Способ группировки при решении уравнений (7 видео)

Решение уравнения методами группировки и замены переменной

Содержание

Страницы работы
Содержание работы
Разложение многочлена способом группировки
Основные понятия
5 способов разложения многочлена на множители
Способ группировки множителей
Группировка слагаемых и множителей: правило, примеры
Что такое группировка слагаемых
Что такое группировка множителей
📺 Видео

Страницы работы

Содержание работы

Лабораторная работа №1

Цель работы: Решить уравнения методами:

б) замены переменной.

Теоретическая часть работы

Способ группировки разложение на множители

Для того, чтобы разложить многочлен на множители:

1 – Объединим слагаемые попарно в группы (говорят «сгруппируем слагаемые»): два в одну группу, и два — в другую .

2 – В каждой паре вынесем за скобки общий множитель.

3 – Заметим, что оба полученных слагаемых также имеют общий множитель, который можно вынести за скобки .

Не любая группировка приводит к разложению на множители. В случае неудачи попробуйте сгруппировать по-другому, или вообще попытайтесь применить другой метод.

Рассмотрим решение уравнения способом разложения на множители на конкретном примере:

Применив способ группировки, получим:

Помня, что произведение равно 0 в случае, если один из множителей равен 0, получим корни уравнения:

Метод введения новой переменной

Пример.

Введем новую переменную , учитывая, что , получаем квадратное уравнение у 2 +у – 42=0 , корни которого -7 и 6. Возвращаясь к переменной х, получаем уравнения и , последнее не имеет корней, т.к. арифметический квадратный корень – неотрицательное число, а первое уравнение можно решить, используя определение арифметического квадратного корня 6 2 = х 2 +11 , решение которого х=5 и х=-5.

Если уравнение можно свести к уравнению, содержащему два или несколько одинаковых выражений, то это уравнение можно решить методом замены переменной. Для этого заменяют такое выражение другой переменной, получают новое уравнение относительно новой переменной, решают его, затем осуществляют обратную замену, возвращаясь к прежней переменной.

Структурная схема программы: а) способ группировки разложение на множители

Блок-схема программы: а) способ группировки разложение на множители

Структурная схема программы: б) замены переменной

Блок-схема программы: б) замены переменной

Видео:Что такое Метод Группировки? Для Чайников, Урок 11Скачать

Разложение многочлена способом группировки

О чем эта статья:

Видео:Алгебра 9 класс. 12 сентября. решение уравнения методом группировки по парамСкачать

Основные понятия

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей.

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые обведены в кружок на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

Видео:7 класс, 29 урок, Способ группировкиСкачать

5 способов разложения многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки.
Формулы сокращенного умножения.
Метод группировки.
Выделение полного квадрата.
Разложение квадратного трехчлена на множители.

Видео:Способ группировки для решения квадратных уравненийСкачать

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
Вынести общий множитель за скобки.
Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И не всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd)

Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.

Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.

Получим: p(u — b) + d(u — b).

Заметим, что общий множитель (u — b).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd)

Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.

Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.

Получим: u(p + d) — b(p + d).

Заметим, что общий множитель (p + d).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест множителей произведение не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

Найдем общий множитель: (m — n)
Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d).

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b.

Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (ax 2 — bx 2 ) + (bx — ax) + (a — b) = x 2 (a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x 2 (a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x 2 + x + 1)

Ответ: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (a — b)(x 2 + x + 1)

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Видео:Метод группировки и метод деления уголком при решении уравнений высших степеней.Скачать

Группировка слагаемых и множителей: правило, примеры

В случае, если нам надо сложить три и более слагаемых, мы можем использовать метод тождественного преобразования, получивший название группировки слагаемых. Точно такой же метод существует и для умножения, если в примере заданы три множителя и больше. Целью этой статьи является разбор правил группировки в обоих случаях. Все теоретические положения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Видео:Метод группировкиСкачать

Что такое группировка слагаемых

Мы можем выполнять группировку как в буквенных, так и в числовых выражениях тогда, когда у нас есть 3 слагаемых и более. Как нужно понимать этот термин?

Группировка слагаемых основана на совместном рассмотрении нескольких слагаемых в исходной сумме. Иначе говоря, это объединение нескольких слагаемых в одну группу.

Основное правило группировки слагаемых звучит так:

При выполнении группировки мы сначала переставляем слагаемые в исходной сумме таким образом, чтобы слагаемые одной группы были рядом, после чего заключаем их в скобки.

На чем базируется данное правило? В его основе лежат переместительное и сочетательное свойство сложения.

Разберем несколько примеров.

Допустим, у нас есть сумма 3 — х слагаемых 3 + 2 + 1 , и нам нужно сгруппировать первое слагаемое со вторым. Перестановка в данном случае не потребуется, поскольку нужные слагаемые и так стоят рядом. Нам надо только добавить скобки в нужном месте: ( 3 + 2 ) + 1 . Вот и вся необходимая группировка, после которой можно переходить к вычислениям.

Возьмем пример чуть сложнее.

Итак, мы имеем сумму 4 — х слагаемых 1 + 8 + 2 + 9 . Осуществим группировку в данном выражении, объединив первое и последнее, а также второе и третье слагаемое. Для этого нам надо переставить их так, чтобы нужные слагаемые расположились рядом друг с другом: 1 + 9 + 8 + 2 . Все, что нам нужно сделать теперь, это добавить скобки в нужных местах: ( 1 + 9 ) + ( 8 + 2 ) .

Точно так же мы действуем, если вместо числового выражения задано выражение с переменными. Так, если в условии стоит сумма вида x + y 3 + 3 · y 2 + 2 · x 2 + y + 12 , то можно сделать группировку сначала всех слагаемых с x , а потом всех с y . В итоге у нас получится выражение вида ( x + 2 · x 2 ) + ( y 3 + 3 · y 2 + y ) + 12 .

В целом группировка слагаемых– несложное действие. Некоторая трудность может быть в том, чтобы найти в исходном выражении саму сумму и отдельные слагаемые, из которых она состоит, особенно если выражение длинное и громоздкое. После нахождения слагаемых сгруппировать их будет легко.

К примеру, в выражении x + 1 · 1 x — 2 + x 2 + x + 1 4 + 3 · x — 2 3 можно найти три слагаемых: x + 1 · 1 x — 2 , x 2 + x + 1 4 и 3 · x — 2 3 .

После нахождения всех элементов можно объединить в группу первое и третье слагаемое и получить следующее выражение:

x + 1 · 1 x — 2 + 3 · x — 2 3 + x 2 + x + 1 4

Также три слагаемых можно выделить и в дроби x 2 + x + 1 4 . Они расположены под знаком корня. Для них тоже можно провести группировку.

Метод группировки необходим для рационального вычисления значений выражений. Кроме того, он широко используется для упрощения и многих других задач разной степени сложности.

Например, если нам надо найти значение выражения 1 3 + 2 7 + 2 3 + 3 7 , то удобно будет воспользоваться группировкой и объединить дроби с одинаковыми знаменателями. Так вычисление станет проще и быстрее:

1 3 + 2 7 + 2 3 + 3 7 = 1 3 + 2 3 + 2 7 + 3 7 = 1 + 5 7 = 1 5 7

Один из способов разложения многочлена на отдельные множители также основан на группировке слагаемых.

Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать

Что такое группировка множителей

Такая группировка проводится точно таким же образом, как и при сложении, единственная разница в том, что работать предстоит не с суммами, а с произведениями. Она основана на переместительном и сочетательном свойствах умножения.

Группировка множителей – это объединение в одну группу нескольких множителей.

Процесс вычисления в данном случае проводится так же: сначала мы переставляем нужные множители так, чтобы они оказались рядом, а потом расставляем скобки.

Например, возьмем произведение 3 · a · 7 · b и выполним группировку отдельно буквенных и числовых множителей. Сначала переставим их, чтобы нужные множители стояли рядом, а затем выделим их скобками. В итоге у нас получится выражение вида ( 3 · 7 ) · ( a · b ) .