Общее решение yОН линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b(x) есть сумма общего решения yОО соответствующего однородного уравнения L(y) = 0 и какого — либо частного решения yЧН исходного неоднородного уравнения. Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида это частное решение может быть найдено достаточно просто.
Функцию 
, где Pj(x) — некоторые полиномы (многочлены), назовём квазиполиномом. По теореме о наложении решений, если yj , j=1,2. m — решения уравнений L(y) = bj(x), то 
есть решение уравнения 
. Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что правая часть уравнения L(y) = b(x) с постоянными коэффициентами имеет вид b(x) = P(x)e λx . В частности, если λ=α+βi — комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа является функция
(1)
у которой P(x)и Q(x)- некоторые полиномы. Справедлив следующий результат.
Теорема. Линейное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами и правой частью вида (1) имеет частное решение
,
Видео:ЛНДУ II п. со спец. правой ч. (sin, cos)Скачать
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).
Специальная правая часть линейного уравнения
Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m
Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).
Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида
где a1, …, an — действительные числа, α — действительное число, Pm (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.
Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:
- Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид
где Qm (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.
Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то
т. е. частное решение приобретает множитель x k .
Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:
где α и b — действительные числа, P1 и P2 — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.
Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e αx , а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.
Укажем вид частного решения уравнения (14.2) в двух случаях:
- Если число α + ib не является корнем характеристического уравнения, то
где Q1 и Q2 — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P1 и P2 тождественно равен нулю.
Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то
т. е. частное решение приобретает множитель x k .
ПРИМЕР 15.2. Найти общее решение уравнения
y′′ − 2y′ + y = 8e3x .
РЕШЕНИЕ. Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение
y′′ − 2y′ + y = 0.
Так как его характеристическое уравнение λ2 − 2λ +1 = 0 имеет корни
λ1,2 =1, то общее решение однородного уравнения будет иметь вид
y C ex C xex = 1 + 2 .
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая
часть является произведением числа и показательной функции e3x :
Видео:Математика без Ху!ни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка.Скачать
f (x) = 8e3x ⇒ α = 3, β = 0, s = 0.
При этом число α ±βi = 3 не является корнем характеристического урав-
нения. Поэтому частное решение y
неоднородного уравнения надо искать
в виде
y = Ae3x ,
где A – неизвестный коэффициент.
Имеем:
y′′ = 9Ae3x .
Подставим
y′′ в неоднородное уравнение и получим
9Ae3x − 2⋅3Ae3x + Ae3x = 8e3x ,
⇒ 4Ae3x = 8e3x ,
⇒ 4A = 8 или A = 2.
Таким образом,
y = 2e3x – частное решение неоднородного уравне-
ния, а его общее решение имеет вид
( 1 2 )
y = C ex + C xex + 2e3x .
Видео:Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать
💡 Видео
Метод неопределенных коэффициентов для линейного ДУ со специальной правой частью (квазимногочленом)Скачать
7. ДУ. ЛНДУ с правой частью спец вида (4270 Берман Г.Н)Скачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать
19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать
Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частьюСкачать
ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать
18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. часть 3Скачать
2. ЛНДУ с правой частью в виде квазиполинома. Вычисление неопределенных коэффициентов.Скачать
1. ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.Скачать
