденных алгебраических операций от логических

Лилия Чемыслова
Информатика 2019-06-03 16:45:39 28 1

В алгебре логики применяются только три операции: конъюнкция (либо логическое умножение, обозначается обычно ), дизъюнкция (либо логическое сложение, обозначается обычно ) и инверсия (отрицание, обозначается почаще ). Так же, в алгебре логики, в отличие от математики, может быть получено только два результата выражения, каким бы оно не было — это 1 (правда, true) или 0 (ересь, false). Так же, именно с этими знаками проводят операции.
Алгебраических операций куда больше: умножение, деление, сложение, вычитание, строительство в степень, корень N-ой степени, синусы, косинусы. Я, окончательно, не всё перечислил, но разница осязаема. И числа, над которыми проводятся операции, тоже разнообразны, т.к. операции в математике проводятся над числами из десятичной системы счисления. Как следует, итог операций в математике может получиться хоть какой (в пределах десятичной системы счисления).

Видео:Структура варианта ДВИ. Какие задачи бывают?Скачать

Сравнение и аналогия

Сравнение и аналогия-логические приемы мышления, используемые как в научных исследованиях, так и в обучении.

С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов, т. е. наличие у них общих и необщих (различных) свойств.

Например, сравнение треугольника и четырехугольника раскрывает их общие свойства: наличие сторон, вершин, углов, столько же вершин и углов, сколько сторон, а также различие: у треугольника три вершины (стороны), у четырехугольника — четыре. Сравнение параллелограмма и трапеции позволяет выявить их общие свойства: они оба четырехугольники, оба имеют параллельные стороны, — и различие: в одном — две пары параллельных сторон, в другом — одна. Сравнение обыкновенных и алгебраических дробей выявляет их сходство: наличие числителя и знаменателя, отсутствие значения, когда знаменатель обращается в нуль, и т.д., — и различие: в одном случае числитель и знаменатель — числа, в другом — алгебраические выражения.

Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия:

1) сравниваемые понятия однородны и 2) сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.

Эти два условия выполняются в приведенных выше сравнениях: треугольник и четырехугольник — однородные понятия (многоугольники), параллелограмм и трапеция — четырехугольники, обыкновенные и алгебраические дроби — выражения. Во всех трех случаях сравнение осуществлено по существенным признакам (если, например, включили бы в общие свойства параллелограмма и трапеции тот факт, что они оба обозначены одними и теми же буквами АВСД, или считали бы различием обозначение их различными буквами, то это было бы ошибочным подходом к сравнению). Сравнение подготавливает почву для применения аналогии. С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство (или новые свойства).

Рассуждение по аналогии имеет следующую общую схему:

А обладает свойствами А, В, С, Д,

В обладает свойствами А, В, С,

Вероятно (возможно) В обладает и свойством Д.

Как видим, заключение по аналогии является лишь вероятным (правдоподобным), а не достоверным. Поэтому аналогия, как правило, не является доказательным рассуждением, т. е. рассуждением, которое может служить доказательством. («Как правило» потому, что имеется исключение, связанное с особым видом аналогии, о котором речь пойдет дальше.) Однако в обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.

В приведенном выше разъяснении того, что такое аналогия, используется понятие «сходство», которое само нуждается в разъяснении. Когда говорят, например, о сходстве между людьми, между человеком и его изображением на фотоснимке или картине и т. п., интуитивно понимают, что означает сходство. Но можно ли в таком же смысле говорить, например, о сходстве между множеством учащихся класса и множеством А = , или между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, или между множеством объектов на некотором участке и планом этого участка? Применение же аналогии в математическом исследовании, а поэтому и в обучении математике, часто характеризуется именно тем, что оно основано на глубоком, внутреннем «сходстве», а по существу на одинаковости структуры множеств предметов различной природы с отношениями, имеющими совершенно различный смысл, при отсутствии всякого внешнего «сходства» (в обычном смысле) между этими множествами. Это «структурное сходство», получившее точное математическое описание с помощью понятия изоморфизма, лежит в основе особого вида аналогии, приводящей в отличие от обычной аналогии к достоверным заключениям.

Например, в основе координатного метода лежит идея взаимно однозначного соответствия между множеством точек прямой (плоскости или пространства) и множеством действительных чисел (пар или троек чисел), переводящего некоторые отношения между точками в отношения между числами (парами или тройками чисел). Это взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом, позволяющим осуществить однозначный перевод свойств с языка, описывающего структуру множества точек прямой (плоскости или пространства), на язык, описывающий структуру множества Я (^ или ^), и обратно.

Возможность применения аналогии, казалось бы, к совершенно различным объектам основана на совпадении математических моделей этих объектов или принадлежности этих моделей к одному классу.

Вспомним слова В. И. Ленина: «Единство природы обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений». Простейшее дифференциальное уравнение

могут описать процесс распада радия (в этом случае формула (2) дает массу у радия в момент х, если y — масса радия в момент времени x), и процесс изменения атмосферного давления в зависимости от высоты х над уровнем океана (в этом случае (2) — барометрическая формула), и процесс изменения народонаселения (если прирост населения в данный момент пропорционален численности населения в этот момент), и процесс охлаждения тела при постоянной температуре окружающей среды (поскольку скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды), и, вообще, всякий процесс показательного роста или спада (при k 0), характеризующийся тем, что скорость изменения величины пропорциональна самой изменяющейся величине в данный момент, что и выражено в дифференциальном уравнении (1).

Все перечисленные явления и процессы обладают глубоким сходством при всем внешнем различии, выражающемся тем, что их математические модели принадлежат одному классу моделей (1). Это и позволяет переносить по аналогии свойства одного из этих процессов на другой (если только эти свойства выводимы из построенной модели).

Часто та или иная последовательность в изучении учебного материала обосновывается возможностью использования аналогии в обучении. Например, изучение десятичных дробей раньше обыкновенных объясняется не только тем, что именно десятичные дроби широко применяются в практике, но и возможностью использования при изучении арифметики десятичных дробей аналогии с арифметикой натуральных чисел. При изучении свойств алгебраических дробей можно использовать аналогию с обыкновенными дробями. Аналогия может служить базой для одновременного изучения арифметической и геометрической прогрессий.

Однако в установившейся практике обучения математике аналогия используется недостаточно. Иногда высказываются опасения, что с помощью аналогии мы можем прийти к ложным заключениям. Например, исходя из того, что предложение

верно (является теоремой) и на плоскости и в пространстве, а обратное предложение

верно на плоскости (является теоремой планиметрии), по аналогии утверждают, что предложение (4) верно и в пространстве, и приходят, таким образом, к ложному заключению.

Надо, однако, помнить, что в этом случае заключение по аналогии лишь правдоподобия и поэтому подлежит еще доказательству (или опровержению).

Следует отметить как недостаток, что (в практике обучения) опровержению мы почти не учим. Это является и серьезным упущением в общеобразовательном и воспитательном отношении, так как в жизни нередко возникает необходимость опровергать.

Исходя из истинности предложения (4) на плоскости, необходимо выяснить, имеет ли место аналогичное свойство в пространстве. Так как это предложение является общим (кванторы общности «для любых а, b, c подразумеваются), то для его опровержения достаточно найти такие прямые а, b, с, чтобы условие (аc и bс) выполнялось, а заключение <а || b) не выполнялось.

Мы не должны опасаться возникновения ложных заключений по аналогии. Необходимо лишь считать их гипотезами (предположениями). Ошибки, допускаемые в процессе поиска, исследования, вполне правомерны, так как чаще всего поиск ведется способом «проб и ошибок». В установившейся практике обучения, как правило, мы не даем учащимся, отвечающим на вопросы учителя, ошибаться. В этом отражается тот факт, что учебная деятельность учащихся является в основном лишь репродуктивной, а в такой деятельности ошибки недопустимы. Воспроизводить необходимо безошибочно. В продуктивной же, творческой деятельности ошибки неизбежны. Такого рода ошибками являются и те, которые появляются в результате применения аналогии в процессе поиска. Они являются составной частью метода проб и ошибок. Важно, чтобы учащиеся в поиске правильных ответов сами могли находить ошибочность возникающих в этом процессе предположений. Этому, разумеется, надо их учить.

Находить сходство, которое могло бы служить источником плодотворных рассуждений по аналогии, бывает нелегко даже в том случае, когда природа сравниваемых объектов одинакова.

Возьмем для примера две геометрические фигуры: треугольник и тетраэдр. В чем состоит сходство между этими фигурами? Треугольник — плоская фигура, тетраэдр — пространственная. Может быть, сходство в том, что грани тетраэдра — треугольники? Если даже принять, что в этом есть какое-то сходство (а пока не уточнено, что такое «сходство»: можно понимать под этим что угодно), то вряд ли оно может быть источником для рассуждений по аналогии. Более глубокое исследование этих двух объектов позволяет обнаружить такое структурное сходство, которое является источником аналогии, ведущей к открытиям. Действительно, треугольник и тетраэдр — ограниченные выпуклые множества точек. Первое образовано минимальным числом прямых на плоскости (нет многоугольника с меньшим, чем три, числом сторон), второе — минимальным числом плоскостей в пространстве. Отсюда, разумеется, не следует, что все свойства этих фигур одинаковы. Но если мы уже изучили свойства треугольника и приступаем к изучению свойств тетраэдра, то установленное сходство в одних свойствах дает нам право предполагать (только предполагать), что и некоторые другие свойства треугольника «переводятся» аналогичным образом в свойства тетраэдра. Так, например, исходя из установленного сходства и из того, что «в треугольнике биссектрисы углов пересекаются в одной точке и эта точка — центр вписанной окружности», мы приходим к предположению, что «в тетраэдре биссекторные плоскости двугранных углов пересекаются в одной точке и эта точка — центр вписанной сферы», и т. д. Мы открываем новые свойства тетраэдра, рассуждая по аналогии. Эти свойства, разумеется, подлежат доказательству.

Другой пример. Параллелепипед — пространственный аналог параллелограмма: в параллелограмме противоположные стороны параллельны, в параллелепипеде противоположные грани параллельны. Рассуждая по аналогии, можно прийти к гипотезе, что в параллелепипеде, так же как и в параллелограмме, диагонали, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам. Но если видеть только сходство и не замечать различия, в частности, что в параллелограмме всего две диагонали, а в параллелепипеде — четыре, то мы упустим важное свойство, подлежащее доказательству, а именно, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке. Как видим,. применению аналогии должно предшествовать сравнение, с помощью которого выявляется как сходство, так и различие.

Сфера — пространственный аналог окружности. Эти две фигуры определяются как множества точек плоскости и пространства соответственно, характеризуемые одним и тем же свойством:

(множество всех точек плоскости (пространства), расстояние которых от данной точки О равно данному числу r).

Это наводит на догадку, что сфера обладает некоторыми свойствами, аналогичными свойствам окружности. Например, что свойства взаимного расположения прямой и окружности переводятся в свойства взаимного расположения плоскости и сферы: 1) Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскость и сфера не имеют общих точек. 2) Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют одну и только одну общую точку. 3) Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то плоскость и сфера пересекаются по окружности (т. е. имеют бесконечное множество общих точек, лежащих на окружности). Как видно, лишь в третьем случае проявляется различие между окружностью и сферой, которое должно учитываться при формулировке аналогичных свойств. Свойство касательной плоскости тоже может быть найдено с помощью аналогии.