Способы преобразования показательных уравнений для их решений (8 видео)

Решение показательных уравнений через преобразования

Продолжаем разговор про решение показательных уравнений. Среди методов решения показательных уравнений есть метод решения уравнений через преобразования. При решении показательных уравнений этим методом используются практически все известные преобразования уравнений. Среди них можно выделить преобразования, характерные именно для показательных уравнений. С этого мы и начнем эту статью – составим список характерных преобразований показательных уравнений и приведем простейшие примеры их проведения. Дальше укажем основные направления проведения преобразований, которых следует придерживаться при решении показательных уравнений через преобразования, и рассмотрим несколько примеров с решениями.

Содержание

Список характерных преобразований
Замена числа степенью
Преобразования на базе свойств степеней
Использование определения степени с отрицательным показателем
Замена корней степенями
Деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень
Разложение чисел на простые множители
Преобразование показательных уравнений с сопряженными выражениями
Выделение целой части из рациональной дроби
Направления проведения преобразований. Примеры.
Как решать показательные уравнения?
Простейшие показательные уравнения
Общий метод решения показательных уравнений
Решение показательных уравнений при помощи замены
Показательные уравнения
Определение показательного уравнения
Свойства степеней
🔍 Видео

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Список характерных преобразований

Замена числа степенью

Преобразование, заключающееся в замене числа степенью, в основном используется для приведения показательного уравнения a f(x) =b , a>0 , a≠1 , b>0 к виду a f(x) =a c , c – некоторое число, с целью дальнейшего его решения, например, методом уравнивания показателей. Приведем пример. Показательное уравнение 2 x =8 путем замены числа 8 степенью 2 3 преобразовывается в уравнение 2 x =2 3 , что дает возможность уравнять показатели и получить решение x=3 .

Здесь стоит особо подчеркнуть два частных случая:

Число 1 всегда можно заменить нулевой степенью любого положительного числа, ведь a 0 =1 для любого a>0 . Например, это преобразование позволяет осуществить переход от показательного уравнения 5 x−3 =1 к уравнению 5 x−3 =5 0 , что в дальнейшем позволяет уравнять показатели и получить решение.
Любое положительное число a можно рассматривать как первую степень числа a , так как a=a 1 . Например, показательное уравнение 2 x 2 −2·x =2 можно рассматривать как уравнение 2 x 2 −2·x =2 1 , что полезно в плане его решения методом уравнивания показателей.

Преобразования на базе свойств степеней

Очень характерными для показательных уравнений являются преобразования, базирующиеся на свойствах степеней. Давайте рассмотрим их.

Преобразование на базе свойств умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями

Этим свойствам соответствуют равенства a p ·a q =a p+q и a p :a q =a p−q , a , p и q – действительные числа, причем a>0 . Первое равенство позволяет заменять произведения степеней с одинаковыми основаниями одной единственной степенью с суммой в показателе и обратно. На базе второго равенства можно частные степеней заменять одной степенью с разностью в показателе и наоборот. Рассмотрим это на примерах преобразования показательных уравнений.

Для примера возьмем показательное уравнение 2 x+1 ·2 x ·2 x−5 =2 2 . В его левой части, очевидно, находится произведение степеней с одинаковыми основаниями, которое в силу свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями можно заменить степенью 2 x+1+x+x−5 . То есть, мы можем преобразовать показательное уравнение 2 x+1 ·2 x ·2 x−5 =2 2 к виду 2 x+1+x+x−5 =2 2 , который удобен для дальнейшего решения.

Теперь рассмотрим уравнение . Можно выполнить преобразование этого показательного уравнения, основываясь на свойстве деления степеней с одинаковыми основаниями. Указанное свойство позволяет заменить частное в левой части уравнения степенью 5 2·x−1−(x−3) . В результате проведения такого преобразования получается уравнение 5 2·x−1−(x−3) =5 , которое легко решается через уравнивание показателей.

Наконец, возьмем показательное уравнение 2 x+1 +5·2 x−2 =13 . Для его преобразования равенства a p ·a q =a p+q и a p :a q =a p−q используются справа налево: . Дальше полученное уравнение легко преобразовывается в уравнение 2 x =2 2 , решение которого тривиально.

Преобразования на базе свойств степени произведения и частного

Указанным свойствам отвечают равенства (a·b) p =a p ·b p и (a:b) p =a p :b p , где a , p и q – действительные числа, причем a>0 , b>0 . Первое свойство позволяет заменять степень произведения произведением степеней и обратно, второе – степень частного частным степеней и обратно. Покажем, как преобразования, базирующиеся на этих свойствах степеней, используются при решении показательных уравнений.

Рассмотрим показательное уравнение 5·2 x −(2·5) x =0 . В данном случае мы имеем право провести преобразование, заключающееся в замене степени произведения (2·5) x произведением степеней 2 x ·5 x . Выполнив его, мы придем к уравнению 5·2 x −2 x ·5 x =0 , которое после вынесения за скобки общего множителя 2 x может быть решено методом разложения на множители.

Вот пример использования свойства степени произведения в обратную сторону: 2 x ·3 x =6 −2 , (2·3) x =6 −2 и дальше 6 x =6 −2 , x=−2 .

Аналогично проводится решение показательных уравнений через преобразования, базирующиеся на свойстве степени частного. Например, это преобразование позволяет перейти от показательного уравнения к уравнению , после чего вынести общий множитель 2 x за скобки и решить уравнение методом разложения на множители. А показательное уравнение следует преобразовать к виду и дальше 6 x =6 −2 , x=−2 .

Преобразование на базе свойства степени в степени

Свойству степени в степени отвечает равенство (a p ) q =a p·q , где a , p и q – действительные числа, причем a>0 . Покажем, как это свойство используется для преобразования показательных уравнений.

Обратимся к уравнению . В силу свойства степени в степени данное показательное уравнение можно преобразовать к виду 2 2·3·(x−2) =2 (−1)·(1−x) , что позволяет провести дальнейшее решение через уравнивание показателей.

Равенство (a p ) q =a p·q для преобразования показательных уравнений может применяться и справа налево. Например, преобразование показательного уравнения 3 2·x −4·3 x +3=0 к виду (3 x ) 2 −4·3 x +3=0 позволяет вести дальнейшее решение методом введения новой переменной.

Использование определения степени с отрицательным показателем

Из определения степени с отрицательным показателем следует, что , a>0 . Этот результат при необходимости используется для преобразования показательных уравнений. Рассмотрим пример.

Возьмем показательное уравнение . Видно, что в его записи содержатся две степени, основания этих степеней одинаковые, а показатели отличаются знаком. В этой ситуации опора на определение степени с отрицательным показателем позволяет заменить выражение степенью 2 x 2 −4·x . Такое преобразование приводит исходное показательное уравнение к более простому в плане решения уравнению , в котором степени уже одинаковые. Дальнейшее решение не вызывает вопросов: , , , x 2 −4·x=5 , x 2 −4·x−5=0 , последнее квадратное уравнение имеет два корня −1 и 5 . Они составляют решение исходного показательного уравнения.

Замена корней степенями

Определение степени с дробным показателем дает нам соотношение , a≥0 (в частности, ), связывающее корень со степенью. Оно дает возможность преобразовывать показательные уравнения, осуществляя замену корней степенями. Это касается как числовых выражений с корнями, так и выражений с переменными. Покажем это на примерах.

Решение показательного уравнения требует преобразования числового выражения с корнем в степень . В результате проведения такого преобразования получается показательное уравнение , решение которого находится, например, через уравнивание показателей.

Аналогично проводится преобразование показательных уравнений, в которых под знаками радикалов находятся выражения с переменными. Так с опорой на равенство мы можем преобразовать показательное уравнение к виду . Ну а дальше напрашивается преобразование по свойству степени в степени, которое мы разбирали чуть выше.

Деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень

Решение уравнений в некоторых случаях проводится с использованием преобразования, заключающегося в делении обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение используется и при решении показательных уравнений. В частности, ряд показательных уравнений решается через деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень или произведение степеней. Известно, что деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение является равносильным, если выражение, на которое производится деление, не обращается в нуль. Так как степень a f(x) не обращается в нуль ни при каких значениях переменной, то деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень или на произведение степеней является равносильным преобразованием уравнения. Рассмотрим примеры проведения указанного преобразования при решении показательных уравнений.

В основном через деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень решаются показательные уравнения, однородные относительно каких-либо степеней (см. однородные уравнения). Например, — однородное показательное уравнение первой степени относительно степеней 3 x и 5 x . Его решение требует деления на любую из этих степеней. Так деление на 5 x дает равносильное показательное уравнение , решение которого легко находится через ряд следующих преобразований:

Показательное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно степеней и . Его решение можно провести через деление обеих частей уравнения на степень или . Покажем его полное решение.

Решите уравнение

Деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень позволяет решать не только однородные показательные уравнения. Например, через деление на степень 13 3·x+1 можно решить показательное уравнение 13 5·x−1 ·17 2·x−2 =13 3·x+1 .

А вот пример решения показательного уравнения через деление его обеих частей на произведение трех степеней, находящееся в правой части:

Разложение чисел на простые множители

Довольно характерным преобразованием показательных уравнений является преобразование, состоящее в разложении чисел на простые множители. После него, как правило, следует преобразование, базирующееся на свойстве степени произведения. Проиллюстрируем сказанное примерами.

Допустим, нам потребовалось решить показательное уравнение 5·2 x −10 x =0 . Решение можно начинать с разложения составного числа 10 на простые множители 2 и 5 , то есть, переходить к уравнению 5·2 x −(2·5) x =0

. Теперь следует применить свойство степени произведения: 5·2 x −2 x ·5 x =0 . Остается вынести за скобки общий множитель 2 x и решить полученное показательное уравнение методом разложения на множители.

Вот другое характерное показательное уравнение , решение которого связано с проведение преобразования, заключающегося в разложении числа на простые множители. Разложим число 504 на простые множители:

Значит, 504=2 3 ·3 2 ·7 . Полученное разложение позволяет от исходного показательного уравнения перейти к уравнению , и дальше по свойству степени произведения — к уравнению , что то же самое . Полученное уравнение решается через деление его обеих частей на выражение, находящееся в правой части. Это уравнение мы решили в конце предыдущего пункта.

Преобразование показательных уравнений с сопряженными выражениями

Стоит отдельно выделить группу показательных уравнений, в которых основаниями степеней с одинаковыми показателями являются сопряженные выражения. Вот пример показательного уравнения , которое является типичным представителем этой группы. Для решения подобных уравнений обычно находятся произведения степеней с сопряженными выражениями в основаниях, и полученные соотношения используются для преобразования уравнений. Например, в нашем случае

То есть, . Полученное равенство позволяет преобразовать исходное уравнение к виду . После этого остается провести деление обеих частей уравнения на степень (это преобразование мы разбирали выше), что дает очень простое равносильное уравнение 27=3 x−2 .

Аналогично решается показательное уравнение . Оно в силу равенства может быть преобразовано к виду , и решено методом введения новой переменной. Вот его подробное решение.

Выделение целой части из рациональной дроби

Выделение целой части из рациональной дроби сложно назвать часто используемым преобразованием по отношению к показательным уравнениям и уж тем более типичным и характерным. Но оно бывает полезно при решении показательных уравнений. Так что воспользуемся случаем лишний раз напомнить про него.

Например, выделение целых частей из рациональных дробей в показательном уравнении позволяет ввести новую переменную. Действительно, и , что позволяет преобразовать исходное показательное уравнение в уравнение , и дальше по свойствам степеней . Остается принять или и довести решение до конца.

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Направления проведения преобразований. Примеры.

Выше мы рассмотрели самые основные и характерные преобразования показательных уравнений по отдельности, а также разобрали примеры их проведения. Но на практике при решении показательных уравнений обычно приходится проводить не одно какое-то преобразование, а серию последовательных преобразований. Естественно, при этом необходимо четко понимать, для чего проводится то или иное преобразование. Сейчас мы обозначим основные направления проведения преобразований, которых следует придерживаться при решении показательных уравнений.

Можно выделить три основных направления проведения преобразований показательных уравненийM:

К одинаковым степеням.
К одинаковым основаниям степеней.
К одинаковым показателям степеней.

Придерживаясь указанных направлений, следует от исходного показательного уравнения продвигаться к уравнениям, для которых известен метод решения, то есть, к уравнениям a f(x) =b , a f(x) =a c , a f(x) =a g(x) , f(g(x))=0 , f₁(g(x))=f₂(g(x)) , f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 и др. Давайте разбираться с этим на конкретных примерах.

К одинаковым степеням

Стремление к одинаковым степеням, то есть, к степеням с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями, при решении показательных уравнений легко объяснимо – после получения одинаковых степеней появляется возможность привести уравнение к удобному для дальнейшего решения виду, ввести новую переменную или каким-либо другим способом продвинуться в решении. Приведем примеры.

Возьмем показательное уравнение 3 x+2 +3 x+1 +3 x =39 . Очевидна возможность получить одинаковые степени 3 x . Реализовать ее позволяет свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями. Это свойство позволяет преобразовать исходное показательное уравнение в уравнение 3 x ·3 2 +3 x ·3 1 +3 x =39 с одинаковыми степенями 3 x . Дальше степень 3 x выносится за скобки как общий множитель, и уравнение приводится к простейшему показательному уравнению 3 x =3 с очевидным решением x=1 .

Рассмотрим еще один пример. В показательном уравнении 49·7 2·x −50·7 x +1=0 тоже несложно получить одинаковые степени 7 x . Достичь этого позволяет опора на свойство степени в степени. По свойству степени в степени мы можем заменить 7 2·x выражением (7 x ) 2 , то есть, перейти к уравнению 49·(7 x ) 2 −50·7 x +1=0 . Это открывает путь к решению показательного уравнения через введение новой переменной 7 x =t .

К одинаковым основаниям

Когда нет возможности получить одинаковые степени или такая возможность не очевидна, то можно довольствоваться получением одинаковых оснований. Это тоже бывает полезно при решении показательных уравнений. Проиллюстрируем сказанное примерами.

Несложно заметить, что выражения, отвечающие частям показательного уравнения , можно преобразовать в степени с основаниями 3 . Это позволяют сделать свойства степеней и связь между корнями и степенями с дробными показателями. Действительно, так как и , то исходное показательное уравнение можно преобразовать в уравнение , которое легко решается, например, методом уравнивания показателей.

Переход к одинаковым основаниям позволяет уменьшать количество степеней с разными основаниями, что часто неплохо продвигает в решении показательных уравнений. Например, в показательном уравнении (10 x ) 2 +9·20 x −10·(2 x ) 2 =0 три степени и у всех этих степеней различные основания. Представление степени 20 x в виде 10 x ·2 x позволяет преобразовать исходное уравнение к виду (10 x ) 2 +9·10 x ·2 x −10·(2 x ) 2 =0 . При этом уменьшается количество степеней с различными основаниями с трех до двух, и получается показательное уравнение, однородное относительно степеней 10 x и 2 x , а для таких уравнений есть стандартный метод решения.

Аналогично, в показательном уравнении представление степени 504 x−2 в виде 504 x−2 =2 3·x−6 ·3 2·x−4 ·7 x−2 уменьшает количество степеней с разными основаниями, и открывает дорогу к дальнейшему решению через деление обеих частей уравнения на 2 3·x−6 ·3 2·x−4 ·7 x−2 .

К одинаковым показателям

Если нет возможности вести преобразования в сторону получения одинаковых степеней или хотя бы одинаковых оснований степеней, то стоит рассмотреть возможность продвижения к одинаковым показателям степеней. Это тоже может быть полезно в плане решения показательных уравнений. Приведем примеры.

Легко заметить, что показатели степеней в записи показательного уравнения 5 −3−x ·13 3+x =1 различаются только знаками. В подобных случаях можно переходить к одинаковым показателям. В нашем случае степень 5 −3−x можно рассматривать как , ведь в силу свойства степени в степени . Это позволяет от исходного уравнения перейти к показательному уравнению , в записи которого степени имеют одинаковые показатели, что в свою очередь позволяет с опорой на свойство степени произведения перейти к простейшему показательному уравнению , и получить искомое решение.

Давайте разберем еще один пример. Возьмем показательное уравнение 2·3 2·x =9·2 x . Здесь можно осуществить переход к степеням с одинаковыми показателями, заменив 3 2·x на 9 x . Это преобразование дает уравнение 2·9 x =9·2 x , которое через деление обеих частей на 2 x приводится к простейшему показательному уравнению . Его решением является x=1 .

Видео:ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Видео:Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Видео:Методы решения показательных уравнений. Урок №25.Скачать

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^=125 Rightarrow 5^=5*5*5 Rightarrow 5^=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^=81 Rightarrow (3*3)^=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^=3^4 Rightarrow 3^=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac.$$

Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Видео:Как решать Показательные Уравнения? (часть 2)Скачать

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию — (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение (t):

Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac)^x):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):

И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^) и (frac =a^):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Видео:11 класс, 12 урок, Показательные уравнения Скачать

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Показательная функция. 11 класс.Скачать

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.