Задача 1. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 часов. Найти зависимость числа бактерий от времени.
Решение. Обозначим количество бактерий в момент времени t через x, тогда 
— скорость размножения бактерий.
По условию задачи 
— уравнение с разделяющимися переменными.
Потенцируем последнее выражение и получаем общее решение нашего дифференциального уравнения.
Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям
При t=0, x=x0 
-частное решение дифференциального уравнения.
Чтобы найти искомую зависимость, определим коэффициент пропорциональности k. По условию задачи известно, что через 5 часов 
.
Прологарифмируем последнее выражение
Окончательно получаем 
Задача 2. При прохождении света через вещество происходит ослабление интенсивности светового потока, вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии, т.е. происходит поглощение света веществом. Найти закон поглощения, если известно, что ослабление интенсивности пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего излучения.
Решение. Исходя из условия задачи, можно сразу написать дифференциальное уравнение
,
где dI -ослабление интенсивности при прохождении слоя толщиной dx.
k -коэффициент пропорциональности.
Знак минус показывает, что интенсивность падает по мере прохождения слоя.
Проинтегрируем наше уравнение, предварительно разделив переменные
Исходя из того, что падающий на поверхность вещества свет имел интенсивность I=I0 , при x=0, найдем частное решение
Итак, мы получили закон поглощения света веществом ( закон Бугера), где
k -натуральный показатель поглощения.
Задача 3. Известно, что механические свойства биологических объектов изучаются с помощью вязкоупругих моделей (поршень — пружина). Одной из найболее распространенных является модель Кельвина — Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня (см. рис.1).
Рис. 4. Модель Кельвина — Фойхта
Найти зависимость деформации от времени 
, если к модели приложена постоянная нагрузка.
Решение. Согласно условию задачи 
, и учитывая также, что при малых деформациях выполняется закон Гука, т.е. 
, а механическое напряжение, возникающее в вязкой среде пропорционально скорости деформации, т.е. 
, мы можем написать дифференциальное уравнение.
, или 
Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и 
, мы будем иметь сразу частное решение.
Потенцируя последнее выражение, получаем
Находим отсюда 
Как видно из полученной формулы, в рамках модели Кельвина — Фойхта деформация при постоянной нагрузке возрастает с течением времени. Это соответствует реальным материалам. Такое свойство материала названо текучестью.
Урок-конференция «Применение дифференциальных уравнений для решения задач естествознания»
Разделы: Математика
Учебные:
Развивающие:
Воспитательные:
Тип занятия: обобщение и закрепление материала с элементами усвоения новых знаний.
Вид занятия: урок-конференция.
Межпредметные связи: физика, электротехника, биология, экономика.
Обеспечение занятия: компьютер, мультимедийный проектор, программы Mathcad и PowerPoint.
При подготовке к уроку-конференции студентам были определены темы выступлений и рекомендована литература. Выступающие должны были изучить материал и подготовить презентации.
1. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности
Преподаватель сообщает студентам тему и цели урока.
2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний
Преподаватель повторяет, с использованием мультимедиа-презентации, такие понятия как: естествознание, математическая модель, дифференциальное уравнение и алгоритм решения простейшего дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. .
Под руководством преподавателя студенты начинают заполнение таблицы, в которую они будут заносить наиболее важные сведения из предстоящих выступлений своих товарищей. .
Окончательный вид таблицы представлен в .
3. Ознакомление с новым материалом
- Распределение температуры внутри ограждающей поверхности .
- Охлаждение тел .
- Эффективность рекламы .
- Нагрев тел .
- Потеря заряда проводником .
- Радиоактивный распад .
- Рост денежных вкладов .
- Количество населения на определённую дату .
- Истощение ресурсов .
В конце каждого выступления студенты имеют возможность задать вопросы выступающему и заполняют таблицу. Преподаватель акцентирует внимание студентов на наиболее важных выводах и отмечает то, что различные по своей природе процессы описываются похожими дифференциальными уравнениями, что говорит об универсальности математического описания объектов реального мира.
4. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения
По результатам конференции студенты заполняют таблицу .
5. Подведение итогов урока
Пономарёв К.К. Составление дифференциальных уравнений. Минск, Вышейшая школа, 1973.
Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987.
Тема: Дифференциальные уравнения и их применения . в медицинской практике
Тема: Дифференциальные уравнения и их применения
в медицинской практике
1. Основные понятия и определения дифференциального уравнения
2. Методы решения дифференциальных уравнений.
3. Применение дифференциальных уравнений для решения задач.
1.Основные понятия и определения дифференциального уравнения
Говоря о дифференциальных уравнениях мы должны дать определение дифференциального уравнения.
Опр.: Уравнения, в которых неизвестными являются не только сами функции, но и их производные называются дифференциальными уравнениями
Опр.: Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и её первая производная, то это уравнение называется дифференциальным уравнением I-го порядка.
Опр.: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в это уравнение.
Опр.: Решением дифференциального уравнения называют любую функцию при подстановке, которой в это уравнение получается тождество. Простейшим уравнением первого порядка является уравнение: У’=f (x)
-Что будет являться решением этого уравнения?
У=∫f(х)dx=F(x)+C – это общее решение.
-Как же выглядит геометрически общее решение?
 |
Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С.
Опр.: График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой этого уравнения.
Решение: y=5x+C –общее решение диф. уравнения
Зададим начальные условия : х0=0, у0=1 и подставим в общее решение соответственно вместо х и у.
Получаем у=5х+1-это частное решение дифференциального уравнения.
2.Методы решения дифференциальных уравнений
3.Применение дифференциальных уравнений для решения задач
Дифференциальные уравнения занимают важное место при решении задач физико-химического, фармацевтического и медико-биологического содержания. Пользуясь ими, мы устанавливаем связь между переменными величинами, характеризующими процесс или явление.
Решение любой задачи с помощью математического анализа можно разбить на три этапа:
1. перевод условий задачи на язык математики;
2. решение задачи;
3. оценка результатов.
Первая часть работы обычно заключается в составлении дифференциального уравнения и является наиболее трудной, так как общих методов составления дифференциальных уравнений нет и навыки в этой области могут быть приобретены лишь в результате конкретных примеров.
Закон растворения лекарственных форм вещества из таблеток
Скорость растворения лекарственных форм вещества из таблеток пропорциональна количеству лекарственных форм вещества в таблетке. Установить зависимость изменения количества лекарственных форм вещества в таблетке с течением времени.
Обозначим через m количество вещества в таблетке, оставшееся ко времени растворения t. Тогда
где k-постоянная скорости растворения. Минус в уравнении означает, что количество лекарственных форм вещества с течением времени убывает.
Закон размножения бактерий с течением времени
Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий в данный момент. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени.
Обозначим количество бактерий, имеющихся в данный момент, через х. Тогда
где k – коэффициент пропорциональности.
Закон роста клеток с течением времени
Для палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к её объёму сохраняется постоянным, скорость роста клетки
dl/dt пропорциональна длине клетки l в данный момент:
где α, β – постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада.
Закон разрушения клеток в звуковом поле
Кавитация ультразвуковых волн проявляется в виде разрывов суспензионной среды и образования мельчайших пузырьков и пустот, плотность которых незначительна по сравнению с плотностью воды. Простейшие (бактерии, водоросли, дрожжи, лейкоциты, эритроциты) могут быть разрушены при кавитации, возникающей в интенсивном звуковом поле. Относительные скорости разрушения биологических клеток различных видов остаются постоянными в очень широком диапазоне частот. Эти скорости могут характеризовать относительную хрупкость клеток различных видов. Чтобы выразить это количественно, нужно определить скорость разрушения клетки в постоянном звуковом поле. Изучение этого вопроса показывает, что, пока по крайней мере 1% популяции остаётся неразрушенным, можно записать:
где N – концентрация клеток; t –время; R — постоянная
В теории эпидемий при условии, что изучаемое заболевание носит длительный характер, процесс передачи инфекции значительно более быстрый, чем течение самой болезни, и зараженные особи не удаляются из колонии и передают при встречах инфекцию незараженным особям.
Пусть в начальный момент t=0, а – число зараженных, b – число незараженных особей, x(t), y(t) – соответственно число зараженных и незараженных особей к моменту времени t. В любой момент времени t для промежутка, меньшего времени жизни одного поколения, имеет место равенство
При этих условиях нужно установить закон изменения числа незаражённых особей с течением времени, т. е. найти y=f(x).
Так как инфекция передаётся при встречах зараженных особей с незараженными, то число незараженных особей будет убывать с течением времени пропорционально количеству встреч между зараженными и незараженными особями. Для промежутка времени dt dy=-βxy,
откуда dy/dt= — βxy, где β – коэффициент пропорциональности. Подставив в это уравнение значение х из равенства (1), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Контрольные вопросы для закрепления:
1. Дайте понятие дифференциальному уравнению, его решению.
2. Назовите методы решения дифференциальных уравнений, охарактеризуйте каждый.
3. Приведете примеры обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения с разделяющими переменными, линейного.
4. Приведите примеры дифференциального уравнения первого, второго, третьего порядка.
5. Каково практическое применение дифференциальных уравнений.
1., Демидова : Компьютерные технологии в медицине. – Ростов н/Д:Феникс, 2008. -588 с. Ил.-(Среднее профессиональное образование)