Составление и решение дифференциальных уравнений в задачах физики химии биологии (4 видео)

ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины

Задача 1. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 часов. Найти зависимость числа бактерий от времени.

Решение. Обозначим количество бактерий в момент времени t через x, тогда — скорость размножения бактерий.

По условию задачи — уравнение с разделяющимися переменными.

Потенцируем последнее выражение и получаем общее решение нашего дифференциального уравнения.

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям

При t=0, x=x₀ -частное решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти искомую зависимость, определим коэффициент пропорциональности k. По условию задачи известно, что через 5 часов .

Прологарифмируем последнее выражение

Окончательно получаем

Задача 2. При прохождении света через вещество происходит ослабление интенсивности светового потока, вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии, т.е. происходит поглощение света веществом. Найти закон поглощения, если известно, что ослабление интенсивности пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего излучения.

Решение. Исходя из условия задачи, можно сразу написать дифференциальное уравнение

где dI -ослабление интенсивности при прохождении слоя толщиной dx.

k -коэффициент пропорциональности.

Знак минус показывает, что интенсивность падает по мере прохождения слоя.

Проинтегрируем наше уравнение, предварительно разделив переменные

Исходя из того, что падающий на поверхность вещества свет имел интенсивность I=I₀ _, при x=0, найдем частное решение

Итак, мы получили закон поглощения света веществом ( закон Бугера), где
k -натуральный показатель поглощения.

Задача 3. Известно, что механические свойства биологических объектов изучаются с помощью вязкоупругих моделей (поршень — пружина). Одной из найболее распространенных является модель Кельвина — Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня (см. рис.1).

Рис. 4. Модель Кельвина — Фойхта

Найти зависимость деформации от времени , если к модели приложена постоянная нагрузка.

Решение. Согласно условию задачи , и учитывая также, что при малых деформациях выполняется закон Гука, т.е. , а механическое напряжение, возникающее в вязкой среде пропорционально скорости деформации, т.е. , мы можем написать дифференциальное уравнение.

, или

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и , мы будем иметь сразу частное решение.

Потенцируя последнее выражение, получаем

Находим отсюда

Как видно из полученной формулы, в рамках модели Кельвина — Фойхта деформация при постоянной нагрузке возрастает с течением времени. Это соответствует реальным материалам. Такое свойство материала названо текучестью.

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Урок-конференция «Применение дифференциальных уравнений для решения задач естествознания»

Разделы: Математика

Учебные:

научиться составлять математические модели процессов с использованием дифференциальных уравнений;

повторить правила решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными;

отработать навыки по нахождению частных решений дифференциальных уравнений.

Развивающие:

развитие умений выделять главное, существенное, обобщать факты;

формирование логического мышления, внимания;

показать широту применения математических знаний;

развитие творческих и аналитических способностей в процессе самостоятельной поисковой деятельности;

показать возможности компьютерной программы PowerPoint.

Воспитательные:

воспитание уважения к товарищу;

воспитание культуры общения, работа над повышением грамотности устной речи

Тип занятия: обобщение и закрепление материала с элементами усвоения новых знаний.

Вид занятия: урок-конференция.

Межпредметные связи: физика, электротехника, биология, экономика.

Обеспечение занятия: компьютер, мультимедийный проектор, программы Mathcad и PowerPoint.

При подготовке к уроку-конференции студентам были определены темы выступлений и рекомендована литература. Выступающие должны были изучить материал и подготовить презентации.

1. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности

Преподаватель сообщает студентам тему и цели урока.

2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний

Преподаватель повторяет, с использованием мультимедиа-презентации, такие понятия как: естествознание, математическая модель, дифференциальное уравнение и алгоритм решения простейшего дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. .

Под руководством преподавателя студенты начинают заполнение таблицы, в которую они будут заносить наиболее важные сведения из предстоящих выступлений своих товарищей. .

Окончательный вид таблицы представлен в .

3. Ознакомление с новым материалом

Охлаждение тел .
Эффективность рекламы .
Нагрев тел .
Потеря заряда проводником .
Радиоактивный распад .
Рост денежных вкладов .
Количество населения на определённую дату .
Истощение ресурсов .

В конце каждого выступления студенты имеют возможность задать вопросы выступающему и заполняют таблицу. Преподаватель акцентирует внимание студентов на наиболее важных выводах и отмечает то, что различные по своей природе процессы описываются похожими дифференциальными уравнениями, что говорит об универсальности математического описания объектов реального мира.

4. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения

По результатам конференции студенты заполняют таблицу .

5. Подведение итогов урока

Пономарёв К.К. Составление дифференциальных уравнений. Минск, Вышейшая школа, 1973.

Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987.

Видео:Задача на составление Дифференциального уравненияСкачать

Тема: Дифференциальные уравнения и их применения . в медицинской практике

Тема: Дифференциальные уравнения и их применения
в медицинской практике

1. Основные понятия и определения дифференциального уравнения

2. Методы решения дифференциальных уравнений.

3. Применение дифференциальных уравнений для решения задач.

1.Основные понятия и определения дифференциального уравнения

Говоря о дифференциальных уравнениях мы должны дать определение дифференциального уравнения.

Опр.: Уравнения, в которых неизвестными являются не только сами функции, но и их производные называются дифференциальными уравнениями

Опр.: Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и её первая производная, то это уравнение называется дифференциальным уравнением I-го порядка.

Опр.: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в это уравнение.

Опр.: Решением дифференциального уравнения называют любую функцию при подстановке, которой в это уравнение получается тождество. Простейшим уравнением первого порядка является уравнение: У’=f (x)

-Что будет являться решением этого уравнения?

У=∫f(х)dx=F(x)+C – это общее решение.

-Как же выглядит геометрически общее решение?

Составление и решение дифференциальных уравнений в задачах физики химии биологии

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С.

Опр.: График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой этого уравнения.

Решение: y=5x+C –общее решение диф. уравнения

Зададим начальные условия : х0=0, у0=1 и подставим в общее решение соответственно вместо х и у.

Получаем у=5х+1-это частное решение дифференциального уравнения.

2.Методы решения дифференциальных уравнений

3.Применение дифференциальных уравнений для решения задач

Дифференциальные уравнения занимают важное место при решении задач физико-химического, фармацевтического и медико-биологического содержания. Пользуясь ими, мы устанавливаем связь между переменными величинами, характеризующими процесс или явление.

Решение любой задачи с помощью математического анализа можно разбить на три этапа:

1. перевод условий задачи на язык математики;

2. решение задачи;

3. оценка результатов.

Первая часть работы обычно заключается в составлении дифференциального уравнения и является наиболее трудной, так как общих методов составления дифференциальных уравнений нет и навыки в этой области могут быть приобретены лишь в результате конкретных примеров.

Закон растворения лекарственных форм вещества из таблеток

Скорость растворения лекарственных форм вещества из таблеток пропорциональна количеству лекарственных форм вещества в таблетке. Установить зависимость изменения количества лекарственных форм вещества в таблетке с течением времени.

Обозначим через m количество вещества в таблетке, оставшееся ко времени растворения t. Тогда

где k-постоянная скорости растворения. Минус в уравнении означает, что количество лекарственных форм вещества с течением времени убывает.

Закон размножения бактерий с течением времени

Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий в данный момент. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени.

Обозначим количество бактерий, имеющихся в данный момент, через х. Тогда

где k – коэффициент пропорциональности.

Закон роста клеток с течением времени

Для палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к её объёму сохраняется постоянным, скорость роста клетки
dl/dt пропорциональна длине клетки l в данный момент:

где α, β – постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада.

Закон разрушения клеток в звуковом поле

Кавитация ультразвуковых волн проявляется в виде разрывов суспензионной среды и образования мельчайших пузырьков и пустот, плотность которых незначительна по сравнению с плотностью воды. Простейшие (бактерии, водоросли, дрожжи, лейкоциты, эритроциты) могут быть разрушены при кавитации, возникающей в интенсивном звуковом поле. Относительные скорости разрушения биологических клеток различных видов остаются постоянными в очень широком диапазоне частот. Эти скорости могут характеризовать относительную хрупкость клеток различных видов. Чтобы выразить это количественно, нужно определить скорость разрушения клетки в постоянном звуковом поле. Изучение этого вопроса показывает, что, пока по крайней мере 1% популяции остаётся неразрушенным, можно записать:

где N – концентрация клеток; t –время; R — постоянная

В теории эпидемий при условии, что изучаемое заболевание носит длительный характер, процесс передачи инфекции значительно более быстрый, чем течение самой болезни, и зараженные особи не удаляются из колонии и передают при встречах инфекцию незараженным особям.

Пусть в начальный момент t=0, а – число зараженных, b – число незараженных особей, x(t), y(t) – соответственно число зараженных и незараженных особей к моменту времени t. В любой момент времени t для промежутка, меньшего времени жизни одного поколения, имеет место равенство

При этих условиях нужно установить закон изменения числа незаражённых особей с течением времени, т. е. найти y=f(x).

Так как инфекция передаётся при встречах зараженных особей с незараженными, то число незараженных особей будет убывать с течением времени пропорционально количеству встреч между зараженными и незараженными особями. Для промежутка времени dt dy=-βxy,

откуда dy/dt= — βxy, где β – коэффициент пропорциональности. Подставив в это уравнение значение х из равенства (1), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Контрольные вопросы для закрепления:

1. Дайте понятие дифференциальному уравнению, его решению.

2. Назовите методы решения дифференциальных уравнений, охарактеризуйте каждый.

3. Приведете примеры обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения с разделяющими переменными, линейного.

4. Приведите примеры дифференциального уравнения первого, второго, третьего порядка.

5. Каково практическое применение дифференциальных уравнений.

1., Демидова : Компьютерные технологии в медицине. – Ростов н/Д:Феникс, 2008. -588 с. Ил.-(Среднее профессиональное образование)