Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания

IV. Составить дифференциальное уравнение и найти решение.

Для составления ДУ необходимо вспомнить, в чем состоит геометрический и физический смысл производной.

В физических задачах надо прежде всего решить, какую из величин взять за независимую переменную, а какую – за искомую функцию. Затем надо выразить, на сколько изменится искомая функция у, когда независимое переменное х получит приращение Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания, т.е. выразить разность Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касаниячерез величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касанияи перейдя к пределу при Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания, получим ДУ, из которого можно найти искомую функцию. Иногда ДУ можно составить более простым путем, воспользовавшись физическим смыслом производной (если независимое переменное время t, то Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания— скорость изменения величины у).

Чтобы решить геометрическую задачу, надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через у. Тогда у / — угловой коэффициент касательной, проведенной к искомой кривой. далее надо выразить все упомянутые величины через х, у, у / . Тогда данное в условии задачи соотношение превращается в ДУ, из которого можно найти искомую функцию у(х).

В некоторых задачах содержатся условия, с помощью которых можно определить значения постоянных, входящих в общее решение ДУ.

Примеры

Задача 1. За какое время тело, нагретое до 100 о , охладится до 25 о в комнате с температурой 20 о , если до 60 о оно охладилось за 20 мин. (По закону Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температуры воздуха).

Решение. Пусть в момент времени t после начала охлаждения тела его температура будет Т о , тогда, с одной стороны, скорость изменения температуры тела выразится формулой Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания. С другой стороны, по закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и воздуха в комнате. т.е. она равна Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания, здесь k — коэффициент пропорциональности, зависящий от массы, теплопроводности, формы тела.

Сравнивая оба полученных выражения для скорости изменения температуры, получим:

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания

(знак минус, т.к. как температура тела уменьшается). Получили ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Решая его, получим общее решение:

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания. (*)

Произвольную постоянную С и коэффициент k можно найти из начальных условий. Подставляя в (*) t=0 мин., Т=100 о , получим Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

При t=20 мин., Т=60 о , следовательно:

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

Таким образом, частное решение ДУ, удовлетворяющее всем условиям задачи, будет Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касанияили Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания, Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

Видео:Составить дифференциальные уравнения семейств линийСкачать

Составить дифференциальные уравнения семейств линий

Теперь выясним, через сколько времени температура тела станет раной 25 о . Подставляя вместо Т число 25, находим t:

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

Следовательно, тело остынет до температуры 25 о через 80 мин.

Задача 2. Найти: 1) семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной равен ординате точки касания; 2) кривую этого семейства, проходящую через точку

Решение. ДУ искомого семейства у / =у или Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания. Проинтегрировав обе части равенства, получим Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касанияили Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания. Определим значение С, соответствующее начальным значениям:

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания; Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания; Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

Следовательно, Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания— искомая кривая (проходящая через точку Р).

Пример 3.Найти кривые, проходящие через точку N(0, 1), для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

Решение. Пусть точка М с координатами (х, у) принадлежит искомой кривой (рис. 1). Тогда МА – отрезок касательной к кривой , причем Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

Из треугольника АМВ имеем Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания. По условию Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания. Отсюда Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания. Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касанияУ

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касанияМ(х, у)

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касанияСоставьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим:

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

Учитывая, что кривые проходят через точку N(0, 1), найдем величину С:

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания, Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

Следовательно, уравнения искомых кривых имеет вид

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

Задание №5 для контрольной работы.

5.1. Найти кривую, проходящую через точку (4, 4), для которой угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

5.2. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ делится пополам в точке пересечения с осью ОY. Известно, что искомая кривая проходит через точку Р(1, 2).

5.3. Найти линию, проходящую через точку Мо(6, 4) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М нормальный вектор Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касанияс концом на оси ОY имеет длину, равную а=10, и образует острый угол с положительным направлением оси ОY.

5.4. Найти линию, проходящую через точку Мо(1, 1), если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в соотношении 1:2 (считая от оси OY).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

5.5. Найти линию, проходящую через точку Мо(2, -1), если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью ОY делится в точке пересечения с осью абсцисс в соотношении 1:1.

5.6. Найти линию, проходящую через точку Мо(1, 2), если отрезок любой ее касательной, заключенной между осями координат, делится в точке касания в соотношении 1:1.

5.7. Найти линию, проходящую через точку Мо(2, е) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касанияс концом на оси ОХ имеет проекцию на ось ОХ обратно пропорциональную абсциссе точки М. Коэффициент пропорциональности k равен -2.

5.8. Найти кривую, проходящую через точку Мо(4, 3), у которой подкасательная есть среднее арифметическое координат точек касания М (подкасательная ТР, где точка Р – проекция точки М на ось ОХ, точка Т – точка пересечения касательной с осью ОХ).

5.9. Найти линию, проходящую через точку Мо(1, 1) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касанияс концом на оси ОY имеет проекцию на ось ОY, равную 1.

5.10. Найти кривую, для которой сумма длин отрезка касательной к подкасательной пропорциональна произведению координат точки касания М. Кривая проходит через точку Мо(1, 1), коэффициент пропорциональности Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания(подкасательная ТР, где точка Р – проекция точки М на ось ОХ, точка Т – точка пересечения касательной с осью абсцисс).

5.11. Пользуясь прямоугольными координатами, найти форму зеркала, собирающего все параллельные лучи в одну точку. Взять падающие лучи параллельными оси ОХ.

5.12. Составит уравнение кривой, проходящей через точку Мо(а, а) и обладающей следующим свойством: если в любой точке М(х, у) кривой с ординатой РМ провести касательную до пересечения с осью ОY в точке Т, то площадь трапеции ОТМР равна Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

5.13. Площадь треугольника, образованного радиус-вектором ОМ любой точки М(х, у) кривой, касательной МР к этой точке и осью ОХ, равна 2. Кривая проходит через точку Мо(2, -2). Найти уравнение этой кривой.

5.14. Составить уравнение кривой, проходящей через начало координат, зная, что середина отрезка ее нормали от любой точки кривой М до оси ОХ находится на параболе Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

5.15. Определить кривую, проходящую через точку Мо(1, 1), у которой отрезок касательной от точки касания М до пересечения с осью ОХ равен отрезку ОТ, где точка Т – точка пересечения касательной с осью ОХ.

5.16. Найти уравнение кривой, проходящей через точку Мо(1, 1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат равен квадрату абсциссы точки касания.

5.17. Найти кривую, проходящую через точку Мо(3, 0), у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен полусумме координат точки касания.

5.18. Найти кривую, проходящую через точку Мо(1, 1) и обладающую тем свойством, что величина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную, равна абсциссе точки касания.

5.19. Найти кривую, проходящую через точку Мо(1, 1) и обладающую тем свойством, что отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси ОY равна квадрату абсциссы точки касания.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

5.20. Определить кривую, проходящую через точку Мо(0, 1), у которой отношение отрезка, отсекаемого касательной на оси ОY, к радиус-вектору равна 1.

5.21. Найти кривую, у которой подкасательная имеет постоянную длину а. Кривая проходит через точку Мо(а, е) (подкасательная ТР, где точка Р – проекция точки М на ось ОХ, точка Т – точка пересечения касательной с осью абсцисс).

5.22. Найти кривую, проходящую через точку Мо(2, 1), для которой подкасательная равна среднему арифметическому координат точки касания.

5.23. Найти уравнение кривой, проходящей через точку Мо(3, 5) и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касанияс концом на оси ОY имеет длину, равную 5, и образует острый угол с положительным направлением оси ОY.

5.24. Найти кривую, проходящую через точку Мо(1, 4) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касанияс концом на оси ОY имеет проекцию на ось ОY, равную 2.

Раздел 6

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Двойной интеграл

1.1. Задача об объеме цилиндрического тела.

1.2. Двойной интеграл и его основные свойства.

1.3. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах.

1.4. Замена переменных в двойном интеграле. Переход от декартовых координат к полярным.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

1.5. Приложение двойного интеграла для решения задач геометрии и физики.

Литература Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания, гл. ХIV, §1, 2, упр. 1, 4-6; §3, упр. 8-10, 15, 17; §4, упр. 24, 25, 32; §5, 6, упр. 18-20, 28; §7, упр. 43, 46, 48; §9, упр.59, 60; §10, упр. 53, 54.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется двойным интегралом от функции f(x; y) по области D? Укажите его геометрический смысл.

2. Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы и вынесении постоянного множителя за знак двойного интеграла. Докажите, что

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания, где Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

3. Что называется двукратным интегралом от функции f(x; y) по области D? Как он вычисляется?

4. Докажите теорему о среднем для двойного интеграла, укажите ее геометрический смысл.

5. Выведите формулу для вычисления двойного интеграла с помощью двукратного. Дайте геометрическое толкование формулы в случае неотрицательной подынтегральной функции.

6. Обоснуйте формулы, служащие для вычисления объема цилиндрического тела и площади плоской фигуры с помощью двойных интегралов.

7. Выведите формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.

8. Каков геометрический смысл интеграла

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания,
где z=z(x; y) – функция, обладающая непрерывными частными производными в области D?

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

9. Каков механический смысл интеграла

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания,
где Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания— непрерывная функция в области D?

10. Выведите формулу для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры D, поверхностная плотность которой Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.

Тройной интеграл

2.1. Тройной интеграл и его основные свойства.

2.2. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.

2.3. Замена переменных в тройном интеграле. Использование цилиндрических и сферических координат.

2.4. Геометрические и механические приложения тройных интегралов.

Литература Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания, гл. ХIV, §11, 12, упр. 65, 66; §13, упр. 67; §14, упр. 68, 69.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) пространственной области V? Укажите его механический смысл.

2. Что называется трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V? Как он вычисляется?

3. Сформулируйте теорему о среднем для тройного интеграла.

Видео:Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

4. Выведите формулу для вычисления тройного интеграла с помощью трехкратного. Напишите формулу для вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах.

5. Обоснуйте формулу, служащую для вычисления объема тела с помощью тройного интеграла.

6. Каков механический смысл интеграла

Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания,
где Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания— непрерывная функция в области V? Напишите формулы для вычисления координат центра тяжести тела V, объемная плотность которого Составьте дифференциальное уравнение кривой для которой отрезок касательной между точками касания.


источники:

🎦 Видео

3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.Скачать

3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.

Составить дифференциальное уравнение семейства кривыхСкачать

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых

Составить дифференциальное уравнение окружностей R = 1, с центром на прямой y = 2xСкачать

Составить дифференциальное уравнение окружностей R = 1, с центром на прямой y = 2x

Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать

Уравнение плоскости. 11 класс.

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентам

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Как распознать талантливого математикаСкачать

Как распознать талантливого математика

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Уравнение касательной к кривой.Скачать

Уравнение касательной к кривой.

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решать

1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать

1. Что такое дифференциальное уравнение?

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: